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新型中考试题及分析
1， 请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x所以x=． 把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0
化简，得y2+2y﹣4=0 故所求方程为y2+2y﹣4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
已知方程x2+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，
则所求方程为：　 　；
（2）己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数．
分析：根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．
解答：解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x所以x=﹣y． 把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，
故所求方程为y2﹣y﹣2=0；
（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0） 把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b?+c=0
去分母，得a+by+cy2=0． 若c=0，有ax2+bx=0，于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意， ∴c≠0，
故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．
点评：本题是一道材料题，考查了一元二次方程的应用，以及解法，是一种新型问题，要熟练掌握．
2，如图，线段AD=5，⊙A的半径为1，C为⊙A上一动点，CD的垂直平分线分别交CD，AD于点E，B，连接BC，AC，构成△ABC，设AB=x．
（1）求x的取值范围；
（2）若△ABC为直角三角形，则x=　 　；
（3）设△ABC的面积的平方为W，求W的最大值．
分析：（1）由AD=5，AB=x，BE垂直平分CD，可得BC=BD=5﹣x，又由，⊙A的半径为1，根据三角形三边关系，即可求得x的取值范围；
（2）分别从若AB是斜边与BC是斜边去分析，利用勾股定理的知识，借助于方程即可求得x的值；
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（xh）2=x2h2，由AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，则1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，分别从2.4＜x＜3时与2＜x≤2.4去分析，即可求得答案．
解答：解：（1）∵AD=5，AB=x，BE垂直平分CD， ∴BC=BD=5﹣x，在△ABC中，AC=1，
∴（5﹣x）﹣1＜x＜1+（5﹣x）， 解得：2＜x＜3；
（2）∵△ABC为直角三角形， 若AB是斜边，则AB2=AC2+BC2， 即x2=（5﹣x）2+1， ∴x=2.6；
若BC是斜边，则BC2=AB2+AC2， 即（5﹣x）2=x2+1， ∴x=2.4． 故答案为：2.4或2.6．
（3）在△ABC中，作CF⊥AB于F，设CF=h，AF=m，则W=（xh）2=x2h2，
①如图，当2.4＜x＜3时，AC2﹣AF2=BC2﹣BF2，则1﹣m2=（5﹣x）2﹣（x﹣m）2，
得：m=， ∴h2=1﹣m2=，
∴W=x2h2=﹣6x2+30x﹣36， 即W=﹣6（x﹣）2+， 当x=2.5时（满足2.4＜x＜3），W取最大值1.5
②当2＜x≤2.4时，同理可得：W=﹣6x2+30x﹣36=﹣6（x﹣）2+， 当x=2.4时，W取最大值1.44＜1.5，
综合①②得，W的最大值为1.5．
点评：此题考查了三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质以及二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与分类讨论思想的应用．
3， 如图，△ABC是边长为1的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2．照此规律作下去，则S2011=　 ．
分析：先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2011的值．
解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=AB?sin∠A=1×=， ∵DF、EF是△ABC的中位线， ∴AF=， ∴S1=××=；
同理可得，S2=×；… ∴Sn=（）n﹣1；∴S2011=?（表示为?亦可）．故答案为：S2011=?（表示为?亦可）．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
4，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
分析：从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG．构造出△GFE≌△GMC．易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明．
解答：解：（1） EG=CG，EG⊥CG． （2）EG=CG，EG⊥CG．
证明：延长FE交DC延长线于M，连MG． ∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，
∴四边形BEMC是矩形．∴BE=CM，∠EMC=90°，又∵BE=EF，∴EF=CM．∵∠EMC=90°，FG=DG，∴MG=FD=FG． ∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．∵EF=CM，∴FM=DM，∴∠F=45°．又FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°， ∴∠F=∠GMC． ∴△GFE≌△GMC． ∴EG=CG， ∠FGE=∠MGC．
∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD， ∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，
即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．
点评：此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大．
5，（本题满分10分）
在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：
[来源:中+国教+育出+版网]
[来源:z|zs|tep.com]
[来源:21世纪教育网21世纪教育网]
（2）观察发现：[来源:中*国教*育出*版网]
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数 的图象上；平移2次后在函数 的图象上……由此我们知道，平移次后在函数 的图象上．（请填写相应的解析式）[来源:21世纪教育网]
（3）探索运用：
点P从点O出发经过次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．
教网]解析：（1）（说明：描点正确得1分，坐标填写正确得1分）
[来源:21世纪教育网]
[来源:中#教#网z#z#s#tep]
（2）；；．育出&版网]
（3）设点Q的坐标为，依题意， 解这个方程组，得到点Q的坐标为．
∵平移的路径长为，∴50≤≤56． ∴37.5≤≤42．
而点Q的坐标为正整数，因此点Q的坐标为，．
6，问题情境:已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
数学模型:设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为．
探索研究:⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
填写下表，画出函数的图象：
x
……
1
2
3
4
……
y
……
……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还
可以通过配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
解决问题:⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【答案】 解:⑴①
x
……
1
2
3
4
……
y
……
2
……
函数的图象如图． ②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2．
③== =
当=0，即时，函数的最小值为2．
⑵仿⑴③== = 当=0，即时，函数的最小值为．
⑵当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为．
7，某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）
问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．
经探究知＝S△ABC，请证明．

问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD＝1，求．
问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2，P3Q3
将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
【答案】解：问题1：∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，
∴P1R1∥P2R2∥BC．∴△AP1 R1∽△AP2R2∽△ABC，且面积比为1:4:9．
∴＝S△ABC＝S△ABC
问题2：连接Q1R1，Q2R2，如图，由问题1的结论，可知
∴＝S△ABC ，＝S△ACD
∴＋＝S四边形ABCD
由∵P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC，Q1，Q2三等分边DC，
可得P1R1:P2R2＝Q2R2:Q1R1＝1:2，且P1R1∥P2R2，Q2R2∥Q1R1．
∴∠P1R1A＝∠P2R2A，∠Q1R1A＝∠Q2R2A．∴∠P1R1Q1＝∠P2R2 Q2．
由结论（2），可知＝．
∴＝＋＝S四边形ABCD．
问题3：设＝A，＝B，设＝C，
由问题2的结论，可知A＝，B＝．
A＋B＝(S四边形ABCD＋C)＝(1＋C)． 又∵C＝(A＋B＋C)，即C＝[(1＋C)＋C]．
整理得C＝，即＝ 问题4：S1＋S4＝S2＋S3．
【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。
问题2：由问题1的结果和所给结论（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比，可得。
问题3：由问题2的结果经过等量代换可求。 问题4：由问题2可知S1＋S4＝S2＋S3＝。
8，已知：如图1，图形①满足AD=AB，MD=MB，∠A=72°，∠M=144°．图形②与图形①恰好拼成一个菱形（如图2）．记AB的长度为a，BM的长度为b．
（1）图形①中∠B=　 　°，图形②中∠E=　 　°；
（2）小明有两种纸片各若干张，其中一种纸片的形状及大小与图形①相同，这种纸片称为“风筝一号”；另一种纸片的形状及大小与图形②相同，这种纸片称为“飞镖一号”．
①小明仅用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形，需要这种纸片　 　张；
②小明若用若干张“风筝一号”纸片和“飞镖一号”纸片拼成一个“大风筝”（如图3），其中∠P=72°，∠Q=144°，且PI=PJ=a+b，IQ=JQ．请你在图3中画出拼接线并保留画图痕迹．（本题中均为无重叠、无缝隙拼接）
分析：（1）连接AM，根据三角形ADM和三角形ABM的三边对应相等，得到两三角形全等，根据全等三角形的对应角相等得到角B和角D相等，根据四边形的内角和为360°，由角DAB和角DMB的度数，即可求出角B的度数；根据菱形的对边平行，得到AB与DC平行，得到同旁内角互补，即角A加角ADB加角MDC等于180°，由角A和角ADB的度数即可求出角FEC的度数；
（2）①由题意可知，“风筝一号”纸片中的点A与正十边形的中心重合，由角DAB为72°，根据周角为360°，利用360°除以72°即可得到需要“风筝一号”纸片的张数；
②以P为圆心，a长为半径画弧，与PI和PJ分别交于两点，然后以两交点为圆心，以b长为半径在角IPJ的内部画弧，两弧交于一点，连接这点与点Q，画出满足题意的拼接线．
解答：解：（1）连接AM，如图所示：
∵AD=AB，DM=BM，AM为公共边， ∴△ADM≌△ABM， ∴∠D=∠B，
又因为四边形ABMD的内角和等于360°，∠DAB=72°，∠DMB=144°，
∴∠B==72°； 在图2中，因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=∠A+∠ADM+∠CEF=180°，∠A=72°，∠ADM=72°， ∴∠CEF=180°﹣72°﹣72°=36°；
（2）①用“风筝一号”纸片拼成一个边长为b的正十边形， 得到“风筝一号”纸片的点A与正十边形的中心重合，又∠A=72°， 则需要这种纸片的数量==5；
②根据题意可知：“风筝一号”纸片用两张和“飞镖一号”纸片用一张， 画出拼接线如图所示：
故答案为：（1）72°；36°；（2）①、5．
点评：此题考查掌握菱形的性质，灵活运用两三角形的全等得到对应的角相等，掌握密铺地面的秘诀，锻炼学生的动手操作能力，培养学生的发散思维，是一道中档题．
9，(本题满分10分)十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案 (简称“个税法草案”)，拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：
税级
现行征税方法
草案征税方法
月应纳税额x
税率
速算扣除数
月应纳税额x
税率
速算扣除数
1
x≤500
5％
0
x≤1 500
5％
0
2
50010％
25
150010％
▲
3
200015％
125
450020％
▲
4
500020％
375
900025％
975
5
2000025％
1375
3500030％
2725
注：“月应纳税额”为个人每月收入中超出起征点应该纳税部分的金额．
“速算扣除数”是为快捷简便计算个人所得税而设定的一个数．
例如：按现行个人所得税法的规定，某人今年3月的应纳税额为2600元，他应缴税款可以用下面两种方法之一来计算：
方法一：按1～3级超额累进税率计算，即500×5％+1500×10％十600×15％=265(元)．
方法二：用“月应纳税额x适用税率一速算扣除数”计算，即2600×15％一l25=265(元)。
(1)请把表中空缺的“速算扣除数”填写完整；
(2)甲今年3月缴了个人所得税1060元，若按“个税法草案”计算，则他应缴税款多少元?
(3)乙今年3月缴了个人所得税3千多元，若按“个税法草案”计算，他应缴的税款恰好不变，那么乙今年3月所缴税款的具体数额为多少元?
【答案】（1）75 ……………………1分 525； ……………………3分
（2）设甲的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x－375＝1060 ……………………4分
解得x＝7175，∴甲这个月的应纳税所得额是7175元 ……………………………5分
若按“个税法草案”计算，则他应缴税款为(7175－1000)×20%－525＝710(元) 6分
（3）设乙的月应纳税所得额为x元，根据题意得20%x－375＝25%( x－1000)－975， 8分
解得x＝17000……………………………………………………………………………9分
∴乙今年3月所缴税款的具体数额为17000×20%－375＝3025(元) ……………10分
10，某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：
定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形.
结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：
甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在____个、________个、_______个大小不同的内接正方形.
乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大.
丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
任务：（1）填充甲同学结论中的数据；
（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；
（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明（如图，设锐角△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.若你对本小题证明有困难，可直接用“”这个结论，但在证明正确的情况下扣1分）.

.解析: （１）1,2,3. （２）乙同学的结果不正确. 例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，则. 如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方
形.设它的边长为a,则依题意可得：，∴. 如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜上的内接正方形.设它的边长为,则依题意可得：，∴. ∴.
（３）丙同学的结论正确.
设△ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接
方形的边长分别为. 依题意可得：， ∴.同理 .
∵
=
=
=
又∵， ∴， ∴，即.
∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.
11，依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。
解：原方程可变形为 (__________________________)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (__________________________)
去括号，得9x+15=4x-2. （____________________________）
(____________________),得9x-4x=-15-2. (____________________________)
合并，得5x=-17. (合并同类项)
（____________________）,得x=. （_________________________）
【答案】解：原方程可变形为 (__分式的基本性质_________)
去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_____等式性质2________________)
去括号，得9x+15=4x-2. （___去括号法则或乘法分配律_________）
(______移项_______),得9x-4x=-15-2. (__等式性质1__________)
合并，得5x=-17. (合并同类项)
（_______系数化为1____）,得x=. （__等式性质2________）
12，根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。
（1）如图①△ABC中，∠C=90°，∠A=24°
①作图：
②猜想：
③验证：
（2）如图②△ABC中，∠C=84°，∠A=24°.
①作图：
②猜想：
③验证：
【答案】
(1)①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A(或∠BCD=∠B)两类方法均可，
在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求
②猜想：∠A+∠B=90°
③验证：如在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°时，有∠A+∠B=90°，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
（2）答：①作图：痕迹能体现作线段AB(或AC、或BC)的垂直平分线，或作∠ACD=∠A或在线段CA上截取CD=CB三种方法均可。在边AB上找出所需要的点D，则直线CD即为所求
②猜想：∠B=3∠A
③验证：如在△ABC中，∠A=32°，∠B=96，有∠B=3∠A，此时就能找到一条把△ABC恰好分割成两个等腰三角形的直线。
13●观察计算
当，时， 与的大小关系是__________．当，时， 与的大小关系是__________．
●探究证明
如图所示，为圆O的内接三角形，为直径，过C作于D，设，BD=b．
（1）分别用表示线段OC，CD；
（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）．
●归纳结论
根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：____________．
●实践应用
要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．
解析；
●观察计算:>， =.
●探究证明：
（1），
∴ AB为⊙O直径, ∴.
，， ∴∠A=∠BCD.
∴△∽△.
∴. 即, ∴.
（2）当时,, =；时,, >． ●结论归纳: ．
●实践应用
设长方形一边长为米,则另一边长为米,设镜框周长为l米，则 ≥ ． 当,即（米）时,镜框周长最小． 此时四边形为正方形时,周长最小为4 米.
14，如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是a cm，若铁钉总长度为6cm，则a的取值范围是（ ）
,分析：由题意得敲击2次后铁钉进入木块的长度是a+a，而此时还要敲击1次，所以两次敲打进去的长度要小于6，经过三次敲打后全部进入，所以三次敲打后进入的长度要大于等于6，列出不等式组即可得出答案．
解答：解：∵每次钉入木块的钉子长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是acm，
根据题意得：敲击2次后铁钉进入木块的长度是a+a═a（cm） 而此时还要敲击1次，
∵a的最大长度为：6cm， 故a＜6，
第三次敲击进去最大长度是前一次的，也就是第二次的=a（cm），
∴， ∴a的取值范围是：≤a＜． 故答案为：≤a＜，
点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确的分析得出两次敲打进去的长度和三次敲打进去的长度是解决问题的关键．
15，如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），点D是线段BC 上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段0A上时，且．若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
,分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
解答：解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（﹣3，0），（0，1），
∴B（﹣3，1），
若直线经过点A（﹣3，0）时，则b=，
若直线经过点B（﹣3，1）时，则b=， 若直线经过点C（0，1）时，则b=1，
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1， 此时E（2b，0）， ∴S=OE?CO=×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2
此时E（﹣3，），D（2b﹣2，1）， ∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）?（﹣b）+×3（b﹣）] =b﹣b2，∴S=；
（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积 由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形， 根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED， ∴∠MED=∠MDE， ∴MD=ME， ∴平行四边形DNEM为菱形． 过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，=，DH=1， ∴HE=2， 设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12， ∴a=， ∴S四边形DNEM=NE?DH=．
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，
16， 问题提出
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N=0，则M=N；
若M﹣N＜0，则M＜N．
问题解决
如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个矩形，试比较两个小正
方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小．
解：由图可知：M=a2+b2，N=2ab． ∴M﹣N=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2．
∵a≠b，∴（a﹣b）2＞0． ∴M﹣N＞0． ∴M＞N．
类别应用
（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a、b是正数，且a≠b），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（b＞c）．
联系拓广
小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中b＞a＞c＞0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．
分析：类比应用（1）首先得出﹣=，进而比较得出大小关系；
（2）由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（a﹣c+b+3c）=2a+2b+4c，利用两者之差求出即可．
联系拓广：分别表示出图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，
图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系．
解答：解：类比应用
（1）﹣=， ∵a、b是正数，且a≠b， ∴＞0，
∴＞， ∴小丽所购买商品的平均价格比小颖的高；
（2）由图知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c， N1=2（a﹣c+b+3c）=2a+2b+4c，
M1﹣N1=2a+4b+2c﹣（2a+2b+4c）=2（b﹣c）， ∵b＞c，∴2（b﹣c）＞0，
即：M1﹣N1＞0，∴M1＞N1， ∴第一个矩形大于第二个矩形的周长．
联系拓广
设图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，
设图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，
设图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，
∵L1﹣L2=4a+4b+8c﹣（4a+4b+4c）=4c＞0， ∴L1＞L2，
∵L3﹣L2=6a+4b+6c﹣（4a+4b+4c）=2a+2c＞0， ∴L3﹣L1=6a+4b+6c﹣（4a+4b+8c）=2（a﹣c）， ∵a＞c，
∴2（a﹣c）＞0， ∴L3＞L1． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长．
点评：此题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键．
17，如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．
（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；
（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；
（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．
分析：（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出∠KNM，∠KMN的度数，根据三角形内角和即可求解；
（2）过M点作ME⊥DN，垂足为E，通过证明NK≥1，由三角形面积公式可得△MNK的面积不可能小于；
（3）分情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合；情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC两种情况讨论求解．
解答：解：（1）∵ABCD是矩形， ∴AM∥DN． ∴∠KNM=∠1． ∵∠1=70°， ∴∠KNM=∠KMN=70°，
∴∠MKN=40°．
（2）不能．
过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=1． ∵∠KNM=∠KMN， ∴MK=NK，又MK≥ME， ∴NK≥1．
∴△MNK的面积=NK?ME≥． ∴△MNK的面积不可能小于．
（3）分两种情况：
情况一：将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合． MK=MD=x，则AM=5﹣x．
由勾股定理得12+（5﹣x）2=x2， 解得x=2.6． ∴MD=ND=2.6． S△MNK=S△MND==1.3．
情况二：将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC． MK=AK=CK=x，则DK=5﹣x．
同理可得MK=NK=2.6． ∵MD=1 ∴S△MNK=S△MND==1.3． △MNK的面积最大值为1.3．
点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，注意分类思想的运用，综合性较强，有一点的难度．
18，知识背景：恩施来凤有一处野生古杨梅群落，其野生杨梅是一种具特殊价值的绿色食品．在当地市场出售时，基地要求“杨梅”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍，如图）
（1）实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米．
①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是多少平方米？
②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．
（2）拓展思维：北方一家水果商打算在基地购进一批“野生杨梅”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．
分析：（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，再利用图形得出QM=+0.5+1+0.5+=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；
②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可．
解答：解：（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，
∴假设底面长为x，宽就为0.6x， ∴体积为：0.6x?x?0.5=0.3， 解得：x=1， ∴AD=1，CD=0.6，
DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3， WQ=MK=AD=， ∴QM=+0.5+1+0.5+=3，
FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2， ∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2=6.6平方米；
②从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
∵如图可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面积相等，且和为2个矩形FDQD1，
又∵菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积；
∴从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，
（2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时，
∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，将变为原来的，高再变为原来的一半时，
体积将变为原来的， ∴水果商的要求不能办到．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及正方形性质与菱形性质等知识，根据题意得出DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，WQ=MK=AD=是解决问题的关键．
19，如图，在平面直角坐标系中，直线AC：与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B（x0，0），其中x0＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．
（1）求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P0，使P0到点A与点C的距离之和最小；
（2）若△PAC周长的最小值为，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（3）如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动（M不与端点C、O重合），过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P0HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）的条件下，当时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．（备用图图3）
分析：（1）由题意A、B点关于抛物线对称，则BC所在直线与对称轴的交点即为P0；
（2）由（1）所求可知该题周长最小即为 AC+BC的长，从而求出x0，而解得；
（3）由在三角形OBC∽三角形CMN，得到高关于t的式子，因为MH∥BC，得到三角形MHP0三角形底边关于t的表达式，根据t的取值范围，从而求得S的最大值．
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t，从而得到点M的坐标，从而证明各点．
解答：解：（1）由题意直线AC与x轴的交点为A， 所以当y=0，则x=﹣6， 所以点A（﹣6，0）．
同理点C（0，8）， 由题意，A、B是抛物线y=ax2+bx+8与x轴的交点，
∴﹣6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的两个根， ∴﹣6+x0=﹣，﹣6x0=， ∴a=﹣，b=﹣+．
∵A、B点关于抛物线对称，∴BC所在直线与对称轴的交点即为P0．
设直线BC的解析式为y=mx+n，则n=8，mx0+n=0， ∴m=﹣，n=8． ∴BC的解析式为y=﹣x+8．
∴当x=﹣=时，y=+4， ∴P0的坐标为（，+4）；
（2）由（1）可知三角形PAC最小即为AC+BC=10， +=10，
解得x0=10或x0=﹣10（不符舍去）， 则点B（10，0），
由点A，B，C三点的二次函数式为y==﹣
（x﹣2）2+． 顶点N（2，）；
（3）如图，作MN⊥BC与N， 则在三角形OBC∽三角形CMN，
所以， 即h=．因为MH∥BC， 所以，
解得MH==，
S==，
因为每秒移动2个单位， 则当t=2时符合范围0＜t＜4， 所以当t为2时S最大；
（4）把S的取值代入（3）中表达式中求得t， 从而得到点M的坐标，，即
则解得t=2， 则由题意知CEF三点所在圆半径为4， 所以直线CN与CFE所在圆相切．
点评：本题考查了二次函数的综合应用，知道三点求二次函数式，考查一次函数与二次函数的结合求三角形面积，知道面积求点，很好结合，是道好题．
20，（2011?十堰）如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与y轴交丁点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），己知点H（0，﹣1）．问在抛物线上是否存在点G （点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由：
（3）如图（2），抛物线上点D在x轴上的正投影为点E（﹣2，0），F是OC的中点，连 接DF，P为线段BD上的一点，若∠EPF=∠BDF，
求线段PE的长．
分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（1，0）和点 B，与y轴交丁点C （0，﹣3），利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分别从GH∥AC与GH与AC不平行去分析，注意先求得直线GH的解析式，根据交点问题即可求得答案，小心不要漏解；
（3）利用待定系数法求得直线DF的解析式，即可证得△PBE∽△FDP，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答：解：（1）由题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；
（2）解法一： 假设在抛物线上存在点G，设G（m，n），显然，当n=﹣3时，△AGH不存在．
①当n＞﹣3时， 可得S△GHA=﹣++，S△GHC=﹣m， ∵S△GHC=S△GHA， ∴m+n+1=0，
由，
解得：或，
∵点G在y轴的左侧， ∴G（﹣，）；
②当﹣4≤n＜﹣3时， 可得S△GHA=﹣﹣﹣，S△GHC=﹣m，
∵S△GHC=S△GHA， ∴3m﹣n﹣1=0，
由， 解得：或， ∵点G在y轴的左侧， ∴G（﹣1，﹣4）．
∴存在点G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．
解法二： ①如图①，当GH∥AC时，点A，点C到GH的距离相等，
∴S△GHC=S△GHA，可得AC的解析式为y=3x﹣3，
∵GH∥AC，得GH的解析式为y=3x﹣1， ∴G（﹣1，﹣4）；
②如图②，当GH与AC不平行时， ∵点A，C到直线GH的距离相等，
∴直线GH过线段AC的中点M（，﹣）．∴直线GH的解析式为y=﹣x﹣1，
∴G（﹣，）， ∴存在点G（﹣，）或G（﹣1，﹣4）．
（3）如图③，∵E（﹣2，0），∴D的横坐标为﹣2， ∵点D在抛物线上，
∴D（﹣2，﹣3）， ∵F是OC中点， ∴F（0，﹣），
∴直线DF的解析式为：y=x﹣， 则它与x轴交于点Q（2，0），
则QB=QD，得∠QBD=∠QDB，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∵∠EPF=∠PDF， ∴∠BPE=∠DFP， ∴△PBE∽△FDP，
∴， 得：PB?DP=， ∵PB+DP=BD=，
∴PB=，即P是BD的中点，连接DE，∴在Rt△DBE中，PE=BD=．
点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线与二次函数的交点问题以及三角形面积问题的求解等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用。
21，如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．
解析；
(1)（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一?条?垂?线?(或?者∠ABC的平分线)即评1分，
(2)①当⊙P与Rt△ABC的边?AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.
如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1??(不为∠ABC的顶点)，
∵?OX?＝BOsin∠ABM, P1Z＝BP1sin∠ABM．
当?BP1＞BO?时?，P1Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．
这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点.
如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，
即这时的⊙P是符合题意的圆. 这时⊙P的面积就是S的最大值.
∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴?Rt△ABC∽Rt△APE，
∴. ∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝.
设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x, PC＝PE，
∴， ∴x＝?．
②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则?， ∴y=?. 网21世纪教育网]
③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，
设PF＝z，则， ∴z=.
由①，②，③可知：∵??＞2，∴?＋2＞＋1＞3，
∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，
(或者:∵x=?=2-4, y=?=?5,
∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)
∴2， ∴?z＞y＞x. ∴⊙P的面积S的最大值为.
22．数学课堂上，徐老师出示一道试题：
如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN＝60°，求证：AM＝MN．
(1)经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．
证明：在AB上截取EA＝MC，连结EM，得△AEM．
∵∠1＝180°－∠AMB－∠AMN，∠2＝180°－∠AMB－∠B，∠AMN＝∠B＝60°，∴∠1＝∠2．
又CN平分∠ACP，∠4＝∠ACP＝60°．∴∠MCN＝∠3＋∠4＝120°…………①
又∵BA＝BC，EA＝MC，∴BA－EA＝BC－MC，即BE＝BM．
∴△BEM为等边三角形．∴∠6＝60°．∴∠5＝180°－∠6＝120°．………②
∴由①②得∠MCN＝∠5．
在△AEM和△MCN中，∵∠1＝∠2． AE=MC ， ∠MCN＝∠5．
∴△AEM≌△MCN (ASA)．∴AM＝MN．
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”（如图），N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1＝90°时，结论A1M1＝M1N1．是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）
【答案】：成立 在上截取
(3) 若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn…Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn＝ °时，结论AnMn＝MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）

【解题思路】：∠AMN=60°＝ （3－2）/3 ×180°∠A1M1N1=90°＝（4－2）/4 ×180°
∠AnMnNn= （n－2）/n ×180°
【点评】：本题考察了三角形全等的判定，当全等三角形不明确时构建全等三角形是本题的主旨，如何构建就是个人长期学习练习形成的，难度较大的是第三问，这里如果能快速判定该角度数是180的若干倍，且这个倍数与正多边形的边数有内在联系将容易分析。难度较大
23，,九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践—— 应用 ---探究的过程：
（1）实践：他们对一条公路上横截面的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式。
解：根据题意可知：抛物线的顶点坐标为(5，6.25)，∴设函数解析式为y=a(x－5)2+6.25.
又抛物线经过原点（0，0），∴0=a(0-5)2+6.25. 解得：a=－
∴函数解析式为y=－(x－5)2+6.25 （0≤x≤10）
（2）应用：规定机动车辆通过隧道时，车顶部于隧道在竖直方向上的高度差至少为0.5m，为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车的空隙）？
解：,设并行的两车为矩形ABCD，∴AB=3×2=6,AD=3.5 ∴A点横坐标为2，代入y=－(x－5)2+6.25
∴y=－(2－5)2+6.25=4＞3.5 所以该隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶
（3）探究：该课题学习小组为进一步探抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了一下两个问题，请予解答：
1、如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值。
解：设A点横坐标为m，则AB=10-2m，D（m，）
∴矩形ABCD的周长为l=2（AD+AB）=2（10-2m+）==
∵a=－＜0，抛物线开口向下， ∴当m=1，矩形ABCD的周长l的最大值为
2、如图，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q。问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
解：存在这样的点P，使得△PNQ为等腰直角三角形。
直线OM：y=x与对称轴的交点N（5，5）,与直线段PQ交于点P，显然当Q点纵坐标为5时,QN//x轴,∠ONQ=∠NOx=45°,△PQN为等腰直角三角形。
此时，5=，解得：m=5± ∴当P(5-，5-)或P(5+，5+)时，△PQN为等腰直角三角形。
24，如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC的中点，规定：λA=．特别地，当点D、E重合时，规定：λA=0．另外，对λB、λC作类似的规定．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求λA、λC；
（2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且λA=2，面积也为2；
（3）判断下列三个命题的真假（真命题打“√”，假命题打“×”）：
①若△ABC中λA＜1，则△ABC为锐角三角形；　 　
②若△ABC中λA=1，则△ABC为锐角三角形；　 　
③若△ABC中λA＞1，则△ABC为钝角三角形．　 　．
分析：（1）根据直角三角形斜边中线、高的特点进行转换即可得出答案，
（2）根据题目要求即可画出图象， （3）根据真假命题的定义即可得出答案．
解答：解：（1）如图，作BC边上的中线AD，又AC⊥DC， ∴λA==1，
过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，∵∠ACB=90°，∴AF=CF，∴∠ACF﹣∠CAF=30°，∴∠CFE=60°，
∴λC===cos60°=，
（2）如图：
（3）①×，②√，③√．
点评：本题主要考查了直角三角形斜边中线、高的性质以及特殊角的三角函数值，同时考查了画图，真假命题的判断，比较复杂，难度较大．

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