资源简介

1.4.2　充要条件
选题明细表
知识点、方法 题号
充分、必要条件的判定 1,2,3,4,8,11
充要条件的证明、探求、应用 5,6,7,9,10,12,13,14,15
基础巩固
1.(2020·江苏常州高一期中)已知a,b为实数,M:<,N:a(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分又不必要条件
解析:因为a,b为实数,所以由<,能够得到a反之,由a所以M是N的充分不必要条件.故选A.
2.已知p:A=,q:A∪B=B;则p是q的(　A　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当A=时,A∪B=B,反之,若A∪B=B,则A不一定为,故选A.
3.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N M”的(　A　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:a=1 N M,N M a2=1或2,所以N Ma=1.故“a=1”是“N M”的充分不必要条件.
4.(多选题)已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列结论正确的是(　ABD　)
(A)Δ=b2-4ac≥0是这个方程有实根的充要条件
(B)Δ=b2-4ac=0是这个方程有实根的充分条件
(C)Δ=b2-4ac>0是这个方程有实根的必要条件
(D)Δ=b2-4ac<0是这个方程没有实根的充要条件
解析:A对,Δ≥0 方程ax2+bx+c=0有实根;B对,Δ=0 方程ax2+bx+
c=0有实根;C错:Δ>0 方程ax2+bx+c=0有实根,但ax2+bx+c=0有实根Δ>0;D对,Δ<0 方程ax2+bx+c=0无实根.故选ABD.
5.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是　　　.
解析:函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0,b>0.
答案:k>0,b>0
6.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　 　　,若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.
解析:条件p:|x|≤m,可得-m≤x≤m,条件q:-1≤x≤4,
若p是q的充分条件,则-m≥-1,且m≤4,解得0答案:1　4
综合运用
7.(多选题)若不等式2x-7>0的解集是x>a的一个充分不必要条件,则a的值可以是(　BC　)
(A) (B)3 (C) (D)5
解析:依题意,{ x|x>} {x|x>a},故a的值小于.因此,B,C满足题意,选BC.
8.若实数x,y∈R,则甲:是乙:的(　B　)
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
解析:当时,甲成立,但乙不成立,所以充分性不成立;当时,显然成立,所以必要性成立.故选B.
9.设a是实数,则a<5成立的一个必要不充分条件是(　A　)
(A)a<6 (B)a<4
(C)a2<25 (D)>
解析:因为a<5 a<6,a<6 / a<5,所以a<6是a<5成立的一个必要不充分条件.
故选A.
10.(多选题)设全集为U,在下列条件中,是B A的充要条件的有(　ABCD　)
(A)A∪B=A (B)( UA)∩B=
(C) UA UB (D)A∪( UB)=U
解析:画出Venn图可知,
B A A∪B=A;B A ( UA)∩B=;B A UA UB;B A A∪( UB)=U.选ABCD.
11.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则(　B　)
(A)“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
(B)“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
(C)“x∈C”是“x∈A”的充要条件
(D)“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
解析:由非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,
知“x∈C”这个元素既可能来自集合A,也可能来自集合B,故“x∈C” “x∈A”不成立;“x∈A” “x∈C”成立,即“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件,故选B.
12.设a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合的条件,用序号填空:
(1)a,b都为0的必要条件是　　　　;
(2)“a,b都不为0”的充分条件是　　　　;
(3)“a,b至少有一个为0”的充要条件是　　　　.
解析:①ab=0 a=0或b=0,即a,b至少有一个为0;
②a+b=0 a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能为一正一负;
③a(a2+b2)=0 a=0或
④ab>0 或则a,b都不为0.
答案:(1)①②③　(2)④　(3)①
13.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明:设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,
①充分性(p q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.
当xy>0时,
即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,
|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,
所以等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
②必要性(q p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
所以|xy|=xy,
所以xy≥0.
由①②可得,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
素养培优
14.求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件.
解:当a=0时,原方程为一元一次方程,其根为x=-,符合要求.
当a≠0时,Δ=4-4a.
①当Δ=4-4a=0,即a=1时,方程有一个负根-1;
②当Δ=4-4a>0,即a<1时,方程只有一个负根 即a<0;
方程有两个不相等负根 即0综上所述,关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负实数根的充要条件是a≤1.
15.(2020·辽宁葫芦岛六校协作体高一期中)设p:x>a,q:x>3.　
(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;
(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.
解:设A={x|x>a},B={x|x>3}.
(1)若p是q的必要不充分条件,则有B A,所以a<3.
(2)若p是q的充分不必要条件,则有A B,所以a>3.
(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.

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