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保温特训(一)　集合、逻辑用语、算法、推理与证明
基础回扣训练(限时30分钟)
1．设集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x2－3x＋2≤0，x∈Z}，则A∩B等于
(　　)．
A．(－1,3) B．[1,2]
C．{0,1,2} D．{1,2}
2．复数z满足(－1＋i)z＝(1＋i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于
(　　)．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．关于命题p：A∩?＝?，命题q：A∪?＝A，则下列说法正确的是
(　　)．
A．(綈p)∨q为假
B．(綈p)∧(綈q)为真
C．(綈p)∨(綈q)为假
D．(綈p)∧q为真
4．“α＝”是“cos 2α＝”的
(　　)．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则实数a等于
(　　)．
A．－2 B．－
C. D．2
6．下列命题中真命题的个数是
(　　)．
①“?x∈R，x2－x>0”的否定是“?x∈R，x2－x<0”；②若|2x－1|>1，则0<<1或<0；③?x∈N*,2x4＋1是奇数．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．设A＝{x|x2－4x－5<0}，B＝{x||x－1|>1}，则A∩B＝
(　　)．
A．{x|－1B．{x|－1C．{x|－1D．{x|x<0或x>2}
8．如果复数(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于
(　　)．
A．－ B.
C. D．2
9．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx，则“f(2)≥0”是“函数f(x)在(1，＋∞)单调递增”的
(　　)．
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
10．下列有关命题的说法正确的是
(　　)．
A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则；x≠1”
B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C．命题“?x∈R，使得：x2＋x＋1<0”的否定是：“?x∈R，均有x2＋x＋1<0”
D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题
11．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落在坐标轴上的个数是
(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
12．给出30个数：1,2,4,7,11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断①处和执行框②处应分别填入(　　)．
A．i≤30？和p＝p＋i－1
B．i≤31？和p＝p＋i＋1
C．i≤31？和p＝p＋i
D．i≤30？和p＝p＋i
13．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥对任意x>0恒成立，则p是q的
(　　)．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝
(　　)．
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
15．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)＝________.
16．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则z的实部是________．
17．设n≥2，n∈N，n－n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，Tn，…，其中Tn＝________.
18．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是________．(注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“＝”或“：＝”)
临考易错提醒
1．不能正确理解集合的表示中元素的意义，数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、图形集与点集混淆等，如{x|y＝}、{y|y＝}以及{(x，y)|y＝}分别表示函数y＝的定义域、值域以及函数图象上的点集．
2．容易忽视两个集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解，求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解，如已知A＝，误把集合A的补集写为导致漏解．
3．易把命题的否定与否命题混淆，否定含有一个量词的命题时忽视量词的改变导致出错．
4．易混淆充要条件的判断中“甲是乙的什么条件”与“甲的一个什么条件是乙”导致误判．
5．不能正确分析程序框图的实际意义是什么，也就是这个框图要计算的是什么，这个计算是从什么时候开始，中间按照什么规律进行，最后计算到什么位置．尤其是循环结构的条件判断不准导致出错．
6．对复数的概念不清，运算法则特别是除法法则不熟练，几何定义不明确等，导致概念与运算类试题出错，复数中的最值问题无法利用数形结合的思想进行解决．
7．类比不当、归纳不准致使合情推理错误．归纳与类比中，“合情推理”是其主要特征，即我们作出的归纳首先要适合“部分”，其次归纳的结论要体现“部分”的发展规律，而类比要注意“对应”，如平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体)，平面上的面积对应空间的体积等．
8．归纳假设使用不当致误．数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推的依据，在证明第二步时，必须用上归纳假设的命题，否则证明无法传递下去，无法得到正确的命题．
参考答案
保温特训(一)
1．D　[B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}．]
2．D　[(－1＋i)z＝(1＋i)2＝2i，则z＝＝＝－i(i＋1)＝1－i，所以复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则这个点位于第四象限．]
3．C　[由题意得命题p，q均是真命题，又复合命题的真假判断可知C项正确．]
4．A　[当α＝，则cos 2α＝cos＝成立，但是cos 2α＝得到α＝＋kπ，k∈Z不一定可以推出α＝，因此“α＝”是“cos 2α＝”的充分不必要条件．”]
5．A　[由于＝＝为纯虚数，所以＝0，≠0，即a＝－2.]
6．C　[①错误，应为“x2－x≤0”；②正确，解|2x－1|>1得x>1或x<0与“0<<1或<0”等价；③正确．]
7．A　[∵x2－4x－5<0，∴(x－5)(x＋1)<0，解得A＝{x|－11，解得x－1>1或x－1<－1，∴B＝{x|x>2或x<0}．∴A∩B＝{x|－18．A　[＝＝，
∴＋＝0，∴b＝－.]
9．C　[函数f(x)在(1，＋∞)单调递增，则a>0，x＝－≤1，所以b≥－2a.这与f(2)≥0等价．而f(2)≥0，不能确定函数f(x)在(1，＋∞)单调递增．]
10．D　[对于A：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：因为x＝－1?x2－5x－6＝0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“?x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定应为?x∈R，均有x2＋x＋1≥0.故错误．由排除法得到D正确．]
11．B　[i＝3，打印点(－2,6)，
x＝－1，y＝5，
i＝3－1＝2；
i＝2，打印点(－1,5)，
x＝0，y＝4，
i＝2－1＝1；
i＝1，打印点(0,4)，
x＝1，y＝3，
i＝1－1＝0，结束运行．]
12．D　[该程序框图功能是计算30个数的和，所以判断框内应填入i≤30，由1,2,4,7,11，…这个数列的特征和，循环体中应填p＝p＋i.]
13．B　[f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x2＋4x＋m≥0对任意x恒成立，故Δ≤0，即m≥；m≥对任意x>0恒成立，即x>0时，m≥max，而＝≤＝2，故m≥2.当p成立时q不一定成立，即p不是q的充分条件，但如果p不成立，即m<时，q一定不成立，即p是q的必要条件，故选B.]
14．D　[观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)都是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，故选D.]
15．解析　∵A＝{1,2}，∴B＝{2,4}，∴A∪B＝{1,2,4}，
∴?U(A∪B)＝{3,5}．
答案　{3,5}
16．解析　因为z＝－1＝1＋3i，所以z的实部是1.
答案　1
17．解析　根据已知条件，总结规律，进而可得
Tn＝
答案　
18．解析　由算法流程图知，当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；当n＝3时，S＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；当n＝5时，S＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S的值是63.
答案　63
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保温特训(二)　函数与导数
基础回扣训练(限时30分钟)
1．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝
(　　)．
A．1 B. C．－ D．－1
2．函数f(x)＝定义域为
(　　)．
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1) D．(0,1)∪(1，＋∞)
3．下列各式中错误的是
(　　)．
A．0.83>0.73 B．log0.50.4>log0.50.6
C．0.75－0.1<0.750.1 D．lg 1.6>lg 1.4
4．函数f(x)＝－＋log2 x的一个零点落在下列哪个区间
(　　)．
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
5．设f(x)＝lg是奇函数，且在x＝0处有意义，则该函数
(　　)．
A．(－∞，＋∞)上的减函数
B．(－∞，＋∞)上的增函数
C．(－1,1)上的减函数
D．(－1,1)上的增函数
6．函数y＝，x∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的
(　　)．
7．若f(x)＝则f(2 012)等于
(　　)．
A．1 B．2
C. D.
8．函数f(x)在定义域内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)·f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则
(　　)．
A．aC．c9．下列函数中，在(0,1)上有零点的函数是(　　)．
A．f(x)＝ex－x－1 B．f(x)＝xln x
C．f(x)＝ D．f(x)＝sin2x＋ln x
10．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数：
①f(x)＝x＋(x>0)； ②g(x)＝x3；
③h(x)＝x； ④φ(x)＝ln x.
其中是一阶整点函数的是
(　　)．
A．①②③④ B．①③④
C．④ D．①④
11．已知f(x)＝则f的值为________．
12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，则a＝________.
13．函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为________．
14．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
15．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．
临考易错提醒
1．易忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝的定义域时，只考虑到x>0，x≠0，而忽视ln x≠0的限制．
2．应注意函数奇偶性的定义，不要忽视函数定义域关于坐标原点对称的限制条件．
3．求函数的单调区间时忽视函数定义域，如求函数f(x)＝ln(x2－3x＋2)的单调区间时，只考虑到t＝x2－3x＋2与函数y＝ln t的单调性，忽视t>0的限制条件．
4．不能准确记忆基本初等函数的图象，不能准确利用函数图象平移、伸缩变换得到所需函数的图象，如画出函数f(x)＝lg(1－x)的图象时，不能通过对y＝lg x的图象正确进行变换得到．
5．不能准确把握常见的函数模型，导致函数建模出错，易忽视函数实际应用中的定义域等．
6．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0))既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出．
7．易记错基本初等函数的导数以及错用函数求导法则，导致错求函数的导数．
8．易混淆函数的极值与最值、导函数等于0的点的概念．
9．易忽视函数与导函数定义域可能不同，利用导数解决函数问题时，直接利用导函数的定义域代替函数的定义域．
10．易混淆求函数的单调区间与已知函数的单调区间求参数的取值范围两类问题，求解函数的单调区间直接转化为f′(x)>0或f′(x)<0的解集；而已知函数在区间M上单调递增(减)，则要转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0的恒成立问题．
参考答案
保温特训(二)
1．A　[由y′＝2ax，又点(1，a)在曲线y＝ax2上，依题意得k＝y′|x＝1＝2a＝2，解得a＝1.]
2．D　[由∴x>0且x≠1，故选D.]
3．C　[构造相应函数，再利用函数的性质解决，对于A，构造幂函数y＝x3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lg x为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故C错．]
4．B　[根据函数的实根存在定理得f(1)f(2)<0.]
5．D　[由题意可知f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，解得a＝－1，故f(x)＝lg，函数f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义域内f(x)＝lg＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数y1＝lg(1＋x)是增函数，函数y2＝lg(1－x)是减函数，故f(x)＝y1－y2是增函数．选D.]
6．C　[y＝是偶函数，故排除A，令f(x)＝x－sin x，x∈(0，π)，则f′(x)＝1－cos x，x∈(0，π)，易知f′(x)≥0在x∈(0，π)恒成立，所以fmin(x)>f(0)＝0，x∈(0，π)，∴y＝>1，故选C.]
7．C　[当x>0时，f(x)＝f(x－4)，所以f(x＋4)＝f(x)，此时4是f(x)的周期，所以f(2 012)＝f(0)＝20＋＝，选C.]
8．C　[由于函数满足f(x)＝f(2－x)，则说明函数关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，1)时，由不等式(x－1)f′(x)<0，可知函数f′(x)>0，说明函数在x∈(－∞，1)上单调递增，则在(1，＋∞)时，函数单调递减．x＝3离对称轴的距离为最远，则最小值为f(3)，因为0<<1在单调递增区间上，所以a9．D　[对于A，注意到当x∈(0,1)时，f′(x)＝ex－1>0，f(x)为增函数，f(0)＝0，因此有当x∈(0,1)时，f(x)>0，于是可知，该函数在(0,1)上不存在零点．
对于B，注意到f′(x)＝ln x＋1，当0时，f′(x)>0，因此f(x)在上是减函数，在上是增函数，当x无限接近于零(且大于零)时，f(x)的值为负，且f(1)＝0，于是可知该函数在(0,1)上不存在零点．
对于C，注意到当x∈(0,1)时，有f(x)>0，于是可知，该函数在(0,1)上不存在零点．
对于D，注意到函数f(x)在(0,1)上是增函数，且f(1)>0；当x无限接近于零(且大于零)时，f(x)的值为负(注：此时ln x的值为负且其绝对值可无限大；sin x的值无限接近于零)，因此该函数在(0,1)上存在零点．
综上所述，选D.]
10．D　[g(x)＝x3通过点(1,1)，(2,8)等，故不是一阶整点函数；h(x)＝x通过点(－1,3)，(－2,9)等，故不是一阶整点函数．选D.]
11．解析　f＝f＋1＝f＋1＝sin＋1＝－＋1＝.
答案　
12．解析　由f(－1)＝－f(1)，易得a＝2.
答案　2
13．解析　因f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex，令f′(x)≤0，则x2＋3x＋2≤0解得－2≤x≤－1.
答案　[－2，－1]
14．解析　因为y′＝(n＋1)xn，所以切线斜率为n＋1，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，所以xn＝1－＝，所以a1＋a2＋…＋a99＝lg x1＋lg x2＋…＋lg x99＝lg x1·x2·…·x99＝lg··…··＝lg＝－2.
答案　－2
15．(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，
由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，
故有即
化简得
解得a＝1，b＝－12.
(2) 由(1)知f(x)＝x3－12x＋c；
f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)．
令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x1＝2处取得极小值f(2)＝c－16.
由题设条件知16＋c＝28得c＝12.
此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4，
因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.
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保温特训(三)　三角函数与平面向量
基础回扣训练(限时30分钟)
1．已知函数f(x)＝2 cos2x－3，则下列选项正确的是
(　　)．
A．f(x)在上递增
B．f(x)的图象关于原点对称
C．f(x)的最小正周期为2π
D．f(x)的值域为[－3，－1]
2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,2)，若a⊥b，则|b|＝
(　　)．
A. B．2
C．5 D．20
3．函数y＝2sincos图象的一条对称轴是
(　　)．
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝π
4．设向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝0，则a与b的夹角是
(　　)．
A．30° B．60°
C．90° D．120°
5．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(0)＝
(　　)．
A．－ B．－1
C．－ D．－
6．函数y＝sin x＋sin具有性质
(　　)．
A．图象关于点对称，最大值为1
B．图象关于点对称，最大值为2
C．图象关于直线x＝－对称，最大值为2
D．图象关于直线x＝－对称，最大值为1
7．在△ABC中，a＝4，b＝，5cos(B＋C)＋3＝0，则角B的大小为
(　　)．
A. B.
C. D.π
8．若△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积都等于1，则sin Asin Bsin C的值为
(　　)．
A. B.
C. D.
9．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的射影的数量为
(　　)．
A. B.
C．3 D．－
10．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是
(　　)．
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
11．已知cos α＝－，且α∈，则tan＝________.
12．已知|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|3a－2b|＝________.
13．在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos 2C＝，且c＝，则△ABC的面积的最大值为________．
15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量p＝，q＝(cos 2A,2sin A)，且p∥q.
(1)求sin A的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a.
临考易错提醒
1．应注意角的集合的表示形式不是唯一的，如终边在y轴的负半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.
2．应注意所有周期函数不一定都有最小正周期，例如，常函数就不存在最小正周期．求函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是；求函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期时，如果没有ω>0的限制条件，则其最小正周期是.
3．易混淆y＝Asin(ωx＋φ)的图象的变换顺序，不清楚每一次变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不是看ω，φ的变化．
4．应注意正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心是函数图象与x轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点与x轴垂直的直线；正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心是函数图象与x轴的交点以及在定义域内被排除掉的点．
5．注意向量加法的三角形法则适用于任意两个非零向量相加，并且可以推广到两个以上的非零向量相加．向量的减法是被减向量加上减向量的相反向量，特别要注意对平面上任意一点O，向量＝＋(加法的三角形法则)＝－(减法的三角形法则)．
6．易混淆向量共线与直线共线的区别，向量共线是指向量所在的直线平行或者重合，而直线共线是指它们重合．
7．应注意向量与它的坐标之间是一一对应的关系，即向量确定，则坐标唯一；坐标确定，则向量唯一，但表示向量的有向线段不唯一，根据＝(xB－xA，yB－yA)，无论向量在平面上如何移动，向量的坐标是唯一的．
8．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行；λ00，而不是等于0，0与任意向量的数量积等于0，即0·a＝0.
9．易误认向量的数量积的运算定律与实数相同，实际上在一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)；a·b＝0时未必有a＝0或b＝0.
10．已知两边及其中一边的对角解三角形时，应注意对解的情况进行讨论，讨论的根据一是所求的正弦值是否大于1，当正弦值小于或等于1时，还应判断各角之和与180°的关系，二是两边的大小关系．
参考答案
保温特训(三)
1．D　[当cos x＝0时，f(x)取最小值，f(x)min＝－3；当cos x＝±1时，f(x)取最大值，f(x)max＝－1，所以函数f(x)的值域为[－3，－1]．]
2．B　[因为a⊥b，所以a·b＝x－4＝0，解得x＝4，所以|b|＝＝2，选B.]
3．B　[y＝2sincos
＝2sinsin＝2sin2
＝1－cos＝1＋sin 2x，
∵x＝时，y＝1＋1＝2，
∴x＝是函数图象的一条对称轴．]
4．D　[由a·(a＋b)＝0得a·a＋a·b＝0，即|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，将已知数据代入解得cos〈a，b〉＝－，
∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.]
5．B　[由题图可知，函数的最大值为2，因此A＝2.又因为函数经过点，则2sin＝2，即2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.f(0)＝2sin φ＝2sin＝－1.]
6．A　[因为y＝sin x＋sin＝sin x＋sincos x－cossin x＝sin，所以最大值为1，又当x＝－时，y＝0，故选A.]
7．A　[由5cos(B＋C)＋3＝0得cos A＝，则sin A＝，＝，sin B＝.又a>b，B必为锐角，所以B＝.]
8．D　[根据三角形面积公式和正弦定理S＝absin C＝2Rsin A·2Rsin B·sin C＝2R2sin Asin Bsin C，将R＝1和S＝1代入得sin Asin Bsin C＝.]
9．A　[由已知可知，△ABC的外接圆的圆心在线段BC的中点O处，因此△ABC是直角三角形．且A＝，又因为||＝||，∴C＝，B＝，∴AB＝，AC＝1，故在上的射影||cos＝.]
10．D　[∵2＝·＋·＋·，∴2－·＝·＋·，∴(－)＝·(－)，∴·＝2，∴·(＋)＝0，
∴·＝0，∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．]
11．解析　∵cos α＝－且α∈，∴sin α＝.
∴tan α＝－.∴tan＝＝.
答案　
12．解析　因为|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝4＋4－2a·b＝4，所以解得a·b＝2，所以|3a－2b|2＝9|a|2＋4|b|2－12a·b＝36＋16－24＝28，故|3a－2b|＝2.
答案　2
13．解析　∵·＝4，∴bc cos A＝＝4，∴b2＋c2－a2＝8，同理a2＋c2－b2＝24，∴c2＝16，∴c＝4.
答案　4
14．解析　因为4sin2－cos 2C＝，
所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，
2＋2cos C－2cos2C＋1＝，
即cos2C－cos C＋＝0，解得cos C＝.
由余弦定理得cos C＝＝，ab＝a2＋b2－7≥2ab－7，ab≤7.(当且仅当a＝b＝时，“＝”成立)
从而S＝absin C≤·7·＝，即S的最大值为.
答案　
15．解　(1)∵p∥q，∴cos 2A＝(1－sin A)·2sin A，
∴6(1－2sin2A)＝7sin A(1－sin A)，
5sin2A＋7sin A－6＝0，
∴sin A＝，sin A＝－2(舍)．
(2)由S△ABC＝bcsin A＝3，b＝2，得c＝5，
又cos A＝±＝±，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝4＋25－2×2×5cos A
＝29－20cos A.
当cos A＝时，a2＝13，a＝；
当cos A＝－时，a2＝45，a＝3.
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保温特训(四)　数列、不等式
基础回扣训练(限时40分钟)
1．公差不为零的等差数列第2,3,6项构成等比数列，则公比为
(　　)．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a(　　)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5＝
(　　)．
A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3
4．已知实数x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值等于
(　　)．
A．9 B．12 C．27 D．36
5．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为
(　　)．
A．－110 B．－90
C．90 D．110
6．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a4a5a6＝5，则a7a8a9＝(　　)．
A．10 B．2 C．8 D.
7．设数列{an}满足a1＋2a2＝3，且对任意的n∈N*，点列{Pn(n，an)}恒满足
PnPn＋1＝(1,2)，则数列{an}的前n项和Sn为
(　　)．
A．n B．n
C．n D．n
8．如果数列a1，，，…，，…是首项为1，公比为－的等比数列，则a5等于
(　　)．
A．32 B．64
C．－32 D．－64
9．若a，b∈(0，＋∞)，且a，b的等差中项为，α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为
(　　)．
A．3 B．4
C．5 D．6
10．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为
(　　)．
A．3 B．4
C．3 D．4
11．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
12．在等差数列{an}中，a5＝1，a3＝a2＋2，则S11＝________.
13．正项数列{an}满足a1＝2，(an－2)2＝8Sn－1(n≥2)，则{an}的通项公式an＝________.
14．已知点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．
15．已知点是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，问使Tn>的最小正整数n是多少？
(3)若cn＝－an·bn，求数列{cn}的前n项和．
临考易错提醒
1．易忽视数列通项公式中n的取值范围导致数列中的单调性与函数的单调性混淆，如数列{an}的通项公式是an＝n＋，求其最小项，则不能直接利用均值不等式求解最值，因为n不能取，所以既要考虑函数的单调性，又要注意n的取值限制．
2．已知数列的前n项和求an时，易忽视n＝1的情况，直接用Sn－Sn－1表示an；应注意an，Sn的关系中是分段的，即an＝
3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活利用整体代换等方法进行基本运算，如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解结果．
4．易忽视等比数列的性质，导致增解、漏解现象，如忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同而造成增解；在等比数列求和问题中忽视公比为1的情况导致漏解，在等比数列中Sn＝
5．不能正确利用不等式的性质进行同解变形，导致利用已知条件求解取值范围时范围扩大或缩小，如同向不等式相加、异向不等式相减、不等式两边同乘一个数时忽视该数的符号变化导致出错等．
6．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论．
7．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.
8．易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解．
9．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等．
10．解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要技巧有数形结合法、变量分离法、主元法，通过最值产生结论．应注意恒成立与存在性问题的区别，如对?x∈[a，b]，都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立问题，但对?x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，则为存在性问题，即f(x)min≤g(x)max，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．
参考答案
保温特训(四)
1．C　[设公差为d，由题意知：a＝a2a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2a1，所以公比为＝＝3，选C.]
2．B　[由<<0，得a<0，b<0，故a＋b<0且ab>0，所以a＋b，两边同乘|ab|，得|b|>|a|，故②错误；由①②知|b|>|a|，a<0，b<0，所以a>b，即③错误，选B.]
3．A　[∵{an}是等比数列，∴S5，S10－S5，S15－S10也构成等比数列，记S5＝2k(k≠0)，则S10＝k，可得S10－S5＝－k，进而得S15－S10＝k，于是S15＝k，故S15∶S5＝k∶2k＝3∶4.]
4．B　[作出实数x、y满足的可行域，结合图形可知，当直线y＝－过点(3,3)时，目标函数z＝x＋3y取得最大值12.]
5．D　[a7是a3与a9的等比中项，公差为－2，所以a＝a3·a9，所以a＝(a7＋8)(a7－4)，所以a7＝8，所以a1＝20，所以S10＝10×20＋10××(－2)＝110.]
6．A　[因为a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，公比为，所以a7a8a9＝10，选A.]
7．A　[设Pn＋1(n＋1，an＋1)，则＝(1，an＋1－an)＝(1,2)，即an＋1－an＝2，所以数列{an}是以2为公差的等差数列．又a1＋2a2＝3，所以a1＝－，所以Sn＝n，选A.]
8．A　[a5＝a1××××＝aq1＋2＋3＋4＝(－)10＝32.]
9．C　[由题意知a＋b＝1，α＋β＝a＋＋b＋＝1＋＋＝1＋，由a，b∈(0，＋∞)，得a＋b≥2，又a＋b＝1，因而ab≤，则α＋β的最小值为5.]
10．B　[画出区域D，如图中阴影部分所示，
而z＝·＝x＋y，∴y＝－x＋z，
令l0：y＝－x，将l0平移到过点(，2)时，
截距z有最大值，故zmax＝×＋2＝4.]
11．解析　依题意得(x＋1)(2y＋1)＝9，(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，x＋2y≥4，即x＋2y的最小值是4.
答案　4
12．解析　d＝2，a6＝3，S11＝＝11a6＝33.
答案　33
13．解析　因为(an－2)2＝8Sn－1(n≥2)，所以(an＋1－2)2＝8Sn，两式相减得：
8an＝a－a＋4an－4an＋1，整理得：
4(an＋1＋an)＝(an＋1－an)(an＋1＋an)，
因为{an}是正项数列，所以an＋1－an＝4，所以{an}是以4为公差，2为首项的等差数列，所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2.
答案　4n－2
14．解析　点A(m，n)在直线x＋2y－1＝0上，则m＋2n＝1；
2m＋4n＝2m＋22n≥2＝2＝2.
答案　2
15．解　(1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.
∴a1＝f(1)－c＝－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}成等比数列，
a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.
又公比q＝＝，
∴an＝－n－1＝－，n∈N*.
Sn－Sn－1＝(－)(＋)
＝＋(n≥2)．
又∵bn>0，>0，∴－＝1.
数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，当n＝1时，b1＝1也适合该通项公式，∴bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝.
由Tn＝>，得n>，满足Tn>的最小正整数为91.
(3)cn＝－an·bn＝－··(2n－1)＝·(2n－1)，设数列{cn}的前n项和为Pn，则
Pn＝c1＋c2＋…＋cn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－3)·＋(2n－1)·，①
则3Pn＝1＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，②
②－①得：
2Pn＝1＋2·＋2·＋…＋2·－(2n－1)·
＝1＋2－(2n－1)·
＝1＋2·－(2n－1)·
＝2－.
∴Pn＝1－，
即{cn}的前n项和为1－.
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保温特训(五)　立体几何
基础回扣训练(限时40分钟)
1．如图，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P为其所
在棱的中点，则异面直线MP、AB在正(主)视图中的
位置关系是
(　　)．
A．相交 B．平行
C．异面 D．不确定
2．已知a、b、c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c则b∥c；②若a⊥b，a⊥c则b⊥c；③若a∥b，b⊥c则a⊥c.其中正确的个数为
(　　)．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图 都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为
(　　)．
A．4π B．3π
C．2π D.π
4．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列四个命题中正确的是
(　　)．
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥β，n⊥β，则m∥n
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若m?α，n ?α，m∥β，n∥β，则α∥β
5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为
(　　)．
A．4 B．8 C．16 D．20
6．如图是一几何体的直观图、正(主)视图和俯视图．
在正(主)视图右侧，按照画三视图的要求画出
的该几何体的侧(左)视图是
(　　)．
7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
(　　)．
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
(　　)．
9．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m3.
10．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为________．
11．如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的
中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所
成的角为________．
12．对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中正确的是________．
13．如图所示，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)求二面角E－AC－D的大小；
(3)棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
临考易错提醒
1．易对特殊平面图形的性质把握不准，导致不能正确判断几何体的结构特征，如几类特殊的四边形——平行四边形、菱形、矩形、正方形的结论不能灵活运用；正多边形的概念不清，只注意边长相等而忽视其内角也相等的限制条件．
2．几何体的结构特征把握不准，如容易忽视几何体中的线面垂直关系导致空间线面关系判断失误．
3．应注意根据几何体的三视图确定几何体的形状和数量特征，尤其是侧视图中的数据与几何体中的数据之间的对应．
4．易混淆球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球，内切球，棱切球的半径应分别为a，，a.
5．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所在底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积．
6．应注意锥体体积公式为V＝Sh，在求解锥体体积时，不能漏掉.
7．易把平面几何中的相关结论成立的前提误当做空间中的结论直接利用，如平面内垂直于同一条直线的两条直线相互平行，这个结论在空间中是不成立的．
8．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判断和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错，如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m?α的限制条件．
9．应注意利用空间向量证明线面关系，应抓住直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，如直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线和平面平行或直线在平面内．
10．空间向量求角时，易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．
参考答案
保温特训(五)
1．B　[正方体的正(主)视图如图，
异面直线MP、AB在正(主)视图中平行．]
2．B　[①b，c可能异面；②b，c可能异面，也可能平行．]
3．D　[这是一个横放的圆柱体，其底面半径r＝，高h＝1，底面面积S底＝πr2＝，侧面积S侧＝2πrh＝π，故S表＝2S底＋S侧＝.]
4．B　[A选项中m，n可能相交或异面；C选项中m不一定垂直α与β的交线，所以不成立；D选项中m，n不是相交直线时，α与β有可能相交．]
5．C　[由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧(左)视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4，由俯视图我们易判断四棱锥底面的一边长为6，代入棱锥的体积公式，易得V＝×6×2×4＝16.]
6．B　[由题意知所求的图形是侧(左)视图，所以根据三视图的知识可知选B.]
7．A　[圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V＝22×2－×π×12×2＝8－π.]
8．B　[所给选项中，A、C选项的正(主)视图、俯视图不符合，D选项的侧(左)视图不符合，只有选项B符合．]
9．解析　由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋π×12×3＝6＋π(m3)．
答案　6＋π
10．解析　根据题目所给的三视图可知该几何体为一个直三棱柱，且底面是一直角三角形，两直角边长度分别为3,4，斜边长度为5，直三棱柱的高为5，所以表面积为3×4＋3×5＋4×5＋5×5＝72.
答案　72
11．解析　在平面ABC内，过A作DB的平行线AE，过B作BH⊥AE于H，连接B1H，
则在Rt△AHB1中，∠B1AH为AB1与BD所成角，
设AB＝1，则A1A＝，∴B1A＝，AH＝BD＝，
∴cos∠B1AH＝＝，由于∠B1AH∈(0°，90°]，
∴∠B1AH＝60°.
答案　60°
12．解析　取线段BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC，BD＝CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∵AD?平面ADE，∴BC⊥AD，故①正确．设点O为点A在平面BCD上的射影，连接OB，OC，OD，∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴OB⊥CD，OC⊥BD，∴点O为△BCD垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正确，易知②③不正确，填①④.
答案　①④
13．(1)证明　∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
且PA＝AC＝a，
∴AB＝AD＝a，又PB＝PD＝a，
∴PA2＋AB2＝PB2，PA2＋AD2＝PD2，
∴PA⊥AB且PA⊥AD.
∴PA⊥平面ABCD.
(2)解　连接BD，∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，设AC∩BD＝O，∴以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：
A，B，
C，D，P，
∵点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，
∴＝3，即＝3(－)．
∴＝，
即点E的坐标为.
又平面DAC的一个法向量为n1＝(0,0,1)，设平面EAC的一个法向量为n2＝(x，y，z)，＝，＝.
由??
可令x＝1，得n2＝(1,0，)，
∴cos〈n1，n2〉＝＝?〈n1，n2〉＝，
∴由图可知二面角E-AC-D的大小为.
(3)证明　假设在PC上存在点F满足题设条件，
设＝λ(0≤λ≤1)，得
＝＋λ＝，
∴＝－
＝－＝.
依题意，BF∥平面AEC，则有⊥n2，
∴·(1,0，)＝0?－a＋λa＝0?λ＝.
∴当点F为PC中点时，有BF∥平面AEC.
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保温特训(六)　解析几何
基础回扣训练(限时40分钟)
1．已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于
(　　)．
A．1 B．2 C．2 D．2
2．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a的取值范围为
(　　)．
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
3．以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0圆心的抛物线方程是
(　　)．
A．y＝3x2或y＝－3x2
B．y＝3x2
C．y2＝－9x或y＝3x2
D．y＝－3x2或y2＝9x
4．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为
(　　)．
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
5．若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为
(　　)．
A．2x＋y－3＝0 B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0 D．2x－y－1＝0
6．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交
抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，
且|AF|＝3，则此抛物线方程为
(　　)．
A．y2＝9x B．y2＝6x
C．y2＝3x D．y2＝x
7．以双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线
(　　)．
A．相交 B．相离
C．相切 D．不确定
8．已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为
(　　)．
A. B.
C.或 D.或7
9．已知圆C：(x－1)2＋y2＝8，过点A(－1,0)的直线l将圆C分成弧长之比为1∶2的两段圆弧，则直线l的方程为____________．
10．以抛物线y2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线－＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为________．
11．已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足|＝3||，则此双曲线的渐近线方程为______________．
12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F向其一条渐近线作垂线，垂足为M，已知∠MFO＝30°(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________．
13．已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·<0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
临考易错提醒
1．不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率取值范围确定倾斜角的范围时出错．
2．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为＋＝1；再如，过定点P(x0，y0)的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为y－y0＝k(x－x0)等．
3．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解．
4．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式，导致错解．
5．圆的标准方程中误把r2当成r；一般方程中忽视方程表示圆的条件．
6．讨论直线和圆的位置关系时，不能灵活运用圆的有关性质转化条件导致运算繁杂而失误．
7．易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．
8．易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a，b，c三者之间的关系，导致计算错误．
9．已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解．
10．求解圆锥曲线的有关最值问题时易忽视椭圆、双曲线、抛物线自身取值范围的限制条件，导致错解．
参考答案
保温特训(六)
1．B　[由于a＝0时两直线不垂直，故a≠0.由两条直线垂直的充要条件可得：－·＝－1，解得a＝，所以ab＝＝b＋.又b>0，∴b＋≥2 ＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取“＝”．]
2．D　[曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，即(x＋a)2＋(y－2a)2＝4表示以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆，当－a<－2且2a>2，即a>2时，曲线C上所有的点均在第二象限内．]
3．D　[由x2＋y2－2x＋6y＋9＝0可知圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为x2＝－2py或y2＝2px(p>0)，将点(1，－3)分别代入得y＝－3x2或y2＝9x.]
4．D　[抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r＝，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.]
5．D　[圆心C(3,0)，kPC＝－，则kMN＝2，∴MN的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.]
6．C　[如图，∵|BC|＝2|BF|，
∴由抛物线的定义可知∠BCD＝30°，
|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6.即F为AC
的中点，∴p＝|FF′|＝|EA|＝，故
抛物线方程为y2＝3x.]
7．C　[左焦点F为(－c,0)，渐近线方程为y＝x即bx－ay＝0，∴圆心到直线的距离为＝b，所以相切．]
8．C　[实数4，m,9构成一个等比数列，则m2＝36，即m＝±6；当m＝6时，曲线方程＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，根据a＝，b＝1，c＝，则e＝＝＝；
当m＝－6时，曲线方程y2－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，根据a＝1，b＝，c＝则e＝＝＝.选C.]
9．解析　设直线l的方程为y＝k(x＋1)，直线l将圆C分成弧长之比为1∶2的两段，则劣弧的度数为120°，因此圆心到直线的距离为，即＝，解得k＝±1，所以直线l的方程为x＋y＋1＝0，x－y＋1＝0.
答案　x＋y＋1＝0，x－y＋1＝0
10．解析　由已知，抛物线的焦点坐标为(5,0)，双曲线的渐近线方程为y＝±x，则所求圆的圆心为(5,0)，利用圆心到直线3x－4y＝0的距离为半径r，则有r＝＝3，故圆的方程为(x－5)2＋y2＝9.
答案　(x－5)2＋y2＝9
11．解析　如图，由双曲线的性质
可推得|2|＝b，则||＝3b，在
△MF1O中，||＝a，||＝c，
cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知
＝－，
又c2＝a2＋b2，
可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x.
答案　y＝±x
12．解析　由已知得点F的坐标为(c,0)(c＝)，其中一条渐近线方程为bx－ay＝0，则|MF|＝＝b，由∠MFO＝30°可得＝＝cos 30°＝，所以＝，所以e＝＝2.
答案　2
13．解　(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x>0)，化简得y2＝4x(x>0)．
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
设l的方程为x＝ty＋m，由得
y2－4ty－4m＝0，
Δ＝16(t2＋m)>0，于是 ①
又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，
·<0?(x1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2<0. ②
又x＝，于是不等式②等价于
·＋y1y2－＋1<0?＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1<0， ③
由①式，不等式③等价于m2－6m＋1<4t2， ④
对任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2－6m＋1<0，即3－2由此可知，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有·<0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．
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保温特训(七)　计数原理、概率与统计
基础回扣训练(限时40分钟)
1．某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人．现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会，则选出的高、中、初级教师的人数分别为
(　　)．
　A．5,10,15 B．3,9,18
C．3,10,17 D．5,9,16
2．已知x、y取值如下表：
x
0
1
4
5
6
8
y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝
(　　)．
A．1.30 B．1.45
C．1.65 D．1.80
3．设随机变量ξ服从正态分布N(16，σ2)，若P(ξ>17)＝0.35，则P(15<ξ<16)＝
(　　)．
A．0.35 B．0.85
C．0.3 D．0.15
4．二项式10的展开式中的常数项是
(　　)．
A．第10项 B．第9项
C．第8项 D．第7项
5．先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m，n，则mn是奇数的概率是
(　　)．
A. B.
C. D.
6．为了调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：
(1)在该校中随机抽取100名学生，并编号1,2,3，…，100；
(2)在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；
(3)请下列两类学生举手：(i)摸到白球且号数为偶数的学生；(ii)摸到红球且不喜欢数学课的学生．
如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是
(　　)．
A．88% B．90%
C．92% D．94%
7．如图，在一花坛A，B，C，D四个区域种花，
现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种
1种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法总数为
(　　)．
A．48 B．60 C．72 D．84
8．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球与2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，求第一次为白球第二次为黑球的概率为
(　　)．
A. B.
C. D.
9．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为
(　　)．
A. B.
C. D.
10．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结果如下：
　 性别
是否需要志愿者　　　　　　　
男
女
需要
70
40
不需要
30
60
附：
K2＝
参照附表，得到的正确结论是
(　　)．
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要需要志愿者提供帮助与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”
C．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”
D．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”
11．已知函数f(x)＝－3x2＋ax＋b，若a，b都是在区间[0,4]内任取一个数，则f(1)>0的概率为________．
12．在样本的频率分布直方图中共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1 600，则(即第五组)的频数为________．
13．若袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．
14．如果(＋2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013，那么(a1＋a3＋a5＋…＋a2 013)2－(a0＋a2＋a4＋…＋a2 012)2＝________.
15．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：
分组
频数
频率
[10,15)
5
0.25
[15,20)
12
n
[20,25)
m
0.1
[25,30]
1
0.05
合计
M
1
(1)求出表中M、m及n的值；
(2)若该校高一学生有360人，试估计他们参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；
(3)学校决定对参加社区服务的学生进行表彰，对参加活动次数在[25,30)区间的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在[20,25)区间的学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在[15,20)区间的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在[10,15)区间的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求X的分布列与数学期望E(X)．
临考易错提醒
1．解答排列、组合问题时必须心思细腻，考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题．
常见的解题策略有以下几种：
(1)特殊元素优先安排的策略；
(2)合理分类与准确分步的策略；
(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；
(4)正难则反、等价转化的策略；
(5)相邻问题捆绑处理的策略；
(6)不相邻问题插空处理的策略；
(7)定序问题除法处理的策略；
(8)分排问题直接处理的策略；
(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；
(10)构造模型的策略．
2．在二项式(a＋b)n的展开式中，其通项Tr＋1＝Can－rbr是指展开式的第r＋1项，因此展开式中第1,2,3，…，n项的二项式系数分别是C，C，C，…，C，而不是C，C，C，…，C.而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积．注意不要将项的系数与二项式系数混淆．
3．概率与频率的关系不清．概率的定义是：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率．这个常数是客观存在的，它不依赖于某次试验事件发生的频率，它是在大量的重复同一个试验时事件发生的频率的一个稳定值．要特别注意随机事件发生的概率的客观存在性和确定性．
4．混淆事件的互斥与对立．不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件．两个事件互斥不一定对立，对立一定互斥(即不互斥就一定不对立)．如果用集合来表示两个事件，互斥事件的两个集合的交集是空集，如果其并集是全集，则这两个互斥事件也是对立事件．在解答与这两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．
5．古典概型中的等可能性事件的概率是最常见的一种概率问题，解决这类问题的重要前提是求基本事件的总数，这些基本事件必须是等可能的．同时应注意：在涉及抛掷骰子的问题中，将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的．但出现的点数为(a，b)和(b，a)却是两种不同的情况，应作为两个基本事件．
6．易混淆古典概型与几何概型，对度量的标准把握不准导致求解错误．
7．易混淆系统抽样与分层抽样导致样本数据计算错误．
8．误把频率分布直方图纵轴的几何意义当做频率，导致样本数据的频率求错；不能准确读出茎叶图中的数据导致样本数据的数字特征计算错误．
9．解决概率类综合解答题，首先要注意把一个“大的随机事件”拆成若干个“小的互斥的随机事件的和”，再把每个“小的随机事件”分成若干个相互独立事件乘积，在解决过程中要做到分类时“不重不漏”，分步时“过程完整”，只有这样才能正确地解答关于这类概率的综合计算题，在分拆的过程中要时时刻刻对照互斥事件、相互独立事件的概念，核查分拆结果．
10．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又是在相同的条件之下重复发生．要记住二项分布概率模型的这个特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决．有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况．
11．概率模型判断不准致误．解决概率问题时，要反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意，正确判断各个事件之间的关系，并分析应用所学概率模型(如互斥事件、相互独立事件、独立重复试验、条件概率等)的公式进行解答．
参考答案
保温特训(七)
1．B　[由于分层抽样选出30名教师占总数的，因此选出的高级教师的人数为15×＝3，选出的中级教师的人数为45×＝9，选出的初级教师的人数为90×＝18.]
2．B　[代入中心点(，)，可知a＝1.45.]
3．D　[由正态分布的对称性知，P(ξ>16)＝0.5，
又P(ξ>17)＝0.35，
所以P(16<ξ<17)＝0.5－0.35＝0.15.
于是P(15<ξ<16)＝P(16<ξ<17)＝0.15.]
4．B　[展开式的通项公式Tr＋1＝2rC ，令20－r＝0，得r＝8，展开式中常数项是第9项．]
5．C　[先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn是奇数，则m，n都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P＝＝.]
6．B　[摸到白球且号数为偶数的学生应有50×＝20人，则摸到红球且不喜欢数学课的学生有6人，而在100名学生中，摸到红球的学生人数应有100×＝60，这说明不喜欢数学课的学生占10%.]
7．D　[当A与C同色时有4×3×3＝36种不同的涂法，当A与C不同色时有4×3×2×2＝48种不同的涂法，∴共有36＋48＝84.]
8．B　[第一次为白球的概率为＝，第二次为黑球的概率＝，则第一次为白球第二次为黑球的概率×＝.]
9．C　[设事件A在每次试验中发生的概率为x，由题意有1－C(1－x)3＝，得x＝，则事件A恰好发生一次的概率为C2＝.]
10．A　[K2＝≈18.18>10.828.所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”．]
11．解析　如图所示，a，b满足的范围就是边长为4的
正方形，而f(1)>0，即a＋b>3，表示的直线的右上方，
即阴影部分的区域．故所求的概率为
1－＝.
答案　
12．解析　设前五个长方形面积的公差为d，由9个长方形的面积为1，可得d＝，中间一组的频数为1 600×(0.02＋4d)＝360.
答案　360
13．解析　总的取法是4种，能构成等差数列的有{2,3,4}，{2,4,6}2组，故所求概率为P＝＝.
答案　
14．解析　设(＋2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013＝f(x)，则：
(a1＋a3＋a5＋…＋a2 013)2－(a0＋a2＋a4＋…＋a2 012)2＝(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012＋a2 013)(a1－a0＋a3－a2＋…＋a2 013－a2 012)
＝－f(1)·f(－1)
＝－(＋2)2 013·(－2)2 013
＝－[(＋2)(－2)]2 013
＝1.
答案　1
15．解　(1)由题可知＝0.25，＝n，
又5＋12＋m＋1＝M，
解得M＝20，n＝0.6，m＝2.
(2)由(1)知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为360×0.6＝216人．
(3)所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则
P(0)＝＝＝，
P(20)＝＝＝，
P(40)＝＝＝，
P(60)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
20
40
60
P




E(X)＝0·P(x＝0)＋20·P(x＝20)＋40·P(x＝40)＋60·P(x＝60)
＝0×＋20×＋40×＋60×＝.
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