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中考数学几何模型4：中点模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、
N．求证：MQ＝QN．
【解答】证明：连接BG和CE交于O，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC，
∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC，
在△BAG和△EAC中，，
∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE．
∵BE、BC、CG的中点M、Q、N，
∴MQ＝CE，QN＝BG，
∵BG＝CE，
∴QN＝MQ．
变式练习>>>
1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边
形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．
【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P，
∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形，
∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；
MB∥CE，且MB＝CE＝CD＝DH，
∴四边形BCDM是平行四边形，
∴∠CBM＝∠CDM，
又∵∠FBP＝∠HDC，
∴∠FBM＝∠MDH，
在△FBM和△MDH中，
∴△FBM≌△MDH（SAS），
∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH．
∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM，
∵BM∥CE，
∴∠AMB＝∠E，
同理：∠DME＝∠A．
∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM，
∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD）
＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM）
＝∠FBC＝90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．
例题2. 如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．
【解答】证明：如图，连接EG、DG，
∵BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，点G是BC的中点，
∴DG＝EG＝BC，∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE．
变式练习>>>
2. 如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂直平分线必过BC的中点M．
【解答】解：取BC，PB，PC的中点M，N，F，连接MN，MF，E，DN，DM，EM，
∴MF＝BP，MN＝PC，MF∥PN，MN∥PF，
∴四边形NMFP是平行四边形，
∴∠PNM＝∠PFM，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，
∴DN＝PB，EF＝PC，
∴DN＝MF，MN＝EF，
∵∠DNP＝2∠ABP，∠PFE＝2∠ACD，
∵∠ABP＝∠ACD，
∴∠DNP＝∠PFE，
∴∠DNM＝∠EFM，
在△DNM与△MFE中，，
∴△DNM≌△MFE，
∴DM＝EM，
∴△DME是等腰三角形，
∴底边DE的垂直平分线（过M点）必是BC的中点M．
例题3. 已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝BD，求证：AC＝2AE．（两种证法）
【解答】（1）解：∵AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，
∴BD＝CD，BE＝DE，
∴BE＝BD，BD＝BC；
又∵AB＝BD，
∴BE＝AB，AB＝BC，
∴＝＝，∠B＝∠B，
∴△ABE∽△CBA；
（2）证明：
∵由（1）知，△ABE∽△CBA，
∴＝＝，
∴AC＝2AE．
变式练习>>>
3. 如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上
述结论完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．
【解答】解：（1）AB＝AF+CF．
如图2，分别延长DC、AE，交于G点，
根据图①得△ABE≌△GCE，
∴AB＝CG，
又AB∥DC，
∴∠BAE＝∠G
而∠BAE＝∠EAF，
∴∠G＝∠EAF，
∴AF＝GF，
∴AB＝CG＝GF+CF＝AF+CF；
（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，
根据CF∥AB得△ABE∽△GCE，
∴AB：CG＝BE：CE，
而BE：EC＝1：2，AB＝4，
∴CG＝8，
又AB∥FC，
∴∠BAE＝∠G，
而∠BAE＝∠EDF，
∴∠G＝∠EDF，
∴DF＝GF，
而CF＝2，
∴DF＝CG﹣CF＝8﹣2＝6．
例题4. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　．
【解答】解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．
∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，
同理△PHE中，HE＝PH＝1．
∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．
∴在Rt△PHG中，
PG＝＝＝．
故答案是：．
变式练习>>>
4. 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　．
【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∠A＝60°，
∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ，
在△PFD和△QCD中，
∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，
∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝3，∴DE＝，
故答案为．
例题5. 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.
（3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.
解答：第（1）（2）略
（3）解法一：如图，延长EG至点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.
因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHD
EF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.
分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：
因为EB⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.
又∠BMK=∠CMD.根据三角形的内角和，可得∠KBM=∠MDC.
所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC
所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.
所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，
又因为点G是斜边EB的中点，
所以CG⊥GE且CG=GE.
变式练习>>>
5. 请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【解答】解：（1）PG⊥PC，＝；
理由如下：延长GP交DC于H，如图1所示：
∵四边形ABCD和BEFG均为菱形，
∴DC＝BC，GF＝BG，DC∥AE∥GF，
∴∠HDP＝∠GFP，∠DHP＝∠FGP，
∵P是线段DF的中点，
∴DP＝FP，
在△DHP和△FGP中，
，
∴△DHP≌△FGP（AAS），
∴HP＝GP，DH＝FG＝BG，
∴CH＝CG，
∴CP⊥HG，即PG⊥PC，
∵∠ABC═60°，∴∠HCG＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CGP＝（180°﹣120°）＝30°，
∴＝；
（3）在（2）中得到的两个结论不发生变化；理由如下：
过点F作FH∥DC交CP的延长线于H，交CB的延长线于N，交BE于M，
连接CG、HG，如图3所示：
则∠CDP＝∠PFH，
在△CDP和△FHP中，
，∴△CDP≌△FHP（ASA），
∴CP＝PH，CD＝FH，
∵∠BNM＝∠MEF＝90°，∠BMN＝∠EMF，
∴∠NBM＝∠EFM，
∵∠CBG+∠NBM＝180°﹣90°＝90°，
∠EFM+∠MFG＝90°，
∴∠CBG＝∠MFG，
在△CBG和△FHG中，
，
∴△CBG≌△FHG（SAS），
∴CG＝GH，∠BGC＝∠FGH，
∴∠CGH＝∠BGC﹣∠HGB＝∠FGH﹣∠HGB＝∠BGF＝90°，
∴△CGH是等腰直角三角形，
∴PG＝PC，且PG⊥PC．
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1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
【解答】解：延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND，
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
∵M是△ABC的边BC的中点，
∴DC＝2MN＝6，
∴AC＝AD+CD＝14，
故选：B．
2. 如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD=∠ACE=90°，且点C在AB上，连接DE，M为DE中点，连接BM，CM，求证BM=CM.
3. 如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F是DA的中点，连接BE，与CF相交于P，求证：AP＝AB．
【解答】证明：延长CF、BA交于点M，
∵点E、F分别是正方形ABCD的边CD和AD的中点，
在△BCE与△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF．
∵∠DCF+∠BCP＝90°，
∴∠CBE+∠BCP＝90°，
∴∠BPM＝∠CBE+∠BCP＝90°．
在△CDF与△AMF中，
，
∴△CDF≌△AMF（AAS），
∴CD＝AM，
∵CD＝AB，
∴AB＝AM，
∴PA是直角△BPM斜边BM上的中线，
∴AP＝BM，
即AP＝AB．
4. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点．求证：DM＝ME，DM⊥ME．
【解答】证明：如图，取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF＝，AG＝，
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF＝，EG⊥AC，EG＝，
∴∠AFD＝∠AGE＝90°，DF＝AF，GE＝AG．
∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG＝MF，MG＝AF，∠AFM＝∠AGM．
∴MF＝GE，DF＝MG，∠AFM+∠AFD＝∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM＝∠MGE．
在△DFM和△MGE中，
，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM＝ME；∠MDF＝∠GME，
∵∠MDF+∠BFD+∠BFM+∠DMF＝180°，
∠BFD＝90°，
∴∠MDF+∠BFM+∠DMF＝90°，
∵AB∥MG，
∴∠BFM＝∠GMF，
∴∠GME+∠GMF+∠DMF＝90°，
即∠DME＝90°，
∴DM⊥ME．
5. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将△ADE绕点A逆时针旋转90°时，若AD＝2，AC＝3，求此时△FBC中CF边上的高的长．（直接写出结果）
【解答】解：（1）DF＝CF，且DF⊥CF，理由如下：
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，
∴∠BDE＝90°，CF＝BE＝EF＝BF，
∴DF＝BE＝EF＝BF，
∴DF＝CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°
∵BF＝DF，
∴∠DBF＝∠BDF，
∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE＝2∠DBF，
同理得：∠CFE＝2∠CBF，
∴∠DFE+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，
∴DF＝CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
延长DF交BC于点G．如图2所示：
∵∠ADE＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．
∵F为BE中点，∴EF＝BF．
在△DEF和△GBF中，
∴△DEF≌△GBF（AAS）．
∴DE＝GB，DF＝GF．
∵AD＝DE，
∴AD＝GB，
∵AC＝BC，
∴AC﹣AD＝BC﹣GB，
∴DC＝GC．
∵∠ACB＝90°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∵DF＝GF．
∴DF＝CF，DF⊥CF．
（3）延长DF交BA于点H，如图3所示：
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，AD＝DE．
∴∠AED＝∠ABC＝45°，
∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，
∵AE∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠DEF＝∠HBF．
∵F是BE的中点，
∴EF＝BF，
∴△DEF≌△HBF，
∴ED＝HB，
∵BC＝AC＝3，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝6，
∵AD＝2，
∴ED＝BH＝2，
∴AH＝4，
6. 已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．
（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；
（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．
【解答】解：（1）DF＝BF且DF⊥BF．（1分）
证明：如图1：
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，
∴∠CDE＝90°，∠AED＝∠ACB＝45°，
∵F为CE的中点，
∴DF＝EF＝CF＝BF，
∴DF＝BF；（2分）
∴∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB＝2∠DCB＝90°，
即：∠DFB＝90°，
∴DF⊥BF．（3分）
（2）仍然成立．
证明：如图2，延长DF交BC于点G，
∵∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF＝∠GCF，
又∵EF＝CF，∠DFE＝∠GFC，
∴△DEF≌△GCF，
∴DE＝CG，DF＝FG，（4分）
∵AD＝DE，AB＝BC，
∴AD＝CG，
∴BD＝BG，（5分）
又∵∠ABC＝90°，
∴DF＝BF且DF⊥BF．（6分）
7. 如图：在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于D且BE＝CF，求证：DE＝DF．
【解答】证明：如图，过点E作EG∥AC交BC于G，
则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠BGE，
∴BE＝GE，
又∵BE＝CF，
∴GE＝CF，
∵在△CDF和△GDE中，
，
∴△CDF≌△GDE（AAS），
∴DE＝DF．
8. （1）已知：如图1，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，∠A＝120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．
【解答】（1）证明：延长FD到G使GD＝DF，连接BG，EG，
∵D为BC中点，∴BD＝DC，
∵在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（SAS），∴BG＝FC，∠C＝∠GBD，
∵ED⊥DF，∴EG＝EF，
∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC+∠GBD＝90°，即∠EBG＝90°，
∴线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，
∵BG＝FC，EG＝EF
∴线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）当线段FC＝BE时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，
证明：延长FD到W使WD＝DF，连接BW，EW，
∵D为BC中点，
∴BD＝DC，
∵在△BDW和△CDF中
∴△BDW≌△CDF（SAS），
∴BW＝FC，∠C＝∠WBD
∵ED⊥DF
∴EW＝EF，
∵∠A＝120°，
∴∠ABC+∠C＝60°，
∴∠ABC+∠WBD＝60°，
即∠EBW＝60°，
∴当线段BW＝BE（或BE＝EW，BW＝WE）时，BE、BW、EW能构成一个等边三角形；
∵EW＝EF，BW＝FC
∴当线段FC＝BE（或BE＝EF，EF＝FC）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形．
9. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，已知CE＝4，AE＝2，BF﹣CF＝，求AB．
【解答】解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接AG，EG，EF，如图所示：
∵D为斜边AB的中点，∴AD＝BD，
在△ADG和△BDF中，，∴∴△ADG≌△BDF（SAS），
∴AG＝BF，∠DAG＝∠DBF，
∵∠DBF+∠BAC＝90°，∴∠DAG+∠BAC＝90°，即∠EAG＝90°，
∴EG2＝AG2+AE2，设BF＝AG＝x，
∵BF﹣CF＝，∴CF＝x﹣，
∵∠EDF＝90°，∴DE⊥FG，
∵DG＝DF，∴EF＝EG，
∴EF2＝EG2，
在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，∴AG2+AE2＝CE2+CF2，
即x2+22＝42+（x﹣）2，解得：x＝，
∴BF＝，CF＝x﹣＝，
∴BC＝BF+CF＝8，
∵∠C＝90°，AC＝AE+CE＝6，
∴AB＝＝10．
10. 在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
【解答】解：（1）∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM＝ABcos45°＝3×＝3，
则CM＝BC﹣BM＝5﹣3＝2，
∴AC＝＝＝；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG．
由DM＝MC，∠BMD＝∠AMC，BM＝AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC＝BD，
又∵CE＝AC，
因此BD＝CE，
由BF＝FC，∠BFG＝∠EFC，FG＝FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG＝CE，∠G＝∠E，
所以BD＝CE＝BG，
因此∠BDG＝∠G＝∠E．
11. （1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE＝BC．
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝4，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的长．
【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF，在△ADE和△CFE中
∵，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AD∥CF
∵AD＝BD，∴BD＝CF，
∵BD∥CF，∴四边形DBCF是平行四边形，∴DE∥BC，DF＝BC
∴DE＝DF＝BC．
（2）如图2，延长GE、FD交于点H，
∵E为AD中点，∴EA＝ED，且∠A＝∠EDH＝90°，
在△AEG和△DEH中，，∴△AEG≌△DEH（ASA），∴AG＝HD＝2，EG＝EH，
∵∠GEF＝90°，∴EF垂直平分GH，∴GF＝HF＝DH+DF＝2+3＝5；
（3）如图3，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，
同（1）可知△AEG≌△DEH，GF＝HF，
∴∠A＝∠HDE＝100°，AG＝HD＝4，
∵∠ADC＝110°，
∴∠HDF＝360°﹣100°﹣110°＝150°，
∴∠HDP＝30°，
∵∠DPH＝90°
∴PH＝2，PD＝2
∵DF＝，
∴PF＝PD+DF＝+2＝3，
在Rt△HFP中，∠HPF＝90°，HP＝2，PF＝3，
∴HF＝＝＝，
∴GF＝FH＝．
12. 在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC＝∠DCF＝α时，直接写出AG与DG的数量关系．
【解答】（1）AG⊥DG，AG＝DG，
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是正方形，
∴DE＝DC，DE∥CF，
∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，
∵G是BE的中点，
∴BG＝EG，
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH＝ED，HG＝DG，
∴BH＝DC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ABH＝∠ACD＝45°，
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，
∵∠BAH+∠HAC＝90°，
∴∠CAD+∠HAC＝90°，即∠HAD＝90°，
∴AG⊥GD，AG＝GD；
（3）DG＝AGtan；
证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，
∵四边形CDEF是菱形，
∴DE＝DC，DE∥CF，
∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，
∵G是BE的中点，
∴BG＝EG，
在△BGH和△EGD中
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH＝ED，HG＝DG，
∴BH＝DC，
∵AB＝AC，∠BAC＝∠DCF＝α，
∴∠ABC＝90°﹣，∠ACD＝90°﹣，
∴∠ABC＝∠ACD，
在△ABH和△ACD中
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，
∴∠BAC＝∠HAD＝α；
∴AG⊥HD，∠HAG＝∠DAG＝，
∴tan∠DAG＝tan＝，
∴DG＝AGtan．中考数学几何模型4：中点模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、
N．求证：MQ＝QN．
变式练习>>>
1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边
形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形．
例题2. 如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF
⊥DE．
变式练习>>>
2. 如图，在△ABC中内取一点，使∠PBA＝∠PCA，作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，求证：DE的垂
直平分线必过BC的中点M．
例题3. 已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝BD，求证：AC＝2AE．（两种证法）
变式练习>>>
3. 如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上
述结论完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若AB＝4，CF＝2，求DF的长度．
例题4. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE
的中点，连接PG，则PG的长为　　．
变式练习>>>
4. 如图，过边长为3的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝
CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　．
例题5. 如图1，在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所示，则线段EG和CG又有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.
（3）将△BEF绕点B旋转一个任意角度α，如图4所示，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.
变式练习>>>
5. 请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及数量关系．
小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；
（2）如图2，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC，探究PG与PC的位置关系及数量关系；
（3）将图2中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图3），你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
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1. 如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝8，MN＝3，则AC的长是（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
2. 如图，△ABD和△ACE都是直角三角形，其中∠ABD=∠ACE=90°，且点C在AB上，连接DE，M为DE中点，连接BM，CM，求证BM=CM.
3. 如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，F是DA的中点，连接BE，与CF相交于P，求证：AP＝AB．
4. 如图，分别以△ABC的边AB、AC为斜边向外侧构造等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点．求证：DM＝ME，DM⊥ME．
5. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．
（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请判断此时线段DF、CF的数量关系和位置关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
（3）如图3，将△ADE绕点A逆时针旋转90°时，若AD＝2，AC＝3，求此时△FBC中CF边上的高的长．（直接写出结果）
6. 已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在BC上，取CE的中点F，连接DF、BF．
（1）探索DF、BF的数量关系和位置关系，并证明；
（2）将图1中△ADE绕A点顺时针旋转45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△ADE绕A点转动任意角度（旋转角在0°到90°之间），再连接CE，取CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．
7. 如图：在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于D且BE＝CF，求证：DE＝DF．
8. （1）已知：如图1，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，∠A＝120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．
9. 在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，E，F分别在AC，BC上，∠EDF＝90°，已知CE＝4，AE＝2，BF﹣CF＝，求AB．
10. 在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB＝3，BC＝5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．
11. （1）方法回顾
在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下：
第一步添加辅助线：如图1，在△ABC中，延长DE（D、E分别是AB、AC的中点）到点F，使得EF＝DE，连接CF；
第二步证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到DE∥BC，DE＝BC．
（2）问题解决
如图2，在正方形ABCD中，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的长．
（3）拓展研究
如图3，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG＝4，DF＝，∠GEF＝90°，求GF的长．
12. 在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A
在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．
（1）如图①，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；
（2）如图②，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，
（3）当∠BAC＝∠DCF＝α时，直接写出AG与DG的数量关系．

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