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2013高中数学精讲精练 第八章 直线和圆的方程
【知识图解】
【方法点拨】
1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．
2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题.
3．熟练运用待定系数法求圆的方程．
4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．
5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．
6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．
第1课　直线的方程
【考点导读】
理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程．
高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.
【基础练习】
1. 直线xcosα＋y＋2＝0的倾斜角范围是
2. 过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是
3.直线l经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为
4.无论取任何实数，直线必经过一定点P，则P的坐标为（2，2）
【范例导析】
例1.已知两点A（－1，2）、B（m，3）
（1）求直线AB的斜率k；
（2）求直线AB的方程；
（3）已知实数m，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况.
解:（1）当m=－1时，直线AB的斜率不存在．
当m≠－1时，，
（2）当m=－1时，AB：x=－1，
当m≠1时，AB：.
（3）①当m=－1时，；
②当m≠－1时，
∵
∴
故综合①、②得，直线AB的倾斜角
点拨：本题容易忽视对分母等于0和斜率不存在情况的讨论.
例2.直线l过点P(2,1),且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B、O为坐标原点.
(1)当△AOB的面积最小时,求直线l的方程;
(2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线l的方程.
分析： 引进合适的变量,建立相应的目标函数,通过寻找函数最值的取得条件来求l的方程.
解 （1）设直线l的方程为y-1=k(x-2),则点A(2-,0),B(0,1-2k),且2->0, 1-2k>0,即k<0.
△AOB的面积S=(1-2k)(2-)=[(-4k)++4]≥4,当-4k=,即k=时, △AOB的面积有最小值4,则所求直线方程是x+2y-4=0.
(2)解法一:由题设,可令直线方程l为y-1=k(x-2).
分别令y=0和x=0,得A(2-,0),B(0,1-2k),
∴|PA|·|PB|=,当且仅当k2=1,即k=±1时, |PA|·|PB|取得最小值4.又k<0, ∴k=-1,这是直线l的方程是x+y-3=0.
解法二:如下图,设∠BAO=θ,由题意得θ∈(0,),且|PA|·|PB|=
当且仅当θ=时, |PA|·|PB|取得最小值4,此时直线l的斜率为-1, 直线l的方程是x+y-3=0.
点评 ①求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.②在研究最值问题时，可以从几何图形开始，找到取最值时的情形，也可以从代数角度出发，构建目标函数，利用函数的单调性或基本不等式等知识来求最值.
例3.直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段中点为P（－1，2）.求直线l的方程.
分析 本题关键是如何使用好中点坐标，对问题进行适当转化.
解：解法一 设直线l交l1于A（a，b），则点（－2－a，4－b）必在l2，所以有
，解得
直线l过A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x＋y＋1＝0.
解法二 由已知可设直线l与l1的交点为A（－1＋m，2＋n），则直线l与l2的交点为B（－1－m，2－n），且l的斜率k＝，∵A,B两点分别l1和l2上，∴，消去常数项得－3m＝n，所以k＝－3，
从而直线l的方程为3x＋y＋1＝0.
解法三 设l1、l2与l的交点分别为A,B，则l1关于点P（－1，2）对称的直线m过点B，利用对称关系可求得m的方程为4x＋y＋1＝0，因为直线l过点B，故直线l的方程可设为3x－5y－5＋λ（4x＋y＋1）＝0.由于直线l点P（－1，2），所以可求得λ＝－18，从而l的方程为3x－5y－5－18（4x＋y＋1）＝0，即3x＋y＋1＝0.
点评 本题主要复习有关线段中点的几种解法，本题也可以先设直线方程，然后求交点，再根据中点坐标求出直线l的斜率，但这种解法思路清晰，计算量大，解法一和解法二灵活运用中点坐标公式，使计算简化，对解法二还可以用来求已知中点坐标的圆锥曲线的弦所在直线方程，解法三是利用直线系方程求解，对学生的思维层次要求较高。
【反馈练习】
1.已知下列四个命题①经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0＝k(x-x0)表示；②经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)＝(x-x1)(y2-y1)表示；③不经过原点的直线都可以用方程+＝1表示；④经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx+b表示，其中正确的是①③④
2.设直线l的方程为,当直线l的斜率为-1时，k值为__5__,当直线l 在x轴、y轴上截距之和等于0时，k值为1或3
3.设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足的关系式为
4.若直线l：y＝kx与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是
5.若直线4x-3y-12＝0被两坐标轴截得的线段长为，则c的值为
6．若直线(m2─1)x─y─2m+1=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是
7.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P（2，3），求过两点Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直线方程
分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答
解：∵P（2，3）在已知直线上，∴ 2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0
∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－∴所求直线方程为y－b1=－（x－a1）
∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0
点拨：1.由已知求斜率; 2.运用了整体代入的思想，方法巧妙.
8.一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x－4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）
解：（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，
从而方程为8x－15y+6=0
（2）设直线方程为＋＝1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△AOB＝ab≥12，
此时＝，∴k＝－＝－
点拨：此题（2）也可以转化成关于a或b的一元函数后再求其最小值
第2课　两条直线的位置关系
【考点导读】
1.掌握两条直线平行与垂直的条件，能根据直线方程判定两条直线的位置关系，会求两条相交直线的交点，掌握点到直线的距离公式及两平行线间距离公式.
2.高考数学卷重点考察两直线平行与垂直的判定和点到直线的距离公式的运用，有时考察单一知识点,有时也和函数三角不等式等结合，题目难度中等偏易.
【基础练习】
1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为-8
2.过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为2x+y－1=0
3.若三条直线和相交于一点，则k的值等于 .
【范例导析】
例1.已知两条直线:x+m2y+6=0, :(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时, 与
（1） 相交；（2）平行；（3）重合？
分析：利用垂直、平行的充要条件解决.
解:当ｍ＝0时，：x＋６＝０，：x＝０，∴∥，
当ｍ＝2时，：x＋４y＋６＝０，：３y＋２＝０
∴与相交；
当m≠０且m≠２时，由得m＝－１或m＝３，由得m＝3
故（１）当m≠－１且m≠３且m≠０时与相交。
（２）m＝－１或m＝０时∥，
（３）当m＝３时与重合。
点拨：判断两条直线平行或垂直时，不要忘了考虑两条直线斜率是否存在.
例2.已知直线经过点P（3，1），且被两平行直线：x+y+1=0和：x+y+6=0截得的线段之长为5。求直线的方程。
分析：可以求出直线与两平行线的交点坐标，运用两点距离公式求出直线斜率
解法一：:若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=3，此时与、的交点分别是A1（3，-4）和
B1（3，-9），截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5，符合题意。若直线的斜率存在，则设的方程为y=k（x-3）+1，
解方程组得A（－）
解方程组 得B（，－）
由|AB|=5得
+=25，
解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1。
综上可知，所求的方程为x=3或y=1。
解法二.设直线与、分别相交于A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+y1+1=0，
x2+y2+6=0。两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①
又（x1-x2）2+（y1-y2）2=25 ②
联立① ②，可得或
由上可知，直线的倾斜角为0°或90°，又由直线过点P（3，1），故所求的方程为x=3或y=1。
点拨：用待定系数法求直线方程时，要注意对斜率不存在的情况的讨论.
【反馈练习】
1.已知直线在轴上的截距为1，且垂直于直线，则的方程是
2.若直线与互相垂直，则 -3或1
3.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a－1）y+（a2－1）=0平行，则a的值是___-1___.
4.已知，且点到直线的距离等于，则等于
5. 经过直线与的交点，且平行于直线的直线方程是3x+6y-2=0
6.线过点，过点，∥，且与之间的距离等于5，求与的方程。
解：与的方程分别为：12x-5y-60=0,12x-5y+5=0或x=5,x=0
7.已知ABC的三边方程分别为AB:，BC:，CA:.
求：（1）AB边上的高所在直线的方程；（2）∠BAC的内角平分线所在直线的方程.
解：（1）AB边上的高斜率为且过点C，解方程组得点C（，2）所以AB边上的高方程为.
（2）设P为∠BAC的内角平分线上任意一点，则解得或，由图形知即为所求.
第3课　圆的方程
【考点导读】
1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主.
【基础练习】
1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y－1)2 = 25
2.过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（x－1）2＋（y－1）2＝4
3.已知圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，则圆C的方程为
4.圆与y轴交于A、B两点，圆心为P，若∠APB=120°，则实数c值为_-11__
5.如果方程所表示的曲线关于直线对称，那么必有__D=E__
【范例导析】
【例1】 设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得： 该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消去m，得，由得x=m+3所求的轨迹方程是，
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中
变式1：方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
解：原方程可化为
当a时，原方程表示圆。
又
当，所以半径最小的圆方程为
例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆．
圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．
又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．
若两圆相切，则或．
(1)当时，，或(无解)，故可得．
∴所求圆方程为，或．
(2)当时，，或(无解)，故．
∴所求圆的方程为，或．
【反馈练习】
1.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C≠0,D2+E2-4AF＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+y2=4的内部，则k的范围是
4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
5.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是
6.方程表示的曲线是_两个半圆
7.圆关于直线的对称圆的方程是
8.如果实数x、y满足等式，那么的最大值是
9.已知点和圆，求一束光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x0,y0),则有,
解得 x0=4, y0=5,
∴半径r=,
∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为
又因为直线y=x截圆得弦长为2，
则有+=9b2，
解得b=±1故所求圆方程为
或
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.
第4课　直线与圆的位置关系
【考点导读】
能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.
【基础练习】
1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4
2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于
3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 x=2或3x-4y-2=0 .
【范例导析】
例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.
（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.
由得 即l恒过定点A（3，1）.
∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径）， ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.
（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－， ∴l的方程为2x－y－5=0.
点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时,可以从垂径定理角度考虑,充分利用圆的几何性质.
例2.已知圆O: ，圆C: ，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.求实数a、b间满足的等量关系.
解：连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1
∴|PO|2=|PC|2，从而
化简得实数a、b间满足的等量关系为: .
例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.
求圆C的方程.
解：设圆C半径为，由已知得： ∴，或
∴圆C方程为.
例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1, l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．
解：（1）直线设.
的倾斜角为，反射光线所在的直线方程为
. 即.
已知圆C与,
圆心C在过点D且与垂直的直线上， ,又圆心C在过点A且与垂直的直线上，,，圆C的半径r=3，
故所求圆C的方程为.
（2）设点关于的对称点，则，得,固定点Q可发现，当共线时，最小，
故的最小值为.此时由,得.
【反馈练习】
1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为
2.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是
3.设m>0,则直线(x+y)+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为相切或相离
解析：圆心到直线的距离为d=,圆半径为.
∵d-r=-=(m-2+1)=(-1)2≥0,∴直线与圆的位置关系是相切或相离.
4.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有个数为3
5.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标为
6.若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为
7.设P为圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为 1 .
8.已知平面区域恰好被面积最小的圆及其内
部所覆盖．
(1)试求圆的方程.
(2)若斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程.
解:(1)由题意知此平面区域表示的是以构成的三角形及其内部,且△是直角三角形, 所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是,所以圆的方程是.
(2)设直线的方程是:.
因为,
所以圆心到直线的距离是,
即
解得:.所以直线的方程是:.
点
中点坐标
两点间距离
圆
位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
方程形式
标准方程
一般方程
点到直线的距离
直
线
直线斜率与倾斜角
两条直线位置关系
平行
相交
垂直
方程形式
点斜式
斜截式
两点式
截距式
一般式
点与直线位置关系
直线与圆的方程
空间直角坐标系
y
x
O
P
E
F
B
A
例2图
例2
x
y
O
A
B
l2
l1
l
例42012高中数学精讲精练 第九章 圆锥曲线
【知识图解】
【方法点拨】
解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。
1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质.
2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力.
3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起重视.
4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程
第1课　椭圆A
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质;
2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
【基础练习】
1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
2.椭圆的离心率为
3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是
4. 已知椭圆的离心率，则的值为
【范例导析】
例1.（1）求经过点，且与椭圆有共同焦点的椭圆方程。
（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3,0）在该椭圆上，求椭圆的方程。
【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）∵椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为（），
由椭圆的定义知，
，
∴，又∵，∴，
所以，椭圆的标准方程为。
（2）方法一：①若焦点在x轴上，设方程为，
∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为.
②若焦点在y轴上，设方程为，
∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为
方法二：设椭圆方程为.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即,又∴，∴椭圆的方程为或.
【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中
.
例2.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
【分析】①列方程组求得P坐标；②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.
解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)
设点P(,),则=（+6, ）,=（－4, ）,由已知可得
则2+9－18=0, =或=－6.
由于>0,只能=,于是=. ∴点P的坐标是(,)
(2) 直线AP的方程是－+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是.
于是=,又－6≤≤6,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.
【反馈练习】
1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）
2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍
4.若椭圆的离心率,则的值为
5.．椭圆的右焦点到直线的距离为
6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或
7.椭圆上的点到直线的最大距离是
8. 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
分析：讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．
解：设两焦点为、，且，．
从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，
可求出，，从而．
∴所求椭圆方程为或．
第2课　椭圆B
【考点导读】
1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;
2. 能解决椭圆有关的综合性问题.
【基础练习】
1.曲线与曲线的（D）
A 焦点相同 B 离心率相等 C准线相同 D 焦距相等
2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是
3 离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是
【范例导析】
例1.椭圆（a>b>0）的二个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)，M是椭圆上一点，且。
求离心率e的取值范围.
分析:离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.
解：设点M的坐标为(x，y)，则，。由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。 ①
又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。
∵0≤≤，∴0≤≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。
又∵0＜＜1，∵≤≤1.
例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程；
(2)求弦AC中点的横坐标.
分析：第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.
解：(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.
故椭圆方程为=1.
(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(－x1),|F2C|=(－x2)，
由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(－x1)+(－x2)=2×,由此得出：x1+x2=8.
设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0==4.
【反馈练习】
1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为
3.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为
4.椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P 到它的右焦点的距离是 12
5.椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．
求证:；
证明：由椭圆方程知，，．
由圆锥曲线的统一定义知：，∴ ．
同理 ．
∵ ，且，
∴ ，即 ．
第3课　双曲线
【考点导读】
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质
2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
【基础练习】
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则
2. 方程表示双曲线，则的范围是
3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为
4. 已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为
【范例导析】
例1. (1) 已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程;
（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．
分析：由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值;③写出方程.
解：（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；
∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。
将分别代入方程①中，得方程组：
将和看着整体，解得，
∴即双曲线的标准方程为。
点评：本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。
（2）解法一：双曲线的渐近线方程为：
当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为
∵，∴ ①
∵在双曲线上
∴ ②
由①－②，得方程组无解
当焦点在y轴时，设双曲线方程为
∵，∴ ③
∵在双曲线上，∴ ④
由③④得，
∴所求双曲线方程为：且离心率
解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：
∵点在双曲线上，∴
∴所求双曲线方程为：，即．
点评：一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．
例2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)
解：如图:
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.
解：直线的方程为，即
由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，
同理得到点（－1，0）到直线的距离
由 即
于是得
解不等式，得 由于所以的取值范围是
点拨：本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.
【反馈练习】
1.双曲线的渐近线方程为
2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为
3.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是
4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=7
5.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程
6. （1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．
（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
解：（1）设所求双曲线方程为：，则，
∴，∴，∴所求双曲线方程为
（2）∵，∴或，∴渐近线方程为
当焦点在轴上时，由且，得．
∴所求双曲线方程为
当焦点在轴上时，由，且，得．
∴所求双曲线方程为
7.设双曲线的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．
分析：由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值．
解：由过两点，，得的方程为．
由点到的距离为，得．
将代入，平方后整理，得．
令，则．解得或．
而，有．故或．
因，故，
所以应舍去．故所求离心率．
说明：此题易得出错误答案：或．其原因是未注意到题设条件，从而离心率．而，故应舍去．
8.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．
（1）求双曲线方程；（2）若点在双曲线上，求证：；
（3）对于（2）中的点，求的面积．
解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得
∴ 双曲线方程为；
（2）由（1）可知，，， ∴ ，
∴ ，， ∴ ，
又点在双曲线上， ∴ ，
∴ ， 即；
（3） ∴的面积为6．
第4课　抛物线
【考点导读】
1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.
2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.
【基础练习】
1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是
2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
3.抛物线的焦点坐标是__(a,0)_
4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是
5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值
【范例导析】
例1. 给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．
解：设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，
∴d=｜PA｜=
==．
∵a＞0，x0≥0，
∴（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，
此时有x0=0时，dmin==a．
（2）当a≥1时，1－a≤0，
此时有x0=a－1时，dmin=．
例2.如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
分析：因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．
解：以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．
由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．
∴设曲线段C满足的抛物线方程为：其中、为A、B的横坐标
令则，
∴由两点间的距离公式，得方程组： 解得或
∵△AMN为锐角三角形，∴，则，
又B在曲线段C上，
则曲线段C的方程为
【反馈练习】
1.抛物线的准线方程是
2.抛物线的焦点到其准线的距离是
3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为
4.抛物线上的点到直线距离的最小值是
5.若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=
6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.
解：以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，
如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为(－10，－4）、(10，－4）
设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×(－4),解得p=12.5,
于是抛物线方程为x2=－25y.
由题意知E点坐标为(2，－4)，E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=
(－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.
7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.（1）求抛物线的方程；
（2）设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与直线l相切．
分析：可设抛物线方程为．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.
解：（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得∴所求抛物线方程为
（2）证明：作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：
在直角梯形中：
，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
点拨：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．
第5课　圆锥曲线的统一定义
【考点导读】
1. 了解圆锥曲线的第二定义.
2. 能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.
【基础练习】
1.抛物线的焦点的坐标是, 准线方程是
2..如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2
3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则=
4.点M与点F的距离比它到直线:的距离小1,则点的轨迹方程是
【范例导析】
例1.已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．
分析：（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．
解：∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为
①若，则，
∴准线方程为：，∴，∴
②若，则，
∴准线方程为：，∴，∴
∴所求双曲线方程为：或
点拨：求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.
例2.已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．
解：∵，，∴，∴
设点到与焦点相应准线的距离为则
∴，∴
至此，将问题转化成在双曲线上求一点，
使到定点的距离与到准线距离和最小．
即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，
解之得，点．
点拨：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．
【反馈练习】
1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则
2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为
3.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为
4　双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 8
第6课　圆锥曲线综合
【考点导读】
1. 在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.
2. 通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.
3. 能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.
【基础练习】
1. 给出下列四个结论：
①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；
③抛物线；
④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）。
其中所有正确结论的个数是4
2.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为
3.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是
【范例导析】
例1. 已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明为定值；
（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。
解：（1）F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为 B点的坐标为
由可得
因此
过A点的切线方程为 (1)
过B点的切线方程为 (2)
解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 即为定值
（2）=0可得三角形面积
所以
当且仅当时取等号
点拨：本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点
涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大
【反馈练习】
1.已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是
2.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则
3.设P是椭圆上一点，、 是椭圆的两个焦点，则的最小值是
4.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
5. 双曲线C与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是
6.已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则点到椭圆右焦点的距离等于__2 _
7.如图，点A是椭圆C：的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴，＝9,若点P的坐标为(0，1)，求椭圆C的方程.
8.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．求圆的方程.
解：设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2
即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得
m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
9.已知动圆过定点，且与直线相切，其中,求动圆圆心的轨迹的方程.
解：如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线
所以轨迹方程为；
定义
标准方程
椭圆
几何性质
标准方程
定义
几何性质
圆锥曲线
圆锥曲线应用
双曲线
标准方程
定义
抛物线
几何性质
例2
y
x
o
A
B
C
P
例2
例2
第6题
第9题2013高中数学精讲精练 第二章 函数
【知识导读】
【方法点拨】
函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．
1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．
2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．
3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．
4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．
第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．
【基础练习】
1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．
2.设集合，，从到有四种对应如图所示：
其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．
3.写出下列函数定义域：
(1) 的定义域为______________； (2) 的定义域为______________；
(3) 的定义域为______________； (4) 的定义域为_________________．
4．已知三个函数:(1)； (2)； (3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.写出下列函数值域：
(1) ，；值域是．
(2) ； 值域是．
(3) ，． 值域是．
【范例解析】
例1.设有函数组：①，；②，；
③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例2.求下列函数的定义域：① ； ② ；
解：（1）① 由题意得：解得且或且，
故定义域为．
② 由题意得：，解得，故定义域为．
例3.求下列函数的值域：
（1），；
（2）；
（3）．
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1） 解：，，函数的值域为；
（2） 解法一：由，，则，，故函数值域为．
解法二：由，则，，，，故函数值域为．
（3）解：令，则，，
当时，，故函数值域为．
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．
【反馈演练】
1．函数f(x)＝的定义域是___________．
2．函数的定义域为_________________．
3. 函数的值域为________________．
4. 函数的值域为_____________．
5．函数的定义域为_____________________．
6.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
(1) 求A；
(2) 若BA，求实数a的取值范围．
解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，
∴≤a<1或a≤－2，故当BA时， 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)．
第2课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．
【基础练习】
1.设函数，，则_________；__________．
2.设函数，,则_____3_______；；．
3.已知函数是一次函数，且，,则__15___．
4.设f(x)＝，则f[f()]＝_____________．
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式．
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
解法一：设，则解得
故所求的解析式为．
解法二：，抛物线有对称轴．故可设．
将点代入解得．故所求的解析式为．
解法三：设，由，知有两个根0，2，
可设，，
将点代入解得．故所求的解析式为．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．
例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，
点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
【反馈演练】
1．若，，则（ D ）
　　Ａ． 　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　Ｄ．
2．已知，且，则m等于________．
3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．
解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，
则
∵点在函数的图象上
∴．
第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1.下列函数中：
①； ②； ③； ④．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．
2.函数的递增区间是___ R ___．
3.函数的递减区间是__________．
4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；
③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；
④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______．
【范例解析】
例 . 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；
（2）函数在区间和上都是单调递增函数．
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
（2）对于区间内的任意两个值，，且，
因为，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
同理，对于区间，函数是单调增函数；
所以，函数在区间和上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
例2.确定函数的单调性．
分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，
则
又，，
，即．
所以，在区间上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．
【反馈演练】
1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．
2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___.
3. 函数的单调递增区间为.
4. 函数的单调递减区间为．
5. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设对于区间内的任意两个值，，且，
则，
，，得，，，即．
第4课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．
【基础练习】
1.给出4个函数：①；②；③；④．
其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．
2. 设函数为奇函数，则实数 －1 ．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
解：（1）定义域为，关于原点对称；,
所以为偶函数．
（2）定义域为，关于原点对称；，
，故为奇函数．
（3）定义域为，关于原点对称；，且，
所以既为奇函数又为偶函数．
（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．
（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．
（6）定义域为，关于原点对称；
，又，
，故为奇函数．
点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．
例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．
分析：奇函数若在原点有定义，则．
解：设，则，．
又是奇函数，，．
当时，．
综上，的解析式为．
作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．
点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
【反馈演练】
1．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）
A． B． C． D．
2. 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ B ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
3. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3 ___．
4．设函数为奇函数，则________．
5．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取
值范围是（－2，2）．
6. 已知函数是奇函数．又，,求a，b，c的值；
解：由，得，得．又，得，
而，得，解得．又，或1．
若，则，应舍去；若，则．
所以，．
综上，可知的值域为．
第5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像．图略；
（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像．图略；
（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像．如下图所示：
3.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；
（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；
（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；
（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．
4. 函数的图象是 （ B ）
【范例解析】
例1.作出函数及，，，，的图像．
分析：根据图像变换得到相应函数的图像．
解：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；
将的图像向左平移2个单位得到的图像；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．图略．
点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；与的图像关于原点对称；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．
例2.设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.
分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题．
解：（1）
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.
由于.
【反馈演练】
1．函数的图象是（ B ）
2. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到．
3．已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则=．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函数的简图：
（1）； （2）； （3）．
第6课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
【基础练习】
1. 已知二次函数,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为；顶点坐标为 ，与轴的交点坐标为，最小值为．
2. 二次函数的图像的对称轴为,则__－2___，顶点坐标为，递增区间为，递减区间为．
3. 函数的零点为．
4. 实系数方程两实根异号的充要条件为；有两正根的充要条件为；有两负根的充要条件为．
5. 已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．
【范例解析】
例1.设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性；
（2）若时，求的最小值．
分析：去绝对值．
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数．
当时，，，
，．
此时既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
由于在上的最小值为，在内的最小值为．
故函数在内的最小值为．
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．
例2.函数在区间的最大值记为，求的表达式．
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．
解：∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
点评：解答本题应注意两点：一是对时不能遗漏；二是对时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及在区间上的单调性．
【反馈演练】
1．函数是单调函数的充要条件是．
2．已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为．
3. 设，二次函数的图象为下列四图之一：
则a的值为 （ B ）
A．1 B．－1 C． D．
4．若不等式对于一切成立，则a的取值范围是．
5.若关于x的方程在有解，则实数m的取值范围是．
6.已知函数在有最小值，记作．
（1）求的表达式；
（2）求的最大值．
解：（1）由知对称轴方程为，
当时，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
综上，．
（2）当时，；当时，；当时，．故当时，的最大值为3．
7. 分别根据下列条件,求实数a的值：
（1）函数在在上有最大值2；
（2）函数在在上有最大值4．
解：（1）当时，，令，则；
当时，，令，（舍）；
当时，，即．
综上，可得或．
（2）当时，，即，则；
当时，，即，则．
综上，或．
8. 已知函数．
（1）对任意，比较与的大小；
（2）若时，有，求实数a的取值范围．
解：（1）对任意，，
故．
（2）又，得，即，
得，解得．
第7课 指数式与对数式
【考点导读】
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；
4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．
【基础练习】
1.写出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化简下列各式：
（1）；
（2）．
3.求值：（1）___－38____；
（2）____1____；
（3）_____3____．
【范例解析】
例1. 化简求值：
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值．
分析：先化简再求值．
解：（1）由，得，故；
又，；，故．
（2）由得；则．
点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．
例2.（1）求值：；
（2）已知，，求．
分析：化为同底．
解：（1）原式=；
（2）由，得；所以．
点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．
例3. 已知，且，求c的值．
分析：将a，b都用c表示．
解：由，得，；又，则，
得．，．
点评：三个方程三个未知数，消元法求解．
【反馈演练】
1．若，则．
2．设，则．
3．已知函数，若，则－b．
4．设函数若，则x0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．设已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于．
6．若，，则k =__－1__．
7．已知函数，且．
（1）求实数c的值；
（2）解不等式．
解：（1）因为，所以，
由，即，．
（2）由（1）得：
由得，当时，解得．
当时，解得，
所以的解集为．
第8课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
1.了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图像了解它们的变化情况；
2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
【基础练习】
1.指数函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．
2.把函数的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到的图像，则．
3.函数的定义域为___R__；单调递增区间；值域．
4.已知函数是奇函数，则实数a的取值．
5.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围．
6.已知函数过定点，则此定点坐标为．
【范例解析】
例1.比较各组值的大小：
（1），，，；
（2），，，其中；
（3），．
分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．
解：（1），而，
．
（2）且，．
（3）．
点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．
例2.已知定义域为的函数是奇函数,求的值；
解：因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函数，求证：
（1）函数在上是增函数；
（2）方程没有负根．
分析：注意反证法的运用．
证明：（1）设，，
，，又，所以，，，则
故函数在上是增函数．
（2）设存在，满足，则．又，
即，与假设矛盾，故方程没有负根．
点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．
【反馈演练】
1．函数对于任意的实数都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．设，则（ A ）
A．－23．将y=2x的图像 ( D ) 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数的图像．
A．先向左平行移动1个单位 B．先向右平行移动1个单位
C．先向上平行移动1个单位 D． 先向下平行移动1个单位
4．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为___2__．
6．若关于x的方程有实数根，求实数m的取值范围．
解：由得，，
7．已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）若在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．
解：（1）定义域为R，则，故是奇函数．
（2）设，，
当时，得，即；
当时，得，即；
综上，实数a的取值范围是．
第9课 对数函数及其性质
【考点导读】
1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；
2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；
3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．
【基础练习】
1. 函数的单调递增区间是．
2. 函数的单调减区间是．
【范例解析】
例1. （1）已知在是减函数，则实数的取值范围是_________．
（2）设函数，给出下列命题：
①有最小值； ②当时，的值域为；
③当时，的定义域为；
④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是．
则其中正确命题的序号是_____________．
分析：注意定义域，真数大于零．
解：（1），在上递减，要使在是减函数，则；又在上要大于零，即，即；综上，．
（2）①有无最小值与a的取值有关；②当时，，成立；
③当时，若的定义域为，则恒成立，即，即成立；④若在区间上单调递增，则解得，不成立．
点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．
例3.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
分析：利用定义证明复合函数的单调性．
解：x须满足所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
，所以是奇函数.
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1得>0，即在（0，1）内单调递减，
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.
点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．
【反馈演练】
1．给出下列四个数：①；②；③；④.其中值最大的序号是___④___.
2．设函数的图像过点，，则等于___5_ _．
3．函数的图象恒过定点，则定点的坐标是．
4．函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为．
5．函数的图象和函数的图象的交点个数有___3___个.
6．下列四个函数：①； ②；③；
④.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.
7．求函数,的最大值和最小值．
解：
令，，则，
即求函数在上的最大值和最小值．
故函数的最大值为0，最小值为．
8．已知函数．
（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性，并证明．
解：（1）解：由 ，故的定义域为．
（2），故为奇函数．
（3）证明：设，则，
．
当时，，故在上为减函数；同理在上也为减函数；
当时，，故在，上为增函数．
第10课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【基础练习】
1.函数在区间有_____1 ___个零点．
2.已知函数的图像是连续的，且与有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
－2.3 3.4 0 －1.3 －3.4 3.4
则在区间上的零点至少有___3__个．
【范例解析】
例1.是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，
则下列关于函数的结论：
①若a<0，则函数的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2③若a≠0，，则方程=0有两个实根；
④若，，则方程=0有三个实根．
其中，正确的结论有___________．
分析：利用图像将函数与方程进行互化．
解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．
点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．
例2.设，若，，．
求证：（1）且；
（2）方程在内有两个实根．
分析：利用，，进行消元代换．
证明：（1），，由，得，代入得：
，即，且，即，即证．
（2），又，．则两根分别在区间，内，得证．
点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点来考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布来做．
【反馈演练】
1． 设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．
2．设函数若，，则关于x的方程解的个数为 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ①②④ ．
4．设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围．
解：令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
5．已知函数是偶函数,求k的值；
解： 是偶函数，
由于此式对于一切恒成立，
6．已知二次函数．若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点.
证明：
的图象与x轴有两个交点.
第11课 函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．
2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．
【基础练习】
1今有一组实验数据如下：
1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
① ② ③ ④
其中最接近的一个的序号是______③_______．
2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 解不等式得.
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2+100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．
综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
【反馈演练】
1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________．
2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．
4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省
解：由题意得 xy+x2=8，∴y==(0则框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时，x=8－4，，
故当x为8－4m，y为m时，用料最省.
映射
特殊化
函数
具体化
一般化
概念
图像
表 示 方 法
定义域 值域
单调性 奇偶性
基本初等函数Ⅰ
幂函数
指数函数
对数函数
二次函数
指数
对数
互 逆
函数与方程
应用问题
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
1
2
2
x
O
④
y
且且
第5题
(0≤x≤2)
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例2
向上平移3个单位
向右平移1个单位
向右平移3个单位
作关于y轴对称的图形
O
y
x
1
－1
－1
O
y
x
图1
－1
O
y
x
图2
－1
O
y
x
图4
－1
O
y
x
图3
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
O
y
1
1
B．
x
O
y
x
1
1
A．
O
y
－1
1
D．
x
O
y
x
－1
1
C．
1
O
－1
1
x
y
第4题
第6题
第4题
x
y2013高中数学精讲精练 第七章 立体几何初步
【知识图解】
【方法点拨】
立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。在复习时我们要以下几点：
1．注意提高空间想象能力。在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
2．归纳总结，分门别类。从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3．抓主线，攻重点。针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
第1课 空间几何体
【考点导读】
1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；
3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】
1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有 14 条棱， 8 个面；②如果它是棱柱，那么它有 12 条棱 6 个面。
2.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 ③④ 。
（2）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图的 ②③ （要求：把可能的图的序号都填上）.
【范例导析】
例1．下列命题中，假命题是 （1）（3） 。（选出所有可能的答案）
（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体
分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。
（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱台还要看侧棱的延长线是否交于一点。
例2．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________。
解析：。
点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系。特别底和高的对应关系。
例3．（1）画出下列几何体的三视图
（2）某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状
分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。
解析：（1）这两个几何体的三视图分别如下：
（2）该几何体为一个正四棱锥。
点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。
【反馈演练】
1．一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是。
2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=。
解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3=πR2r。故。答案为。
点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
3．在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是。
4．空间四边形中，，，分别是边上的点，且为平行四边形，则四边形的周长的取值范围是__。
5．三棱锥中，，其余棱长均为1。
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积的最大值。
解：（1）取中点，∵与均为正三角形，
∴，
∴平面。
∴
(2)当平面时，三棱锥的高为，
此时
6．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角；
（2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得：,
即,
所以母线和底面所成的角为
(2)设截面与圆锥侧面的交线为MON，
其中O为截面与AC的交点，则OO1//AB且
在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，
则O为抛物线的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，
点N的坐标为（R，－R），代入方程得：R2=－2p（－R），
得：R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为.
说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考命题的新动向.
第2课 平面的性质与直线的位置关系
【考点导读】
1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。
2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。
3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。
【基础练习】
1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （3） 。
（1）∵，∴． （2）∵，∴．
（3）∵，∴． （4）∵，∴．
2．下列推断中，错误的是 （4） 。
（1）
（2），A,B,C不共线重合
（3）
（4）
3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ）
（3）两条直线可以确定一个平面（ ）
（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ）
（5）两条相交直线可以确定一个平面（ ）
（6）三条平行直线可以确定三个平面（ ）
（7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ）
（8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ）
⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×
4．如右图，点E是正方体的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是： 1 条
5．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，Aa，Da，Bb，Ec
求证：BD和AE是异面直线
证明：假设__ 共面于，则点A、E、B、D都在平面_ _内
Aa，Da，∴__γ. Pa，∴P__.
Pb，Bb，Pc，Ec ∴_ _， __，这与____矛盾
∴BD、AE__________
答案：假设BD、AE共面于，则点A、E、B、D都在平面 内。
∵Aa，Da，∴ a . ∵Pa，P .
∵Pb，Bb，Pc，Ec. ∴ b ，c ，这与a、b、c不共面矛盾
∴BD、AE是异面直线
【范例导析】
例1．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；（2）平面平面．
分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明，
也可以转化为直线共面的条件即几何证法。
解：法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
法二：（1）
∴
∴ 同理 又 ∴
∴共面；
（2）由（1）知：，从而可证
同理可证，所以，平面平面．
点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。
例2．已知空间四边形ABCD.
(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;
(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.
分析：证明两条直线异面通常采用反证法。
证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面，
所以A、B、C、D四点共面
这与空间四边形ABCD的定义矛盾
所以对角线AC与BD是异面直线
(2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC.
同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形.
又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角.
∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形.
(3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求.
点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。
例3．如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形
简证：由可以证得≌
所以 又可以由正方体的性质证明
所以四边形是平行四边形
例4：如图，已知平面，且是垂足．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，试判断平面与平面的位置关系，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）因为，所以．
同理．
又，故平面．
（Ⅱ）平面平面。证明如下：设与平面的交点为，
连结、．因为平面，所以，
所以是二面角的平面角．
又，所以，即．
在平面四边形中，，
所以．故平面平面．
【反馈演练】
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60 （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
答案：（1）× （2）× （3）√ （4）×
2．定点P不在△ABC所在平面内，过P作平面α，使△ABC的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 4 个。
3．给出以下四个命题：（1）若空间四点不共面，则其中无三点共线；（2）若直线上有一点在平面外，则该直线在平面外；（3）若直线a,b,c中，a与b共面且b与c共面，则a与c共面；（4）两两相交的三条直线共面。其中所有正确命题的序号是 (1)(2) 。
4．如图，已知（A,B不重合）
过A在平面α内作直线AC，过B在平面β内作直线BD。
求证：AC和BD是异面直线。
证明：（反证法）若AC和BD不是异面直线，
设确定平面γ，则由题意可知：平面α和γ都过AC和AC外一点B，所以两平面重合。
同理可证平面β和γ也重合，所以平面α和β也重合。
这与已知条件平面α和β相交矛盾。
所以AC和BD是异面直线。
第3课 空间中的平行关系
【考点导读】
1．掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2．明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3．要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】
1．若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是 异面或相交 。
2．给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线与同一平面所成的角相等,则互相平行.
④若直线是异面直线,则与都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是 4 个。
3．对于任意的直线l与平面a,在平面a内必有直线m,使m与l 垂直 。
4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥ca∥b；②a∥r，b∥ra∥b；③α∥c，β∥cα∥β；
④α∥r，β∥rα∥β；⑤a∥c，α∥ca∥α；⑥a∥r，α∥ra∥α．
其中正确的命题是 ①④ 。
【范例导析】
例1．如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形．
求证：AB∥平面EFG．
证明 ：∵面EFGH是截面．
∴点E，F，G，H分别在BC，BD，DA，AC上．
∴EH 面ABC，GF 面ABD，
由已知，EH∥GF．∴EH∥面ABD．
又 ∵EH 面BAC，面ABC∩面ABD=AB
∴EH∥AB．
∴AB∥面EFG．
例2． 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.
求证:MN∥平面AA1B1B.
分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。本题可以采用任何一种转化方式。
简证：法1：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABB1A1内找一条直线与MN平行，如图所示作平行线即可。
法2：把证“线面平行”转化为证“线线平行”。连CN并延长交直线BA于点P，
连B1P，就是所找直线，然后再设法证明MN∥B1P.
法3：把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M作MQ//BB1交BC于B1，连NQ,则平面MNQ与平面ABB1A1平行，
从而证得MN∥平面ABB1A1.
点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
【反馈演练】
1．对于平面和共面的直线、下列命题中真命题是（3）。
（1）若则　　　 　（2）若则
（3）若则　　 　　 （4）若、与所成的角相等，则
2. 设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 （2） 。
（1）经过直线a有且只有一个平面平行于直线b
（2）经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b
（3）存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面
（4）存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面
3．关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（4） 。
（1）若a∥M，b∥M，则a∥b （2）若a∥M，b⊥a，则b⊥M
（3）若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥M （4）若a⊥M，a∥N，则M⊥N
4．“任意的，均有”是“任意，均有”的 充要条件 。
5.在正方体AC1中，过A1C且平行于AB的截面是 面A1B1CD .
6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，经过其对角线BD1的平面分别与棱AA1,CC1相交于E,F两点，则四边形EBFD!的形状为 平行四边形 。
7. 已知Ｐ为平行四边形ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，
求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
证明 连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，
则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，
∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ，
∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．
8．如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）若，， 求异面直线与所成的角的大小
略证：（1）取PD的中点H，连接AH，
为平行四边形
(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以就是异面直线与所成的角，由，得，OM=2，ON=
所以，即异面直线与成的角
9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE。
证法一：作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，
则MP∥AB，NQ∥AB。
∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ，故四边形MPQN为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，
∴MN∥平面BCE。
证法二：如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，
∴
连结NH，由BF=AC，FN=AM，得
∴ NH//AF//BE
由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE
∴MN∥平面BCE。
第4课 空间中的垂直关系
【考点导读】
1．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关问题。
2．线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】
1．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的 必要 条件。
2．如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是 平行或相交 。
3．在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是 6 。
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内 。
5．在正方体中，写出过顶点A的一个平面__AB1D1_____，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】
例1．如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
（1）证明PA//平面EDB； （2）证明PB⊥平面EFD.
解析：本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
证明：（1）连结AC,AC交BD于O,连结EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点
在中,EO是中位线,∴PA // EO
而平面EDB且平面EDB,
所以,PA // 平面EDB
（2）∵PD⊥底面ABCD且底面ABCD,∴
∵PD=DC,可知是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线,
∴. ①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,∴BC⊥平面PDC.
而平面PDC,∴. ②
由①和②推得平面PBC. 而平面PBC,∴
又且,所以PB⊥平面EFD.
例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，
求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；
（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。
证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，
则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中点，∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。
例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，
∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．
（1） 求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，
会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。
分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。
证明：（1）如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中点，
∴ C1D ⊥A1B1 .∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。
∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ，
∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DF C1D ＝D ，∴ AB1 ⊥平面C1DF 。
点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。
【反馈演练】
1．下列命题中错误的是 （3） 。
（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线
（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直
（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面
（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
2．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若
，且”为真命题的是 ①③④ （填所有正确条件的代号）
①x为直线，y，z为平面 ②x，y，z为平面
③x，y为直线，z为平面 ④x，y为平面，z为直线
⑤x，y，z为直线
3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有___4__个。
4．若的中点到平面的距离为，点到平面的距离为，则点到平面 的距离为_2或14________。
5．命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。
命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。
答案：侧棱相等（或侧棱与底面所成角相等……）
6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： 。
答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β
7．在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在线段SA上取一点E（不含端点）使EC=AC，截面CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形；
（2）设SB的中点为M，当的值是多少时，能使△DMC为直角三角形？请给出证明.
解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB
面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵
又面
∴ 平面SAD，∴又
为直角梯形
(2)当时，为直角三角形 .
,
平面平面.
在中，为SB中点，.
平面平面 为直角三角形。
空间几何体
构成几何体
的基本元素
柱、锥、台、球的特征
直观认识线面平行与垂直
表面积与体积
中心投影与平行投影
直观图与三视图的画法
点、线、面之间的位置关系
平面的基本性质
确定平面的位置关系
空间中的平行关系
直线与直线的平行关系
直线与平面平行的判断及性质
平面与平面平行的判断及性质
空间中的垂直关系
直线与平面垂直的判断及性质
平面与平面垂直的判断及性质
直线与直线的垂直关系
① ② ③ ④
（2）
P
A
B
C
M
α
β
D
B
C
A
A
B
C
D
N
F
E
M
A11
B11
D11
C112013高中数学精讲精练 第十章 算法初步与框图
【知识图解】
【方法点拨】
1.学习算法要理解算法的含义.明确建立算法就是设计完成一件事的操作步骤.一般地说，这样的操作步骤应该具有通用性，能处理一类问题.
2.掌握算法的三种基本结构.顺序结构、条件结构和循环结构是算法的三种基本结构.要通.具体实例了解三种基本结构的使用范围，通过流程图认识它们的基本特征.
3.掌握流程图的画法.用流程图表示算法具有、清晰的特点，也是高考重点考查的内容，要予以重视.特别是循环结构的流程图，对判断框中的条件与前测试还是后测试之间的关系一定要弄清楚.
4.熟悉建立算法的基本操作程序.建立算法的操作程序一般为：先探寻解决问题的方法，并用通俗的语言进行表述，再将通俗的算法语言用流程图直观表示，最后根据流程图选择适当的算法语句用伪代码表示算法过程.
第1课 算法的含义
【考点导读】
正确理解算法的含义.掌握用自然语言分步骤表达算法的方法. 高考要求对算法的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.
【基础练习】
1．下列语句中是算法的个数为 3个
①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；
②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；
④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公式求出该三角
形的面积.
2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5 min）、刷水壶（2 min）、烧水（8 min）、泡面（3 min）、吃饭（10 min）、
听广播（8 min）几个步骤.从下列选项中选最好的一种算法 　③　　.
①S1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播
②S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播
③S1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭同时听广播
④S1吃饭同时听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶
3．写出交换两个大小相同的杯子中的液体（A水、B酒）的两个算法.
答案：解析：算法1：
S1.再找一个大小与A相同的空杯子C；
S2.将A中的水倒入C中；
S3.将B中的酒倒入A中；
S4.将C中的水倒入B中，结束.
算法2：
S1.再找两个空杯子C和D；
S2.将A中的水倒入C中，将B中的酒倒入D中；
S3.将C中的水倒入B中，将D中的酒倒入A中，结束.
注意：一个算法往往具有代表性，能解决一类问题，如，可以引申为：交换两个变量的值.
4．写出求1＋2＋3＋4＋5＋6＋7的一个算法.
解析：本例主要是培养学生理解概念的程度，了解解决数学问题都需要算法
算法一：按照逐一相加的程序进行.
第一步　计算1＋2，得到3；
第二步　将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；
第三步　将第二步中的运算结果6与4相加，得到10；
第四步　将第三步中的运算结果10与5相加，得到15；
第五步　将第四步中的运算结果15与6相加，得到21；
第六步　将第五步中的运算结果21与7相加，得到28.
算法二：可以运用公式1＋2＋3＋…＋n＝直接计算.
第一步　取n＝7；第二步　计算；第三步　输出运算结果.
点评：本题主要考查学生对算法的灵活准确应用和自然语言表达一个问题的算法的方法.算法不同，解决问题的繁简程度也不同，我们研究算法，就是要找出解决问题的最好的算法.
【范例解析】
例1 下列关于算法的说法，正确的有 .
（1）求解某一类问题的算法是惟一的 （2）算法必须在有限步骤操作之后停止
（3）算法的每一操作必须是明确的，不能有歧义或模糊（4）算法执行后一定产生确定的结果
解 由于算法具有可终止性，明确性和确定性，因而（2）（3）（4）正确，而解决某类问题的算法不一定是惟一的，从而（1）错.
例2.写出解方程x2-2x-3=0的一个算法.
分析 本题是求一元二次方程的解的问题，方法很多，下面利用配方法，求根公式法写出这个问题的两个算法
算法一：
（1）移项，得x2-2x=3； ①
（2）①两边同加1并配方，得(x-1)2=4 ②
（3）②式两边开方，得x-1=2; ③
（4）解③，得x=3或x=-1.
算法二：（1）计算方程的判别式，判断其符号：
（2）将a=1，b=-2,c= -3,代入求根公式，得
点评 比较两种算法，算法二更简单，步骤最少，由此可知，我们只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想，合理的算法.因此在寻求算法的过程中，首先是利用公式.下面我们设计一个求一般的一元二次方程的ax2+bx+c=0根的算法如下：
(1)计算（2）若（3）方程无实根;（4）若（5）方程根
例3：一个人带三只狼和三只羚羊过河.只有一条船，同船可以容一个人和两只动物.没有人在的时候，如果狼的数量不少于羚羊的数量，狼就会吃掉羚羊.
（1）设计安全渡河的算法;
（2）思考每一步算法所遵循的相同原则是什么.
解析：（1）S1　人带两只狼过河.
S2　人自己返回.
S3　人带两只羚羊过河.
S4　人带一只狼返回.
S5　人带一只羚羊过河.
S6　人自己返回.
S7　人带两只狼过河.
（2）在人运送动物过河的过程中，人离开岸边时必须保证每个岸边的羚羊数目要大于狼的数目.
点评 这是一个实际问题，生活中解决任何问题都需要算法，我们要在处理实际问题的过程中理解算法的含义，体会算法设计的思想方法.
【反馈演练】：
1．下面对算法描述正确的一项是 C 　　.
A．算法只能用伪代码来描述 B．算法只能用流程图来表示
C．同一问题可以有不同的算法 D．同一问题不同的算法会得到不同的结果
解析：自然语言、图形和伪代码都可以表示算法，只要是同一问题，不同的算法也应该有相同的结果.
2．计算下列各式中的S的值，能设计算法求解的是　①　③ .
①；②；③
解析：因为算法步骤具有“有限性”特点，故②不可用算法求解.
3．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99，求他的总分和平均成绩的一个算法为：
第一步　取A＝89，B＝96，C＝99;
第二步　　　　①　　　；
第三步　　　　②　　　；
第四步　输出D，E.
请将空格部分（两个）填上适当的内容
答案：①计算总分D＝A+B+C　②计算平均成绩E＝
4．写出1×2×3×4×5×6的一个算法.
答案：解析：按照逐一相乘的程序进行.
第一步　计算1×2，得到2；
第二步　将第一步中的运算结果2与3相乘，得到6；
第三步　将第二步中的运算结果6与4相乘，得到24；
第四步　将第三步中的运算结果24与5相乘，得到120；
第五步　将第四步中的运算结果120与6相乘，得到720；
第六步　输出结果.
5．已知一个三角形的三边边长分别为2、3、4，设计一个算法，求出它的面积.
答案：解析：可利用公式
S＝求解.
第一步　取a＝2，b＝3，c＝4；
第二步　计算p＝；
第三步　计算三角形的面积S＝；
第四步　输出S的值.
6. 求1734，816，1343的最大公约数.
分析：三个数的最大公约数分别是每个数的约数，因此也是任意两个数的最大公约数的约数，也就是说三个数的最大公约数是其中任意两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数.
解：用“辗转相除法”.
先求1734和816的最大公约数，
1734=816×2+102；
816=102×8；
所以1734与816的最大公约数为102.
再求102与1343的最大公约数，
1343=102×13+17；102=17×6.
所以1343与102的最大公约数为17，即1734，816，1343的最大公约数为17.
7. 写出用二分法求关于x的方程x2－2＝0的根（精确到0.005）的算法.
第一步 令f(x)=x2-2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1=1，x2=2
第二步 令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若是，则m为所求，否则，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0.
第三步 若f(x1)·f(m) >0则令x1=m，否则x2=m.
第四步 判断|x1-x2|<0.005是否成立？若是则x1、x2之间的任意值均为满足条件的近似值；否则返回第二步.
点评 .区间二分法是求方程近似解的常用算法，其解法步骤为
S1　取［a，b］的中点x0=（a+b）/2；
S2　若f(x0)=0，则x0就是方程的根，否则
若f(a)f(x0)>0，则a←x0；否则b←x0；
S3　若|a－b|第2课 流程图
【考点导读】
了解常用流程图符号的意义，能用流程图表示顺序，选择，循环这三种基本结构，并能识别简单的流程图所描述的算法.高考要求对流程图有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.
【基础练习】
1.算法的三种基本结构是 顺序结构、选择结构、循环结构 .
2.流程图中表示判断框的是 菱形框 .
3．根据题意，完成流程图填空：
这是一个输入两个数，输出这两个数差的绝对值的一个算法.
请将空格部分填上适当的内容
（1） a>b ；（2）　b-a　 　　　
【范例解析】
例1.已知梯形的上底、下底和高分别为5、8、9，写出求梯形的面积的算法，画出流程图.
解 算法如下
S1 a←5；
S2　b←8；
S3　h←9；
S4　S←（a+b）×h/2；
S5　输出S.
流程图为 ：
点评 本题中用的是顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的基本结构.
例2 .设计求解不等式ax＋b＞0（a≠0）的一个算法，并用流程图表示.
解：第一步 输入a，b；
第二步
第三步 若a＞0，那么输出x>x0,否则输出x流程图为：
点评 解决此类不等式问题时，因涉及到对一次
项系数的讨论一般采用条件结构设计算法.
【反馈演练】
1．如图表示的算法结构是 顺序 结构．
2．下面的程序执行后的结果是 4，1 .
解析：由题意得，故执行到第三步时，把的值给，这时，第四步，把的值给，这时.
3 输入x的值，通过函数y=求出y的值，
现给出此算法流程图的一部分，请将空格部分填上适当的内容
①　 x　　　　　
②　1≤x<10　　　
③　　3x－11　　
4 如图所示,给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 i>20 .
5. 给出以下一个算法的程序框图（如图所示）.该程序框图的功能是 求出a,b,c三数中的最小数 .
6.根据下面的算法画出相应的流程图.
算法：
S1　T←0；
S2　I←2；
S3　T←T+I；
S4　I←I+2；
S5　如果I不大于200，转S3；
S6　输出T .
答案：解：这是计算2+4+6+…+200的一个算法.
流程图如下：
第3课 算法语句A
【考点导读】
会用伪代码表述四种基本算法语句：输入输出语句，赋值语句，条件语句和循环语句.会用上述基本语句描述简单问题的算法过程.高考要求对算法语句有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.
【基础练习】
1 .下列赋值语句中，正确的是 （1） .
2．条件语句表达的算法结构为 ② .
①．顺序结构 ②．选择结构 ③．循环结构 ④．以上都可以
解析：条件语句典型的特点是先判断再执行，对应的是选择结构.
3．关于循环说法错误的是 ④ .
①．在循环中，循环表达式也称为循环体
②．在循环中，步长为1，可以省略不写，若为其它值，则不可省略
③．使用循环时必须知道终值才可以进行
④．循环中控制结束一次循环，开始一次新循环
解析：循环中是指整个循环结束，而不是一次循环结束
【范例解析】
例1．试写出解决求函数y=的函数值这一问题的伪代码．
解：　　　　Read x
If x<2 Then
y ← x2-1
Else
y ← -x2+1
End If
Print y
点评 分段函数问题是考查If语句一个重要的载体，因此，我们要注意此类问题可以先根据语言叙说，让学生先列出函数关系式，再写出相应的伪代码．
例2.已知S＝5+10+15+…+1500，请用流程图描述求S的算法并用伪代码表示.
解 流程图如下图所示：
从流程图可以看出这是一个循环结构，我们可以运用循环语句来实现.
S←5
For I from 10 to 1500 step 5
S←S+I
End For
Print S
点评 在准确理解算法的基础上，学会循环语句的使用.循环语句包括for循环、While循环.解题时要根据需要灵活运用.
循环语句包括if…then，if…then…else，并且if…then…else可以嵌套，解题时要根据需要灵活运用.
例3. 青年歌手大奖赛有10名选手参加，并请了12名评委.为了减少极端分数的影响，通常去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分.请用算法语句表示：输入12名评委所打的分数ai，用函数Max(a1,a2,…,a12)和Min (a1,a2,…,a12) 分别求出中ai(i=1,2,…,12)的最大值和最小值，最后输出该歌手的成绩.
解
S←0
For I from 1 to 12
Read ai
S←S+ai
End For
G←(S - Max(a1,a2,…,a12)- Min (a1,a2,…,a12))/10
Print G
【反馈演练】
1.下图中程序执行后输出的结果是_____7___________.
2.写出下面流程图所表述的算法的功能并用伪代码表示.
(第2题)
答案：解：输出两个不同的数中小的一个数.用伪代码表示为
Read a，b
If a>b then
Print b
Else
Print a
End if
第4课 算法语句B
【考点导读】
1.循环结构的算法用循环语句表示.
2理解“While循环”和“For循环”，前者是前测试的当当型循环，后者是在循环次数已知时使用的循环.
【基础练习】
1．下列伪代码中的循环次数为 9 ．
s←0
For I from 1 to 25 step 3
s←s+I
End for
Print s
2.要使以下For循环执行20次，循环变量的初值应该是 14 .(For k From To -5 Step -1)
3.下面这段伪代码的功能 计算其中小于0数的个数 .
4．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是 2或6 .
解析：若，由，则；若，由，得.
【范例解析】
例1.设计算法，求的值.
解 伪代码：
s←1
For I from 2 to 100
End for
Print s
点评 本题是连乘求积的问题，自然想到用循环语句设计算法，算法的设计又带有灵活性和通用性，熟练地掌握这一类题的解法，对于解决与此相关的问题有很大帮助.
例3.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
（1）写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
（2）用伪代码写出计算10年以后该城市人口总数的算法；
（3）用伪代码写出计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.
解：（1）y=100×（1+0.012）x.
（2）10年后该城市人口总数为y=100×（1+0.012）10.
算法如下：
y←100
t←1.012
For I from 1 to 10
y←y×t
End for
Print y
End
（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100×（1+0.012）x=120.
算法如下：
S←100
I←1.012
T←0
While S<120
S←S×I
T←T+1
End while
Print T
End
【反馈演练】
1．如果执行下面的程序框图，那么输出的 2550 .
3．下图是一个循环结构的算法，下列说法中：(1)①是循环变量的初始化，循环将要开始；(2)②为循环体；(3)③是判断是否继续循环的条件；(4)①可以省略不写．其中正确的的是 ① ② ③ ．
4．在如下程序框图中，输入f0(x)=cosx，则输出的是 cosx ．
5. 当 x=2 时 ，下面程序运行结果是 15 .
While
End while
Print s
End
6．依据不同条件，给出下面的流程图的运行结果：
（1）当箭头a指向①时，输出 6 ；
（2）当箭头a指向②时，输出 20 .
；
7.已知数列中，，且，求这个数列的第m项的值.现给出此算法流程图的一部分，请将空格部分（两个）填上适当的内容① 2
② m+1
算法
算法的描述
流程图
伪代码
自然语言
条 件 结 构
循 环 结 构
顺 序 结 构
条 件 结 构
循 环 结 构
输入(出)语句
顺 序 结 构
顺 序 结 构
顺 序 结 构
（第3题）
开始
①
输入a,b
结束
输出a-b
输出 ②
N
Y
（第1题）
（第2题）
开始
a>0
输入a,b
结束
输出x>x0
输出xN
Y
(第3题)
(第5题)
结束
输出a
开始
a=b
输出a,b,c
a>b
a>c
a=c
Y
Y
N
N
结束
输出s
开始
s=0,n=2,i=1
s=s+1/n
n=n+2
i=i+1
Y
N
(第4题)
(第6题)
I1
For n from 1 to 11 step 2
I2I+1
If I>20 Then
II－20
End if
End for
Print I
（第2题）
n0
Read x1,x2…x10
For i from 1 to10
If xi<0 then
nn+1
End if
End for
Print n
(第3题)
Read x
If x≤5 Then
y←10x
Else
y←2.5x+5
End If
Print y
(第4题)
N
Y
开始
输入f0(x)
i←0
i←i+1
fi (x)←f’i-1 (x)
i=2008
输出fi(x)
结束
(第4题)
开始
？
是
否
输出
结束
开始
n←1
a←15n
输出a
n←n+1
n>66
结束
Y
N
①
③
②
(第3题)
(第5题)
Y
输入m
S←T+S
N
Y
T≥ ②
结束
输出m,S
开始
T←T+1
S←2，T← ①
(第7题)
开始
①
②
a
输出S
N
结束
Y
(第6题)2013高中数学精讲精练 第三章 三角函数
【知识导读】
【方法点拨】
三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：
1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.
2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.
3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.
4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.
第1课 三角函数的概念
【考点导读】
1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．
　　角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式＝（为弧长）解决问题.
2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.
角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：．
从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为．
3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．
由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记、、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处.
4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．
　　在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．
【基础练习】
1． 化成的形式是　　　 　　．
2．已知为第三象限角，则所在的象限是 ．
3．已知角的终边过点，则=　　　， =　　　　 ．
4．的符号为 ．
5．已知角的终边上一点（），且，求，的值．
解：由三角函数定义知，，当时，，；
当时，，．
【范例解析】
例1.（1）已知角的终边经过一点，求的值；
（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值．
分析：利用三角函数定义求解．
解：（1）由已知，．当时，，，，则；
当时，，，，则．
（2）设点是角的终边上一点，则；
当时，角是第一象限角，则；
当时，角是第三象限角，则．
点评：要注意对参数进行分类讨论．
例2.（1）若，则在第_____________象限．
（2）若角是第二象限角，则，，，，中能确定是正值的有____个．
解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限．
（2）由角是第二象限角，即，得，，故仅有为正值．
点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．
例3. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？
分析：选取变量，建立目标函数求最值．
解：设扇形的半径为x㎝，则弧长为㎝，故面积为，
当时，面积最大，此时，，，
所以当弧度时，扇形面积最大25．
点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．
【反馈演练】
1．若且则在第_______象限．
2．已知，则点在第________象限．
3．已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_______．
4．将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为　　　　　　．
5．若，且与终边相同，则= ．
6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．
7．（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．
（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小．
简解：（1）该扇形面积2；
（2），得，当且仅当时取等号．此时，，．
第2课 同角三角函数关系及诱导公式
【考点导读】
1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．
2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用．
【基础练习】
1. tan600°=______．
2. 已知是第四象限角，，则______．
3.已知，且，则tan＝______．
4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___．
【范例解析】
例1.已知，求，的值．
分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．
解：由，得，是第二，三象限角．
若是第二象限角，则，；
若是第三象限角，则，．
点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．
例2.已知是三角形的内角，若，求的值．
分析：先求出的值，联立方程组求解．
解：由两边平方，得，即．
又是三角形的内角，，．
由，又，得．
联立方程组，解得，得．
点评：由于，因此式子，，三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二．
【反馈演练】
1．已知,则的值为_____．
2．“”是“A=30 ”的必要而不充分条件．
3．设,且，则的取值范围是
4．已知，且，则的值是 ．
5．（1）已知，且，求的值．
（2）已知，求的值．
解：（1）由，得．
原式=．
（2），
．
6．已知，求
（I）的值；
（II）的值．
解：（I）∵ ；所以==．
（II）由，
于是．
第3课 两角和与差及倍角公式（一）
【考点导读】
1.掌握两角和与差，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系；
2.能运用上述公式进行简单的恒等变换；
3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角，函数名称及次数三方面的差异及联系，然后通过“角变换”，“名称变换”，“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系；
4.证明三角恒等式的基本思路：根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简，左右归一，变更命题等方法将等式两端的“异”化“同”．
【基础练习】
1. ___________．
2. 化简_____________．
3. 若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝___________ ．
4.化简：___________ ．
【范例解析】
例 .化简：（1）；
（2）．
（1）分析一：降次，切化弦．
解法一：原式=．
分析二：变“复角”为“单角”．
解法二：原式．
（2）原式=
，，，原式=．
点评：化简本质就是化繁为简，一般从结构，名称，角等几个角度入手．如：切化弦，“复角”变“单角”，降次等等．
【反馈演练】
1．化简．
2．若，化简_________．
3．若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则与的大小关系是_________．
4．若，则的取值范围是___________．
5．已知、均为锐角，且，则= 1 .
6．化简：．
解：原式=．
7．求证：．
证明：左边==右边．
8．化简：．
解：原式=
．
第4课 两角和与差及倍角公式（二）
【考点导读】
1.能熟练运用两角和与差公式，二倍角公式求三角函数值；
2.三角函数求值类型：“给角求值”，“给值求值”，“给值求角” ．
【基础练习】
1．写出下列各式的值：
（1）_________； （2）_________；
（3）_________； （4）____1_____．
2．已知则=_________．
3．求值：（1）_______；（2）_________．
4．求值：____1____．
5．已知，则________．
6．若，则_________．
【范例解析】
例1.求值：（1）；
（2）．
分析：切化弦，通分．
解：（1）原式==
．
（2），又．
原式=．
点评：给角求值，注意寻找所给角与特殊角的联系，如互余，互补等，利用诱导公式，和与差公式，二倍角公式进行转换．
例2.设，，且，，求，．
分析：， ．
解：由，，得，同理，可得
，同理，得．
点评：寻求“已知角”与“未知角”之间的联系，如：，等．
例3.若，，求的值．
分析一：．
解法一：，，
又，，．
，，．
所以，原式=．
分析二：．
解法二：原式=
又，
所以，原式．
点评：观察“角”之间的联系以寻找解题思路．
【反馈演练】
1．设，若，则=__________．
2．已知tan =2，则tanα的值为_______，tan的值为___________　．
3．若，则=___________．
4．若，则　　　　．
5．求值：_________．
6．已知．求的值
解：
又
从而，
第5课 三角函数的图像和性质（一）
【考点导读】
1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在，正切函数在上的性质；
2.了解函数的实际意义，能画出的图像；
3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
【基础练习】
1. 已知简谐运动的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期_____6____；初相__________．
2. 三角方程2sin(－x)=1的解集为_______________________．
3. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为
______________________．
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移__________个单位．
【范例解析】
例1.已知函数．
（Ⅰ）用五点法画出函数在区间上的图象，长度为一个周期；
（Ⅱ）说明的图像可由的图像经过怎样变换而得到．
分析：化为形式．
解：（I）由
．
列表，取点，描图：
1 1 1
故函数在区间上的图象是：
（Ⅱ）解法一：把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，再把的图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
解法二：把图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像，再把图像上所有点向右平移个单位，得到的图像，然后把的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到的图像，再将的图像上所有点向上平移1个单位，即得到的图像．
例2.已知正弦函数的图像如右图所示．
（1）求此函数的解析式；
（2）求与图像关于直线对称的曲线的解析式；
（3）作出函数的图像的简图．
分析：识别图像，抓住关键点．
解：（1）由图知，，，，即．
将，代入，得，解得，即．
（2）设函数图像上任一点为，与它关于直线对称的对称点为，
得解得代入中，得．
（3），简图如图所示．
点评：由图像求解析式，比较容易求解，困难的是待定系数求和，通常利用周期确定，代入最高点或最低点求．
【反馈演练】
1．为了得到函数的图像，只需把函数，的图像上所有的点
①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；
②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）；
③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；
④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）．
其中，正确的序号有_____③______．
2．为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移____个单位长度．
3．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则__2____；__________．
4．在内，使成立的取值范围为____________________．
5．下列函数：
①； ②；
③； ④．
其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．
6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
（1）求这段时间的最大温差；
（2）写出这段时间的函数解析式．
解：（1）由图示，这段时间的最大温差是℃
（2）图中从6时到14时的图象是函数的半个周期
∴，解得
由图示，　　
这时，
将代入上式，可取
综上，所求的解析式为（）
7．如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．
（1）求和的值；
（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，
当，时，求的值．
解：（1）将，代入函数得，
因为，所以．
又因为该函数的最小正周期为，所以，
因此．
（2）因为点，是的中点，，
所以点的坐标为．
又因为点在的图象上，所以．
因为，所以，
从而得或．
即或．
第6课 三角函数的图像和性质（二）
【考点导读】
1.理解三角函数，，的性质，进一步学会研究形如函数的性质；
2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究．
【基础练习】
1.写出下列函数的定义域：
（1）的定义域是______________________________；
（2）的定义域是____________________．
2．函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．
3．函数 的最小正周期是_______．
4. 函数y=sin(2x+)的图象关于点_______________对称．
5. 已知函数 在（－，）内是减函数，则的取值范围是______________．
【范例解析】
例1.求下列函数的定义域：
（1）；（2）．
解：（1）即，
故函数的定义域为且
（2）即
故函数的定义域为．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．
例2．求下列函数的单调减区间：
（1）； （2）；
解：（1）因为，故原函数的单调减区间为．
（2）由，得，
又，
所以该函数递减区间为，即．
点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制．
例3．求下列函数的最小正周期：
（1）；（2） ．
解：（1）由函数的最小正周期为，得的周期．
（2）
．
点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．
【反馈演练】
1．函数的最小正周期为 _____________．
2．设函数，则在上的单调递减区间为___________________．
3．函数的单调递增区间是________________．
4．设函数，则的最小正周期为_______________．
5．函数在上的单调递增区间是_______________．
6．已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）若角在第一象限且，求．
解：（Ⅰ） 由得，即．
故的定义域为．
（Ⅱ）由已知条件得．
从而
．
7． 设函数图像的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像
解：（Ⅰ）的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）由
x 0
y －1 0 1 0
故函数
第7课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．
【基础练习】
1.函数在区间上的最小值为 1 ．
2.函数的最大值等于 ．
3.函数且的值域是___________________．
4.当时，函数的最小值为 4 ．
【范例解析】
例1.（1）已知，求的最大值与最小值．
（2）求函数的最大值．
分析：可化为二次函数求最值问题．
解：（1）由已知得：，，则．
，当时，有最小值；当时，有最小值．
（2）设，则，则，当时，有最大值为．
点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围．
例2.求函数的最小值．
分析：利用函数的有界性求解．
解法一：原式可化为，得，即，
故，解得或（舍），所以的最小值为．
解法二：表示的是点与连线的斜率，其中点B在左半圆上，由图像知，当AB与半圆相切时，最小，此时，所以的最小值为．
点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．
例3.已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
分析：观察角，单角二次型，降次整理为形式．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范围是．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
【反馈演练】
1．函数的最小值等于____－1_______．
2．当时，函数的最小值是______4 _______．
3．函数的最大值为_______，最小值为________.
4．函数的值域为 .
5．已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于_________．
6．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
解：（Ⅰ）．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
第８课 解三角形
【考点导读】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化．
【基础练习】
1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝　　　　.
2．在中，若，则的大小是______________.
3．在中，若，，，则 ．
【范例解析】
例1. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知，，．
（1）求的值；（2）求的值．
分析：利用转化为边的关系．
解：（1）由．
（2）由得．由余弦定理
得： ，解得：或，
若，则，得，即矛盾，故．
点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例2.在三角形ABC中，已知，试判断该三角形的形状．
解法一：(边化角)由已知得：，
化简得，
由正弦定理得：，即，
又，，．
又，或，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
解法二：(角化边)同解法一得：，
由正余弦定理得：，
整理得：，即或，
即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状．
例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=，∠ABC=.
（1）证明：；
（2）若AC=DC，求．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系.
（1）证明：，，，
（2）解：AC=DC，.
，，.
点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出的值.
【反馈演练】
1．在中，则BC =_____________．
2．的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_____．
3．在中，若，，则的形状是____等边___三角形．
4．若的内角满足，则= ．
5．在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
解：（Ⅰ）在中，，由正弦定理，
．所以．
（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是
，
，
．
．
6．在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由得．
应用正弦定理，知，
． 因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
7．在中，，．
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．
解：（Ⅰ），．
又，．
（Ⅱ），边最大，即．
又，角最小，边为最小边．
由且，
得．由得：．
所以，最小边．
第9课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．
【基础练习】
1．在200高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________．
2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好km，那么x的值为_______________ km．
3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为 km．
4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知为边长等于的正三角形，当目标出现于C时，测得，，求炮击目标的距离
解：在中，由正弦定理得：
∴
在中，由余弦定理得：
∴
答：线段的长为．
【范例解析】
例 .如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．
解法一：如图(2)，连结，由已知，
，，
又，是等边三角形，
，
由已知，，，
在中，由余弦定理，
．
．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
解法二：如图（3），连结，
由已知，，，
，
．
在中，由余弦定理，
．
．
由正弦定理，
，即，．
在中，由已知，由余弦定理，
．
，乙船的速度的大小为（海里/小时）．
答：乙船每小时航行海里．
点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．
【反馈演练】
1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距____________m．
2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为，现要将倾斜角改为，则坡底要伸长____1___km．
3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东方向航行45海里后，看见灯塔在正西方向，则此时船与灯塔的距离是__________海里．
4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形的两边和，且，则第三条边的最小值是____________cm．
5．设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天
从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中,
最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ）
A． B．
C． D．
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的
三角函数
弧长与扇形
面积公式
三角函数的
图象和性质
和 角
公 式
差 角
公 式
几个三角
恒等式
倍 角
公 式
同角三角函数关系
诱 导公 式
正弦定理与余弦定理
解斜三角形及其应用
化简、计算、求值
与证明
第二或第四象限
正
二
三
－
3＋cos2x
－
第3题
－2
2
x=8
x
y
O
2
4
x
y
O
－4
12
第5题
第6题
A
第7题
（，0）
，
B
D
C
α
β
A
例4
2或
A
B
C
D
第4题
北
乙
甲
例1（1）
北
甲
乙
例1（2）
北
乙
甲
例1（3）2013高中数学精讲精练 第六章 不等式
【知识图解】
【方法点拨】
不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解、证不等式的基础，两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用.解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念和性质涉及到求最大（小）值，比较大小，求参数的取值范围等，不等式的解法包括解不等式和求参数，不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点.
1. 掌握用基本不等式求解最值问题，能用基本不等式证明简单的不等式，利用基本不等式求最值时一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。
2. 一元二次不等式是一类重要的不等式，要掌握一元二次不等式的解法，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系和相互转化。
3. 线性规划问题有着丰富的实际背景，且作为最优化方法之一又与人们日常生活密切相关，对于这部分内容应能用平面区域表示二元一次不等式组，能解决简单的线性规划问题。同时注意数形结合的思想在线性规划中的运用。
第1课　基本不等式
【考点导读】
1. 能用基本不等式证明其他的不等式，能用基本不等式求解简单的最值问题。
2. 能用基本不等式解决综合形较强的问题。
【基础练习】
1.“a>b>0”是“ab<”的充分而不必要条件(填写充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件)
2.的最小值为
3.已知，且，则的最大值为
4.已知，则的最小值是2
【范例导析】
例1.已知，求函数的最大值.
分析：由于，所以首先要调整符号.
解：∵∴
∴y=4x-2+=≤-2+3=1
当且仅当，即x=1时，上式成立，故当x=1时，.
例2.（1）已知a，b为正常数，x、y为正实数，且，求x+y的最小值。
（2） 已知，且，求的最大值．
分析：问题（1）可以采用常数代换的方法也可以进行变量代换从而转化为一元函数再利用基本不等式求解；问题（2）既可以直接利用基本不等式将题目中的等式转化为关于的不等式，也可以采用变量代换转换为一元函数再求解.
解:(1)法一：直接利用基本不等式：≥当且仅当，即时等号成立
法二：
由得
∵ x>0，y>0，a>0 ∴ 由>0得y-b>0 ∴ x+y≥
当且仅当，即时，等号成立
（2）法一：由，可得，．
注意到．可得，．
当且仅当，即时等号成立，代入中得，故的最大值为18．
法二：，，
代入中得：
解此不等式得．下面解法见解法一，下略．
点拨：求条件最值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，也可考虑通过变形直接利用基本不等式解决.
【反馈练习】
1.设a＞1,且,则的大小关系为m＞p＞n
2.已知下列四个结论：
①若则； ②若,则；
③若则； ④若则。
其中正确的是④
3.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为6
4.（1）已知：，且：，求证：，并且求等号成立的条件．
（2）设实数x，y满足y+x2=0，0解： （1）分析：由已知条件，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有，无法利用，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现型，再行论证．
证明：
等号成立
当且仅当时．
由以上得
即当时等号成立．
说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．
（2）∵ ≥，
≤，0∴ ≥ ∴ ≥
∴ ≤
第2课　一元二次不等式
【考点导读】
1. 会解一元二次不等式，了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。
2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强的问题.
【基础练习】
1.解不等式：
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）原不等式化为，解集为
（2）原不等式化为，解集为R
（3）原不等式化为，解集为
（4）由
得
点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判断、以及对应方程两根大小的比较.
2. 函数的定义域为
3..二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
则不等式ax2+bx+c>0的解集是
4.若不等式的解集是，则b=__-2____ c=__-3____.
【范例导析】
例.解关于ｘ的不等式
分析：本题可以转化为含参的一元二次不等式，要注意分类讨论.
解:原不等式等价于∵∴等价于：
（*）
a>１时，（*）式等价于>0∵<１∴x<或x>２
a<１时，（*）式等价于<0由２－＝知：
当0２，∴２当a<0时，<２，∴当a＝0时，当＝２，∴x∈φ
综上所述可知：当a<0时，原不等式的解集为（，2）；当a＝0时，原不等式的解集为φ；当0１时，原不等式的解集为（－∞，）∪（2，＋∞）。
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字母分类讨论,要做到不重不漏.
【反馈练习】
1.若关于x的不等式的解集为R，则的取值范围是
2.不等式解集为，则ab值分别为-12，-2
3.若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为
4.已知M是关于x的不等式2x2+(3a－7)x+3＋a－2a2<0解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集.
解：原不等式即(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，
由适合不等式故得，所以，或.
若，则，∴，
此时不等式的解集是；
若，由，∴，
此时不等式的解集是。
第3课　线性规划
【考点导读】
1. 会在直角坐标系中表示二元一次不等式、二元一次不等式组对应的区域，能由给定的平面区域确定所对应的二元一次不等式、二元一次不等式组.
2. 能利用图解法解决简单的线性规划问题，并从中体会线性规划所体现的用几何图形研究代数问题的思想.
【基础练习】
1.原点（0,0）和点P（1,1）在直线的两侧，则a的取值范围是02. 设集合，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( A )
A B C D
3.下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是（　C　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4.由直线x+y+2=0，x+2y+1=0，2x+y+1=0围成的三角形区域（不含边界）用不等式表示为
5.在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为
【范例导析】
例1.设x,y满足约束条件,求目标函数z=6x+10y的最大值，最小值。
分析：求目标函数的最值，必须先画出准确的可行域，然后把线性目标函数转化为一族平行直线，这样就把线性规划问题转化为一族平行直线与一平面区域有交点，直线在y轴上截距的最大值与最小值问题.
解：先作出可行域，如图所示中的区域，
且求得A(5,2),B(1,1),C(1,)
作出直线L0：6x+10y=0，再将直线L0平移
当L0的平行线过B点时，可使z=6x+10y达到最小值
当L0的平行线过A点时，可使z=6x+10y达到最大值
所以zmin=16;zmax=50
点拨：几个结论：(1)、线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。
（2）、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。
例2.已知，
（1） 求的最大和最小值。
（2） 求的取值范围。
（3） 求的最大和最小值。
解析：注意目标函数是代表的几何意义.
解：作出可行域。
（1），作一组平行线l：，解方程组得最优解B（3，1），。解得最优解C（7，9），
（2）表示可行域内的点（x,y）与（0，0）的连线的斜率。从图中可得，，又，。
（3）表示可行域内的点（x,y）到（0，0）的距离的平方。从图中易得，，（OF为O到直线AB的距离），。，，，。
点拨：关键要明确每一目标函数的几何意义，从而将目标函数的最值问题转化为某几何量的取值范围.
例3．本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
分析：本例是线性规划的实际应用题，其解题步骤是：（1）设出变量，列出约束条件及目标函数；（2）画出可行域（3）观察平行直线系的运动，求出目标函数的最值.
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得
目标函数为．
二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
作直线，
即．
平移直线，从图中可知，当直线过点时，目标函数取得最大值．
联立解得．
点的坐标为．
（元）
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．
【反馈练习】
1.不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是
2.已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是[－1，2]
3.设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点是（2,3）．
4.已知实数满足则的取值范围是
5.画出以A（3，－1）、B（－1，1）、C（1，3）为顶点的△ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x－2y的最大值和最小值.
分析：本例含三个问题：①画指定区域；②写所画区域的代数表达式——不等式组；③求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值
解：如图，连结点A、B、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求△ABC区域
直线AB的方程为x+2y－1=0，BC及CA的直线方程分别为x－y+2=0，2x+y－5=0
在△ABC内取一点P（1，1），
分别代入x+2y－1，x－y+2，2x+y－5
得x+2y－1>0，x－y+2>0，2x+y－5<0
因此所求区域的不等式组为
x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0
作平行于直线3x－2y=0的直线系3x－2y=t（t为参数），即平移直线y=x，观察图形可知：当直线y=x－t过A（3，－1）时，纵截距－t最小此时t最大，tmax=3×3－2×（－1）=11；当直线y=x－t经过点B（－1，1）时，纵截距－t最大，此时t有最小值为tmin= 3×（－1）－2×1=－5
因此，函数z=3x－2y在约束条件x+2y－1≥0，x－y+2≥0，2x+y－5≤0下的最大值为11，最小值为－5
。
第4课　不等式综合
【考点导读】
能利用不等式性质、定理、不等式解法及证明解决有关数学问题和实际问题，如最值问题、恒成立问题、最优化问题等.
【基础练习】
1.若函数，则与的大小关系是
2.函数在区间上恒为正，则的取值范围是0＜a＜2
3.当点在直线上移动时，的最小值是7
4.对于0≤m≤4的m，不等式x2+mx＞4x+m－3恒成立，则x的取值范围是x＞3或x＜－1
【范例导析】
例1、已知集合，函数的定义域为Q
（1）若，求实数a的取值范围。
（2）若方程在内有解，求实数a的取值范围。
分析：问题（1）可转化为在内有有解；从而和问题（2）是同一类型的问题，既可以直接构造函数角度分析，亦可以采用分离参数.
解：（1）若，在内有有解
令 当时，
所以a>-4,所以a的取值范围是
（2）方程在内有解， 则在内有解。
当时，
所以时，在内有解
点拨：本题用的是参数分离的思想.
例2.甲、乙两地相距，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度的平方成正比，且比例系数为；固定部分为元．
（1）把全程运输成本元表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
分析：需由实际问题构造函数模型，转化为函数问题求解
解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为，全程运输成本为
．故所求函数为，定义域为．
（2）由于都为正数，
故有，即．
当且仅当，即时上式中等号成立．
若时，则时，全程运输成本最小；
当，易证，函数单调递减，即时，．
综上可知，为使全程运输成本最小，
在时，行驶速度应为；
在时，行驶速度应为．
点拨：本题主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．
【反馈练习】
1.设，函数，则使的的取值范围是
2.如果函数的单调递增区间是(-∞，a]，那么实数a的取值范围是____ a<-1____
3.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为
4已知二次函数f (x)=,设方程f (x)=x的两个实根为x1和x2．如果x1<2＜x2<4，且函数f (x)的对称轴为x=x0，求证：x0＞—1．
证明：设g(x)= f (x)—x=，且g(4)>0，即
∴
不等式
一元二次不等式
基本不等式
二元一次不等式组
应用
解法
应用
几何意义
应用
证明
例1图
0
100
200
300
100
200
300
400
500
y
x
l
M
例3
第10题2013高中数学精讲精练 第二章 函数
【知识导读】
【方法点拨】
函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解．
1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等．
2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题．
3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”．
4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．
第1课 函数的概念
【考点导读】
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．
【基础练习】
1．设有函数组：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．
2.设集合，，从到有四种对应如图所示：
其中能表示为到的函数关系的有_____②③____．
3.写出下列函数定义域：
(1) 的定义域为______________； (2) 的定义域为______________；
(3) 的定义域为______________； (4) 的定义域为_________________．
4．已知三个函数:(1)； (2)； (3)．写出使各函数式有意义时，，的约束条件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.写出下列函数值域：
(1) ，；值域是．
(2) ； 值域是．
(3) ，． 值域是．
【范例解析】
例1.设有函数组：①，；②，；
③，；④，．其中表示同一个函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
解：在①中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；在②中，的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；③④是同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例2.求下列函数的定义域：① ； ② ；
解：（1）① 由题意得：解得且或且，
故定义域为．
② 由题意得：，解得，故定义域为．
例3.求下列函数的值域：
（1），；
（2）；
（3）．
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1） 解：，，函数的值域为；
（2） 解法一：由，，则，，故函数值域为．
解法二：由，则，，，，故函数值域为．
（3）解：令，则，，
当时，，故函数值域为．
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．
【反馈演练】
1．函数f(x)＝的定义域是___________．
2．函数的定义域为_________________．
3. 函数的值域为________________．
4. 函数的值域为_____________．
5．函数的定义域为_____________________．
6.记函数f(x)=的定义域为A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定义域为B．
(1) 求A；
(2) 若BA，求实数a的取值范围．
解：(1)由2－≥0，得≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵BA， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥或a≤－2，而a<1，
∴≤a<1或a≤－2，故当BA时， 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)．
第2课 函数的表示方法
【考点导读】
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．
2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式．
【基础练习】
1.设函数，，则_________；__________．
2.设函数，,则_____3_______；；．
3.已知函数是一次函数，且，,则__15___．
4.设f(x)＝，则f[f()]＝_____________．
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函数的最小值等于4，且，求的解析式．
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
解法一：设，则解得
故所求的解析式为．
解法二：，抛物线有对称轴．故可设．
将点代入解得．故所求的解析式为．
解法三：设，由，知有两个根0，2，
可设，，
将点代入解得．故所求的解析式为．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．
例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y（km）与时间x（分）的关系．试写出的函数解析式．
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
解：当时，直线方程为，当时，直线方程为，
点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
【反馈演练】
1．若，，则（ D ）
　　Ａ． 　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　Ｄ．
2．已知，且，则m等于________．
3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．求函数g(x)的解析式．
解：设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，
则
∵点在函数的图象上
∴．
第3课 函数的单调性
【考点导读】
1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；
2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．
【基础练习】
1.下列函数中：
①； ②； ③； ④．
其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___．
2.函数的递增区间是___ R ___．
3.函数的递减区间是__________．
4.已知函数在定义域R上是单调减函数，且，则实数a的取值范围__________．
5.已知下列命题：
①定义在上的函数满足，则函数是上的增函数；
②定义在上的函数满足，则函数在上不是减函数；
③定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数；
④定义在上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在上是增函数．
其中正确命题的序号有_____②______．
【范例解析】
例 . 求证：（1）函数在区间上是单调递增函数；
（2）函数在区间和上都是单调递增函数．
分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定．
证明：（1）对于区间内的任意两个值，，且，
因为
，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
（2）对于区间内的任意两个值，，且，
因为，
又，则，，得，
故，即，即．
所以，函数在区间上是单调增函数．
同理，对于区间，函数是单调增函数；
所以，函数在区间和上都是单调增函数．
点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：（1）在给定区间内任意取两值，；（2）作差，化成因式的乘积并判断符号；（3）给出结论．
例2.确定函数的单调性．
分析：作差后，符号的确定是关键．
解：由，得定义域为．对于区间内的任意两个值，，且，
则
又，，
，即．
所以，在区间上是增函数．
点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定．
【反馈演练】
1．已知函数，则该函数在上单调递__减__，（填“增”“减”）值域为_________．
2．已知函数在上是减函数，在上是增函数，则__25___.
3. 函数的单调递增区间为.
4. 函数的单调递减区间为．
5. 已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
解：设对于区间内的任意两个值，，且，
则，
，，得，，，即．
第4课 函数的奇偶性
【考点导读】
1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；
2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．
【基础练习】
1.给出4个函数：①；②；③；④．
其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____．
2. 设函数为奇函数，则实数 －1 ．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）
分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．
解：（1）定义域为，关于原点对称；,
所以为偶函数．
（2）定义域为，关于原点对称；，
，故为奇函数．
（3）定义域为，关于原点对称；，且，
所以既为奇函数又为偶函数．
（4）定义域为，不关于原点对称；故既不是奇函数也不是偶函数．
（5）定义域为，关于原点对称；，，则且，故既不是奇函数也不是偶函数．
（6）定义域为，关于原点对称；
，又，
，故为奇函数．
点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即或判断，注意定义的等价形式或．
例2. 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的解析式，并指出它的单调区间．
分析：奇函数若在原点有定义，则．
解：设，则，．
又是奇函数，，．
当时，．
综上，的解析式为．
作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．
点评：（1）求解析式时的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“”实现转化；（4）根据图像写单调区间．
【反馈演练】
1．已知定义域为R的函数在区间上为减函数，且函数为偶函数，则（ D ）
A． B． C． D．
2. 在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（ B ）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
3. 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值为____1，3 ___．
4．设函数为奇函数，则________．
5．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取
值范围是（－2，2）．
6. 已知函数是奇函数．又，,求a，b，c的值；
解：由，得，得．又，得，
而，得，解得．又，或1．
若，则，应舍去；若，则．
所以，．
综上，可知的值域为．
第5 课 函数的图像
【考点导读】
1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质；
2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法．
【基础练习】
1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）将的图像向下平移1个单位，可得的图像．图略；
（2）将的图像向右平移2个单位，可得的图像．图略；
（3）由，将的图像先向右平移1个单位，得的图像，再向下平移1个单位，可得的图像．如下图所示：
3.作出下列各个函数图像的示意图：
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：（1）作的图像关于y轴的对称图像，如图1所示；
（2）作的图像关于x轴的对称图像，如图2所示；
（3）作的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示；
（4）作的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示．
4. 函数的图象是 （ B ）
【范例解析】
例1.作出函数及，，，，的图像．
分析：根据图像变换得到相应函数的图像．
解：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；
将的图像向左平移2个单位得到的图像；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．图略．
点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种．平移变换：左“+”右“－”，上“+”下“－”；对称变换：与的图像关于y轴对称；
与的图像关于x轴对称；与的图像关于原点对称；
保留的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分；
将的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留在y轴右边部分．
例2.设函数.
（1）在区间上画出函数的图像；
（2）设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明.
分析：根据图像变换得到的图像，第（3）问实质是恒成立问题．
解：（1）
（2）方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此.
由于.
【反馈演练】
1．函数的图象是（ B ）
2. 为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移1个单位长度得到．
3．已知函数的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则=．
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线对称，则
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函数的简图：
（1）； （2）； （3）．
第6课 二次函数
【考点导读】
1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质；
2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．
【基础练习】
1. 已知二次函数,则其图像的开口向__上__；对称轴方程为；顶点坐标为 ，与轴的交点坐标为，最小值为．
2. 二次函数的图像的对称轴为,则__－2___，顶点坐标为，递增区间为，递减区间为．
3. 函数的零点为．
4. 实系数方程两实根异号的充要条件为；有两正根的充要条件为；有两负根的充要条件为．
5. 已知函数在区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．
【范例解析】
例1.设为实数，函数，．
（1）讨论的奇偶性；
（2）若时，求的最小值．
分析：去绝对值．
解：（1）当时，函数
此时，为偶函数．
当时，，，
，．
此时既不是奇函数，也不是偶函数．
（2）
由于在上的最小值为，在内的最小值为．
故函数在内的最小值为．
点评：注意分类讨论；分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值．
例2.函数在区间的最大值记为，求的表达式．
分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况．
解：∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：
（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，
由知在上单调递增，故；
（2）当时，，，有=2；
（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，
若即时，，
若即时，，
若即时，．
综上所述，有=．
点评：解答本题应注意两点：一是对时不能遗漏；二是对时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及在区间上的单调性．
【反馈演练】
1．函数是单调函数的充要条件是．
2．已知二次函数的图像顶点为，且图像在轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为．
3. 设，二次函数的图象为下列四图之一：
则a的值为 （ B ）
A．1 B．－1 C． D．
4．若不等式对于一切成立，则a的取值范围是．
5.若关于x的方程在有解，则实数m的取值范围是．
6.已知函数在有最小值，记作．
（1）求的表达式；
（2）求的最大值．
解：（1）由知对称轴方程为，
当时，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
综上，．
（2）当时，；当时，；当时，．故当时，的最大值为3．
7. 分别根据下列条件,求实数a的值：
（1）函数在在上有最大值2；
（2）函数在在上有最大值4．
解：（1）当时，，令，则；
当时，，令，（舍）；
当时，，即．
综上，可得或．
（2）当时，，即，则；
当时，，即，则．
综上，或．
8. 已知函数．
（1）对任意，比较与的大小；
（2）若时，有，求实数a的取值范围．
解：（1）对任意，，
故．
（2）又，得，即，
得，解得．
第7课 指数式与对数式
【考点导读】
1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算性质；
2.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；
3.能运用指数，对数的运算性质进行化简，求值，证明，并注意公式成立的前提条件；
4.通过指数式与对数式的互化以及不同底的对数运算化为同底对数运算．
【基础练习】
1.写出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化简下列各式：
（1）；
（2）．
3.求值：（1）___－38____；
（2）____1____；
（3）_____3____．
【范例解析】
例1. 化简求值：
（1）若，求及的值；
（2）若，求的值．
分析：先化简再求值．
解：（1）由，得，故；
又，；，故．
（2）由得；则．
点评：解条件求值问题：（1）将已知条件适当变形后使用；（2）先化简再代入求值．
例2.（1）求值：；
（2）已知，，求．
分析：化为同底．
解：（1）原式=；
（2）由，得；所以．
点评：在对数的求值过程中，应注意将对数化为同底的对数．
例3. 已知，且，求c的值．
分析：将a，b都用c表示．
解：由，得，；又，则，
得．，．
点评：三个方程三个未知数，消元法求解．
【反馈演练】
1．若，则．
2．设，则．
3．已知函数，若，则－b．
4．设函数若，则x0的取值范围是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．设已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于．
6．若，，则k =__－1__．
7．已知函数，且．
（1）求实数c的值；
（2）解不等式．
解：（1）因为，所以，
由，即，．
（2）由（1）得：
由得，当时，解得．
当时，解得，
所以的解集为．
第8课 幂函数、指数函数及其性质
【考点导读】
1.了解幂函数的概念，结合函数，，，，的图像了解它们的变化情况；
2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性；
3.在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．
【基础练习】
1.指数函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．
2.把函数的图像分别沿x轴方向向左，沿y轴方向向下平移2个单位，得到的图像，则．
3.函数的定义域为___R__；单调递增区间；值域．
4.已知函数是奇函数，则实数a的取值．
5.要使的图像不经过第一象限，则实数m的取值范围．
6.已知函数过定点，则此定点坐标为．
【范例解析】
例1.比较各组值的大小：
（1），，，；
（2），，，其中；
（3），．
分析：同指不同底利用幂函数的单调性，同底不同指利用指数函数的单调性．
解：（1），而，
．
（2）且，．
（3）．
点评：比较同指不同底可利用幂函数的单调性，同底不同指可利用指数函数的单调性；另注意通过0，1等数进行间接分类．
例2.已知定义域为的函数是奇函数,求的值；
解：因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函数，求证：
（1）函数在上是增函数；
（2）方程没有负根．
分析：注意反证法的运用．
证明：（1）设，，
，，又，所以，，，则
故函数在上是增函数．
（2）设存在，满足，则．又，
即，与假设矛盾，故方程没有负根．
点评：本题主要考察指数函数的单调性，函数和方程的内在联系．
【反馈演练】
1．函数对于任意的实数都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．设，则（ A ）
A．－23．将y=2x的图像 ( D ) 再作关于直线y=x对称的图像，可得到函数的图像．
A．先向左平行移动1个单位 B．先向右平行移动1个单位
C．先向上平行移动1个单位 D． 先向下平行移动1个单位
4．函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函数在上的最大值与最小值的和为3，则的值为___2__．
6．若关于x的方程有实数根，求实数m的取值范围．
解：由得，，
7．已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）若在R上是单调递增函数，求实数a的取值范围．
解：（1）定义域为R，则，故是奇函数．
（2）设，，
当时，得，即；
当时，得，即；
综上，实数a的取值范围是．
第9课 对数函数及其性质
【考点导读】
1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；
2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；
3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题．
【基础练习】
1. 函数的单调递增区间是．
2. 函数的单调减区间是．
【范例解析】
例1. （1）已知在是减函数，则实数的取值范围是_________．
（2）设函数，给出下列命题：
①有最小值； ②当时，的值域为；
③当时，的定义域为；
④若在区间上单调递增，则实数的取值范围是．
则其中正确命题的序号是_____________．
分析：注意定义域，真数大于零．
解：（1），在上递减，要使在是减函数，则；又在上要大于零，即，即；综上，．
（2）①有无最小值与a的取值有关；②当时，，成立；
③当时，若的定义域为，则恒成立，即，即成立；④若在区间上单调递增，则解得，不成立．
点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．
例3.已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性.
分析：利用定义证明复合函数的单调性．
解：x须满足所以函数的定义域为（－1，0）∪（0，1）.
因为函数的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有
，所以是奇函数.
研究在（0，1）内的单调性，任取x1、x2∈（0，1），且设x1得>0，即在（0，1）内单调递减，
由于是奇函数，所以在（－1，0）内单调递减.
点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力．
【反馈演练】
1．给出下列四个数：①；②；③；④.其中值最大的序号是___④___.
2．设函数的图像过点，，则等于___5_ _．
3．函数的图象恒过定点，则定点的坐标是．
4．函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为．
5．函数的图象和函数的图象的交点个数有___3___个.
6．下列四个函数：①； ②；③；
④.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.
7．求函数,的最大值和最小值．
解：
令，，则，
即求函数在上的最大值和最小值．
故函数的最大值为0，最小值为．
8．已知函数．
（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性，并证明．
解：（1）解：由 ，故的定义域为．
（2），故为奇函数．
（3）证明：设，则，
．
当时，，故在上为减函数；同理在上也为减函数；
当时，，故在，上为增函数．
第10课 函数与方程
【考点导读】
1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．
2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．
3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法．
【基础练习】
1.函数在区间有_____1 ___个零点．
2.已知函数的图像是连续的，且与有如下的对应值表：
1 2 3 4 5 6
－2.3 3.4 0 －1.3 －3.4 3.4
则在区间上的零点至少有___3__个．
【范例解析】
例1.是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如图所示：令，
则下列关于函数的结论：
①若a<0，则函数的图象关于原点对称；
②若a=－1，－2③若a≠0，，则方程=0有两个实根；
④若，，则方程=0有三个实根．
其中，正确的结论有___________．
分析：利用图像将函数与方程进行互化．
解：当且时，是非奇非偶函数，①不正确；当，时，是奇函数，关于原点对称，③不正确；当，时，，由图知，当时，才有三个实数根，故④不正确；故选②．
点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．
例2.设，若，，．
求证：（1）且；
（2）方程在内有两个实根．
分析：利用，，进行消元代换．
证明：（1），，由，得，代入得：
，即，且，即，即证．
（2），又，．则两根分别在区间，内，得证．
点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取的中点来考察的正负是首选目标，如不能实现，则应在区间内选取其它的值．本题也可选，也可利用根的分布来做．
【反馈演练】
1． 设，为常数．若存在，使得，则实数a的取值范围是 ．
2．设函数若，，则关于x的方程解的个数为 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，且方程无实数根，下列命题：
①方程也一定没有实数根；②若，则不等式对一切实数都成立；
③若，则必存在实数，使
④若，则不等式对一切实数都成立．
其中正确命题的序号是 ①②④ ．
4．设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围．
解：令，
则由题意可得．
故所求实数的取值范围是．
5．已知函数是偶函数,求k的值；
解： 是偶函数，
由于此式对于一切恒成立，
6．已知二次函数．若a>b>c，　且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点.
证明：
的图象与x轴有两个交点.
第11课 函数模型及其应用
【考点导读】
1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．
2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．
3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．
【基础练习】
1今有一组实验数据如下：
1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，
① ② ③ ④
其中最接近的一个的序号是______③_______．
2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.
(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 解不等式得.
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．
(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f(t)；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)
解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
当0≤t≤200时，配方整理得
h(t)=－(t－50)2+100，
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0，200]上的最大值100；
当200所以，当t=300时，h(t)取得区间（200，300]上的最大值87.5．
综上:由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大
【反馈演练】
1．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________．
2．某地高山上温度从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m．
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．
4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少时用料最省
解：由题意得 xy+x2=8，∴y==(0则框架用料长度为l=2x+2y+2()=(+)x+≥4.
当(+)x=,即x=8－4时等号成立.
此时，x=8－4，，
故当x为8－4m，y为m时，用料最省.
映射
特殊化
函数
具体化
一般化
概念
图像
表 示 方 法
定义域 值域
单调性 奇偶性
基本初等函数Ⅰ
幂函数
指数函数
对数函数
二次函数
指数
对数
互 逆
函数与方程
应用问题
y
1
2
2
x
O
②
1
2
2
x
y
O
①
1
2
2
x
O
③
y
1
2
2
x
O
④
y
且且
第5题
(0≤x≤2)
x
y
O
1
2
3
4
10
20
30
40
50
60
例2
向上平移3个单位
向右平移1个单位
向右平移3个单位
作关于y轴对称的图形
O
y
x
1
－1
－1
O
y
x
图1
－1
O
y
x
图2
－1
O
y
x
图4
－1
O
y
x
图3
1
A
1
x
y
O
B
1
x
y
O
C
1
x
y
O
D
1
x
y
O
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
O
y
1
1
B．
x
O
y
x
1
1
A．
O
y
－1
1
D．
x
O
y
x
－1
1
C．
1
O
－1
1
x
y
第4题
第6题
第4题
x
y2013高中数学精讲精练 第五章 数列
【知识图解】
【方法点拨】
1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．
2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．
3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．
4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．
5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．
第1课　数列的概念
【考点导读】
1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；
2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系；
3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】
1.已知数列满足，则=。
分析:由a1=0,得 由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:
2．在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。
3．设数列的前n项和为， ，且，则____2__.
4．已知数列的前项和，则其通项 ．
【范例导析】
例1．设数列的通项公式是，则
（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？
（2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象；
（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？
分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：（1）由得：或
所以70是这个数列中的项，是第13项。
（2）这个数列的前5项是；（图象略）
（3）由函数的单调性：是减区间，是增区间，
所以当时，最小，即最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。
例2．设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上,求数列的通项公式。
分析：根据题目的条件利用与的关系： ，（要特别注意讨论n=1的情况）求出数列的通项。
解：依题意得，即。
当n≥2时，;
当n=1时， 所以。
例3．已知数列｛a｝满足,
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足,证明：是等差数列;
分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。
解：（I）
是以为首项，2为公比的等比数列。
即　
（II）
　　①
　　　　　②；
②－①，得 即③
∴　④
③－④，得　 即　是等差数列。
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。
【反馈演练】
1．若数列前8项的值各异，且对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍 前8项值的数列为 （2） 。
（1） （2） （3） （4）
2．设Sn是数列的前n项和，且Sn=n2，则是 等差数列，但不是等比数列 。
3．设f（n）=（n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于 。
4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn=（21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。
5．在数列中，则 505 。
6．数列中，已知，
（1）写出，，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？
解：（1）∵，∴，
，；
（2）令，解方程得，
∵，∴， 即为该数列的第15项。
第2课　等差、等比数列
【考点导读】
1． 掌握等差、等比数列的通项公式、前项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；
2． 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系；
3． 注意函数与方程思想方法的运用。
【基础练习】
1．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首项a1= -2 ，公差d= 3 。
2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是，第2项是 8 。
3．设是公差为正数的等差数列，若，，则。
4．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 3 。
【范例导析】
例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有
13 项。
（2）设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。
解：（1）答案：13
法1：设这个数列有n项
∵ ∴
∴n＝13
法2：设这个数列有n项
∵
∴ ∴
又 ∴n＝13
（2）答案：2 因为前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4
又a1·a2·a3＝48， ∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，
把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，
∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴选B.
点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。
例2．（1）已知数列为等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明
分析：（1）借助通过等差数列的定义求出数列的公差，再求出数列的通项公式，（2）求和还是要先求出数列的通项公式，再利用通项公式进行求和。
解：（1）设等差数列的公差为d，
由 即d=1。
所以即
（II）证明：因为，
所以
点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。
例3．已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。
（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值。
分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。
解：（1）∵ ∴
(n≥2)
由得，，∵，∴ ，
即从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 。
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。
【反馈演练】
1．已知等差数列中，，则前10项的和＝ 210 。
2．在等差数列中，已知则＝ 42 。
3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。
4．如果成等比数列，则 3 ， -9 。
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.
解：(1)依题意有：
解之得公差d的取值范围为－＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12, ∴， ∵d＜0, ∴2－＜k≤3－
∵－＜d＜－3,∴＜－＜4,得5.5＜k＜7.
因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，
因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1＜0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13=S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12=S12>0, ∴a6≥－a7>0
故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依题意得：
最小时，Sn最大；
∵－＜d＜－3, ∴6＜(5－)＜6.5.
从而，在正整数中，当n=6时，［n－ (5－)］2最小，所以S6最大.
点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.
第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解；思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.
第3课　数列的求和
【考点导读】
对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：
（1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式
（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含因式，周期数列等等）
（3）倒序相加法：如果一个数列｛a｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。
（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。
【基础练习】
1．已知公差不为0的正项等差数列｛an｝中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10,
则S5 = 30 。
2．已知数列｛an｝是等差数列,且a2=8,a8=26,从｛an｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列｛bn｝, 则bn=__3n+1+2___
3．若数列满足：，2，3….则.
【范例导析】
例1.已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求数列
解：（I）依题意
（II）
点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。
例2．数列前项之和满足：
（1） 求证：数列是等比数列；
（2） 若数列的公比为,数列满足：，求数列的通项公式；
（3） 定义数列为，，求数列的前项之和。
解：（1）由得：
两式相减得：　即,
∴数列是等比数列。
（2），则有 ∴。
（3），
∴
点评：本题考查了与之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。
例3．已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。
解：（Ⅰ），，
又，数列是首项为，公比为的等比数列．
，　 即.　　　　　　　　 　　
（Ⅱ）．
．
（Ⅲ）， ．
当时，则
．
， 对任意的，．
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。
【反馈演练】
1．已知数列的通项公式，其前项和为，则数列的前10项的和为 75 。
2．已知数列的通项公式，其前项和为，则 377 。
3．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为。
4．已知数列中，且有，则数列的通项公式为
，前项和为。
5．数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an＞0, 且(n+1)an2+an·an+1－nan+12=0，
又知数列{bn}的通项为bn=2n－1+1.
(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn；
(2)求数列{bn}的前n项和Tn；
解：(1）可解得，从而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
6．数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)设bn=(n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解：(1）由an+2=2an+1－anan+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差数列，
d==－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=－n2+9n，当n＞5时，Sn=n2－9n+40，
故Sn=
(3)bn=
；要使Tn＞总成立，需＜T1=成立，即m＜8且m∈Z，故适合条件的m的最大值为7.
第4课　数列的应用
【考点导读】
1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。
【基础练习】
1．若数列中，，且对任意的正整数、都有，则 .
2．设等比数列的公比为，前项和为，若成等差数列，则的值为 。
3．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则 。
【范例导析】
例1．已知正数组成的两个数列，若是关于的方程的两根
（1）求证：为等差数列；
（2）已知分别求数列的通项公式；
（3）求数。
（1）证明：由的两根得：
是等差数列
（2）由（1）知
∴　　　又也符合该式，
（3） ①
②
①—②得
.
点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。
例2．设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。
（I）求数列和的通项公式；
（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。
解：由题意得：
＝ ；
由已知得公比
（2）
，所以当时，是增函数。
又， 所以当时，
又， 所以不存在，使。
【反馈演练】
1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低，则平均每年应降低成本 。
2．等比数列的前项和为，，则 54 。
3．设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列｛｝的前项和，则．
4.已知数列
（1）求数列的通项公式； （2）求证数列是等比数列；
（3）求使得的集合.
解：（1）设数列，由题意得：
解得：
（2）由题意知：，
为首项为2，公比为4的等比数列
（3）由
5.已知数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，满足关系.
证明：是等比数列；
证明：∵ ① ∴ ②
②－①，得
∵
故:数列{an}是等比数列
函 数
数 列
一般数列
通项
前项 和
特殊数列
等差数列
等比数列
通项公式
中项性质
前项和公式
公式
通项公式
中项性质
前项和公式
公式2013高中数学精讲精练 第四章 平面向量与复数
【知识图解】
Ⅰ.平面向量知识结构表
Ⅱ.复数的知识结构表
【方法点拨】
由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。
复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。
1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.
2. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.
3. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.
4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.
第1课　向量的概念及基本运算
【考点导读】
1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.
2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.
3. 了解平面向量基本定理及其意义.
【基础练习】
1.出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是②③
2. 化简得
3.在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形
4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，
若＝a，＝b，则＝，
＝ (用a、b表示)
【范例导析】
例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
求证：.
分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明.
证明：如图，连接EB和EC ，
由和可得， （1）
由和可得， （2）
（1）+（2）得， （3）
∵E、F分别为AD和BC的中点，∴，，
代入（3）式得，
点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.
例2.已知不共线，,求证：A,P,B三点共线的充要条件是
分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.
解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得,即,∴∵,∴，∴
再证充分性：若则==,∴
与共线，∴A,P,B三点共线.
点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题.
【反馈练习】
1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C）
A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b|
2.设四边形ABCD中，有则这个四边形是（C）
A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：
①， ②， ③。
解析：①原式= ；
②原式= ；
③原式= 。
4.设为未知向量， 、为已知向量，满足方程2(5+34)+3=0，
则=（用、表示）
5.在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=（用a，b，c表示）
6如图平行四边形OADB的对角线OD,AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一点N满足CD＝3CN,设
解：
.
第2课　向量的数量积
【考点导读】
1. 理解平面向量数量积的含义及几何意义.
2. 掌握平面向量数量积的性质及运算律.
3. 掌握平面向量数量积的坐标表达式.
4. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题.
【基础练习】
1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么
2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值个数为2个
3. 若,，与的夹角为，若，则的值为
4.若，且，则向量与的夹角为 120°
【范例导析】
例1.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。
分析:利用及求解.
解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，同理可得 而，设为与的夹角，则
点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。
例2.已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，
（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.
分析:问题（1）通过证明证明,问题（2）可以利用
解：（1）∵ ，且、、之间的夹角均为120°，
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴
所以 或．
解:对于有关向量的长度、夹角的求解以及垂直关系的判断通常是运用平面向量的数量积解决.
例3.如图，在直角△ABC中，已知，若长为的线段以点为中点，问的夹角取
何值时的值最大？并求出这个最大值
分析:本题涉及向量较多,可通过向量的加减法则得
,再结合直角三
角形和各线段长度特征法解决问题
解：
点拨:运用向量的方法解决几何问题,充分体现了向量的工具性,对于大量几何问题,不仅可以用向量语言加以叙述,而且完全可以借助向量的方法予以证明和求解,从而把抽象的问题转化为具体的向量运算.
【反馈练习】
1.已知向量满足则与的夹角为
2.如图，在四边形ABCD中，
，则的值为4
3.若向量满足,的夹角为60°，则=
4.若向量,则
5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
解：（1）|a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2，∴
（2）（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b－3|b|2=2×42+5×（－10）－3×52=－93.
6.已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
解：∵且a+3b与7a-5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
∴（a+3b）·（7a-5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0 ∴7a2＋16 a·b－15 b2=0，7a2－30 a·b＋8 b2=0，
∴b2=2 a·b，|a|=|b| ∴ ∴
第3课　向量的坐标运算
【考点导读】
1. 掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
2. 会用坐标表示平面向量的加减及数乘、数量积运算.
3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行的有关问题.
【基础练习】
1若=，=，则=
2平面向量中，若，=1，且，则向量=
3.已知向量，且A、B、C三点共线，则k=
4.已知平面向量，，且，则1
【范例导析】
例1.平面内给定三个向量，回答下列问题：
（1）求满足的实数m,n；
（2）若，求实数k；
（3）若满足，且，求
分析:本题主要考察向量及向量模的坐标表示和向量共线的充要条件.
解：（1）由题意得
所以，得
（2）
（3）设，则
由题意得
得或∴
点拨:根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
例2.已知△ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求及点D的坐标、
分析:注意向量坐标法的应用,及平行、垂直的充要条件.
解：设点D的坐标为(x,y)
∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴⊥
又∵C、B、D三点共线，
∴∥
又=(x－2,y－1), =(－6,－3)
=(x－3,y－2)
∴
解方程组，得x=,y=
∴点D的坐标为(，)，的坐标为(－，)
点拨:在解题中要注意综合运用向量的各种运算解决问题.
例3．已知向量且
求（1）及；（2）若的最小值是，求的值。
分析:利用向量的坐标运算转化为函数的最值问题求解.
解：（1）
，
。
（2）
（1） 当时，
（2） 当时，
（3） 当时，
综上所述：。
点拨:注意运用不同章节知识综合处理问题,对于求二次函数得分最值问题,注意分类讨论.
【反馈练习】
1．已知向量，，则与 （A）
A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向
2.与向量a=b=的夹解相等，且模为1的向量是
3.已知向量且则向量等于
4.已知向量120°
5.若，试判断则△ABC的形状____直角三角形_____
6.已知向量，向量，则的最大值是 4
7.若是非零向量且满足， ，则与的夹角是
8.已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若||，且，求的坐标；
（2）若||=且与垂直，求与的夹角.
解：（1）设，由和可得：
∴ 　或
∴，或
（2） 即
∴ ， 所以
∴ ∵
∴ .
9.已知点是且试用.
解：以O为原点，OC，OB所在的直线为轴和轴建立如图3所示的坐标系.
由OA=2，，所以，
易求，设
.
第4课　 向量综合应用
【考点导读】
1. 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法解决向量知识内部综合问题和与函数、不等式、三角函数、数列等知识的综合问题.
2. 能从实际问题中提炼概括数学模型,了解向量知识的实际应用.
【基础练习】
1.已知a＝（5，4），b＝（3，2），则与2a－3b平行的单位向量为
2.已知＝1，＝1，a与b的夹角为60°，x＝2a－b,y＝3b－a，则x与y的夹角的余弦值为
【范例导析】
例1.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间。
分析:利用向量知识转化为函数问题求解.
解:（1）法一：由题意知x＝(,), y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴k ＝f (t) ＝t2－,
令k ＜0得－1＜t＜1；令k ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点拨:第1问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量的垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）。第2问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用。
例2.已知两个力（单位：牛）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：米）
（1） 求；
（2） 求与的合力对质点所做的功
分析:理解向量及向量数量积的物理意义,将物理中的求力和功的问题转化为向量问题解决.
点拨:学习向量要了解向量的实际背景,并能用向量的知识解决方一些简单的实际问题.
【反馈练习】
1.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3, 1)，B(－1, 3)， 若点C满足，其中，∈R且+=1，则点C的轨迹方程为x＋2y－5=0
2.已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是
3. 已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点,且|+|=|-|,其中O为原点,则实数a的值为2或-2
4.已知向量a=()，向量b=()，则|2a－b|的最大值是 4
5．如图， ，
（1）若∥，求x与y间的关系；
（2）在（1）的条件下，若有，求x,y的值及四边形ABCD的面积.
解（1）又∥
①
（2）由⊥，得（x－2）(6＋x)＋(y－3)·(y＋1)＝0,②
即x2＋y2＋4x－2y－15＝0 由①，②得或
第5课　复数的概念和运算
【考点导读】
1.了解数系的扩充的基本思想,了解引入复数的必要性.
2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数表示和几何意义.
【基础练习】
1.设、、、，若为实数，则
2.复数的共轭复数是
3.在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于第二象限
4.若复数满足方程，则
【范例导析】
例 .m取何实数时，复数（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
分析：本题是判断复数在何种情况下为实数、虚数、纯虚数．由于所给复数z已写成标准形式，即，所以只需按题目要求，对实部和虚部分别进行处理，就极易解决此题．
解：（1）当即 ∴时，z是实数．
（2）当即 ∴当且时，z是虚数．
（3）当即∴当或时，z是纯虚数．
点拨：研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件，学生易忽略这一点．如本题易忽略分母不能为0的条件，丢掉，导致解答出错．
【反馈练习】
1.如果复数是实数，则实数
2.已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝
3.若复数Z=，则Z+Z+1+i的值为0
4.设、为实数，且，则+=4.
向量的加、减法
向量的概念
向量
向量的运算
两个向量垂直的充要条件件件
两个向量平行的充要条件件件
向量的数量积
实数与向量的积
向量的运用
数系的扩充与
复数的引入
复数的概念
复数的运算
数系的扩充
O
A
P
Q
B
a
b
第4题
D
C
E F
A B
例1
第6题
例3
第2题
例2
第9题
第5题

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