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(共52张PPT)
11．2　正 弦 定 理
第1课时　正弦定理(1)
基础认知·自主学习
1．正弦定理
(1)
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论
_____ ＝ ＝ _____ ＝2R(R是△ABC外接圆的半径)
文字
叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的____的比相等
正弦
(2)本质：三角形中，边与其对角的正弦之间的关系．
(3)应用：求解三角形中的边或角；进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题．
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】选B.因为A，C是三角形ABC的内角，所以A＋C＜π，又因为sin A＝sin C，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形．
4．在锐角△ABC中，下列不等关系总成立的是(　　)
A．sin A＜cos B B．sin B＜cos A
C．sin A＞sin B D．sin B＞cos A
7．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
学情诊断·课时测评第1课时　正弦定理(1)
1．正弦定理
(1)
条件 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
结论 ＝＝＝2R(R是△ABC外接圆的半径)
文字叙述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
(2)本质：三角形中，边与其对角的正弦之间的关系．
(3)应用：求解三角形中的边或角；进行三角形中边角之间的互化从而判断三角形的形状或求解三角形的综合问题．
2．正弦定理的变形
若R为△ABC外接圆的半径，则
(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(4)＝2R；
(5)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B．
1．在△ABC中，一定成立的等式是(　　)
A．a cos A＝b cos B B．a sin B＝b sin A
C．a cos B＝b cos A D．a sin A＝b sin B
【解析】选B.选项B可化为＝，由正弦定理可知选项B正确．
2．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
【解析】选B.因为A，C是三角形ABC的内角，所以A＋C＜π，又因为sin A＝sin C，所以A＝C，即△ABC为等腰三角形．
3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B＝30°，b＝2，则的值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】选C.由正弦定理可得＝＝＝4.
4．在锐角△ABC中，下列不等关系总成立的是(　　)
A．sin A＜cos B B．sin B＜cos A
C．sin A＞sin B D．sin B＞cos A
【解析】选D.因为在锐角△ABC中，0A>－B>0，因为sin A>sin ＝cos B，故A选项不正确，
因为sin A与sin B大小不定，所以C选项不正确，
所以cos A所以B不正确，D选项正确．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B＝________.
【解析】因为＝，把A＝，a＝1，b＝代入，解得sin B＝.因为b＞a，所以B＞A，结合题意可知B＝或.
答案：或
6．在△ABC中，若＝，则B的度数为________．
【解析】根据正弦定理知，＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.
答案：45°
7．在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
【解析】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝10×＝10.
因为sin 75°＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，
所以b＝＝＝20×＝5＋5.
所以a＝10，b＝5＋5，B＝105°.
一、单选题
1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝(　　)
A．4 B．4 C．4 D．
【解析】选C.A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理＝，得b＝＝＝4.
2．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝30°，B＝45°，则＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.由正弦定理知，＝，
即＝，＝.
3．在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．60°
【解析】选C.由cos A＝，得sin A＝，A＝60°，由正弦定理得sin B＝＝.因为a＞b，所以B＝45°.
4．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选B.由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝.
因为AB＜AC，所以C＜B，
所以cos C＝＝.
5．已知△ABC中，A＝45°，a＝1，若△ABC仅有一解，
则b∈(　　)
A．{} B．(，＋∞)
C．{}∪(0，1] D．{}∪(0，1)
【解析】选C.由题中已知△ABC中A＝45°，a＝1，则c边上的高线长可表示为b sin45°＝b，因为三角形形状唯一，所以△ABC为直角三角形或钝角三角形，则a＝b或a≥b>0，所以b＝a＝或06．在△ABC中，a＝10，B＝60°，cos C＝，则c等于(　　)
A．20(＋2) B．20(－2)
C．＋2 D．20
【解析】选B.由cos C＝得
sin C＝＝＝，
sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C
＝×＋×＝.
由正弦定理得c＝a·＝10×＝10××＝20(－2).
二、填空题
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋b＝12，A＝60°，B＝45°，则a＝________．
【解析】在△ABC中，因为A＝60°，B＝45°，
由正弦定理＝，
可得＝＝，
解得b＝a，又因为a＋b＝12，
即a＋a＝12，解得a＝36－12.
答案：36－12
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
【解析】因为m∥n，
所以(a＋b)(sin B－sin A)－sin C(a＋c)＝0，
由正弦定理化简得(a＋b)(b－a)－c(a＋c)＝0，
整理得a2＋c2－b2＝－ac，
所以cos B＝－，
因为0答案：
9．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝60°，则BC＝________．
【解析】利用正弦定理＝，而C＝180°－(A＋B)＝75°，故BC＝＝＝3－.
答案：3－
10．△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，A＝60°，则角B＝________，△ABC的面积是________．
【解析】在△ABC中由正弦定理得＝，
则sin B＝＝＝，
又因为b所以B则C＝75°，则△ABC的面积为ab sin C＝××sin 75°＝.
答案：45°　　
三、解答题
11．在△ABC中，A＝60°，sin B＝，a＝3，求三角形中其余边与角的大小．
【解析】因为sin B＝，所以B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去．所以由正弦定理＝＝，得b＝·a＝×3＝，c＝·a＝×3＝2.
12．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
【解析】因为＝，
所以sin C＝＝＝.
因为0°＜C＜180°，
所以C＝60°或C＝120°.①
当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
所以b＝＋1，B＝75°，C＝60°
或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
一、选择题
1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝b，则角A等于(　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.因为2a sin B＝b，
由正弦定理可得：2sin A sin B＝sin B，
又sin B≠0，所以sin A＝.
因为△ABC为锐角三角形，所以A＝.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则角A为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】选A.因为sin C＝2sin B，
所以c＝2b，结合a2－b2＝bc，可得a2＝7b2，
所以cos A＝＝，
因为0°3．在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，b＝2，为使此三角形有两个，则a满足的条件是(　　)
A．0C．3【解析】选C.设C到AB的距离d＝b sin A＝3，
所以当3＜a＜2时符合条件的三角形有两个．
4．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的有(　　)
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B
C．在△ABC中，若＝，且(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则A＝120°
D．在△ABC中，sin 2A＝sin 2B＋sin 2C－2sin B sin C cos A
【解析】选ABD.对于A，由正弦定理＝＝，可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A正确；对于B，当A>B时，a>b，由正弦定理得sin A>sin B，所以B正确；对于C，由(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，所以A＝60°，故C错误；对于D，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A结合正弦定理得，sin 2A＝sin 2B＋sin 2C－2sin B sin C cos A，所以D正确．
二、填空题
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A＝，a＝，则＝________．
【解析】由cos A＝，得sin A＝，
故＝＝2.
答案：2
6．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则a的取值范围是________．
【解析】方法一：根据正弦定理＝＝＝2，故sin A＝，因为三角形有两解，故方法二：如图所示CD＝a·sin 45°＝a，
若三角形有两解，则a<2解得2答案：27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝2，b＝4，A＝120°，则△ABC的面积为________.
【解析】因为a＝2，b＝4，A＝120°，c>0，
又cos A＝，
所以cos 120°＝－＝，
解得c＝2，
所以S△ABC＝bc sin A＝×4×2sin 120°＝2.
答案：2
8．在△ABC中，D是AC的中点，且BC＝2BD，cos A＝，则＝________；若△BCD的面积为，则BD＝________．
【解析】设BD＝x(x>0)，则BC＝2x，在△ABC中，由余弦定理得AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4x2①，
在△ABD中，由余弦定理得AB2＋－2AB·cos A＝x2②，
①－②×4得3AB＝AC，从而＝.
将AC＝6AB代入①中，得AB＝x，
则AC＝x，
在△BCD中，cos ∠CBD＝＝，
则sin ∠CBD＝，
从而△BCD的面积为×x×2x×＝，得x＝2，因此BD＝2.
答案：　2
三、解答题
9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝－.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4，b＝4，求△ABC的面积．
【解析】(1)由正弦定理的边化角公式可得＝－，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以2cos A＝－1，即cos A＝－，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)由正弦定理＝得sin B＝＝＝.因为B∈，所以B＝，
所以C＝π－＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝×4×4×＝4.
10．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2，b＝6，A＝30°.
【解析】(1)a＝10，b＝20，a20sin 60°＝10，
所以a(2)a＝2，b＝6，a因为b sin A＝6sin 30°＝3，a>b sin A，
所以b sin A由正弦定理得sin B＝＝＝，
又因为0°所以B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，C＝90°，
c＝＝＝4；
当B＝120°时，
C＝30°，c＝＝＝2.
所以当B＝60°时，C＝90°，c＝4；
当B＝120°时，C＝30°，c＝2.
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10(共43张PPT)
第2课时　正弦定理(2)
学情诊断·课时测评
B
年15
105°
C
A
100米
A
B
C
D
A
B
D
C第2课时　正弦定理(2)
一、单选题
1．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【解析】选B.由题意有＝b＝，
则sin B＝1，即B为直角，故△ABC是直角三角形．
2．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】选C.三角形的面积：S＝·a2＝bc sin A，所以a2＝2bc sin A，
由余弦定理：cos A＝
可得：b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝2bc sin A＋2bc cos A，
所以＋＝＝2sin A＋2cos A
＝4sin ≤4，所以＋的最大值为4.
3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足＝＝，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理得＝＝，又＝＝，得＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．
4．在△ABC中∠A＝，a2＋b2－c2＝ab，c＝3，则a＝(　　)
A．2 B． C． D．3
【解析】选C.因为a2＋b2－c2＝ab，所以可得cos C＝＝＝.
因为C∈(0，π)，所以C＝，因为∠A＝，c＝3，所以由正弦定理＝，可得：＝，解得a＝.
5．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cos C＋c cos B＝2a cos A且△ABC的面积为，则B＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选C.由正弦定理及b cos C＋c cos B＝2a cos A，
得sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos A，
所以sin (B＋C)＝2sin A cos A，
又因为在△ABC中，sin (B＋C)＝sin A>0，
所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，
又S△ABC＝＝ab sin C，结合余弦定理cos C＝得＝ab sin C，所以tan C＝1.又C∈(0，π)，所以C＝，所以B＝π－－＝.
6．在△ABC中内角A，B，C所对边分别为a，b，c，A＝，b＝1，S△ABC＝，则的值等于(　　)
A． B．
C． D．2
【解析】选D.因为S△ABC＝bc sin A，
所以c＝＝＝4，
所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋48－2×1×4×＝37，所以a＝，
所以＝＝＝2.
二、填空题
7．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．
【解析】因为3sin A＝5sin B，
由正弦定理可得3a＝5b，即a＝b；
因为b＋c＝2a，所以c＝b，
所以cos C＝＝＝－，
而C∈(0，π)，所以C＝.
答案：
8．探险队为了测定帐篷A到山峰B的距离，在帐篷旁边选定100米长的基线AC，并测得∠C＝105°，∠B＝15°，则A，B两点间的距离为________．
【解析】由正弦定理得＝，
所以AB＝＝＝100(2＋).
即A，B两点间的距离为100(2＋)米．
答案：100(2＋)米
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝______；的值为______．
【解析】由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos 120°，
整理得：AC2＋5·AC－24＝0，
解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
所以由正弦定理可得＝＝.
答案：3　
10．△ABC是等边三角形，点D在边AC的延长线上，且AD＝3CD，BD＝2，则CD＝________；sin ∠ABD＝________．
【解析】如图所示，在等边△ABC中，AD＝3CD，所以AC＝2CD.
又BD＝2，
所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD，
即(2)2＝(2CD)2＋CD2－2·2CD·CD·cos 120°，
解得CD＝2(负值舍去)，所以AD＝6，
由＝得＝，
解得sin ∠ABD＝.
答案：2　
三、解答题
11．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．
【解析】方法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理
＝＝及sin2A＝sin2B＋sin 2C，
可得a2＝b2＋c2，
所以A是直角，B＋C＝90°，所以2sin B cos C
＝2sin B cos (90°－B)＝2sin 2B＝sin A＝1，
所以sin B＝.因为0°所以△ABC是等腰直角三角形．
方法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
＝＝及sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，
可得a2＝b2＋c2，所以A是直角．
因为A＝180°－(B＋C)，sin A＝2sin B cos C，
所以sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C
＝2sin B cos C，所以sin (B－C)＝0.
又－90°所以B－C＝0，所以B＝C，
所以△ABC是等腰直角三角形．
12．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sinBsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
【解析】(1)由已知得sin 2B＋sin 2C－sin 2A＝sin B sin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理的推论，得cos A＝＝.
因为0°(2)由(1)知B＝120°－C，
由题设及正弦定理得sin A＋sin ＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sin C，
可得cos ＝－.
由于0°故sin C＝sin
＝sin cos 60°－cos sin 60°＝.
一、选择题
1．在△ABC中，若3b＝2a sin B，cos A＝cos C，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】选C.由正弦定理知b＝2R·sin B，
a＝2R·sin A，则3b＝2a·sin B可化为：
3sin B＝2sin A·sin B.
因为0°所以sin A＝，所以A＝60°或120°，
又cos A＝cos C，所以A＝C，所以A＝60°，
所以△ABC为等边三角形．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若不等式x2－2x＋4>0的解集为且a＝，则B＝(　　)
A． B． C． D．
【解析】选A.由题意，不等式x2－2x＋4>0的解集为，
所以Δ＝42－16＝0，
即sin 2＝1，
又因为0所以sin ＝1，解得A＝，
所以不等式为x2－4x＋4＝(x－2)2>0，解得x≠2，所以c＝2，
又由a＝，根据正弦定理得＝，解得sin C＝1，所以C＝，又因为A＝，所以B＝.
3．(多选)在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有(　　)
A．b＝20，A＝45°，C＝80°
B．a＝30，c＝28，B＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝12，c＝15，A＝120°
【解析】选AB.对A已知两角，一边，三角形是确定的，只有唯一解；
对B已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，唯一；
对C由正弦定理得sin B＝＝＝<1，又b>a，即B>A，所以B可能为锐角，也可能为钝角，两解；对D中a二、填空题
4．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．
【解析】在△ABC中，因为b＝2，A＝120°，
三角形的面积S＝＝bc·sin A＝c·，
所以c＝2＝b，故B＝C＝(180°－A)＝30°，
再由正弦定理可得＝2R＝＝4，
所以三角形外接圆的半径R＝2.
答案：2
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，b＝(4＋
2)a cos B，且b＝1，则B＝________；△ABC的面积为________．
【解析】依题意A＝，b＝(4＋2)a cos B，由正弦定理得sin B＝(4＋2)sin cos B，解得tan B＝2＋，而tan ＝＝＝2＋，
而B∈(0，π)，所以B＝＋＝π，
则C＝π－－＝＝B，
所以c＝b＝1，所以S＝cb sin A＝×1×1×＝.
答案：　
6．已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝______．
【解析】由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2ab·cos C＝22＋42－2×2×4×＝12.
所以c＝2.
由正弦定理＝得，
sin A＝＝＝.
因为a答案：30°
7．在△ABC中，AB＝4，∠B＝，点D在边BC上，∠ADC＝，CD＝2，则AD＝________；△ACD的面积为________．
【解析】因为∠ADC＝，所以∠ADB＝，
在△ABD中由正弦定理得＝，AD＝＝＝4.
在△ACD中S△ACD＝AD×DC sin ∠CDA＝×4×2×＝2.
答案：4　2
三、解答题
8．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状．
【解析】在△ABC中，由＝，
可得＝，所以＝.
又因为a2tanB＝b2tan A，所以＝，
所以＝，所以sinA cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
9．(2020·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，c＝，B＝45°.
(1)求sin C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cos ∠ADC＝－，求tan ∠DAC的值．
【解析】(1)由余弦定理，得cos B＝cos 45°＝＝＝，因此b2＝5，即b＝，由正弦定理＝，得＝，因此sin C＝.
(2)因为cos ∠ADC＝－，
所以sin ∠ADC＝＝，
因为∠ADC∈，所以C∈，
所以cos C＝＝，
所以sin ∠DAC＝sin (π－∠DAC)
＝sin (∠ADC＋∠C)
＝sin ∠ADC cos C＋cos ∠ADC sin C＝，
因为∠DAC∈，
所以cos ∠DAC＝＝，
故tan ∠DAC＝＝.
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