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圆的概念＋弧、弦、圆心角之间的关系
圆的相关概念
知识精讲
一．圆的相关概念
1.圆的概念
（1）描述性定义:在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径；
（2）集合性定义: 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；
（3）圆的表示方法:用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”；
（4）同圆、同心圆、等圆：
①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；
②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
③能够重合的两个圆叫做等圆．
2.弦与弧的相关概念：
（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；
（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍；
（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；
（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧；
（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；
（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；
（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
3.圆心角与圆周角
（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；
①将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧；
②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；
（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆的相关概念
例题
例题1、判断：
（1）直径是弦，弦是直径 （ ）
（2）半圆是圆弧 （ ）
（3）长度相等的弧是等弧 （ ）
（4）能够重合的弧是等弧 （ ）
（5）圆弧分为优弧和劣弧 （ ）
（6）优弧一定大于劣弧 （ ）
（7）半径相等的圆是等圆 （ ）
例题2、如图，△ABC中，∠A=50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量∠DOE的度数是（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
例题3、过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.1条或无数条
例题4、已知点P在半径等于3的⊙O上，则OP的长（ ）
A. B. C. D.无法确定
随练
随练1、下列说法中，结论错误的是（ ）
A.直径相等的两个圆是等圆
B.长度相等的两条弧是等弧
C.圆中最长的弦是直径
D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
随练3、如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则 ．
随练4、如图，AB是的直径，点C在上，若，则度数等于（ ）
A. B. C. D.
弧，弦，圆心角之间的关系知一推二
知识精讲
一．圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．
若，则，，．
2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
二．应用
1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；
2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；
另外，证明两弦相等也常作弦心距；
3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；
4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：
（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角
弧，弦，圆心角之间的关系知一推二
例题
例题1、下列说法中正确的是（ ）
①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
例题2、在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为AB长度的一半，则弦AB所对圆心角的大小为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
例题3、若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（　　）
A.45° B.90° C.l35° D.270°
例题4、如图，以的边为直径的分别交于点，连结，若，则 ．
例题5、如图所示，在⊙O中，，则在①；②；③；④中，正确的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
随练
随练1、下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ）
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
随练2、如图，A，B，C，D均为⊙O上的点，且，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
随练3、如图，在⊙O中，已知，且，则________
随练4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．
求∠ACB的度数；
随练5、已知AB弧和AC弧，是同圆的两段弧，且弧AB等于弧AC的2倍，则弦AB与弦AC之间的关系为（ ）
A. B. C. D.不能确定
拓展
拓展1、有一圆形纸片，要用折叠的方法找出其圆心，至少要折叠（ ）
A.1次 B.2次 C.3次 D.4次
拓展2、在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径，如图，直角角尺，∠AOB＝90°，将点O放在圆周上，分别确定OA、OB与圆的交点C、D，读得数据OC＝8，OD＝9，则此圆的直径约为（ ）
A.17 B.14 C.12 D.10
拓展3、下列说法正确的有（ ）
①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．
A.①②③④⑤ B.①②⑤ C.①②③⑤ D.②④⑤
拓展4、如图4，AB为⊙O的弦，半径于点D，，，则⊙O的直径为________________
拓展6、在⊙O中，点C是劣弧AB的中点，则线段AB和线段AC的大小为（ ）
A. B. C. D.无法确定
拓展7、如图，在⊙O中，∠AOB的度数为m，C是弧ACB上一点，D、E是弧AB上不同的两点（不与A、B两点重合），则的度数为（ ）
A.m B. C. D.
拓展9、如图，C、D是以AB直径的⊙O上的两个点，，，则∠ABD的度数为（ ）
A.24° B.60° C.66° D.76°
拓展10、如图D、A、C、B为⊙O上的点，，则AD与BC的大小关系是（ ）
A. B. C. D.不能确定
拓展11、如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，，连接AD，AC，若，则∠CAB等于（ ）
A.14° B.16° C.18° D.20°
随堂小测：
1.如图、一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是弧AB的中点、点D是AB的中点，CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为
A.25m B.24m C.30m D.60m
2.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若∠COB=50°，则∠ADC的度数为
A.20° B.25° C.30° D.50°
如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB
＝10，AC＝8，则BD的长为
A.2 B.4 C.2 D.4.8
4.如图，已知四边形ABCD，C.D在弧AB上，AB是直径，弧DC＝弧CB,若∠C＝110°，则∠ABC的度数等于
A.55° B.60° C.65° D.70°
5.如图、BC是半圆O的直径，D，E是弧BC上两点，连接BD，CE并延长交于点
A，连接OD，OE.如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为
A.35° B.38° C.40° D.42°

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