2021-2022学年人教版七年级数学下册8.3实际问题与二元一次方程组 讲义

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2021-2022学年人教版七年级数学下册8.3实际问题与二元一次方程组 讲义

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实际问题与二元一次方程组
知识点解析
一、列方程解应用题的基本步骤
审题→设元→列方程→解方程→检验→作答
二、解题思路:1.第一遍读题 2.写公式 3.第二遍读题填条件 4.建立等量关系式
注意:没有具体公式可以用 单数×数量=总数,一般情况下求啥设啥;没有思路才需要按照上面方法整理思路,下面答案中有显示思路,考试或练习时可以简写。
三、应用题类型及公式:
1.
典型例题及重点题练习
例1、某中学生足球联赛8轮(即每队平均赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.在这次足球联赛中,某队踢平的场数是所负场数的2倍,共得17分,则该队胜的场数是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解题思路】
单数× 数量= 总数
胜 3
平 1
负 0 0
【答案】A. 解设……,列式,,答……
【变式】在学校组织的游艺晚会上,掷飞镖游艺区游戏规则如下:如图,掷到A区和B区的得分不同,A区为小圆内部分,B区为大圆内小圆外部分(掷中一次记一个点).现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况如图所示,依此方法计算小芳的得分为( )
A.74分 B.75分 C.76分 D.77分
【解题思路】
小华 单数 × 数量 = 总数 小明 单数 × 数量 = 总数
A 5 A 3
B 3 B 5
【答案】A. 解设……,列式,,10×2+9×6=74分
例2、一个两位数,个位上的数字与十位上的数字之和为7,如果这个两位数加上45.则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数,则原来的两位数是 ( )
A.61 B.16 C.52 D.25
【解题思路】
个位 十位 两位数
原来
现在
【答案】B.解设……,列式,
【变式】佳佳坐在匀速行驶的车上,将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下:
时刻 里程碑上的数
12:00 是一个两位数,数字之和为7
13:00 十位数字与个位数字相比12:00时看到的刚好颠倒
14:00 比12:00看到的两位数中间多了个0
则12:00时看到的两位数是_____________________
【解题思路】
个位 十位 百位 数 因为是匀速行驶,每个小时行驶距离相等
12:00
13:00
14:00 0 100+
【答案】16.解设……,列式,
例3、学生问老师:“您今年多大?”老师风趣地说:“我像你这么大时,你才2岁;你到我这么大时,我已经38岁了.”请问老师今年多大了?
【解题思路】
老师 学生 年龄差是一样的
现在
老师答① 2
老师答② 38
【答案】老师26岁,学生14岁.解设……,列式,
例4、七年级(二)班选出部分同学参加夏令营,分成红、蓝两队,红队戴红官子,蓝队戴蓝帽子。一个红队队员说,我看见的是红队人数与蓝队人数相等;一个蓝队队员说,我看见的是红队人数是蓝队人数的2倍.求红队人数和蓝队人数.
【解题思路】
红 蓝 说话的这个人看不到自己的帽子
现在
红队说 -1
蓝队说 -1
【答案】红队4人,蓝队3人.解设……,列式,
知识点解析
2.配套问题:建立正确的等量关系是关键,可以用解比例(两个外项之积等于两个内项之积)理解等量关系。
典型例题及重点题练习
例5、 现有36张白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制作盒身16个或制盒底40个,一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒,要使盒身和盒底正好配套,有多少个罐头盒?
【解题思路】
单数× 数量= 总数
盒身 16
盒底 40
【答案】320个罐头盒. 解设……,列式,,16×20=320(个),答……
【变式】工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作为侧面或底面,做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个,恰好使领取的纸板用完.
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录:
正方形纸板(张) 长方形纸板(张)
第一次 560 940
第二次 420 1002
①仓库管理员在核查时,发现一次记录有误.请你判断第几次的记录有误,并说明理由;
②记录正确的那一次,利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3,请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值.
(1)①【解题思路】
竖式 横式 注意无盖,纸板总数和一定能被5整除
正方形 1 2
长方形 4 3
总数 5 5
【答案】第二次记录有误,(420+1002)÷5=620.4(个),纸板个数不是整数。
(1)②【解题思路】
竖式 横式 总数
单数 数量 总数 单数 数量 总数
正方形 1 2 2
长方形 4 4 3 3
【答案】竖式纸盒40个,横式纸盒260个. 解设……,列式,,答……
(2)【答案】3:1. 解设……,列式,,答……
知识点解析
3.工程问题:工作总量=工作效率×工作时间
分类
典型例题及重点题练习
例6、古运河是扬州的母亲河.为打造古运河风光带,现有一段长为180米的河道整治任务由A,B两工程队先后接力完成.A工程队每天整治12米,B工程队每天整治8米,共用时20天.
根据题意,甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下:
甲: 乙:
根据甲、乙两名同学所列的方程组,请你分别指出未知数x、y表示的意义,然后在括号中补全甲、乙两名同学所列的方程组.
甲:x表示___________________,y表示 _________________
乙:x表示___________________,y表示 ____________________
(2)求A、B两工程队分别整治河道多少米.(写出完整的解答过程)
【解题思路】
效率 × 时间 = 总量 效率 × 时间 = 总量 如果效率×未知数说明是时间; 如果未知数÷效率说明是总量
A 12 A 12
B 8 B 8
【答案】(1)甲:20,180,表示A工程队整治的时间,表示B工程队整治的时间;
乙180,20,表示A工程队整治河道的总长,表示B工程队整治河道的总长。
(2)A60米,B120米. 解设……,列式,,答……
例7、一项工程甲单独做需12天完成,乙单独做需18天完成,计划甲先做若干后离去,再由乙完成,实际上甲只做了计划时间的一半因事离去,然后由乙单独承担,而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍,则原计划甲、乙各做多少天?
【解题思路】
效率 × 时间 = 总量 效率 × 时间 = 总量 典型单位“1”题型, 工作总量是1
计划 甲 实际 甲
乙 乙
【答案】解设……,列式,,答……
【变式】一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工;8天可以完成,需付两组装修费用共3520元若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付两组装修费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组单独工作一天,商店各应付多少元
(2)单独请哪组,商店所付装修费用较少
(3)若装修完后,商店每天可盈利200元,你认为如何安排施工有利于商店经营 说说你的理由:
(1)【解题思路】
单价 × 数量 = 总价 单价 × 数量 = 总价
情况一 甲 8 8 情况二 甲 6 6
乙 8 8 乙 12 12
【答案】解设……,列式,,答……
(2)【解题思路】
效率 × 时间 = 总量 效率 × 时间 = 总量 工作总量看成单位“1”
情况一 甲 8 8 情况二 甲 6 6
乙 8 8 乙 12 12
【答案】解设……,列式,,甲:1÷=12(天),300×12=3600(元);
乙:1÷=24(天),140×24=3360(元),3600>3360,答单独请乙费用较少。
(3)【答案】乙单独开支:1÷=24(天),140×24=3360(元);甲单独开支:1÷=12(天),300×12=3600(元)200×(24-12)=2400(元),3600-2400=1200(元),3360>1200;甲乙合作开支:3520-200×(12-8)=2720(元),3360>2720,甲乙合作对商店最利。
知识点解析
(
解题思路:
用未知数表示出路程后,建立等量关系可以看作线段加减;
注意:

单位要统一

相遇追击题干中若遇到“两人相距30千米”,要多思考一下是否分相遇前和相遇后两种情况。
)4.
典型例题及重点题练习
例8、小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路,若他始终保持平路每分钟走60m,下坡路每分钟走80m,上坡路每分钟走40m,则他从家里到学校需10 min,从学校到家里需15 min.问:从小华家到学校的平路和下坡路分别有多远?
【解题思路】
速度 × 时间 = 路程 设路程为未知数好计算,只需要设两个未知数, (
学校
) (

)上坡和下坡路程一样
上坡 40
平路 60
下坡 80
【答案】解设……,列式,,答……
例9、甲、乙两人分别从相距30千米的A,B两地同时且匀速相向而行,3小时后相距3千米,再过2小时,甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍,分别求甲、乙两人的速度.
【解题思路】
速度 × 时间 = 路程 相遇前相距3千米:++3=30 相遇后相距3千米:+-3=30
相距3千米 甲 3
乙 3
所剩路程 甲 5 甲剩路程:30- 乙剩路程:30-
乙 5
【答案】情况一:解设……,列式,,答……
情况二:解设……,列式,,答……
例10、甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏,商定:用球拍托着乒乓球从起跑线起跑,绕过P点跑回
到起跑线(如图);途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑,用时最少者获胜结果甲同学由于心急,掉了球,浪费了6秒钟,乙同学以2.5m/s的速度顺利跑完全程事后,甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”,乙同学说:“捡球过程不算在内时,甲的速度是我的1.2倍”请根据图文信息解决下列问题:(1)求甲的赛跑速度;
(2)在此次“托球赛跑”游戏中,哪位同学获胜
(3)求P点与之间的距离.
(1)【答案】2.5×1.2=3(m/s)
(2)【解题思路】
速度 × 时间 = 路程 甲全部用时是,但他跑步的时间是
甲 3
乙 2.5
【答案】情况一:解设……,列式,,答……
(3)【答案】2.5×24÷2=30(m)
知识点解析
5.
典型例题及重点题练习
例11、某中学现有学生500人,计划一年后女生在校生增加3%,男生在校生增加4%,这样,在校学生将增加3.4%,那么该校现有的女生和男生人数分别是 ( )
A.300和200 B.200和300 C.180和320 D.320和180
【解题思路】
原有量 × 增长率 = 增长量 这个题求增长量比较简单,不需要求出现有量
女 3% 3%
男 4% 4%
全部学生 500 3.4% 500×3.4%
【答案】解设……,列式,,答……
例12、若干克含盐4%的盐水蒸去一些水分后变成了含盐为10%的盐水,再加进300克含盐4%的盐水,混合后变成了含盐6.4%的盐水,则最初有4%的盐水____________克.
【解题思路】
盐水 × 含盐率 = 盐 第一句话说明4%与10%的盐等量, 10%加4%的盐与6.4%的盐等量
4%的盐水 4% 4%
10%的盐水 10% 10%
再加4%的盐水 300 4% 300×4%
6.4%的盐水 +300 6.4% (+300)×6.4%
【答案】解设……,列式,,答……
知识点解析
6.销售问题:理解公式、选好公式是关键
利润=售价-进价 售价=进价+利润=进价×( 1+利润率)
利润=进价×利润率 售价=标价×折扣
典型例题及重点题练习
例13、春节前夕,某服装专卖店按标价打折销售.小明去该专卖店买了两件衣服,第一件打七折,第二件打五折,共计260元,付款后,收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了,又找给小明40元,则这两件衣服的标价各是( )
A.100元,300元 B.100元,200元 C.200元,300元 D.150元,200元
【解题思路】
标价 × 折扣 = 售价
第一次 第一件 五折
第二件 七折
第二次 第一件 七折
第二件 五折
【答案】A.解设……,列式,,答……
【变式】某村在推进美丽乡村的活动中,决定建设幸福广场,计划铺设相同规格的红色和蓝色地砖.经过调查,获取信息如下:
购买数量低于50000块 购买数量不低于5000块
红色地砖 原价销售 以八折销售
蓝色地砖 原价销售 以九折销售
如果购买红色地砖4000块,蓝色地砖6000块,需付款86000元;如果购买红色地砖10 000块,蓝色地砖3500块,需付款99 000元.则红色地砖与蓝色地砖的单价各为多少元?
【解题思路】
单价 × 数量 = 总价
第一次 红 4000
蓝 0.9 6000
第二次 红 0.8 10000
蓝 3500
【答案】解设……,列式,,答……
例14、某商场用36万元购进A,B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A B
进价(元/件) 1200 1000
售价(元/件) 1380 1200
求该商场购进A,B两种商品各多少件.
【解题思路】
售价 进价 数量 总利润
A 1380 1200 (1380-1200)
B 1200 1000 (1200-1000)
【答案】解设……,列式,,答……
知识点解析
7.几何图形问题:利用边长、周长、面积、体积相等建立等量关系
典型例题及重点题练习
例15、在长方形ABCD中,放入六个形状、大小相同的小长方形,所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的总面积为____________
【答案】解设小长方形的宽为cm,长为cm;列式,,14×12-11×1×6=92
知识点解析
8.方案问题:几种方案(存在隐含条件:非负整数解)
典型例题及重点题练习
例16、为开拓学生的视野,全面培养和提升学生的综合素质,让学生感受粤东古城潮州的悠久历史,某中学组织七年级师生共420人前往潮州开展研学活动.学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返,若租用A型车3辆,B型车5辆,则空余15个座位;若租用A型车5辆,B型车3辆,则15人没座位.
(1)求A、B两种车型各有多少个座位.
(2)租车公司目前B型车只有6辆,若A型车租金为1800元/辆,B型车租金为2100元/辆,请你为学校设计使座位恰好坐满师生且租金最少的租车方案.
(1)【解题思路】
单数 × 数量 = 总数 余15,420+15; 15人无座,420-15
第一种 A 3
B 5
第二种 A 5
B 3
【答案】解设……,列式,,答……
(1)【解题思路】
单数 × 数量 = 总数 车辆只能是整数,所以潜在条件是为非负整数解,≤6
A 45
B 60
【答案】解设……,列式,,,∴
8×1800+2100=16500(元),4×1800+2100×4=15600(元),16500>15600,∴4辆A,4辆B租金最少。
综合题练习
例17、某景点的门票价格如表:
购票人数人 100以上
每人门票价元 12 10 8
某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点,其中(1)班人数少于50人,(2)班人数多于50人且少于100人,如果两班都以班为单位单独购票,则一共支付1118元;如果两班联合起来作为一个团体购票,则只需花费816元.
(1)两个班各有多少名学生?
(2)团体购票与单独购票相比较,两个班各节约了多少钱?
(3)若(2)班有4名学生因家中有事无法参加该次活动,请你设计一种最为省钱的购票方案。
【答案】(1)解设(1)班人,(2)班人列式,,答……
(2)(12-8)×49=196(元),(10-8)×53=106(元),答……
(3)一种:49×12+12×(53-4)=1176(元);二种:(49+53-4)×10=980(元);三种:101×8=808(元);答:买101张票最省钱。
例18、为了鼓励市民节约用水,某市实行居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息:
自来水价格 污水处理费
每户每月用水量 单价:元/吨 单价:元/吨
20吨及以下(包含20吨) 0.60
超过20吨但不超过30吨的部分 0.60
超过30吨的部分 3.60 0.60
(注:到户价格=自来水价格+污水处理费,如超过30吨的部分的到户价格为,每户产生的污水量等于该户自来水用量.)
若小王家3月份用水25吨,交水费64.50元;4月份用水30吨,交水费81.00元
(1)求的值.
(2)随着夏天的到来,用水量将增加,为了节省开支,小王家计划把7月份的水费控制在家庭收人的1.5%以内.若小王家的月收人为9600元,则小王家7月份最多可用水多少吨
【答案】(1),,答……
(2)9600×1.5%=144(元)>81,解设小王家7月份用水量为吨,20×2.4+10×3.3+(-30)×4.2=144,=45,答……

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