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中考数学几何模型2：共顶点模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：
（1）寻找公共的顶点
（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边
（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形
*常见结论：
连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使
得一直角边重合，连接BD、CE．
（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；
（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
变式练习>>>
1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．
（1）求证：BD=AE．
（2）若∠ABD=∠DAE，AB=8，AD=6，求四边形ABED的面积．
例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在
△ADB内，求证：CD与EF互相平分.
变式练习>>>
2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，
QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F，连接CF.
(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；
(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.
例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD
和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系　 　 　；（不必证明）
【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　 　；（不必证明）
线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．
例题5. 如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．
（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连
接GH. 求证：GH∥BE.
2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.
3. 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：
AB2+DE2=AD2+BE2.
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.
5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以
A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那
BD与CE的数量关系是　 　．
【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC=60°，BC=15，AB=8，AD=CD，求BD的最大值．
6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形
ADE，直线CE交直线l于点F．
（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF=CE﹣CF；
（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BD=2BF，EF=6，则CF=　 　．中考数学几何模型2：共顶点模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下：
（1）寻找公共的顶点
（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边
（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。
两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形
*常见结论：
连接BD、AE交于点F，连接CF，则有以下结论：
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 以点A为顶点作等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，其中∠BAC＝∠DAE＝90°，如图1所示放置，使
得一直角边重合，连接BD、CE．
（1）试判断BD、CE的数量关系，并说明理由；
（2）延长BD交CE于点F试求∠BFC的度数；
（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE＝AD，AC＝AB，
在△EAC与△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
（2）∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°；
（3）成立，
∵等腰Rt△ABC，等腰Rt△ADE，
∴AE＝AD，AC＝AB，
在△EAC与△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴CE＝BD；
∵△EAC≌△DAB，
∴∠ECA＝∠DBA，
∴∠ECA+∠CBF＝∠DBA+∠CBF＝45°，
∴∠ECA+∠CBF+∠DCB＝45°+45°＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°．
变式练习>>>
1. 已知：如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）求证：BD＝AE．
（2）若∠ABD＝∠DAE，AB＝8，AD＝6，求四边形ABED的面积．
【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE．
在△BCD和△ACE中，，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE；
（2）由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
∵∠CBP+∠BPC＝90°，∠BPC＝∠APD，
∴∠EAC+∠APD＝90°，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAH+∠ABD＝90°，
∵∠DAE＝∠ABD，
∴∠BAH+∠DAE＝90°，即∠BAD＝90°，
∵AB＝8，AD＝6，
∴BD＝AE＝10，
∴S四边形ABED＝10×10÷2＝50．
例题2. 如图，等边△ABC，等边△ADE，等边△DBF分别有公共顶点A，D，且△ADE，△DBF都在
△ADB内，求证：CD与EF互相平分.
变式练习>>>
2. 已如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD＝AE，作等边三角形PCD，
QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
【解答】解：连接BP，
∵△ABC和△PCD都为等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝PC，∠ACB＝∠DCP＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCP﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCP，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD＝BP，
又∠RAB+∠BAC+∠QAE＝180°，
∴R，A，Q三点共线，
又∠CBP＝∠CAD＝60°，∠RBA+∠ABC+∠CBP＝180°，
∴R，B，P三点共线，
又AQ＝AE＝AD＝BP，
∴RQ＝RA+AQ＝RB+BP＝RP，
又∠R＝60°，
∴△PQR是等边三角形，
则P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
例题3. 在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，连接BD，AE交于点F,连接CF.
(1)如图1，求证：BF=AF+FC，EF=DF+FC；
(2)如图2，若△ABC，△DCE为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则(1)的结论是否成立？若不成立，写出正确结论并证明.
例题4. 【问题探究】（1）如图①已知锐角△ABC，分别以AB、AC为腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD
和Rt△ACE，连接CD、BE，试猜想CD、BE的大小关系　CD＝BE　；（不必证明）
【深入探究】（2）如图②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，点D在边BC上（不与B、C重合），连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　BC＝CE+CD　；（不必证明）
线段AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】（3）如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．
【解答】解：（1）∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC，且∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，即∠BAE＝∠DAC，
在△DAC和△BAE中，
∵，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE，
故答案为：CD＝BE．
（2）∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，
又∵BC＝BD+CD，∠ACE＝45°，
∴BC＝CE+CD，∠DCE＝90°，
∴CD2+CE2＝DE2，
∵BD＝CE，DE＝AD，
∴CD2+BD2＝2AD2．
故答案为：BC＝CE+CD．
例题5. 如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB＝α．
（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；
（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．
①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；
②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．
【解答】解：（1）AD+DE＝4，
理由是：如图1，
∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，
∴AD+DE＝BC＝4；
（2）①补全图形，如图2，
设DE与BC相交于点H，连接AE，
交BC于点G，
∵∠ADB＝∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDC，
在△ADE与△BDC中，
，
∴△ADE≌△BDC，
∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．
∵DE与BC相交于点H，
∴∠GHE＝∠DHC，
∴∠EGH＝∠EDC＝90°，
∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，
∴EF＝CB＝4，EF∥CB，
∴AE＝EF，
∵CB∥EF，
∴∠AEF＝∠EGH＝90°，
∵AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°，
∴AF＝＝4；
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在等边△ABC与等边△DCE中，B，C，E三点共线，BD交AC于点G，AE交DC于点H，连
接GH. 求证：GH∥BE.
2. 如图，在正方形ABCD内取一点E，连接AE，BE，在△ABE外分别以AE，BE为边作正方形AEMN和EBFG，连接NC，AF，求证：NC∥AF.
3. 如图，在等腰Rt△ABC与等腰Rt△DCE中，∠ABC=∠DCE=90°，连接AD，BE，求证：
AB2+DE2=AD2+BE2.
4. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=45°，以BC为腰在△ABC外部作等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接AD，求AD的长.
5. 【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以
A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那
BD与CE的数量关系是　BD＝CE　．
【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．
【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．
【解答】【发现问题】
解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，
在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；
连接BD、CE，如图1所示：
∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
故答案为：BD＝CE；
【拓展探究】
解：BD＝CE；理由如下：
∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，
∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE；
【解决问题】
解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：
则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，
∵AD＝CD，∠ADC＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝60°，AC＝AD，
∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
即∠BAD＝∠EAC，
在△BAD和△EAC中，，
∴△BAD≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE；
当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，
∴BD的最大值为23．
6. 已知线段AB⊥直线l于点B，点D在直线l上，分别以AB、AD为边作等边三角形ABC和等边三角形ADE，直线CE交直线l于点F．
（1）当点F在线段BD上时，如图①，求证：DF＝CE﹣CF；
（2）当点F在线段BD的延长线上时，如图②；当点F在线段DB的延长线上时，如图③，请分别写出线段DF、CE、CF之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明；
（3）在（1）、（2）的条件下，若BD＝2BF，EF＝6，则CF＝　2或6　．
【解答】（1）证明：如图①中，设AD交EF于O．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE＝BD，∴∠AEO＝∠FDO，
∵∠AOE＝∠FOD，
∴∠OFD＝∠OAE＝60°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABD＝90°，∵∠ABC＝60°，
∴∠CBF＝30°，
∵∠OFD＝∠CBF+∠BCF，
∴∠FBC＝∠FCB＝30°，
∴CF＝BF，
∴DF＝CE﹣CF
（2）如图图②中，结论：DF＝CF﹣CE．图③中，结论：DF＝CE+CF；
如图②中，∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADB+∠ADF＝180°，
∴∠AEF+∠ADF＝180°，
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝120°，
∴∠FBC＝∠FCB＝30°，
∴FB＝FC，
∴DF＝BF﹣BD＝CF﹣CE．
（3）①如图1中，∵BD＝2DF，设BF＝DF＝CF＝x，
∵EF＝6，BD＝EC，∴3x＝6，
∴x＝2∴CF＝2．
②如图③中，设BF＝CF＝x，则BD＝2x，
∵BD＝EC，EF＝6，∴6+x＝2x，
∴x＝6，∴CF＝6，
综上所述，CF＝2或6．
故答案为2或6．

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