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瓜豆定理
◆轨迹：直线（利用全等）
1．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 　 　．
3．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A． B．1 C．2 D．
4．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．+1
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．+1
◆轨迹：直线（利用相似）
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，B（0，3），A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连OC，则OC的最小值为　 　．
◆轨迹：圆（利用全等）
9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 　 　．
10．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是　 　．
11．如图，已知A（3，0），B（0，4），点P是第一象限内一动点，AP＝3，点M是点P绕点B顺时针旋转90°的对应点，则AM的最小值是　 　．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，以C为圆心，1cm长为半径画⊙C，点P在⊙C上移动，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°至BP′，连接CP′．在点P移动的过程中，CP′长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
◆轨迹：圆（利用相似）
13．如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　 　．
14．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点C为平面上一动点，连接CA，CB，将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，当AC＝4，线段AD的长取最大值时，点D的坐标为　 　．
瓜豆定理（答案）
◆轨迹：直线（利用全等）
1．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，
∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴PC＝CE，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+＝，
故选：D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 　　．
【解答】解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝3，
∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，
∴DN＝BN＝，DB＝DH，∠HDB＝60°，
∴CN＝，
∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠HDB，
∴∠EDH＝∠FDB，
在△DHE和△DBF中，
，
∴△DHE≌△DBF（SAS），
∴EH＝BF，
∴当EH有最小值时，BF有最小值，
由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，
此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，
∴四边形CNHE是矩形，
∴HE＝CN＝，
故答案为：．
3．如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（　　）
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵∠MBH+∠MBC＝∠ABC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB＝AB，
∴HB＝BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM＝BN，
在△MBG和△NBH中，
，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
此时∵∠BCH＝×60°＝30°，CG＝AB＝×5＝，
∴MG＝CG＝，
∴HN＝，
故选：A．
4．在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，CE＝2BE，EF＝2，连接AF，将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，则线段PE的最小值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．+1
【解答】解：连接AE，过点A作AG⊥AE，截取AG＝AE，连接PG，GE，
∵将线段AF绕着点A顺时针旋转90°得到AP，
∴AF＝AP，∠PAF＝90°，
∴∠FAE+∠PAE＝∠PAE+∠PAG＝90°，
∴∠FAE＝∠PAG，
在△AEF和△AGP中，
，
∴△AEF≌△AGP（SAS），
∴PG＝EF＝2，
∵BC＝3，CE＝2BE，
∴BE＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE＝，
∵AG＝AE，∠GAE＝90°，
∴GE＝＝，
在△GPE中，PE＞GE﹣PG，
∴PE的最小值为GE﹣PG＝﹣2，
故选：B．
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝4，
∴AC＝2，
∵△ACF是等边三角形，
∴CF＝AC＝AF＝2，∠BCF＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠FAC＝∠DAE＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
∴△ACE≌△AFD（SAS）∴CE＝DF，
∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小，
∵∠FCD'＝90°﹣60°＝30°，D'F⊥CB，
∴CD'＝CF＝3，故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝2，M为AB中点，D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED、ME，点D在运动过程中ME的最小值为（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．+1
【解答】解：连接EB，过点M作MG⊥EB于点G，过点A作AK⊥AB交BD的延长线于点K，则△AKB是等腰直角三角形．
在△ADK与△ABE中，
∴△ADK≌△ABE（SAS），
∴∠ABE＝∠K＝45°，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∵BC＝2，∴AB＝2，
∵M为AB中点，∴BM＝，∴MG＝1，
∵∠MGB＝90°∴EM≥MG，
∴当ME＝MG时，ME的值最小，
∴ME＝MG＝1，故选：A．
◆轨迹：直线（利用相似）
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG最小值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，作DH⊥AC于H，连接HG延长HG交CD于F，作HE⊥CD于E，
∵DG⊥PG，DH⊥AC，
∴∠DGP＝∠DHA，
∵∠DPG＝∠DAH，
∴△ADH∽△PDG，
∴，∠ADH＝∠PDG，
∴∠ADP＝∠HDG，
∴△ADP∽△DHG，
∴∠DHG＝∠DAP＝定值，
∴点G在射线HF上运动，
∴当CG⊥HF时，CG的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADH+∠HDF＝90°，
∵∠DAH+∠ADH＝90°，
∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，
∴FD＝FH，
∵∠FCH+∠CDH＝90°，
∠FHC+∠FHD＝90°，
∴∠FHC＝∠FCH，
∴FH＝FC＝DF＝1，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，
由勾股定理得AC＝2，
DH＝，
∴CH＝＝，
∴EH＝，
∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，
∴△CGF≌△HEF（AAS），
∴CG＝HE＝，
∴CG的最小值为，
故选：C．
8．如图，B（0，3），A为x轴上一动点，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得AC，连OC，则OC的最小值为　　．
【解答】解：如图，在x轴的正半轴上取一点H，使得OH＝OB＝3，在OB上取一点D，使得OD＝OA．
∵OB＝OH，OD＝OA，
∴BD＝AH，
∵∠HAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠HAC＝∠DBA，
∵BA＝AC，
∵△BDA≌△AHC（SAS），∴∠AHC＝∠ADB，
∵OD＝OA，∠AOD＝90°，∴∠ADO＝45°，
∴∠AHC＝∠ADB＝135°，
∵H（3，0），∴直线CH的解析式为y＝x﹣3，
∴点C在直线y＝x﹣3上运动，作OP⊥CH于P，易知OP＝，
∴OC 的最小值＝OP＝，
故答案为．
◆轨迹：圆（利用全等）
9．如图，正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为 　3﹣2　．
【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
在△EDO与FDM中，
，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点，
∴OC＝3，
∴OD＝＝＝3，
∴OM＝＝＝3，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥3﹣2，
∴线段OF长的最小值为3﹣2，
故答案为：3﹣2．
10．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是　4π　．
【解答】解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，
∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，
∴△OAO'为正三角形，
∵△APB为正三角形，
∴∠PAB＝60°，PA＝BA，
∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，
∴∠PAO＝∠BAO，
在△APO与△ABO中，
，
∴△APO≌△ABO，
∴OP＝O'B＝2，
∴⊙O'即为动点B运动的路径，
∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π，
11．如图，已知A（3，0），B（0，4），点P是第一象限内一动点，AP＝3，点M是点P绕点B顺时针旋转90°的对应点，则AM的最小值是　5﹣3　．
【解答】解：连接AB，将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC，连接CM，CA，
∵∠PBM＝∠ABC＝90°，
∴∠ABP＝∠CBM，
在△ABP和△CBM中，
，
∴△ABP≌△CBM（SAS），
∴BP＝CM＝3，
∵A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∵AM+CM≥AC，
∴AM≥AC﹣CM，
∴AM的最小值为AC﹣CM＝5﹣3．
故答案为：5﹣3．
12．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，以C为圆心，1cm长为半径画⊙C，点P在⊙C上移动，连接BP，并将BP绕点B逆时针旋转90°至BP′，连接CP′．在点P移动的过程中，CP′长度的最小值是（　　）
A． B． C． D．
第1页（共1页）
【解答】解：如图，当P′在对角线AC上时，CP′最小，连接CP，
由旋转得：BP＝BP′，∠PBP′＝90°，
∴∠PBC+∠CBP′＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠CBP′+∠ABP′＝90°，
∴∠PBC＝∠ABP′，
∴△PBC≌△P′BA（SAS），∴P′A＝PC＝1，
在Rt△ABC中，∵AB＝BC＝4，
由勾股定理得：AC＝＝4，
∴CP′＝CA﹣P′A＝4﹣1，
即CP′长度的最小值为（4﹣1）cm．
故选：D．
◆轨迹：圆（利用相似）
13．如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　+1　．
【解答】解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，
∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∴∠DBC＝45°，BD＝BC，
∵△OBE是等腰直角三角形，
∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB＝BE＝1，
∴BE＝OE＝，
∵∠DBC＝∠OBE，
∴∠OBD＝∠CBE，
又∵＝，
∴△DBO∽△CBE，
∴，
∴OD＝CE，
∴当CE有最大值时，OD有最大值，
当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+，∴OD的最大值为+1，
14．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为　2+1　．
【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，
∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴＝＝2，
∴△COP∽△CED，
∴＝＝2，
即ED＝OP＝1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE＝2+1，
∴OD的最大值为2+1，
故答案为．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（10，0），点C为平面上一动点，连接CA，CB，将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到线段CD，当AC＝4，线段AD的长取最大值时，点D的坐标为　 　．
【解答】解：作TA⊥AB，使得TA＝AB．连接AD，BT，BD．
∵△ATB，△CDB都是等腰直角三角形，
∴BT＝AB，BD＝BC，∠ABT＝∠CBD＝45°，
∴＝＝，∠ABC＝∠TBD，
∴△ABC∽△TBD，
∴＝，
∵A（4，0），B（10，0），AC＝4，
∴AT＝AB＝6，DT＝4，
∴T（4，6），
∴点D的运动轨迹是以T为圆心4为半径的圆，
∴当点D在AT的延长线上时，AD的值最大，最大值＝6+4，此时D（4，6+4）
故答案为（4，6+4）．

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