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第9章　平 面 向 量
9.1　向 量 概 念
基础认知·自主学习
1．向量与数量的概念
(1)既有大小又有____的量叫作向量．
(2)只有大小没有____的量叫作数量．
2．有向线段
(1)定义：具有____的线段叫作有向线段．
方向
方向
方向
(4)三个要素：____、方向、长度．
3．向量的表示方法
大小
方向
起点
(2)零向量：长度为__的向量叫作零向量，记作__．
(3)单位向量：长度等于__个单位长度的向量，叫作单位向量．
5．相等向量
(1)定义：长度____且方向____的向量叫作相等向量．
(2)表示方法：向量a与b相等，记作____．
零
0
1
相等
相同
a＝b
6．平行向量(或共线向量)
(1)定义和表示方法
(2)本质：平行向量反映的是两个向量的方向关系，表示两个共线向量的有向线
段所在直线可以平行，也可以重合．
定义 方向____或____的非零向量叫作平行向量．规定：______
与任一向量平行．任一组平行向量都可以平移到同一条直
线上，因此，平行向量也叫作____向量．
表示方法 向量a与b平行，记作____
对于任意向量a，都有0∥a.
相同
相反
零向量
共线
a∥b
非零
(0≤θ≤π)
(2)三种特殊情况：
a与b的夹角θ a与b的关系
0 a与b____
π a与b____
a与b____，记作____
同向
反向
垂直
a⊥b
8.相反向量
定义 与向量a长度____，方向____的向量，叫作a的相反向量，记
作___
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝__
a＋(－a)＝(－a)＋a＝__
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝__
相等
相反
－a
a
0
0
1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是(　　)
A．方向　　　　 B．大小
C．大小和方向　 D．以上均不对
【解析】选B.由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．
学情诊断·课时测评
一、单选题
1．给出下列命题：
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B.①根据作用力与反作用力的概念可知作用力与反作用力是一对共线向量；②温度只有大小没有方向，所以不是向量；③如图可知，是共线向量；④x轴和y轴只有方向，没有大小，所以不是向量．所以只有①③正确．
【解析】选C.由图可知三向量方向不同，但长度相等．
5．给出下列说法：
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的模都相等．
其中正确的是________(填序号).
【解析】由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．
答案：②③④
2．(2021·东莞高一检测)两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误的是(　　)
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
【解析】选D.根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．
4．(多选)在下列结论中，正确的结论为(　　)
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
【解析】选ACD.若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A对，B错，C对，D对．
二、填空题
5．下列说法正确的有________．
①终点相同的两个向量不共线
②若|a|>|b|，则a>b
③单位向量的长度为1
【解析】①中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．②中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．③正确．
答案：③
6．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是______，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是______，它们的模的和等于________．向量概念
1．向量与数量的概念
(1)既有大小又有方向的量叫作向量．
(2)只有大小没有方向的量叫作数量．
2．有向线段
(1)定义：具有方向的线段叫作有向线段．
(2)表示方法：以A为起点、B为终点的有向线段记作.
(3)长度：线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作．
(4)三个要素：起点、方向、长度．
3．向量的表示方法
(1)用有向线段表示：用有向线段表示的向量记作．有向线段的长度
||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，手写时，可写成带箭头的小写字母，，….
4．向量的模及两个特殊向量
(1)向量的模：向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作．
(2)零向量：长度为零的向量叫作零向量，记作0．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量．
5．相等向量
(1)定义：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量．
(2)表示方法：向量a与b相等，记作a＝b．
6．平行向量(或共线向量)
(1)定义和表示方法
定义 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量．规定：零向量与任一向量平行．任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫作共线向量．
表示方法 向量a与b平行，记作a∥b对于任意向量a，都有0∥a.
(2)本质：平行向量反映的是两个向量的方向关系，表示两个共线向量的有向线段所在直线可以平行，也可以重合．
7．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角(如图所示).
(2)三种特殊情况：
a与b的夹角θ a与b的关系
0 a与b同向
π a与b反向
a与b垂直，记作a⊥b
8.相反向量
定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝a
a＋(－a)＝(－a)＋a＝0
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
1．在⊙O中，以O点为始点，圆周上任一点为终点作向量，则该向量可以确定的要素是(　　)
A．方向　　　　 B．大小
C．大小和方向　 D．以上均不对
【解析】选B.由于⊙O半径的确定性，因此该向量的长度(大小)是确定的．
2．下列各命题中，正确命题的个数为(　　)
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若＝，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④若0∥a，0∥b，则a∥b.
A．4　 B．3　 C．2　 D．1
【解析】选D.①|a|＝|b|只说明两向量大小相等，不能得出两向量同向，故此命题不正确；②由＝可得||＝||且∥，由于∥，A，B，C，D可能在同一条直线上，故此命题不正确；③正确；④0与任意向量平行，命题不正确．
3．如图所示，在△ABC中，点D，E分别是AB和AC边的中点，则下列结论正确的是(　　)
A.和共线 B．和共线
C．和共线 D．和共线
【解析】选A.因为点D，E分别是AB和AC边的中点，
所以DE∥BC，所以和共线；选项B，C，D中的向量不共线．
4．给出下列几种说法：
①若A，B，C三点共线，则∥；
②任一非零向量都可以平行移动；
③长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量．其中说法正确的是________．(填序号)
【解析】①正确．由A，B，C三点共线可知，与方向相同或相反，所以∥；
②正确．方向相同且长度相等的两个向量是相等向量，这说明任一非零向量都可以平行移动；
③错误．方向相反的两个向量是共线向量．
答案：①②
5．在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中，用直尺和圆规画出下列向量．
(1)||＝3，点A在点O正西方向；
(2)||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3)||＝2，点C在点O南偏东60°方向．
【解析】如图所示：
一、单选题
1．给出下列命题：
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】选B.①根据作用力与反作用力的概念可知作用力与反作用力是一对共线向量；②温度只有大小没有方向，所以不是向量；③如图可知，是共线向量；④x轴和y轴只有方向，没有大小，所以不是向量．所以只有①③正确．
2．如图，在圆O中，向量，，是(　　)
A．有相同起点的向量 B．单位向量
C．模相等的向量 D．相等的向量
【解析】选C.由图可知三向量方向不同，但长度相等．
3．如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定不成立的是(　　)
A.||＝|| B．与共线
C．与共线 D．＝
【解析】选C.对于A，因为四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，因此||＝||一定成立，故A不符合题意；对于B，根据菱形的性质，与共线一定成立，故B不符合题意；对于D，根据菱形的性质，与方向相同且模相等，因此＝ 一定成立，故D不符合题意；选C.
二、填空题
4．设在平面上给定了一个四边形ABCD，点K，L，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量相等的向量是________．
【解析】因为K，L分别是AB，BC的中点，连接AC，所以KL∥AC，KL＝AC，
同理MN∥AC，MN＝AC，
所以KL∥MN，KL＝MN，所以＝.
答案：
5．给出下列说法：
①零向量是没有方向的；
②零向量的长度为0；
③零向量的方向是任意的；
④单位向量的模都相等．
其中正确的是________(填序号).
【解析】由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．
答案：②③④
三、解答题
6．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC的中点，求证：向量与共线．
【证明】因为D，E分别是边AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE∥BC，
所以四边形DBCE是梯形．
又因为F，G分别是DB，EC的中点，
所以FG是梯形DBCE的中位线，
所以FG∥DE.
所以向量与共线．
【加固训练】
如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．此图中，马可以从A处跳到A1处，用向量表示马走了“一步”，也可以跳到A2处，用向量表示．请在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．
【解析】如图，马在B处只有3步可走，马在C处有8步可走，人们常说的马有“八面威风”就是指马在中心处威力最大．
一、选择题
1．下列命题中，正确命题的个数有(　　)
①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
2．(2021·东莞高一检测)两列火车从同一站台沿相反方向开去，走了相同的路程，设两列火车的位移向量分别为a和b(假定两列火车始终沿同一直线行驶)，则下列说法中错误的是(　　)
A．a与b为平行向量
B．a与b为模相等的向量
C．a与b为共线向量
D．a与b为相等的向量
【解析】选D.根据题意，依次分析选项可知A，B，C均成立，对于D，a与b为反向的共线向量，则a和b不相等，D错误．
3．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为(　　)
A． B． C．1 D．2
【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，
所以D为PA的中点，
所以的值为1.如图．
4．(多选)在下列结论中，正确的结论为(　　)
A．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件
B．a∥b且|a|＝|b|是a＝b的既不充分也不必要条件
C．a与b方向相同且|a|＝|b|是a＝b的充要条件
D．a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分不必要条件
【解析】选ACD.若a＝b，则a与b方向相同，模相等，所以A对，B错，C对，D对．
二、填空题
5．下列说法正确的有________．
①终点相同的两个向量不共线
②若|a|>|b|，则a>b
③单位向量的长度为1
【解析】①中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．②中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．③正确．
答案：③
6．如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是______，它们的模都等于________．
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是______，它们的模的和等于________．
【解析】(1)模相等的两个向量是，，||＝||＝＝.
(2)共线的向量是，，
且||＋||＝2＋3＝5.
答案：(1)，　　(2)，　5
【加固训练】
将本题条件改为如图所示的向量a，b，c，d，e(小正方形的边长为1)：
(1)写出图中的共线向量；
(2)写出图中模相等的向量．
【解析】(1)a，d是共线向量，b，e是共线向量．
(2)a，c，d是模相等的向量．
三、解答题
7．如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.
(1)求证：向量∥；
(2)求||.
【解析】(1)由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，因为BE2＋DE2＝BD2，
所以∠DEB＝90°.
又点C为半圆上一点，
则∠ACB＝90°.
所以AC∥DE，
故∥.
(2)由AC∥DE知△ABC∽△DBE.
所以＝，
即＝.
所以AC＝，
即||＝.
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