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精讲精练·专项突破
2021-2022学年高一下学期人教版（2019）
第六章 《平面向量及其应用》 单元能力提升（含详细解析）
一、单选题
1．（2021高二上·昌平期末）已知，则（　　）
A． B． C．12 D．14
【答案】C
【考点】向量的模
【解析】【解答】由，则，
所以 。
故答案为：C
【分析】利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合向量的模的坐标表示，从而求出向量的模。
2．（2021高二上·洛阳期中）在 中， ， ， ，则此三角形解的情况是（　　）
A．两解 B．一解 C．一解或两解 D．无解
【答案】D
【考点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】根据正弦定理有 ，则 .
此三角形无解.
故答案为：D.
【分析】根据题意由正弦定理代入数值整理化简，即可得出正弦值再由正弦函数的单调性即可得出答案。
3．（2021·淄博模拟）已知等边三角形 的边长为6，点 满足 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】依题意 ， ，
设 是 中点，连接 ，
由于三角形 是等边三角形，所以 ， ，
由于 ，所以 ，
所以四边形 是矩形，
所以 ，
中， ，
即 。
故答案为：C
【分析】依题意知 ，再利用三角形法则结合共线定理，得出 ，设 是 中点，连接 ，由于三角形 是等边三角形，再利用三线合一，所以 ， ，由于 ，所以 ，再利用直角三角形中正弦函数的定义，进而求出。
所以四边形 是矩形，
4．（2021·深圳模拟）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形 的边长为4，圆 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点 在正六边形的边上运动， 为圆 的直径，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】如下图所示，由正六边形的几何性质可知， 、 、 、 、 、 均为边长为 的等边三角形，
当点 位于正六边形 的顶点时， 取最大值 ，
当点 为正六边形各边的中点时， 取最小值，即 ，
所以， .
所以， .
故答案为： C .
【分析】 先利用平面向量的线性运算法则，将 用向量来表示，然后将所求表达成的形式，结合函数思想求范围.
5．（2021高一下·江苏期中）设 为单位向量，满足 ，设 的夹角为 ，则 的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【考点】函数的最值及其几何意义；数量积表示两个向量的夹角；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】因为 为单位向量，
不妨设 ，且 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
化简得 ，所以 ，
，
，
当 时， ，
故答案为：C
【分析】 利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求出cosA函
数关系式，再根据函数单调性求出最值.
6．（）已知正的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（　　）
A． B．3 C．2 D．
【答案】B
【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域
【解析】【解答】如图所示：
设，
因为正的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，
所以，
则，
所以，
所以，
，
，
，
因为，
所以，
当，即时，
取得最大值是3，
故选：B
【分析】设，则，，求得点A,点C的坐标，进而求得，根据正弦函数的性质即可求解出 的最大值 .
7．（2020高二上·汕尾期末）已知向量 则 （　　）
A．-4 B．4 C． D．
【答案】A
【考点】平面向量的坐标运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：因为 所以
因为 ，所以 ，所以 ，解得
故答案为：A
【分析】利用平面向量垂直的充要条件，结合向量加法、数乘和数量积的坐标运算，代入数值即可求解。
8．（2021高三上·南通月考）已知向量 ， 满足 ，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由 可得 即 ，
设向量 ， 夹角为 ，则 ，
由数量积的定义可得： ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时，显然成立；
当 时，可得 ，
因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，即 ，可得 ，
所以 ，
所以 的取值范围是： 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的定义，从而求出 ，再利用分类讨论的方法结合数量积求向量的夹角公式，从而结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出 的取值范围 。
二、多选题
9．（2021·邢台模拟）若 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】对于AC， ， ；
，
，A不符合题意；
，C符合题意；
对于BD， ， ，
即 ，
，
，
，B符合题意，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】由两角和的正、余弦公式以及诱导公式整理化简即可判断出选项A错误；由同角三角函数的基本关系式整理化简即可判断出选项B与C正确，D错误，从而得出答案。
10．（2021高二上·沈阳月考）已知正方体 ，下列说法中正确的是（　　）
A．
B．
C．向量 与向量 的夹角是
D．正方体 的体积为
【答案】A,B
【考点】平面向量的基本定理及其意义；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】A： 两两垂直，且 ，所以 ，正确；
B：由 ，所以 ，正确；
C： 是等边三角形， ，又 ， 异面直线 与 所成的夹角为 ，但是向量 与向量 的夹角是 ，错误；
D：由图知： ，正方体 的体积不为 ，错误；
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合正方体的结构特征，再利用平面向量基本定理、数量积的运算法则，两向量垂直数量积为0的等价关系，数量积求向量夹角公式、正方体的体积公式，从而找出说法正确的选项。
11．（2021高一下·丽水期中）在 中，根据下列条件解三角形，其中无解的是（　　）．
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】A,C
【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：A项，由正弦定理得无解，所以A符合题意；
B项，由正弦定理得，且c>b，所以此三角形有两个解，所以B不符合题意；
C项，由正弦定理得无解，所以C符合题意；
D项，由正弦定理得，且c>b，所以B=30°，C=60°，A=90°，此三角形有一个解，所以D不符合题意.
故答案为：AC
【分析】由正弦定理，结合正弦函数的值域以及三角形的性质逐项判断即可.
12．（2021高一下·越秀期末）已知点 在 所在平面内，则（　　）
A．满足 时， 是 的外心
B．满足 时， 是 的重心
C．满足 时， 是 的内心
D．满足 时， 是 的垂心
【答案】B,C
【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理
【解析】【解答】A. ，得 ，即 ，
同理 ， ，所以点 是 三条垂线的交点，所以 是 的垂心，A不符合题意；
B.若 时， ，设点 是 的中点，所以 ，
同理设 是 和 的中点，所以 ， ，所以 是 的三条中线的交点，即点 是 的重心，B符合题意；
C. ，由正弦定理可知
，
所以 ,
故 ，所以点 在 的角平分线上，
同理可证明点 在 和 的角平分线上，故点 为 的内心，C符合题意；
D.当 是直角三角形，且 ， ， 时，满足 时，即 ，即点 是斜边 的中点，点 是 的外心，不是垂心，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】 由平面向量数量积的性质和三角形的外心、重心、内心、垂心的定义逐一进行判断即可.
三、填空题
13．（2020高二上·金台期末）已知平面 经过点 ，且 的法向量 ，则 到平面 的距离为　 　.
【答案】
【考点】数量积的坐标表达式；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】由已知 ，则 在法向量 方向的投影为 ，
所以 到平面 的距离为 ．
故答案为： ．
【分析】根据题意首先求出向量的坐标再由投影的公式代入数值计算出结果即可。
14．（2021高二上·重庆期中）已知正方体 的棱长为4， ，点 为 的中点，则 　 　．
【答案】
【考点】向量的模；空间中的点的坐标；空间向量运算的坐标表示
【解析】【解答】如图所示，以点 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系 .
因为正方体 的棱长为4， ，点 为 的中点，
所以 ， ，故 ．
故答案为： .
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由中点的性质求出各个点以及向量的坐标，然后结合向量模的公式，代入数值计算出结果即可。
15．（2020高二上·吕梁期末）已知焦点在x轴上的椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线l过 ，且和椭圆C交于A，B两点， ， ，则椭圆C的离心率为　 　．
【答案】
【考点】向量的模；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为 ，又 ， ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，所以A在椭圆的短轴上，不妨设A为上端点，设
则 ,又因为 ，所以 ， ，
所以
，故
把B的坐标代入椭圆方程得 ，所以 ，故 .
故答案为：
【分析】根据题意由椭圆的定义整理化简已知条件即可得到，即从而判断出A在椭圆的短轴上，然后设出点的坐标，结合向量的坐标公式以及向量模的公式计算出点B的坐标，然后把点的坐标代入到椭圆的方程，结合离心率公式整理即可得出答案。
16．（2021高一下·大通期末）已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ，则 面积的最大值是　 　．
【答案】
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立．
故答案为：
【分析】 由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 结合sinB≠0,可求cosB的值,进而可求B的值，由余弦定理，基本不等式可得:,进而利用三角形面积公式即可得解△ABC面积的最大值.
四、解答题
17．（2021高一下·浙江期中）已知向量 ， ，且 ．
（1）设向量 与 的夹角为 ，求 的值；
（2）若 ，求实数 的值．
【答案】（1）解： 设向量 与 的夹角为 ， 向量 ， ，所以 ，
且 ，
，
．
（2）解：因为 ，
则 ，
．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由展开，借助向量数量积的定义即可求出 ；
（2）由 ，可得 ，展开即可求k.
18．（2021高三上·安徽月考）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， .
（1）求角 ；
（2）求 的面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意可得： ，
再由正弦定理得
，即 ，
又 ，所以 ，又 ，所以
（2）解： ， ，
故 ，
，当且仅当 时，取到最大值
【考点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ，由于sinA≠0，利用同角三角函数基本关系式可求 ，结合范围C∈(0, π)，可求C；
(2)由余弦定理，基本不等式可求 ，进而利用三角形面积公式即可计算得解.
19．（2021高一下·揭西期末）在条件①： ， ：条件②： ， 这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 ，若________．
（1） 的值；
（2） 和 的面积．
【答案】（1）选择条件①（1） ， ，
，
选择条件② ， ，
， 由正弦定理得： ， ，
（2）注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
选择条件①
， ，
由正弦定理得： ， ，
选择条件②
【考点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 （1）选择条件①，利用已知条件结合余弦定理，从而求出a的值。选择条件②，利用已知条件结合三角形中角的取值范围，进而求出角A的正弦值和角B的正弦值，再利用正弦定理，从而求出a的值。
（2）选择条件①，利用已知条件结合三角形中角A的取值范围，再结合同角三角函数基本关系式，进而求出角A的正弦值，再结合正弦定理，从而求出角C的正弦值，再利用三角形的面积公式，从而求出三角形的面积。选择条件②，利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质和诱导公式，再结合两角和的正弦公式，进而求出角C的正弦值，再结合三角形面积公式，进而求出三角形的面积。
20．（2021高二上·湖南月考）某校兴趣小组在如图所示的矩形区域 内举行机器人拦截挑战赛，在E处按 方向释放机器人甲，同时在A处按 方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域 内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败.已知 米，E为 中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记 与 的夹角为 ， 与 的夹角为
（1）若两机器人运动方向的夹角为 足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍
（i）若 足够长，求机器人乙能否挑战成功.
（ii）如何设计矩形区域 的宽 的长度，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度 使机器人乙挑战成功？
【答案】（1）解：如图，在 中
由余弦定理得， ，
所以 ，
所以 ，（当且仅当 时等号成立），
故两机器人运动路程和的最大值为6.
（2）解：（i）在 中由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故 ，因为 ，可知两机器人的运动方向平行，所以不论 多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功.
（i）设 ，则 ，
由余弦定理可得 ，所以
所以
由题意得 对任意 恒成立，
故 ，当且仅当 时取到等号.
答：矩形区域 的宽 至少为2米，才能确保无论 的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域 内成功拦截机器人甲.
【考点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)在△AEM中，运用余弦定理,可得 ，再结合不等式的性质，即可求解；
(2) (i)在△A EM中,由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，故AM = 2EM , 运用正弦定理可得解；
（ii）设 ，则 ， ，由余弦定理可得 即 ，再结合 对任意 恒成立，即可求解.
21．（2021高一下·宿州期中）已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.
（1）求角C的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：因为
由正弦定理可得，即.
由余弦定理知
又因，所以；
（2）解：，的面积，
即，
所以
，
所以，即.
所以的周长为.
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，从而得出角C的余弦值，再结合三角形中角C的取值范围，进而得出角C的值。
（2）利用已知条件结合角C的值求出角C的正弦值，再结合三角形的面积公式得出ab的值，再利用余弦定理得出a+b的值，再由三角形的周长公式得出三角形 的周长 。
22．（2021高三上·郴州月考）如图，在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， .
（1）求角 的大小；
（2）已知 ， 为 的中点，且 ，求 面积.
【答案】（1）解：∵ ，由正弦定理得： ，
∵ ，∴ ，
又 ，∴ .∴ .
（2）∵ ， 为 的中点，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
而 ，∴ ，∴ ，∴ .
在 中，由余弦定理有 ，解得 .
∴ .
【考点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理，从而结合三角形中角的取值范围，进而求出角A的正弦值，再利用三角形大边对应大角的性质，得出角A的取值范围，进而求出角A的值。
（2）利用已知条件结合中点的性质，得出 ， 再利用 ，结合诱导公式得出 ， 再利用余弦定理得出 ，再利用余弦定理得出b的值，再结合三角形的面积公式，从而求出三角形 面积。
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