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(共27张PPT)
第10章 三角恒等变换
10.1　两角和与差的三角函数
10.1.1　两角和与差的余弦
基础认知·自主学习
简记符号 公式 使用条件
C(α-β) cos(α-β)=______________________ α,β∈R
C(α+β) cos(α+β)=_____________________
cos αcos β+sin αsin β
cos αcos β-sin αsin β
学情诊断·课时测评两角和与差的余弦
两角和与差的余弦公式
简记符号 公式 使用条件
C(α-β) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β α,β∈R
C(α+β) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
1．cos 165°的值是(　　)
A． B．
C． D．－
【解析】选D.cos 165°＝cos (180°－15°)＝－cos 15°
＝－cos (45°－30°)＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－×－×＝－.
2．cos (－15°)的值是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.cos (－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝
cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
3．计算cos cos ＋cos sin 的值是(　　)
A．0 B． C． D．
【解析】选C.cos cos ＋cos sin
＝cos cos ＋sin sin ＝cos
＝cos ＝.
4．已知锐角α，β满足cos α＝，cos (α＋β)＝－，则cos β等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
【解析】选A.因为α，β为锐角，cos α＝，cos (α＋β)＝－，所以sin α＝，sin (α＋β)＝，所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.
5．sin 75°＝________．
【解析】sin 75°＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝×＋×＝.
答案：
6．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________．
【解析】cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos (65°－20°)＝cos 45°＝.
答案：
7．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α＋β)＝，求cos β的值．
【解析】因为α，β都是锐角且cos α＝<，所以<α<，0<β<，所以<α＋β<π，又sin (α＋β)＝<，所以π<α＋β<π，所以cos (α＋β)＝－＝－，sinα＝＝，所以cosβ＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－×＋×＝.
一、单选题
1．cos 70°cos 335°＋sin 110°sin 25°的值为(　　)
A．1 B． C． D．
【解析】选B.原式＝cos 70°cos 25°＋sin 70°sin 25°＝
cos (70°－25°)＝cos 45°＝.
2．满足cos αcos β＝＋sin αsin β的一组α，β的值为(　　)
A．α＝，β＝　　　 B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
【解析】选A.原等式可化为cos αcos β－sin αsin β＝，即cos (α＋β)＝，经检验，A选项符合．
3．若cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝，则tan α·tan β的值为(　　)
A．2 B． C．－2 D．－
【解析】选B.由cos (α＋β)＝，cos (α－β)＝可得
则sin αsin β＝，cos αcos β＝.
故tan αtan β＝＝＝.
二、填空题
4．已知α为三角形的内角且cos α＋sin α＝，则α＝________．
【解析】因为cos α＋sin α＝cos cos α＋sin sin α＝cos ＝，因为0<α<π，
所以－<α－<，所以α－＝，α＝.
答案：π
5．已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，则α＋β＝________．
【解析】因为α，β均为钝角，
所以cos α＝－＝－，
cosβ＝－＝－.
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.
由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，所以α＋β＝.
答案：
三、解答题
6．已知cos α＝，且α为第一象限角，求cos ，sin 的值．
【解析】因为cos α＝，且α为第一象限角，
所以sin α＝＝＝.
所以cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝.
sin ＝cos ＝cos
＝.
【加固训练】
已知在△ABC中，sin A＝，cos B＝，求cos C的值．
【解析】因为cos B＝<，
所以B∈且sin B＝.
因为sin A＝<，所以A∈∪.
若A∈，又B∈，则A＋B∈，这与A＋B＋C＝π矛盾，所以A ，故A∈.由sin A＝，得cos A＝.
所以cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝
－cos A cos B＋sin A sin B＝－×＋×＝.
一、选择题
1．若cos 5x cos (－2x)－sin (－5x)sin 2x＝0，则x的值可能是(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.因为cos 5x cos (－2x)－sin (－5x)sin 2x＝cos 5x cos 2x＋
sin 5x sin 2x＝cos (5x－2x)＝cos 3x＝0，
所以3x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，所以当k＝0时，x＝.
2．若sin α＝，α∈，则cos 的值为(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
【解析】选C.因为sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－＝－，
所以cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×＝－.
3．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是(　　)
A．3≤m≤5　　　 B．－5≤m≤5
C．3【解析】选A.因为sin x＋cos x
＝cos x cos ＋sin x sin ＝cos ＝4－m，
所以|4－m|≤1，解得3≤m≤5.
4．(多选)下列各式化简正确的是(　　)
A．cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°＝cos 60°
B．cos75°＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°
C．sin (α＋45°)sin α＋cos (α＋45°)cos α＝cos 45°
D．cos＝cos α－sin α
【解析】选ABC.根据两角和与差的余弦公式知，A，B，C均正确，cos ＝cos α－sin α，D选项错误．
二、填空题
5．已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cos ∠POQ＝________．
【解析】由题意可得，cos ∠xOP＝，
所以sin ∠xOP＝.
再根据cos ∠xOQ＝，
可得sin ∠xOQ＝－，
所以cos ∠POQ＝cos (∠xOP＋∠xOQ)＝cos ∠xOP·cos ∠xOQ－sin ∠xOP·sin ∠xOQ＝×－×＝.
答案：
6．已知点P(1，)是角α终边上一点，则 sin α·cos α＝________，cos ＝________．
【解析】由题意可得sin α＝，cos α＝，
所以sin αcos α＝×＝；cos ＝cos cos α＋sin sin α＝×＋×＝.
答案：　
三、解答题
7．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈(0，).
求：(1)cos (2α－β)的值；
(2)β的值．
【解析】(1)因为α，β∈，所以α－β∈，又sin (α－β)＝>0，所以0<α－β<，所以cos (α－β)＝＝，
因为cosα＝，所以sin α＝＝，cos(2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β)＝×－×＝.
(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝×＋×＝，又因为β∈，所以β＝.
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7(共32张PPT)
10.1.2　两角和与差的正弦
基础认知·自主学习
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和
的正弦 S(α+β) sin(α+β)=______________________ α,β∈R
两角差
的正弦 S(α-β) sin(α-β)=_____________________ α,β∈R
sin αcos β+cos αsin β
sin αcos β-cos αsin β
学情诊断·课时测评两角和与差的正弦
1．两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α+β) sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β α,β∈R
两角差的正弦 S(α-β) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β α,β∈R
2.辅助角公式
辅助角公式：a sin x＋b cos x＝·sin (x＋φ)(或a sin x＋b cos x＝·cos (x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝(或cos φ＝，sin φ＝).
1．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)
A．－　　 B．－
C．　 D．
【解析】选B.因为sin 245°＝sin (155°＋90°)＝cos 155°，sin 125°＝sin (90°＋35°)＝cos 35°，所以原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°
＝cos (155°－35°)＝cos 120°＝－.
2．函数f(x)＝sin x－cos 的值域为(　　)
A．[－2，2]　　　　　 B．
C．[－1，1] D．
【解析】选B.f(x)＝sin x－cos ＝sin x－cos x＋sin x＝sin x
－cos x＝sin ，所以函数f(x)的值域为.
3．在△ABC中，A＝15°，则sin A－cos (B＋C)的值为(　　)
A． B． C． D．2
【解析】选C.原式＝sin A＋cos A＝2sin (A＋30°)＝2sin 45°＝.
4．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin ＝________．
【解析】因为cos α＝－，α是第三象限的角，
所以sin α＝－＝－，
所以sin＝sin α－cos α＝×－×＝－.
答案：－
5．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________．
【解析】原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°
＝sin (25°＋35°)＝sin 60°＝.
答案：
6．sin (45°＋A)－sin (45°－A)＝________．
【解析】sin (45°＋A)－sin (45°－A)＝2cos 45°sin A
＝sin A.
答案：sin A
7．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<.
(1)把f(x)化成A sin (ωx＋φ)或A cos (ωx＋φ)的形式；
(2)判断f(x)在上的单调性，并求f(x)的最大值．
【解析】(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋
sin x＝2＝2sin .
(2)因为0≤x<，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减．所以当x＝时，f(x)有最大值2.
一、单选题
1．下面各式中，不正确的是(　　)
A．sin ＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos ＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
【解析】选D.因为sin ＝，所以A正确；
因为cos ＝－cos ＝－cos ，所以B正确；
cos ＝cos ，所以C正确；
因为cos ＝cos ≠cos －cos ，所以D不正确．
2．(教材二次开发：练习改编)化简：sin 21°cos 81°－cos 21°·sin 81°等于(　　)
A．　　　B．－　　　C．　　　D．－
【解析】选D.原式＝sin (21°－81°)＝－sin 60°＝－.
3．已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin (α－β)等于(　　)
A．　　　B．　　　C．－　　　D．－
【解析】选A.因为α是第二象限角， 且sin α＝，
所以cos α＝－.
又因为β是第四象限角，cos β＝，
所以sin β＝－.sin (α－β)＝sin α cos β－cos α sin β＝×－×＝＝.
二、填空题
4．cos 105°＋sin 195°的值为________．
【解析】cos 105°＋sin 195°＝cos 105°＋sin (90°＋105°)＝2cos 105°
＝2cos (135°－30°)
＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)
＝2＝.
答案：
5．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin (α＋β)＝________．
【解析】因为sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
所以①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，所以sin αcos β＋cos αsin β＝－，所以sin (α＋β)＝－.
答案：－
三、解答题
6．已知α，β是锐角，sin α＝，cos (α＋β)＝－，求sin β的值．
【解析】因为α是锐角，且sin α＝，
所以cos α＝＝＝.
又因为cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，
所以sin (α＋β)＝＝.
所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－×＝.
一、选择题
1．在△ABC中，2cos B sin A＝sin C，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【解析】选C.因为2cos B sin A＝sin C，
所以2cos B sin A＝sin (A＋B).
所以2cos B sin A＝sin A cos B＋cos A sin B.
所以sin A cos B－cos A sin B＝0，
所以sin (A－B)＝0.因为A，B是△ABC的内角，
所以A＝B.所以△ABC是等腰三角形．
2．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED等于(　　)
A.　　B．　　C．　　D．
【解析】选B.由题意知sin ∠BEC＝，cos ∠BEC＝，∠BED＝，又∠CED＝－∠BEC，所以sin ∠CED＝sin cos ∠BEC－cos sin ∠BEC＝×－×＝.
3．已知1－sin ＝cos ，则cos 2的值为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.因为1－sin ＝cos ，
所以1－sin θ－cos θ＝sin θ，
所以sin θ＋cos θ＝1，
所以sin ＝，
所以cos 2＝1－sin 2＝1－＝.
4．(多选)已知θ是锐角，那么下列各值中sin θ＋cos θ不能取得的值是(　　)
A．　　 B．　　 C．　　 D．
【解析】选BCD.因为0＜θ＜，所以θ＋∈，所以＜sin ≤1，又sin θ＋cos θ＝sin ，所以1＜sin θ＋cos θ≤.
二、填空题
5．已知sin ＝－，则cos x＋cos 的值为________.
【解析】cos x＋cos ＝cos x＋cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝
＝sin ＝－1.
答案：－1
6．已知sin α＝－，α∈，cos β＝－，β∈，则cos (α＋β)＝ ________，sin (α＋β)＝________．
【解析】由题意得，cos α＝－，sin β＝，
所以cos (α＋β)＝×－×＝，sin (α＋β)＝×＋×＝.
答案：　
三、解答题
7．已知M(1＋cos 2x，1)，N(1，sin 2x＋a)，若f(x)＝·(O为坐标原点).
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值．
【解析】(1)f(x)＝·＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a，
所以f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋a＋1.
(2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＋a＋1
＝2sin ＋a＋1，
因为x∈，所以2x＋∈.
所以当2x＋＝时，
即x＝时，f(x)取得最大值为3＋a，
所以3＋a＝4，所以a＝1.
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7(共71张PPT)
10.1.3　两角和与差的正切
基础认知·自主学习
且tan α·tan β≠-1
学情诊断·课时测评
素养培优练
C
0
P
Q
M
T N
A
B两角和与差的正切
两角和与差的正切公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正切 T(α+β) tan(α+β)= α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠1
两角差的正切 T(α-β) tan(α-β)= α,β,α-β≠kπ+ (k∈Z)且tan α·tan β≠-1
1．设角θ的终边过点(2，3)，则tan ＝(　　)
A． B．－ C．5 D．－5
【解析】选A.由于角θ的终边过点(2，3)，因此tan θ＝，故tan ＝＝＝.
2．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于(　　)
A． B．1 C． D．
【解析】选B.原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝
tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.
3．已知tan α＋tan β＝2，tan (α＋β)＝4，则tan αtan β等于(　　)
A．2 B．1 C． D．4
【解析】选C.因为tan (α＋β)＝＝4且tan α＋tan β＝2，所以＝4，解得tan αtan β＝.
4．求值：tan ＝________．
【解析】tan ＝－tan ＝－tan ＝－＝－＝－2＋.
答案：－2＋
5．已知tan α＝2，则tan ＝________．
【解析】tan ＝＝＝－3.
答案：－3
6.＝________．
【解析】原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.
答案：
7．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan 的值．
【解析】因为α＋＝(α＋β)－，
所以tan ＝tan
＝＝＝.
一、单选题
1．已知cos α＝－，且α∈，则tan 等于(　　)
A．－ B．－7 C． D．7
【解析】选D.因为cos α＝－，且α∈，
所以sin α＝，
所以tan α＝＝－，
所以tan ＝＝7.
2．已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.tan (α＋β)＝＝＝1，
又因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
3.的值等于(　　)
A．－1 B．1 C． D．－
【解析】选D.因为tan 60°＝tan (10°＋50°)＝，
所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.
所以原式＝＝－.
二、填空题
4．若tan ＝3，则tan α的值为________．
【解析】tan α＝tan
＝＝
＝
＝＝.
答案：
5．tan 72°－tan 42°－tan 72°tan 42°＝________．
【解析】原式＝tan (72°－42°)(1＋tan 72°·tan 42°)－tan 72°tan 42°
＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－tan 30°tan 72°tan 42°＝tan 30°＝.
答案：
三、解答题
6．已知tan (α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(－π，0)，求2α－β的值．
【解析】因为α＝(α－β)＋β，tan (α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(－π，0)，
所以tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝＝.
又2α－β＝α＋(α－β)，
所以tan (2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝＝1.
而tan α＝>0，tan β＝－<0，α，β∈(－π，0)，
则α∈，β∈，
所以α－β∈(－π，0)，
而tan (α－β)＝>0，则α－β∈，
结合α∈，则有2α－β∈(－2π，－π)，
所以2α－β＝－.
一、选择题
1．已知tan ＝，则tan α＝(　　)
A． B．－ C．5 D．－5
【解析】选B.因为tan ＝
＝＝，所以tan α＝－.
【加固训练】
若＝，则tan ＝(　　)
A．－2　　　B．2　　　C．－　　　D．
【解析】选C.因为＝，
所以＝，所以tan α＝－3.
所以tan ＝
＝＝－.
2．已知tan α＝lg (10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为(　　)
A．1　　　B．　　　C．1或　　　D．1或10
【解析】选C.因为α＋β＝，所以tan (α＋β)＝＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg (10a)＋lg ＝1－lg (10a)lg ，1＝1－lg (10a)lg ，所以lg (10a)lg ＝0，lg (10a)＝0或lg ＝0.得a＝或a＝1.
3．已知α，β为锐角，tan α＝，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－2
【解析】选C.因为α，β为锐角，
所以α＋β∈(0，π).
又因为cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝ ＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝ －，
因此，tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]
＝＝－.
【加固训练】
1.计算等于(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．
【解析】选A. ＝
＝tan 30°＝.
2.＝________．
【解析】＝
＝＝tan (15°－45°)
＝tan (－30°)＝－.
答案：－
4．(多选)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则(　　)
A．tan α＋tan β＝3 B．tan (α＋β)＝
C．tan α·tan β＝4 D．α＋β＝－
【解析】选BCD.由根与系数的关系得：
tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，
所以tan α<0，tan β<0，
所以tan (α＋β)＝＝＝，
又－<α<，－<β<，
且tan α<0，tan β<0，
所以－π<α＋β<0，
所以α＋β＝－.
二、填空题
5.＝________．
【解析】原式＝
＝＝tan 15°
＝tan (45°－30°)＝＝2－.
答案：2－
6．(1)tan (－75°)＝________；
(2)＝________．
【解析】(1)tan 75°＝tan (45°＋30°)
＝
＝＝＝＝2＋，
所以tan (－75°)＝－tan 75°＝－2－.
(2)原式＝tan (74°＋76°)＝tan 150°＝－.
答案：(1)－2－　(2)－
三、解答题
7．已知△ABC中tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，判断△ABC的形状．
【解析】由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)
＝＝＝－.
而0°＜A＜180°，所以A＝120°.
由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝，
而0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
(60分钟　100分)
一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1．已知tan α＝2，则sin sin ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
【解析】选B.sin sin ＝·
＝＝×＝×＝×＝.
2．已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于P，则sin α的值为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.因为锐角α绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于P，
所以2＋y2＝1，y＝或－(舍去)，P，
则sin ＝，cos ＝－，
故sin α＝sin ＝sin cos －
cos sin ＝×－×＝.
3．已知cos ＋sin α＝，则sin 的值为(　　)
A． B． C．－ D．－
【解析】选C.因为cos ＋sin α＝cos α＋ sin α＝，
所以cos α＋sin α＝.
所以sin ＝－sin
＝－＝－.
4．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C＝(　　)
A．－ B．　 C．－ D．
【解析】选D.因为A＝，所以cos A＝sin A＝，
又cos B＝，0＜B＜，所以sin B＝，又C＝π－(A＋B)，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.
5．已知函数f(x)＝cos 2x·cos φ－sin (2x＋π)·sin φ在x＝处取得最小值，则函数f的一个单调递减区间为(　　)
A． B．
C． D．
【解析】选D.因为f(x)＝cos 2x·cos φ－sin ·sin φ＝
cos 2x·cos φ＋sin 2x·sin φ＝cos ，
且f在x＝处有最小值，
所以f＝cos ＝－1，
所以－φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝－－2kπ，k∈Z，取φ的一个值为－
所以f＝cos ，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝0，
所以此时单调递减区间为.
6．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
【解析】选A.因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan B＝，tan A tan B＝，
所以tan (A＋B)＝＝ ，
所以0所以△ABC是钝角三角形．
7．(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
【解析】选C.由f(x)＝sin ＋cos
可得f(x)＝sin ，故周期为T＝＝＝6π，最大值为.
8．(多选)(2021·潍坊高一检测)若tan x1，tan x2是方程x2－kx＋2＝0 的两个不相等的正根，则下列结论正确的是(　　)
A．tan x1＋tan x2＝－k B．tan (x1＋x2)＝－k
C．k>2 D．k>2或k<－2
【解析】选BC.因为tan x1，tan x2是方程x2－kx＋2＝0的两个不相等的正根，
所以tan x1＋tan x2＝k，tan x1·tan x2＝2，
所以tan (x1＋x2)＝＝－k，
所以tan x1＋tan x2≥2＝2，
因为tan x1≠tan x2，所以k>2.
9．(多选)下列式子中叙述正确的为(　　)
A．tan ＝
B．存在α、β，满足tan (α－β)＝tan α－tan β
C．存在α、β，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β
D．对任意α、β，tan (α＋β)＝tan α＋tan β
【解析】选ABC.tan ＝，A正确．
存在α＝β＝，满足tan (α－β)＝tan α－tan β，B正确．
存在α＝0，β＝，满足tan (α＋β)＝tan α＋tan β，C正确．对任意α、β，tan (α＋β)＝，D不正确．
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．已知tan α＝2，tan β＝－3，其中0°<α<90°，90°<β<180°，则＝________，α－β＝________．
【解析】＝＝－7.
因为tan (α－β)＝＝－1，
又0°<α<90°，90°<β<180°，
所以－180°<α－β<0°，所以α－β＝－45°.
答案：－7　－45°
11．已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，cos ＝，且β∈，则sin β＝________．
【解析】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以sin α＝，cos α＝，又<，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
因为β∈，所以2kπ<α＋β<2kπ＋，k∈Z，
因为cos ＝，所以sin ＝，
所以sin β＝sin ＝sin cos α－
cos sin α＝×－×＝.
答案：
12．(2021·杭州高一检测)函数f＝2－的最小正周期为________，f的值域为________．
【解析】首先由f＝2|sin x|－|cos x|两项的系数特征知，周期是π的正整数倍，而f(x＋π)＝2|sin (x＋π)|－|cos (x＋π)|＝2|sin x|－|cos x|＝f(x)，故最小正周期是π；
最小正周期是π，故只研究x∈的值域即可．
当x∈时，f＝2sin x－cos x＝
sin ，，
则x－φ∈ ，f(x)递增，故x－φ＝－φ时，
f(x)min＝sin ＝－×＝－1，
当x－φ＝－φ时，f(x)max＝sin ＝×＝2，即值域为；
当x∈时，f＝2sin x＋cos x＝sin ，
，
则x＋φ∈ ，f(x)递减，故值域为，即，
综上，f(x)值域为.
答案：π　
三、解答题(每小题10分，共40分)
13．已知0<α<，－<β<0，且α，β满足sin α＝，cos β＝，求α－β.
【解析】因为0<α<，－<β<0，
且sin α＝，cos β＝，
故cos α＝＝＝，
sinβ＝－＝－＝－，
由0<α<，－<β<0得，0<α－β<π，
故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
又cos (α－β)>0，所以α－β为锐角，所以α－β＝.
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
【解题指南】先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)，进而得到α＋2β的值．
【解析】由条件得cos α＝，cos β＝，
因为α，β为锐角，
所以sin α＝，sin β＝，
所以tan α＝7，tan β＝.
(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝.
15．已知函数f＝2sin cos ＋2sin x cos x.
(1)求f单调递增区间；
(2)若f＝，且α∈，求sin α的值．
【解析】(1)f＝sin ＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin ，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋，
则函数单调递增区间为.
(2)由f＝得2sin ＝，
即sin ＝，
由α∈，α＋∈，
可得cos ＝－，
则sin α＝sin ＝sin cos －
cos sin ，
所以sin α＝×＋×＝.
16．如图，在某小区内有一形状为正三角形ABC的草地，该正三角形的边长为20米，在C点处有一喷灌喷头，该喷头喷出的水的射程为10米，其喷射的水刚好能洒满以C为圆心，以10米为半径的圆，在△ABC内部的扇形CPQ区域内，现要在该三角形内修一个直线型步行道，该步行道的两个端点M，N分别在线段CA，CB上，并且与扇形的弧相切于△ABC内的T点，步道宽度忽略不计，设∠MCT＝α.
(1)试用α表示该步行道MN的长度；
(2)试求出该步行道MN的长度的最小值，并指出此时α的值．
【解析】(1)因为∠ACB＝，所以∠NCT＝－α，
因为MN与扇形弧PQ相切于点T，所以CT⊥MN.
在Rt△CMT中，因为CT＝10，
所以MT＝10tan α，
在Rt△CNT中，∠NCT＝－α，
所以NT＝10tan (－α)，
所以MN＝10tan α＋10tan ，其中0<α<.
(2)因为0<α<，
所以0令1＋tan α＝t，其中1则MN＝10＝
10＝≥，
当且仅当t＝时
即t＝2，α＝时MN的最小值为，
故当α＝时步行道的长度有最小值.
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