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中考数学几何模型7：轴对称最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　 　．
变式练习>>>
1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（　　）
A． B． C． D．
例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.
变式练习>>>
2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是　　．
变式练习>>>
3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为　　．
变式练习>>>
4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．
（1）求折线OPQB的长的最小值；
（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．
例题5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　　时，四边形APQE的周长最小．
变式练习>>>
5．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.
变式练习>>>
6．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）
A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．
例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
变式练习>>>
7．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　　度．
例题8. （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　 　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．10
2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于　　．
3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　 　．
4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值　　．
5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为　　．
6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是　　．
7. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是　　．
8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是　　．
9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为　　．
10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为　　．
11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　　．
12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　　．
11. 如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．
12. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．
（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为　　．中考数学几何模型7：轴对称最值模型
名师点睛 拨开云雾 开门见山
典题探究 启迪思维 探究重点
例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为　2　．
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB h＝AB AD，
∴h＝AD＝4，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，
∴BE＝＝＝2，
即PA+PB的最小值为2．
故答案为：2．
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1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接PB、PC、PA，
要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，
∵PB+PC＝PA+PB≥AB，
∴当P与E重合时，PA+PB最小，
∵AD＝CD，DE⊥AC，
∴AF＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴EF∥BC，
∴AE＝BE＝AB＝2.5，
∴EF＝BC＝1.5，
∵AD⊥AB，
∴△AEF∽△DEA，
∴＝，
∴DE＝＝，
故选：B．
例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.
【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，
连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；
再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），
连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：
∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，
B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，
∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，
又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，
MB＝MB'，NB＝NB''，
∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，
∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；
连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，
如图示2所示：
∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，
∴＝＝2，
∴∠2＝30°，
∴∠5＝30°，DB＝DB''，
又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，
∴∠1＝30°，
∴∠7＝30°，DB'＝DB，
∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，
DB'＝DB''＝DB＝2，
又∵∠B'DB''+∠6＝180°，
∴∠6＝60°，
∴HD＝，HB'＝3，
在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：
＝＝＝6．
∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，
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2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）
A．140° B．100° C．50° D．40°
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，
连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则
OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，
根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则
△PMN的周长的最小值＝P1P2，
∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，
∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，
∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，
故选：B．
例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是　2　．
【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则
CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．
∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，
∴∠PAQ＝∠P′AQ．
又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，
∴∠PAQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．
∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．
∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，
∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，
此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．
故填：2．
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3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（　　）
A．3 B．2 C． D．4
【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，
当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，
设等边△ABC的边长为x，则高为x，
∵等边△ABC的面积为4，
∴x×x＝4，解得x＝4，
∴等边△ABC的高为x＝2，
即PE＝2，故选：B．
例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为　2　．
【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．
此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．
连接DD′，AA′，OA′，OD′．
∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，
∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，
∴△ODD′是等边三角形．
同理△OAA′也是等边三角形．
∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，
∠D′OA′＝90°．
∴A′D′＝＝2．
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4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．
（1）求折线OPQB的长的最小值；
（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．
【解答】解：（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，
连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB＝QB′，OP＝O′P，
折线OPQB的长＝OP+PQ+QB＝O′P+PQ+QB′，
∴折线OPQB的长的最小值＝B′O′．
∵在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，
在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝30°，
∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，
∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝，
∠O′AB＝30°，AO′＝AO＝1，
∴∠B′AO′＝90°，
∴B′O′＝，
∴折线OPQB的长的最小值＝2；
（2）设B′O′交AC于点Q′，
∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，
∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，
∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB+∠BAO′＝60°，
∴△AO′Q′是等边三角形，
∴AQ′＝AO′＝1＝AO，
∴点Q′就是AC的中点O．
∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．
例题5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝　　时，四边形APQE的周长最小．
【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，
设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，
∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，
解得：x＝，则CQ＝
故答案为：．
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5．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（　　）
A．（，） B．（，） C．（0，0） D．（1，1）
【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）
连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图
理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ
∴四边形APQA'是平行四边形
∴AP＝A'Q
∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝
∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小
根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小
∵B'（0，1），A'（2，0）
∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1
∴x＝﹣x+1，即x＝
∴Q点坐标（，）
故选：A．
例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.
【解答】解：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，
∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，
∴FG+DF＝FG'+DF，
∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，
且此时FG+DF的最小值是DG'，
现在再移动点E（也就是移动G），
∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，
∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，
点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，
∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，
且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，
即DF+GF的最小值为﹣1．
故选：A．
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6．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（　　）
A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．
【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（2，3），
∴点A′坐标（2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B＝＝5，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，
∴PM+PN的最小值为5﹣4．
故选：A．
例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（　　）
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，
故选：B．
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7．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝　30　度．
【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，
BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为30．
例题8. （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
∵AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，
故答案为；
（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，
过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，
∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，
∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，
在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，
∴sin∠BCF＝，
在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝＝；
即：CM+MN的最小值为；
（3）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，
∴EH＝AE＝，
∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，
∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，
过点F作FM⊥AC于M，
∵EH⊥FG，EH⊥AC，
∴四边形FGHM是矩形，
∴FM＝GH＝
∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，
∴△CMF∽△CBA，
∴，∴，
∴CF＝1
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．
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1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（　　）
A．5 B．10 C．15 D．10
【解答】解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．
∵AF＝CH，DF＝DF′，
∴H′F′＝AD＝10，
∵HH′＝AB＝5，
∴F′H＝＝5，
∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．
故选：D．
2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于　﹣3　．
【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（﹣2，3），
∴点A′坐标（﹣2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B＝＝，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴PM+PN的最小值为﹣3．
故答案为﹣3．
3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是　8﹣2和8+2　．
【解答】解：y＝x+4，
∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，
∴OA＝4，OB＝4，
∵△ABE的边BE上的高是OA，
∴△ABE的边BE上的高是4，
∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，
过A作⊙C的两条切线，如图，
当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；
当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；
∵x轴⊥y轴，OC为半径，
∴EE′是⊙C切线，
∵AD′是⊙C切线，
∴OE′＝E′D′，
设E′O＝E′D′＝x，
∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，
∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，
∴sin∠CAD′＝＝，
∴＝，
解得：x＝，
∴BE′＝4+，BE＝4﹣，
∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，
最大值是：×（4+）×4＝8+2，
故答案为：8﹣2和8+2．
4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值　++　．
【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，
连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，
∴HN＝GM＝EM，
过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，
∵∠PGH＝∠ADB＝45°，
∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，
由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，
∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，
又∵BF＝3CF，BC＝4，
∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，
∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），
此时ME+NF最短，
∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，
即ME+NF最短为，
又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，
∴ME+NF+MN+EF＝++，
∴四边形EMNF周长的最小值为++．
故答案为：++．
5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为　3　．
【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，
∵等边△ABC中，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，
∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．
故答案为：3．
6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是　　．
【解答】解：延长DC到D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，
同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，
再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，
则H'E'＝HE．
容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，
最小路程为EE'＝＝＝2
7. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是　8　．
【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，
∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝6，
∵点E，F是线段AC的三等分点，
∴EF＝2，
∵E′F′＝AB＝6，
∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．
故答案为：8．
8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是　　．
【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴BD＝AE，DE＝AB＝1，
∵AB垂直平分线CF，
∴AC＝AF，
∴AC+BD＝AE+AF，
如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF＝EF（最短），
此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，
∴EF＝＝＝，
∴AC+BD的最小值是．
故答案为：．
9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为　　．
【解答】解：∵E为AB上的一个动点，
∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，
那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，
∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，
∴DH＝4，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：HD＝MA：MD，
∴AE＝＝＝，
∴AF＝4+＝．
故答案为：．
10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为　（4，6）　．
【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，
连接E′F′交AB与点N．
∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，
∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，
∴E′C＝12，CF′＝9．
∵AB∥CE′，
∴△F′NB∽△F′E′C．
∴＝＝，即＝，解得BN＝4，
∴AN＝4．
∴N（4，6）．
故答案为：（4，6）．
11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为　2　．
【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，
∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵正方形边长为8，
∴AC＝AB＝，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝，
∵N为OA中点，
∴ON＝，
∴ON'＝CN'＝，
∴AN'＝，
∵BM＝6，
∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，
∴＝＝
∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，
∵∠N'CM＝45°，
∴△N'CM为等腰直角三角形，
∴CM＝MN'＝2，
即PM﹣PN的最大值为2，
故答案为：2．
12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|PA﹣PB|的最大值等于　10　．
【解答】解：延长AB交MN于点P′，
∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|PA﹣PB|，
∴当点P运动到P′点时，|PA﹣PB|最大，
∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，
过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴|PA﹣PB|的最大值等于10，
故答案为：10．
11. 如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．
【解答】解：作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP．
∵DQ＝D″Q，DP＝D′P，
∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP＝PQ+D″Q+D′P＝D′D″，
根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值．
∵∠A＝∠B＝60°，∠BED＝∠AFD＝90°，∴∠α＝∠β＝90°﹣60°＝30°，
∠D′DD″＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵D为AB的中点，∴DF＝AD cos30°＝1×＝，AF＝，
易得△ADF≌△QD''F，∴QF＝AF＝，∴AQ＝1，BP＝1，
Q、P为AC、BC的中点．∴DD″＝×2＝，
同理，DD′＝×2＝，∴△DD′D″为等腰三角形，
∴∠D′＝∠D″＝＝30°，
∴D″D′＝2DD′ cos30°＝2××＝3．
12. 如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．
（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为　25　．
【解答】解：（1）由线段的和差，得BC＝（8﹣x）．
由勾股定理，得
AC+CE＝+＝+＝+；
（2）当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；
当A、C、E在同一直线上时，
延长AB，作EF⊥AB于点F，
∵AB＝5，DE＝1，
∴AF＝6，
∵∠ABD＝90°，
∴∠FBD＝90°，
∵∠BDE＝∠BFE＝90°，
∴四边形BFED是矩形，
∴BD＝EF＝8，
∴AE＝＝＝10；
（3）如下图所示：
作BD＝24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝3，ED＝4，连接AE交BD于点C，
当BC＝x，
∵x+y＝24，
∴y＝24﹣x，
AE的长即为代数式的最小值，
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝3，AF＝BD＝24，
所以AE＝＝＝25，
即代数式+的最小值为25，
故答案为：25．

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