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中考数学几何模型1：截长补短模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；（2）BC＝AB+CD．
变式练习>>>
1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.
例题2. 已知△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，
CD，BC的数量关系，并说明理由．
变式练习>>>
2. 已知：△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ADB＝90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分
∠CDE．
变式练习>>>
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN＝60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．
例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE＝90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
　 　；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE＝120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD＝8，AB＝2，DE＝8，若ACE＝135°，求线段AE长度的最大值．
例题5.在△ABC中，∠BAC＝90°．
（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；
（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．
①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；
②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．
例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB+BD，求∠ABC的度数．
2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠
NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加
以证明．
4. 如图， ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA＝2∠BAE．
（1）若∠D＝105°，∠DAF＝35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF＝CD+CF．
5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG＝AD，连
结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB＝2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF＝AF．
6. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，连接AC，BD交于点E．
（1）若BC＝CD＝2，M为线段AC上一点，且AM：CM＝1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD＝AC．
7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连
接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE＝2，求EF的长；
（2）求证：PF＝EP+EB．中考数学几何模型1：截长补短模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系. 这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解. 所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系. 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等. 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系. 有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解.
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；（2）BC=AB+CD．
【解答】证明：如图所示：
（1）∵BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
又∵AB∥CD，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥CE．
（2）在BC上取点F，使BF=BA，连接EF．
在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），
∴∠A=∠5．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠5+∠D=180，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠6=∠D，
在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（AAS），
∴CF=CD．
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD，
变式练习>>>
1. 已知△ABC的内角平分线AD交BC于D，∠B=2∠C. 求证：AB+BD=AC.
答案：略
例题2. 已知△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并说明理由．
【解答】解：在BC上取点G使得CG=CD，
∵∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣60°）=120°，
∴∠BOE=∠COD=60°，
∵在△COD和△COG中，，
∴△COD≌△COG（SAS），
∴∠COG=∠COD=60°，
∴∠BOG=120°﹣60°=60°=∠BOE，
∵在△BOE和△BOG中，，
∴△BOE≌△BOG（ASA），
∴BE=BG，
∴BE+CD=BG+CG=BC．
变式练习>>>
2. 已知：△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣∠BDC．试判断线段CD、BD与AB之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【解答】解：AB=BD+CD，
理由是：延长CD到E，使DE=BD，连接AE，
∵∠ADB=90°﹣∠BDC，
∴∠ADE=180°﹣（90°﹣）﹣∠BDC=90°﹣，
∴∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠E=∠ABD=60°，AB=AE，
∵AB=AC，
∴AE=AC，
∴△ACE是等边三角形，
∴AB=CE=CD+DE=BD+CD．
例题3. 如图所示，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：DA平分
∠CDE．
【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF=BC，连接AF，
∵BC+DE=CD，EF+DE=DF，
∴CD=FD，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AEF，
在△ABC和△AEF中，，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AC=AF，
在△ACD和△AFD中，，
∴△ACD≌△AFD（SSS）
∴∠ADC=∠ADF，
即AD平分∠CDE．
变式练习>>>
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是
CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并给出证明．
【解答】解：CN=MN+BM
证明：在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC﹣（∠BDN+∠EDC）
=∠BDC﹣（∠BDN+∠MDB）
=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND与△END中，
，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．
例题4. 在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
（1）如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为
　AE=AB+DE　；（直接写出答案）
（2）如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，则线段AE长度的最大值是　10+4．　（直接写出答案）．
【解答】解：（1）AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，
，∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=120°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°．
∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°．
∴△FGC是等边三角形．∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG．∴AE=AB+DE+BD．
（3）作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．
∵△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA．
同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE
∵CB=CD，∴CG=CF
∵∠ACE=135°，
∴∠BCA+∠DCE=180°﹣135°=45°．
∴∠FCA+∠GCE=45°．
∴∠FCG=90°．
∴△FGC是等腰直角三角形．∴FC=BD．
∵BD=8，∴FC=4，∴FG=4．
∵AE=AB+4+DE．
∵AB=2，DE=8，∴AE≤AF+FG+EG=10+4．
∴当A、F、G、E共线时AE的值最大2，最大值为10+4．
故答案为：10+4．
例题5.在△ABC中，∠BAC=90°．
（1）如图1，直线l是BC的垂直平分线，请在图1中画出点A关于直线l的对称点A′，连接A′C，A′B，A′C与AB交于点E；
（2）将图1中的直线A′B沿着EC方向平移，与直线EC交于点D，与直线BC交于点F，过点F作直线AB的垂线，垂足为点H．
①如图2，若点D在线段EC上，请猜想线段FH，DF，AC之间的数量关系，并证明；
②若点D在线段EC的延长线上，直接写出线段FH，DF，AC之间的数量关系．
【解答】解：（1）如图1：；
（2）①DF+FH=CA，
证明：如图2，过点F作FG⊥CA于点G，
∵FH⊥BA于H，∠A=90°，FG⊥CA，
∴∠A=∠FGA=∠FHA=90°，
∴四边形HFGA为矩形．
∴FH=AG，FG∥AB，
∴∠GFC=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
由（1）和平移可知，
∠ECB=∠EBC=∠GFC，
∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
∵在△FGC和△CDF中
∴△FGC≌△CDF，
∴CG=FD，
∴DF+FH=GC+AG，
即DF+FH=AC；
②解：FH﹣DF=AC，
理由是：过F作FH⊥BA于H，过点C作CG⊥FH于G，
∵FH⊥BA于H，∠BAC=90°，CG⊥FH，
∴∠CAH=∠CGH=∠FHA=90°，
∴四边形ACGH为矩形．
∴AC=GH，CG∥AB，
∴∠GCF=∠EBC，
∵直线l是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB=∠FCD，
∴∠GCF=∠FCD，
由（1）和平移可知，∠FDC=∠A=90°，
∴∠FDC=∠FGC=90°．
∵在△FGC和△CDF中
∴△FGC≌△CDF，
∴FG=FD，
∵FH﹣FG=GH，
∴FH﹣DF=AC．
例题6. 如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN=CD；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN=∠AHE=90°，
∴∠ANH=∠AEH，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN=DC，
∴∠DNH=∠DCH，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=DC；
（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE，理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：
由（1）得：BN'=CD，AN'=AC，AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，NN'=CE，
∴∠ANE=∠CGE，∠B=∠BCG，
∴∠CGE=∠AEN，
∴CG=CE，
∵M是BC中点，
∴BM=CM，
在△BNM和△CGM中，，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN=CG，
∴BN=CE，
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE；
（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：
由（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD=BN﹣CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=BN﹣CE；
当点M在CB的延长线上时，CD=CE﹣BN；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：
同（2）得：NN'=CE，CD=BN'=CE﹣BN．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC的度数．
【解答】解：如图，在AC上截取AE=AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△AED中，，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴BD=DE，∠B=∠AED，
∵AC=AE+CE，AC=AB+BD，
∴CE=BD，
∴CE=DE，
∴∠C=∠CDE，
即∠B=2∠C，
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴60°+2∠C+∠C=180°，
解得∠C=40°，
∴∠ABC=2×40°=80°．
2. 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论.
3. 如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：探究结论：BM+CN=NM．
证明：延长AC至E，使CE=BM，连接DE，
∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
即∠ABD=∠DCE=90°，
∴在△DCE和△DBM中，
∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS），
∴∠BDM=∠CDE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC﹣∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∴∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE（上面已经全等）
在△DMN和△DEN中
∵
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴BM+CN=NM．
4. 如图， ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．
【解答】（1）解：∵∠D=105°，∠DAF=35°，
∴∠DFA=180°﹣∠D﹣∠DAF=40°（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
∴∠DFA=∠FAB=40°（两直线平行，内错角相等）；
∵∠DFA=2∠BAE（已知），
∴∠FAB=2∠BAE（等量代换）．
即∠FAE+∠BAE=2∠BAE．
∴∠FAE=∠BAE；
∴2∠FAE=40°，
∴∠FAE=20°；
（2）证明：在AF上截取AG=AB，连接EG，CG．
∵∠FAE=∠BAE，AE=AE，
∴△AEG≌△AEB．
∴EG=BE，∠B=∠AGE；
又∵E为BC中点，∴CE=BE．
∴EG=EC，∴∠EGC=∠ECG；
∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°．
又∵∠AGE+∠EGF=180°，∠AGE=∠B，
∴∠BCF=∠EGF；
又∵∠EGC=∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，∴FG=FC；
又∵AG=AB，AB=CD，
∴AF=AG+GF=AB+FC=CD+FC．
5. 如图所示，在正方形ABCD的边CB的延长线上取点F，连结AF，在AF上取点G，使得AG=AD，连结DG，过点A作AE⊥AF，交DG于点E．
（1）若正方形ABCD的边长为4，且AB=2FB，求FG的长；
（2）求证：AE+BF=AF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，
∴∠ABF=90°，AB=AD=4，
∵在Rt△ABF中，AB=2FB，
∴FB=×4=2，
∴AF==2，
∵AG=AD=4，
∴FG=AF﹣AG=2﹣4；
（2）证明：在BC上截取BM=AE，连接AM，
∵AG=AD，AB=AD，
∴AG=AB，
∵AE⊥AF，
∴∠EAG=∠ABM=90°，
在△AGE和△BAM中，
，
∴△AGE≌△BAM（SAS），
∴∠AMB=∠AEG，∠BAM=∠AGD，
∵AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴∠BAM=∠ADG，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠FAB=∠EAD，
∴∠AEG=∠EAD+∠ADG=∠FAB+∠BAM=∠FAM，
∴∠FAM=∠AMB，
∴AF=FM=BF+BM=BF+AE．
6. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，连接AC，BD交于点E．
（1）若BC=CD=2，M为线段AC上一点，且AM：CM=1：2，连接BM，求点C到BM的距离．
（2）证明：BC+CD=AC．
【解答】解：（1）∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°．
∵BC=CD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC=30°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90°，
∴CE=BC=1，BE=，AC=2BC=4．
∵AM：CM=1：2，
∴AM=，CM=，
∴EM=，在Rt△BEM中由勾股定理得
BM==．
过点C作CF⊥BM于点F．
∴．
∴，
∴CF=．
即点C到BM的距离．
（2）证明：延长BC到点F，使CF=CB，连接DF，
∵AB=AD，∠ABD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=BD，
∴BC=CD，
∴CF=CD．
∵∠BCD=120°，
∴∠DCF=180°﹣∠BCD=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴∠CDF=∠ADB=60°，DC=DF，
∴∠ADC=∠BDF，
又∵AD=BD，
∴△ACD≌△BDF，
∴AC=BF=BC+CF，
即AC=BC+CD．
7. 如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，连接DP，过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交DP于点F，连接BF．
（1）若AE=2，求EF的长；
（2）求证：PF=EP+EB．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，且BE⊥DP，AF⊥AE，
∴AB=AD，∠BAD=∠EAF=∠BEF=90°，
∴∠1+∠FAB=∠2+∠FAB=90°，
∴∠1=∠2．
∵∠3+∠5=∠4+∠6，且∠5=∠6，
∴∠3=∠4．
在△AEB和△AFD中，
∵，
∴△AEB≌△AFD，
∴AE=AF=2，
在Rt△EAF中，由勾股定理，得
EF==2．
（2）过点A作AM⊥EF于M，且∠EAF=90°，AE=AF，
∴△EAF为等腰直角三角形．
∴AM=MF=EM．∠AME=∠BEF=90°．
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP．
在△AMP和△BEP中，
∵，
∴△AMP≌△BEP，
∴BE=AM，EP=MP，
∴MF=BE，
∴PF=PM+FM=EP+BE．

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