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苏科版 中考数学专题复习 二次函数 培优专题讲义
相似三角形的存在性问题
知识梳理
二次函数与相似三角形的存在性问题是中考考试的一个热点。解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与“形”结合起来，互相渗透。
存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题。解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。
两个定三角形是否相似的判定方法：
（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。
（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长，看看是否成比例？若成比例，则相似;否则不相似。
一个定三角形和动三角形相似：
（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式，把动点坐标表示出来（用字母表示），然后把两个目标三角形（题中要相似的那两个三角形）中相等的那个已知角作为夹角，分别计算或表示出夹角的两边，让形成相等的夹角的那两边对应成比例（要注意是否有两种情况），列出方程，解此方程即可求出动点的横坐标，进而求出纵坐标，注意去掉不合题意的点。
（2）不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题，破解方法是：在定三角形中，由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度，用观察法得出某一个角可能是特殊角，再为该角寻找一个直角三角形，用三角函数的方法得出特殊角的度数，在动点坐标（用字母表示）后，分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等，借助于特殊角，为动点寻找一个直角三角形，求出动点坐标，从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了，只需再验证已知角的两边是否成比例，若成比例，则所求动点坐标符合题意，否则这样的点不存在。
简称“找特角，求（动）点标，再验证”。或称为“一找角，二求标，三验证”。
判定三角形相似的思路：
①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；
②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；
③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；
④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；
⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例。
典型例题
题型1 带着一组平行线寻找相似
例1 （2021年1月张家港、常熟、太仓、昆山四市期末联考，28题，12分）直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一交点为A，连接AC，点P为AC上方的抛物线上一动点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接BP，交线段AC于点D，若PD:BD＝5:16，求此时点P的坐标；
（3）如图②，连接PC，过点P作PE∥y轴，交线段AC于点E，若△PCE与△ABC相似，求出点P的横坐标及线段PE长。
题型2 带着一对等角寻找相似
例2 （2021年1月无锡市天一中学期末，27题，10分）如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）。点P、Q是抛物线上的动点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值；
（3）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，请直接写出点Q的坐标。
题型3 带着一组公共边寻找全等
例3 （2021年1月无锡市新吴区期末，28题，10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，直线 经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE。已知点A，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB 与直线 交于点Q，试探究：当m 为何值时，△OPQ 是等腰三角形。
题型4 带着一组比例寻找相似
例4 （2021年4月平江、草桥中学一模，28题，10分）如图1，抛物线（m为常数）与x轴交于A、B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C。
（1）下列说法：
① 抛物线开口向上；② 点C在y轴正半轴上；③；④ 抛物线顶点在直线上。
其中正确的是_____________________。
（2）如图2，若直线与该抛物线交于M、N两点（点M在点N下方），试说明：线段MN的长是一个定值，并求出这个值；
（3）在（2）的条件下，设直线与y轴交于点D，连接BM、BN、BD，当DN∶MN＝1∶2时，求此时m的值，判断△MBN与△MDB是否相似，并说明理由。
题型5 带着直角寻找相似
例5 如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点。点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M。
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
课堂练习
如图，以D为顶点的抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为。
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
课后巩固练习
1、如图，抛物线与坐标轴交点分别为A（-1，0）、B（3，0）、C（0，2），作直线BC。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，设点P的横坐标为t（0＜t＜3），求△ABP的面积S与t的函数关系式；
（3）条件同（2），若△ODP与△COB相似，求点P的坐标。
2、如图，已知抛物线过点和，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.。
3、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C。
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由。
4、如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标。
,
5、如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）。
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。
图1 图2

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