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(共46张PPT)
第11章　解 三 角 形
11．1　余 弦 定 理
第1课时　余弦定理(1)
基础认知·自主学习
余弦
定理 公式
表达 a2= _____________,
b2= _____________,
c2= _____________
语言
叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这
两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论 cos A=________,cos B=________,cos C=________
b2+c2-2bccos A
a2+c2-2accos B
a2+b2-2abcos C
2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的______________和它们的_____________叫作三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的________求其他____的过程叫作解三角形．
三个角A，B，C
对边 a，b，c
几个元素
元素
【解析】选C.b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，
所以b＝7(负值舍去).
3．(教材练习改编)已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
4．在△ABC中，若2a cos B＝c，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
5．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________．
学情诊断·课时测评
【解析】选A.由余弦定理得，AB2＝BC2＋AC 2－2BC·AC cos C，将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).
4．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则b为(　　)
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
【解析】选B.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.
因为b>0，所以b＝8.
3．李华要去投放两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走(　　)
A．50米 B．57米 C．64米 D．70米
【思路导引】画出图形，在△ABC中，利用余弦定理，即可求解AC的长，得到答案．第1课时　余弦定理(1)
余弦定理 公式表达 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C
语言叙述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
推论 cos A=,cos B=,cos C=
2.三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边__a，b，c叫作三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．
1．在△ABC中，已知B＝120°，a＝3，c＝5，则b等于(　　)
A．4 B．
C．7 D．5
【解析】选C.b2＝a2＋c2－2ac cos B
＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，
所以b＝7(负值舍去).
2．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝，则b＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．
【解析】选A.由余弦定理知
()2＝a2＋b2－2ab cos 60°，
因为a＝4b，
所以13＝16b2＋b2－2×4b×b×，
解得b＝1(负值舍去).
3．(教材练习改编)已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．150°
【解析】选C.由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，
得(a＋b)2－c2＝ab，
所以c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，
所以cos C＝－，所以C＝120°.
4．在△ABC中，若2a cos B＝c，则△ABC的形状一定是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【解析】选C.因为2a cos B＝c，
所以2a·＝c，
所以a2＝b2，
所以a＝b.故△ABC为等腰三角形．
5．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝________．
【解析】由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝.
答案：
6．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．
【解析】5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，
所以x1＝，x2＝－2，所以cos C＝.
根据余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×＝16，所以c＝4，
即第三边c的长为4.
一、单选题
1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】选A.由余弦定理得，AB2＝BC2＋AC 2－2BC·AC cos C，将各值代入得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去).
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，则cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，c＝，则C＝(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．120°
【解析】选C.由题可知cos C＝
＝＝，因为C∈，故C＝60°.
4．在△ABC中，若a＝3，c＝7，C＝60°，则b为(　　)
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
【解析】选B.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.
因为b>0，所以b＝8.
5．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，则A等于(　　)
A．60° B．45° C．120° D．150°
【解析】选D.在△ABC中，因为a2＝b2＋c2＋bc
所以b2＋c2－a2＝－bc，
由余弦定理可得cos A＝＝＝－.又因为A∈(0，π)，所以A＝150°.
6．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　)
A． B． C． D．3
【解析】选B.由BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，
得cos A ＝.
因为A为△ABC的内角，
所以A＝，
所以AC边上的高为AB·sin A＝3×＝.
二、填空题
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则边c＝________．
【解析】由题意得：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab
＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝.
答案：
8．在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，则角C＝______.
【解析】由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
所以a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，所以C＝120°.
当a＝6时，因为32＋(3)2＝9＋27＝36＝62.
所以A＝90°，所以C＝60°.
答案：60°或120°
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝________；sin B＝______．
【解析】因为b2＝ac，且c＝2a，
所以cos B＝＝＝，
sin B＝＝＝.
答案：　
10．在点O的正上方有气球P，从点O的正西方A点，测得气球P的仰角为30°，同时从点O南偏东60°的B点，测得气球P的仰角为45°.若A，B两点的距离为10m，则气球P离地面的距离为________m.
【解析】依题意可得图形，且∠OAP＝30°，∠AOB＝150°，∠OBP＝45°，AB＝10，∠AOP＝∠POB＝90°，
设OP＝x，则OB＝x，AO＝x，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝AO2＋BO2－2AO·BO·cos ∠AOB，
即(10)2＝(x)2＋x2－2·x·x·cos 150°，
解得x＝10或x＝－10(舍去).
答案：10
三、解答题
11．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C.
【解析】根据余弦定理的推论得，cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，cos C＝＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝.
所以B＝π－A－C＝π－－＝，
所以A＝，B＝，C＝.
12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－ac.
(1)求cos B的值；
(2)若b＝，且a＋c＝2b，求ac的值．
【解析】(1)由(a－c)2＝b2－ac，
可得a2＋c2－b2＝ac.
所以＝，即cos B＝.
(2)因为b＝，cos B＝，
由余弦定理得b2＝13＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－ac，又a＋c＝2b＝2，
所以13＝52－ac，解得ac＝12.
一、选择题
1．已知三角形三边之比为5∶7∶3，则最大角为(　　)
A．90° B．120°
C．135° D．150°
【解析】选B.因为三角形三边之比为5∶7∶3，
所以设三边长分别为5a，7a，3a，
所以长为7a的边对的角最大，设这个角为α，
由余弦定理得cos α＝＝－，
因为α是三角形的内角，所以α＝120°.
2．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，则A等于(　　)
A．90° B．60°
C．120° D．150°
【解析】选B.因为(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
因为0°3．李华要去投放两类垃圾，他从自家楼下出发，向正北方向走了80米，到达有害垃圾桶，随后向南偏东60°方向走了30米，到达可回收物垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走(　　)
A．50米 B．57米 C．64米 D．70米
【思路导引】画出图形，在△ABC中，利用余弦定理，即可求解AC的长，得到答案．
【解析】选D.由题意，设李华家为A，有害垃圾点为B，可回收垃圾点为C，
则李华的行走路线，如图所示在△ABC中因为AB＝80，BC＝30，B＝60°，
由余弦定理可得AC＝
＝＝70米，
即李华回到自家楼下至少还需走70米．
4．(多选)在△ABC中，a＝5，b＝7，c＝8，则下列角的正弦值等于的是(　　)
A．角B B．角C
C．角A＋B D．角A＋C
【解析】选AD.cos B＝＝，则B＝60°，A＋C＝120°，则sin B＝，sin (A＋C)＝.
二、填空题
5．已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，a＝2，B＝60°，则边c＝________．
【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋c2－2c＝12，解得c＝－2(舍去)或c＝4.
答案：4
6．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是________．
【解析】cos B＝＝＝＋≥，因为0答案：
7．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝b，
cos B＝cos C，a＝，则S△ABC＝________．
【解析】因为cos B＝cos C，
所以＝，结合c＝b，
化简得a＝b，从而有b2＋c2＝a2，
即△ABC为直角三角形，将c＝b，a＝
代入b2＋c2＝a2，得b＝1，于是c＝，
所以S△ABC＝bc＝.
答案：
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝4，c＝6，则bc cos A＋ac cos B＋bc cos C的值是________．
【解析】因为cos A＝，
所以bc cos A＝(b2＋c2－a2)，同理ac cos B＝(a2＋c2－b2)，ab cos C＝(a2＋b2－c2)，
所以bc cos A＋ac cos B＋ab cos C＝(a2＋b2＋c2)＝.
答案：
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2＝c2＋3ab.
(1)求C的值；
(2)若△ABC的面积为，c＝，求a，b的值．
【解析】(1)将等式(a＋b)2＝c2＋3ab变形为a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理得cos C＝＝＝，
因为0(2)由题意有
整理得
解得或
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝2a cos B.
(1)判断△ABC的形状；
(2)若c＝1，C＝，求△ABC的面积．
【解析】(1)因为c＝2a cos B，
所以c＝2a·，
所以a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，
所以a＝b，△ABC为等腰三角形．
(2)由(1)知a＝b，
所以cos C＝＝＝，
解得a2＝2＋，
所以S△ABC＝ab sin C＝a2sin C＝.
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9(共37张PPT)
第2课时　余弦定理(2)
学情诊断·课时测评
三、解答题
8.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两城市相距20 km，C，D两城市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离．
北
北
120
北
北
120°
B
A
C
风)1北
B
C
D第2课时　余弦定理(2)
一、单选题
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋b2－c2)·tan C＝ab，则角C的值为(　　)
A． B．
C．或 D．或
【解析】选C.在△ABC中，由已知等式整理得＝，即cos C＝.因为cos C≠0，所以sin C＝，因为C为△ABC内角，所以C＝或.
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【解析】选B.因为b cos C＋c cos B＝a sin A，所以由余弦定理得b·＋c·＝a sin A，整理，得a＝a sin A，所以sin A＝1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
故△ABC为直角三角形．
3．若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段(　　)
A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形
C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形
【解析】选B.因为三条线段的长为5，6，7，满足任意两边之和大于第三边，故能组成三角形，又因为三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝＝>0，所以最大角为锐角，所以能组成锐角三角形．
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　)
A． B． C． D．
【解析】选D.设顶角为C，因为周长l＝5c，
所以a＝b＝2c，
由余弦定理得cos C＝＝＝.
5．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状(　　)
A．是锐角三角形 B．是直角三角形
C．是钝角三角形 D．由增加的长度确定
【解析】选A.设原直角三角形三边分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2，则c为最大边，设增加的长度为x，则新三角形的三边长分别为a＋x，b＋x，c＋x，且c＋x所对的角最大，而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0.由余弦定理知新三角形最大角的余弦值为>0，最大角为锐角，所以新三角形为锐角三角形．
二、填空题
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b＝a＋1＝c＋2，且cos C＝，则△ABC的周长为________；△ABC是______三角形．
【解析】由余弦定理得cos C＝＝
＝，
解得a＝4.所以b＝5，c＝3.所以△ABC的周长为12.因为b2＝a2＋c2，所以△ABC为直角三角形．
答案：12　直角
7．在△ABC中，若b＝2，c＝2，C＝π，则a＝______；△ABC的面积为______．
【解析】因为c2＝a2＋b2－2ab cos C，
所以(2)2＝a2＋22－2a×2×cos ，
所以a2＋2a－8＝0，即(a＋4)(a－2)＝0，
所以a＝2或a＝－4(舍去).
所以AB边上的高h＝b cos 60°＝2×＝1，
所以△ABC的面积为×2×1＝.
答案：2　
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bc cos A＋
ca cos B＋ab cos C，则△ABC是______三角形．
【解析】由c2＝bc cos A＋ca cos B＋ab cos C，得
c2＝＋＋，
化简得c2＝a2＋b2，
所以C＝90°，所以△ABC是直角三角形．
答案：直角
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＝b cos B，且c＝2，sin C＝，求△ABC的面积．
【解析】因为在△ABC中，a cos A＝b cos B，
所以由余弦定理得a×＝b×，
整理得(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，
即a＝b或C＝(舍去).
因为c＝2，sin C＝，a＝b，
所以cos C＝±，即±＝，
解得a＝b＝或a＝b＝.
当a＝b＝时，S△ABC＝ab sin C＝3；
当a＝b＝时，S△ABC＝ab sin C＝.
10．如图，海面上一走私船正以每小时15海里的速度沿方位角120°方向航行，距离走私船18海里处的缉私艇测得该走私船当前的方位角为60°，并即刻以每小时21海里的速度径直追赶．
(1)求缉私艇追上走私船所需的最短时间；
(2)求缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值．
【解析】(1)如图所示，在C点处缉私艇赶上走私船，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°－120°)＝120°，AB＝18，设缉私艇追上走私船的最短时间为x小时，
则AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC；
即(21x)2＝182＋(15x)2－2×18×15x×cos 120°，
化简得4x2－5x－6＝0，
解得x＝2或x＝－(不合题意，舍去)；
所以缉私艇追上走私船所需的最短时间是2小时．
(2)在△ABC中，AB＝18，AC＝42，BC＝30，
所以cos ∠BAC＝＝，
所以sin ∠BAC＝＝，
cos α＝cos (∠BAC＋60°)＝cos ∠BAC cos 60°－sin ∠BAC sin 60°＝×－×＝－，
所以缉私艇用时最短的追赶方向(方位角α)的余弦值是－.
一、选择题
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，a＝，若a－b＝c cos B－c cos A，且a≠b，则△ABC的面积为(　　)
A．2 B． C． D．
【解题指南】利用余弦定理统一成边之后判断出三角形的形状，然后求其面积．
【解析】选B.因为a－b＝c cos B－c cos A，
所以a－b＝c·－c·，去分母得2a2b－2b2a＝a2b＋c2b－b3－(b2a＋c2a－a3)，
整理得ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2－c2)，
因为a≠b，所以ab＝a2＋ab＋b2－c2，即a2＋b2＝c2得△ABC为直角三角形，则S△ABC＝××＝.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2b2－2b2cos A，
所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，
所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0所以A＝.
3．(多选)在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是(　　)
A．a∶b∶c＝4∶5∶7
B．△ABC是钝角三角形
C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D．角C是最大角
【解析】选CD.因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，
所以可设(其中x>0)，
解得：a＝4x，b＝5x，c＝6x，
所以a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A错误；
由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，所以D正确．
又cos C＝＝＝>0，所以C角为锐角，所以B错误；
由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，
又cos A＝＝＝，
所以cos 2A＝2cos2A－1＝，
所以cos2A＝cos C.由三角形中C角最大且C角为锐角可得2A∈(0，π)，C∈，
所以2A＝C，所以C正确．
二、填空题
4．△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·的值为______；cos B＝______．
【解析】由余弦定理的推论知cos B＝＝，所以·＝||·||·cos (π－B)＝7×5×＝－19.
答案：－19　
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝a，则a，b的大小关系为______．
【解析】在△ABC中，c2＝a2＋b2－2ab cos 120°＝a2＋b2＋ab.因为c＝a，所以2a2＝a2＋b2＋ab，所以a2－b2＝ab>0，所以a2>b2，又a，b均为正数，所以a>b.
答案：a>b
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－b2＝4c2，cos A＝－，则＝______．
【解析】由已知得a2－b2＝4c2，由余弦定理可得
－＝cos A＝，
所以＝－，
所以＝，所以＝×4＝6.
答案：6
7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，则AC边上的中线长为________．
【解析】由已知条件，得cos A＝
＝＝.
设AC边上的中线长为x，
由余弦定理，得x2＝＋AB2－2··AB cos A＝42＋92－2×4×9×＝49，解得x＝7，所以所求中线长为7.
答案：7
三、解答题
8.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两城市相距20 km，C，D两城市相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离．
【解析】在△ABC中，由题意得AB－AC＝1.5×8＝12 (km).
在△ACD中，由题意得AD－AC＝1.5×20＝30 (km).
设AC＝x km，AB＝(12＋x) km，
AD＝(30＋x) km.
在△ABC中，cos ∠ACB＝＝＝，
在△ACD中，cos ∠ACD＝＝＝.
因为B，C，D在一条直线上，
所以＝－，即＝，
解得x＝.所以AB＝ km，AD＝ km.
即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.
9．已知△ABC同时满足下列四个条件中的三个：
①A＝；②cos B＝－；③a＝7；④b＝3.
(1)请指出这三个条件，并说明理由；
(2)求△ABC的边c.
【解析】(1)△ABC同时满足①，③，④.
理由如下：若△ABC同时满足①，②.
因为cos B＝－<－，且B∈(0，π)，所以B>π.
所以A＋B>π，矛盾．所以△ABC只能同时满足③④.
所以a>b，所以A>B，故△ABC不满足②.
故△ABC满足①，③，④.
(2)因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，
所以72＝32＋c2－2×3×c×.
解得c＝8，或c＝－5(舍).
所以边c为8.
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