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阿氏圆
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（　　）
A．4 B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　．
3．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　 　．
4．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 　 　．
5．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 　 　．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 　 　．
7．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 　 　．
8．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+的最小值是 　 　．
9．如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为 　 　．
10．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 　 　．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 　 　．
12．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 　 　．
13．如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为　 　．
14．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　 　．
阿氏圆（答案）
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值等于（　　）
A．4 B． C． D．
【解答】解：在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，
∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，
∴＝，
∵AP＝2，AQ＝1，
∴＝，
∵∠PAQ＝∠BAP，
∴△APQ∽△ABP，
∴PQ＝PB，
∴＝PC+PQ≥CQ，
在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，
∴QB＝＝，
∴的最小值，
故选：C．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则PA+PB的最小值为 　　．
【解答】解：在AC上截取CQ＝1，连接CP，PQ，BQ，
∵AC＝9，CP＝3，
∴＝，
∵CP＝3，CQ＝1，
∴＝，
∴△ACP∽△PCQ，
∴PQ＝AP，
∴PA+PB＝PQ+PB≥BQ，
∴当B、Q、P三点共线时，PA+PB的值最小，
在Rt△BCQ中，BC＝4，CQ＝1，
∴QB＝，
∴PA+PB的最小值，
故答案为：．
3．如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 　　．
【解答】解：如图，在y轴上取点H（0，9），连接BH，
∵点A（0，1），点B（2，0），点H（0，9），
∴AO＝1，OB＝2，OH＝9，
∵，∠AOP＝∠POH，
∴△AOP∽△POH，
∴，
∴HP＝3AP，
∴3PA+PB＝PH+PB，
∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，
∴BH＝＝＝，
故答案为：．
4．如图，在△ABC中，BC＝6，∠BAC＝60°，则2AB+AC的最大值为 　4　．
【解答】解：∵2AB+AC＝2（AB+），
∴求2AB+AC的最大值就是求2（AB+）的最大值，
过C作CE⊥AB于E，延长EA到P，使得AP＝AE，
∵∠BAC＝60°，
∴EA＝，
∴AB+＝AB+AP，
∵EC＝，PE＝2AE，
由勾股定理得：PC＝，
∴sinP＝，
∴∠P为定值，
∵BC＝6是定值，
∴点P在△CBP的外接圆上，
∵AB+AP＝BP，
∴当BP为直径时，AB+AP最大，即BP'，
∴sinP'＝sinP＝，
解得BP'＝2，
∴AB+AP＝2，
∴2AB+AC＝2（AB+AP）＝4，
故答案为：4．
5．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为 　　．
【解答】解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．
∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，
∴OM2＝OD OT，
∴＝，
∵∠MOD＝∠TOM，
∴△MOD∽△TOM，
∴＝＝，
∴MT＝2DM，
∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，
又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，
∴CT＝＝＝4，
∴CM+2DM≥4，
∴CM+2DM的最小值为4，
∴答案为4．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+PC的最小值为 　5　．
【解答】解：如图，在BC上取一点T，使得BT＝1，连接PB，PT，DT．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCT＝90°，
∵CD＝4，CT＝3，
∴DT＝＝＝5，
∵PB＝2，BT＝1，BC＝4，
∴PB2＝BT BC，
∴＝，
∵∠PBT＝∠PBC，
∴△PBT∽△CBP，
∴＝＝，
∴PT＝PC，
∵PD+PC＝PD+PT≥DT＝5，
∴PD+PC的最小值为5，
故答案为：5．
7．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为 　　．
【解答】解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，
∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，
∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，
∴＝＝，且∠COP＝∠EOP
∴△OPE∽△OCP
∴＝＝，
∴EP＝2PC，
∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），
∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，
∵DE＝＝＝13，
∴PD+PE≥DE＝13，
∴PD+PE的最小值为13，
∴PC+PD的值最小值为．
故答案为：．
8．如图所示的平面直角坐标系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限内一动点，OP＝2，连接AP、BP，则BP+的最小值是 　　．
【解答】解：如图，取点T（0，1），连接PT，BT．
∵T（0，1），A（0，4），B（4，0），
∴OT＝1，OA＝4，OB＝4，
∵OP＝2，
∴OP2＝OT OA，
∴＝，
∵∠POT＝∠AOP，
∴△POT∽△AOP，
∴＝＝，
∴PT＝PA，
∴PB+PA＝PB+PT，
∵BT＝＝，
∴PB+PT≥，
∴BP+AP≥
∴BP+PB的最小值为．
故答案为：．
9．如图所示，∠ACB＝60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+2PN的取值范围为 　6﹣2≤PM+2PN≤6+2　．
【解答】
解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，
∵PM⊥AC，PN⊥CB，
∴∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°，
∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°，
∴HP＝PM cos∠MPH＝PM cos60°＝PM，
∴PN+PM＝PN+HP＝NH，
∵MF＝NH，
∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，
如图1，
连接OP，OG，
可得：四边形OPMG是正方形，
∴MG＝OP＝2，
在Rt△COG中，
CG＝OG tan60°＝2，
∴CM＝CG+GM＝2+2，
在Rt△CMF中，
MF＝CM cosC＝（2+2）×＝3+，
∴HN＝MF＝3+，
PM+2PN＝2（）＝2HN＝6+2，
如图2，
由上知：CG＝2，MG＝2，
∴CM＝2﹣2，
∴HM＝（2﹣2）×＝3﹣，
∴PM+2PN＝2（）＝2HN＝6﹣2，
∴6﹣2≤PM+2PN≤6+2．
10．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为 　2　．
【解答】
解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝，
∵，
，
∴，
∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP+PB＝AP+PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝3，
∴AI＝＝，
∴AP+PB最小值＝AI＝，
∵PA+PB＝（PA+PB），
∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．
故答案是2．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 　　．
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
∴PC＝DE＝2，
∵＝，＝，
∴＝，
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴＝＝，
∴PF＝PB，
∴PA+PB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，
∴PA+PB≥，
∴PA+PB的最小值为，
故答案为．
12．如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B＝60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 　2　．
【解答】解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG＝2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．
∵PB＝4，BG＝2，BC＝8，
∴PB2＝BG BC，
∴＝，
∵∠PBG＝∠CBP，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝BC＝8，
∴∠DCH＝∠ABC＝60°，
在Rt△CDH中，CH＝CD cos60°＝4，DH＝CD sin60°＝4，
∴GH＝CG+CH＝6+4＝10，
∴DG＝＝＝2，
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
∴PD﹣PC≤2，
∴PD﹣PC的最大值为2．
13．如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，以点C为圆心，4为半径作圆．点D是⊙C上的一个动点，连接AD、BD，则AD+BD的最小值为　2　．
【解答】解：如图，在CB上取一点E，使CE＝2，连接CD、DE、AE．
∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，所以AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵CD＝4，∴＝＝，
∴△CED △CDB，∴＝＝，∴ED＝BD，∴AD+BD＝AD+ED≥AE，
当且仅当E、D、A三点共线时，AD+BD取得最小值AE＝＝2．
14．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为　　．
【解答】解：过B作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD，
∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝BA＝2，∴BH＝AC＝，
∴BP＝，∴，，∴，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PD＝PC，∴PA+PC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时且P在AD之间时取等号），而AD＝＝，
∴PA+PD的最小值为，即PA+PC的最小值为，则PA+PC的最小值．故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　　．
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，
∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，∴PA+PB≥，
∴PA+PB的最小值为，故答案为．

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