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实际问题与二元一次方程组
知识点解析
一、列方程解应用题的基本步骤
审题→设元→列方程→解方程→检验→作答
二、解题思路：1.第一遍读题 2.写公式 3.第二遍读题填条件 4.建立等量关系式
注意：没有具体公式可以用 单数×数量＝总数，一般情况下求啥设啥；没有思路才需要按照上面方法整理思路，下面答案中有显示思路，考试或练习时可以简写。
三、应用题类型及公式：
1.
典型例题及重点题练习
例1、某中学生足球联赛8轮（即每队平均赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．在这次足球联赛中，某队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，则该队胜的场数是 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
【解题思路】
单数× 数量= 总数
胜 3
平 1
负 0 0
【答案】A. 解设……，列式，，答……
【变式】在学校组织的游艺晚会上，掷飞镖游艺区游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外部分(掷中一次记一个点).现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况如图所示，依此方法计算小芳的得分为( )
A．74分 B．75分 C．76分 D．77分
【解题思路】
小华 单数 × 数量 = 总数 小明 单数 × 数量 = 总数
A 5 A 3
B 3 B 5
【答案】A. 解设……，列式，，10×2+9×6=74分
例2、一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为7，如果这个两位数加上45．则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是 ( )
A.61 B.16 C.52 D.25
【解题思路】
个位 十位 两位数
原来
现在
【答案】B.解设……，列式，
【变式】佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
时刻 里程碑上的数
12:00 是一个两位数，数字之和为7
13:00 十位数字与个位数字相比12:00时看到的刚好颠倒
14:00 比12：00看到的两位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是_____________________
【解题思路】
个位 十位 百位 数 因为是匀速行驶，每个小时行驶距离相等
12:00
13:00
14:00 0 100+
【答案】16.解设……，列式，
例3、学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这么大时，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了．”请问老师今年多大了？
【解题思路】
老师 学生 年龄差是一样的
现在
老师答① 2
老师答② 38
【答案】老师26岁，学生14岁.解设……，列式，
例4、七年级（二）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红官子，蓝队戴蓝帽子。一个红队队员说，我看见的是红队人数与蓝队人数相等；一个蓝队队员说，我看见的是红队人数是蓝队人数的2倍．求红队人数和蓝队人数.
【解题思路】
红 蓝 说话的这个人看不到自己的帽子
现在
红队说 -1
蓝队说 -1
【答案】红队4人，蓝队3人.解设……，列式，
知识点解析
2.配套问题：建立正确的等量关系是关键，可以用解比例（两个外项之积等于两个内项之积）理解等量关系。
典型例题及重点题练习
例5、 现有36张白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身16个或制盒底40个，一个盒身和两个盒底配成一套罐头盒，要使盒身和盒底正好配套，有多少个罐头盒？
【解题思路】
单数× 数量= 总数
盒身 16
盒底 40
【答案】320个罐头盒. 解设……，列式，，16×20=320（个），答……
【变式】工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作为侧面或底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完.
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
正方形纸板(张) 长方形纸板(张)
第一次 560 940
第二次 420 1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误.请你判断第几次的记录有误，并说明理由;
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3,请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值.
(1)①【解题思路】
竖式 横式 注意无盖，纸板总数和一定能被5整除
正方形 1 2
长方形 4 3
总数 5 5
【答案】第二次记录有误，（420+1002）÷5=620.4（个），纸板个数不是整数。
(1)②【解题思路】
竖式 横式 总数
单数 数量 总数 单数 数量 总数
正方形 1 2 2
长方形 4 4 3 3
【答案】竖式纸盒40个，横式纸盒260个. 解设……，列式，，答……
(2)【答案】3：1. 解设……，列式，，答……
知识点解析
3.工程问题：工作总量=工作效率×工作时间
分类
典型例题及重点题练习
例6、古运河是扬州的母亲河．为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天．
根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：
甲： 乙：
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在括号中补全甲、乙两名同学所列的方程组.
甲：x表示___________________，y表示 _________________
乙：x表示___________________，y表示 ____________________
（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程）
【解题思路】
效率 × 时间 = 总量 效率 × 时间 = 总量 如果效率×未知数说明是时间； 如果未知数÷效率说明是总量
A 12 A 12
B 8 B 8
【答案】（1）甲：20，180，表示A工程队整治的时间，表示B工程队整治的时间；
乙180，20，表示A工程队整治河道的总长，表示B工程队整治河道的总长。
（2）A60米，B120米. 解设……，列式，，答……
例7、一项工程甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，计划甲先做若干后离去，再由乙完成，实际上甲只做了计划时间的一半因事离去，然后由乙单独承担，而乙完成任务的时间恰好是计划时间的2倍，则原计划甲、乙各做多少天？
【解题思路】
效率 × 时间 = 总量 效率 × 时间 = 总量 典型单位“1”题型， 工作总量是1
计划 甲 实际 甲
乙 乙
【答案】解设……，列式，，答……
【变式】一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工;8天可以完成，需付两组装修费用共3520元若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组装修费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元
(2)单独请哪组，商店所付装修费用较少
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营 说说你的理由:
(1)【解题思路】
单价 × 数量 = 总价 单价 × 数量 = 总价
情况一 甲 8 8 情况二 甲 6 6
乙 8 8 乙 12 12
【答案】解设……，列式，，答……
(2)【解题思路】
效率 × 时间 = 总量 效率 × 时间 = 总量 工作总量看成单位“1”
情况一 甲 8 8 情况二 甲 6 6
乙 8 8 乙 12 12
【答案】解设……，列式，，甲：1÷=12（天），300×12=3600（元）；
乙：1÷=24（天），140×24=3360（元），3600>3360，答单独请乙费用较少。
(3)【答案】乙单独开支：1÷=24（天），140×24=3360（元）；甲单独开支：1÷=12（天），300×12=3600（元）200×（24-12）=2400（元），3600-2400=1200（元），3360>1200；甲乙合作开支：3520-200×（12-8）=2720（元），3360>2720，甲乙合作对商店最利。
知识点解析
(
解题思路：
用未知数表示出路程后，建立等量关系可以看作线段加减；
注意：
①
单位要统一
②
相遇追击题干中若遇到“两人相距30千米”，要多思考一下是否分相遇前和相遇后两种情况。
)4.
典型例题及重点题练习
例8、小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，若他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15 min．问：从小华家到学校的平路和下坡路分别有多远？
【解题思路】
速度 × 时间 = 路程 设路程为未知数好计算，只需要设两个未知数， (
学校
) (
家
)上坡和下坡路程一样
上坡 40
平路 60
下坡 80
【答案】解设……，列式，，答……
例9、甲、乙两人分别从相距30千米的A，B两地同时且匀速相向而行，3小时后相距3千米，再过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，分别求甲、乙两人的速度．
【解题思路】
速度 × 时间 = 路程 相遇前相距3千米：++3=30 相遇后相距3千米：+-3=30
相距3千米 甲 3
乙 3
所剩路程 甲 5 甲剩路程：30- 乙剩路程：30-
乙 5
【答案】情况一：解设……，列式，，答……
情况二：解设……，列式，，答……
例10、甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定:用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回
到起跑线(如图);途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时最少者获胜结果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以2.5m/s的速度顺利跑完全程事后，甲同学说:“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说:“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”请根据图文信息解决下列问题:(1)求甲的赛跑速度;
(2)在此次“托球赛跑”游戏中，哪位同学获胜
(3)求P点与之间的距离.
(1)【答案】2.5×1.2=3（m/s）
(2)【解题思路】
速度 × 时间 = 路程 甲全部用时是，但他跑步的时间是
甲 3
乙 2.5
【答案】情况一：解设……，列式，，答……
(3)【答案】2.5×24÷2=30（m）
知识点解析
5.
典型例题及重点题练习
例11、某中学现有学生500人，计划一年后女生在校生增加3％，男生在校生增加4％，这样，在校学生将增加3.4％，那么该校现有的女生和男生人数分别是 ( )
A．300和200 B．200和300 C．180和320 D．320和180
【解题思路】
原有量 × 增长率 = 增长量 这个题求增长量比较简单，不需要求出现有量
女 3% 3%
男 4% 4%
全部学生 500 3.4% 500×3.4%
【答案】解设……，列式，，答……
例12、若干克含盐4％的盐水蒸去一些水分后变成了含盐为10％的盐水，再加进300克含盐4％的盐水，混合后变成了含盐6.4％的盐水，则最初有4％的盐水____________克.
【解题思路】
盐水 × 含盐率 = 盐 第一句话说明4％与10％的盐等量， 10％加4％的盐与6.4％的盐等量
4％的盐水 4% 4%
10％的盐水 10% 10%
再加4％的盐水 300 4% 300×4%
6.4％的盐水 +300 6.4% （+300）×6.4%
【答案】解设……，列式，，答……
知识点解析
6.销售问题：理解公式、选好公式是关键
利润＝售价－进价 售价=进价+利润=进价×( 1+利润率)
利润=进价×利润率 售价=标价×折扣
典型例题及重点题练习
例13、春节前夕，某服装专卖店按标价打折销售.小明去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共计260元，付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给小明40元，则这两件衣服的标价各是（ )
A．100元，300元 B．100元，200元 C．200元，300元 D．150元，200元
【解题思路】
标价 × 折扣 = 售价
第一次 第一件 五折
第二件 七折
第二次 第一件 七折
第二件 五折
【答案】A.解设……，列式，，答……
【变式】某村在推进美丽乡村的活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同规格的红色和蓝色地砖.经过调查，获取信息如下：
购买数量低于50000块 购买数量不低于5000块
红色地砖 原价销售 以八折销售
蓝色地砖 原价销售 以九折销售
如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖10 000块，蓝色地砖3500块，需付款99 000元.则红色地砖与蓝色地砖的单价各为多少元？
【解题思路】
单价 × 数量 = 总价
第一次 红 4000
蓝 0.9 6000
第二次 红 0.8 10000
蓝 3500
【答案】解设……，列式，，答……
例14、某商场用36万元购进A，B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：
A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1380 1200
求该商场购进A，B两种商品各多少件．
【解题思路】
售价 进价 数量 总利润
A 1380 1200 (1380-1200)
B 1200 1000 (1200-1000)
【答案】解设……，列式，，答……
知识点解析
7.几何图形问题：利用边长、周长、面积、体积相等建立等量关系
典型例题及重点题练习
例15、在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的总面积为____________
【答案】解设小长方形的宽为cm，长为cm；列式，，14×12-11×1×6=92
知识点解析
8.方案问题：几种方案（存在隐含条件：非负整数解）
典型例题及重点题练习
例16、为开拓学生的视野，全面培养和提升学生的综合素质，让学生感受粤东古城潮州的悠久历史，某中学组织七年级师生共420人前往潮州开展研学活动．学校向租车公司租赁A、B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车5辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车3辆，则15人没座位．
（1）求A、B两种车型各有多少个座位．
（2）租车公司目前B型车只有6辆，若A型车租金为1800元／辆，B型车租金为2100元／辆，请你为学校设计使座位恰好坐满师生且租金最少的租车方案.
(1)【解题思路】
单数 × 数量 = 总数 余15，420+15； 15人无座，420-15
第一种 A 3
B 5
第二种 A 5
B 3
【答案】解设……，列式，，答……
(1)【解题思路】
单数 × 数量 = 总数 车辆只能是整数，所以潜在条件是为非负整数解，≤6
A 45
B 60
【答案】解设……，列式，，，∴
8×1800+2100=16500（元），4×1800+2100×4=15600（元），16500>15600，∴4辆A,4辆B租金最少。
综合题练习
例17、某景点的门票价格如表：
购票人数人 100以上
每人门票价元 12 10 8
某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．
(1)两个班各有多少名学生？
(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
(3)若（2）班有4名学生因家中有事无法参加该次活动，请你设计一种最为省钱的购票方案。
【答案】(1)解设(1)班人，(2)班人列式，，答……
(2)(12-8)×49=196(元)，(10-8)×53=106(元)，答……
(3)一种：49×12+12×（53-4）=1176(元)；二种：（49+53-4）×10=980(元)；三种：101×8=808(元)；答：买101张票最省钱。
例18、为了鼓励市民节约用水,某市实行居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息:
自来水价格 污水处理费
每户每月用水量 单价:元/吨 单价:元/吨
20吨及以下(包含20吨) 0.60
超过20吨但不超过30吨的部分 0.60
超过30吨的部分 3.60 0.60
(注:到户价格=自来水价格+污水处理费，如超过30吨的部分的到户价格为，每户产生的污水量等于该户自来水用量.)
若小王家3月份用水25吨,交水费64.50元;4月份用水30吨，交水费81.00元
(1)求的值.
(2)随着夏天的到来,用水量将增加,为了节省开支,小王家计划把7月份的水费控制在家庭收人的1.5%以内.若小王家的月收人为9600元，则小王家7月份最多可用水多少吨
【答案】(1)，，答……
(2)9600×1.5%=144（元）>81，解设小王家7月份用水量为吨，20×2.4+10×3.3+（-30）×4.2=144，=45，答……

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