资源简介

全等图形及其性质
知识点一
1、全等图形：
定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形.完全重合包含两层意思：图形的形状相同、大小相等。性质：全等图形的对应边相等，对应角相等。
几种常用的全等变换方式：平移、翻折、旋转。
注意：
①图形的全等与它们的位置和方向无关，只要满足能够完全重合即可.
②全等图形的周长、面积分别相等，但周长或面积相等的两个图形不一定是全等图形。
知识点二
2、全等三角形：
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
全等符号：“≌”。
“△ABC与△DEF全等”和 “△ABC≌△DEF”的区别:
①△ABC与△DEF全等：这种情况实际上是没有指明两个全等三角形的对应关系的，需要根据题意分类讨论。
②△ABC≌△DEF：像这种用全等符号表示的情况，对应关系已经非常具体了，不需要讨论，也相对简单，如图在△A BC≌△DEF中，A的对应点是D，B的对应点是E，C的对应点是F，据此可以找出相应的对应边和对应角。
注意：①三角形全等最重要、最核心的内容是“对应”二字.其中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应 边，互相重合的角叫做对应角。
②在书写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于快速找出对应角和对应边。
③要注意区分对应边、对应角和对边、对角这两组概念：对应边、对应角是指两个三角形中的边、角关系；而对边、对 角是一个三角形中边和角的位置关系。
知识点三
3、全等三角形的基本图形：
平移型：由三角形沿着某条边所在的直线移动所构成的，对应边的相等关系一般由同一直线上线段的和或者差证得。
对称型∶对应相等的边或角重合，可沿着某条直线对折，直线两侧的部分能完全重合。
旋转型∶是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般由一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和差中。
三角形的稳定性和四边形的不稳定性： 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性. 三角形稳定性的常见运用：木条固定门框、空调架、自行车架等。
例1：
下列各组的两个图形属于全等图形的是 （ ）.
A、 B、
C、 D、
练1：
下列说法中，正确的有（ ）.
①用一张底片冲洗出来的10张1寸相片是全等图形；
②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形；
③所有的正方形都是全等图形；
④全等图形的面积一定相等.
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
例2：
如果△ABC≌△AED，并且AC=6cm，BC=5cm，△ABC的周长为18cm，则AE= cm．
练2：
已知△ABC≌△ABD，AB=6，AC=7，BC=8，则AD=（ ）.
A、5 B、6 C、7 D、8
例3：
在如图所示的4×4的正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数为（ ）.
A、330 B、315 C、310 D、320
练3：
如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）.
A、150 B、180 C、210 D、225
例4：
如图，已知△ABC≌△DEF，下列说法不一定成立的是（ ）.
AB=DE B、AC=DF C、BE=EC D、BE=CF
练4：
如图，已知△ABC≌△DEF，则∠C的对应角为（ ）.
A、∠F B、∠AGE C、∠AEF D、∠D
例5：
如图，△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=23°，那么∠D的度数为（ ）.
A、87 B、97 C、83 D、37
练5：
如图，△ABC≌△DCB，若AC=8，BE=5，则DE的长为（ ）.
A、2 B、3 C、4 D、5
例6：
如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B=40°，∠C=75°，则∠EAD的度数为（ ）.
A、65 B、70 C、75 D、85
练6
如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE=8，BC=5，则线段AE的长为（ ）.
A、3 B、5 C、6 D、4
例7：
下列命题中正确的是（ ）.
A、全等三角形的高相等 B、全等三角形的中线相等
C、全等三角形的角平分线相等 D、全等三角形的对应角相等
练7：
已知如图△ABC≌△DEF，点M是AB的中点，点N是DE的中点，且AP⊥BC于P，DQ⊥EF于Q，BH，EG分别垂直AC，DF于点H，G，则下列结论正确的有（ ）.
①AM＝NE；②AP＝GE；③BH＝DQ；④CM＝FN.
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
例8：
已知△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为 .
练8:
已知△ABC与△DEF全等，∠A＝∠D=90°，∠B＝37°，则∠E的度数是（ ）.
A、37° B、53° C、37°或63° D、37°或53°
例9:
工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD两根木条），这样做根据 的数学知识是什么？
练9:
如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是什么？
例10
如图，Rt△ABC≌Rt△CED，点B，C，E在同一条直线上，则结论：①AC=CD； ②AC⊥CD；③BE=AB+DE；④AB∥ED.其中成立的有（ ）.
① B、①③ C、①③④ D、①②③④
练10:
如图，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，则对于结论①AC=AF，②∠FAB=∠EAB，③EF=BC，④∠EAB=∠FAC， 其中正确结论的个数是（ ）.
A、1 B、2 C、3 D、4
例11:
如图，已知△ACE≌△DBF，CE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2.
（1）求AC的长度；
（2）试说明CE∥BF．
练11:
如图所示，已知△ABC≌△FED，且BC=ED，FD=5cm，AD=2cm .
（1）那么AB与EF平行吗 为什么
（2）求CD的长．
附加题：
参考图例，将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形.
一课一练1:
如图，△ABC≌△DEF，且∠A=100°，∠E=35°，则∠F的度数为（ ）.
A、35 B、45 C、55 D、70
一课一练2:
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12 cm，BC=6 cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若△ABC和△APQ全等，则AP的值为（ ）.
A、6cm B、12cm C、6cm或12cm D、以上答案都不对
一课一练3:
如图，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使点C落在E处，BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°，则∠BOD= °.
一课一练4:
如图，已知△ACF≌△DBE，∠E=∠F，AD=9cm，BC=5cm，AB的长为 cm．
一课一练5:
如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C’处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，△BCF的周长是 .
一课一练6
如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°,且AC=BC=4cm，△BCD≌△ACE，求四边形AECD的面积.
课后作业1:
如图，△AOC≌△BOD，点A与点B是对应点，那么下列结论中错误的是（ ）.
∠A=∠B B、AO=BO C、AB=CD D、AC=BD
课后作业2:
已知：如图，△ABC≌△ADE，AB与AD是对应边，AC与AE是对应边，若∠B=31°，∠C=95°，∠EAB=20°，则∠BAD的度数为（ ）.
A、77 B、74 C、47 D、44
课后作业3:
如图，△ABC≌△EFD，且AB=EF，EC=4，CD=3，则 AC的长为（ ）.
A、3 B、4 C、7 D、8
课后作业4
安装空调时，一般都会象如图所示的方法将空调固定在墙上，这种方法应用的数学知识是什么？
课后作业5:
全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为正真合同三角形和镜面合同三角形.假如△ABC和△A’B’C’是全 等三角形，且点A与点A’对应，点B与点B’对应，点C与点C’对应，当在三角形上沿着A－B－C－A及A’－B’－C’－A’环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②）.两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°.下列各组合同三角形，属于镜面合同三角形的是（ ）.
B、 C、 D、
课后作业6:
一个三角形的三边长为2，7，x，另一个三角形的三边长为y，2，6，若这两个三角形全等，则x+y= ．
课后作业7:
如图，已知△ABE≌△ACD，且∠B=∠C，则下列结论： ①∠1=∠2； ②∠BAD=∠CAE； ③AD=AE；④DB=EC.其中错误的个数为（ ）.
A、0 B、1 C、2 D、3
课后作业8:
如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：
（1）BD=DE+CE；
（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
答案解析：
例1：D；
练1：C（124正确）
例2：7
∵△ABC≌△ABD，
∴AB=AE
∵AC=6cm,BC=5cm,△ABC的周长为18cm，
∴AB=18-6-5=7cm
∴AE=7cm，故填7.
练2：C
例3：B
如图，将正方形沿对角线AB折叠，两边可以完全重合，其中，∠1所在的三角形与∠7所在的三角形组成一个长方形，
∴∠1+∠7=90°.
同理，得∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°，又∠4=45°，所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=315°.
故选B。
练3：B
由题意，得△ABC≌△EDC，
∴∠BAC=∠1，又∠BAC+∠2=180°，
∴∠1+∠2=180°.故选B.
例4：C
练4：A
例5：B
∵△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠ACD=23°，
∴∠D=180°-∠DAC-∠ACD=97°.
练5：B
例6：A
练6：A
例7：D
练7：C
例8：3
∵△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x-2，2x-1，且这两个
三角形全等，
∴有或
解得或
上述解答过程中，第一组方程解出来的两个x的值不相同，自相矛盾，要舍去，故填3。
练8：D
例9：三角形的稳定性
练9：三角形的稳定性
例10：D
练10：C
例11：
∵△ACE≌△DBF，∴AC=BD，∴AC=（AD+BC）=×（8+2）=5.
∵△ACE≌△DBF，∴∠ACE=∠DBF，∴CE//BF.
练11：
AB与EF平行，理由：∵△ABC≌△FED，所以∠F=∠A.∴AB//EF.
∵△ABC≌△FED，∴AC=DF=5,又AD=2,∴CD=AC-AD=5-2=3cm.
附加题：
一课一练：
1:B
2:C
3:150°
4:2
5:3
6:
∵△BCD≌△ACE,∴S△BCD=S△ACE.
又S四边形AECD=S△ACE+S△ACD=S△ABC=AC·BC=8（cm2)
课后练习：
1：C
2：B
3：C
4：三角形的稳定性
5：C
6：13
7：A
8：
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE,
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
△ABD满足∠ADB=90°时，BD//CE.
理由是：∵BD//CE，
∴∠E=∠BDE
又∵△BAD≌△ACE,
∴∠ADB=∠E=∠BDE,
∵∠ADB+∠BDE=180°，
∴∠ADB=∠BDE=90°，
∴当△ABD满足∠ADB=90°时，BD//CE.

展开更多......

收起↑