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专题12多面体的外接球和内切球
一、结论
1.球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体
的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多
面体的内切球。
类型一球的内切问题（等体积法）
例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O,求球半径r,方法如下：
VP-ABCD VO-ABRCD +Vo-PBC+Vo-PCD+Vo-PAD+Vo-PAB
1
1
1
1
V.nn=,S8mr+气Scr+2Snmr+;Spw+sT,可求
3
31
3
类型二球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法（补长方体或正方体）
①墙角模型（三条线两个垂直）
题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）
图1
图2
图3
②对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，己知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD,
AD=BC,AC=BD)
3、单面定球心法（定+算）
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面△ABC,确定其外接圆
圆心0，（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=a):
sin A
②过外心O,做（找）底面△ABC的垂线，如图中PO⊥面ABC,则球心一定在直线（注意不一定在线段PO
上)PO上：
③计算求半径R:在直线PO上任取一点O如图：则OP=OA=R,利用公式OA2=OA2+OO2可计算
出球半径R.
4、双面定球心法（两次单面定球心）
如图：在三棱锥P-ABC中：
①选定底面△ABC,定△ABC外接圆圆心O
0
0
②选定面△PAB,定△PAB外接圆圆心O
A
③分别过O做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心
0.
二、典型例题
1.(2022山西吕梁.一模（文）)在《九章算术商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为整腸，
如图在鳖需ABCD中，AB⊥平面BCD,AB=BC=CD=1,BC⊥CD,则鳖鬧ABCD内切球的表面积为
)
A.3π
B.(3-2N2)x
C.12π
D.(3+2N2)x
【答案】B
【解析】
解：因为四面体ABCD四个面都为直角三角形，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,所以AB⊥BD,
AB⊥BC,BC⊥CD,AC⊥CD,设四面体ABCD内切球的球心为O,则
VACO-Vo-A+V-+Vo-o+Vo+)
所以内=
3V
SABCD
因为四面体ABCD的表面积为SAnCD=SAAC+SAD+SACD+SACD=1+V2,
又因为四面体ABCD的体积Vam=石'
1
=、=V2-1,所以S=4πr2=(3-22)π，
所以=

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