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第1课时　棱柱、棱锥、棱台
第八章　 §8.1　基本立体图形
1.空间几何体：如果我们只考虑物体的 和 ，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
形状
大小
　　如图，这些图片中的物体具有怎样的形状？如何描述它们的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？
空间几何体的相关概念
可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面.
一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
★ 多面体的面：
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；
（面ABE，面BAF，面CDE……）
★ 多面体的棱：
两个面的公共边叫做多面体的棱；
（棱AB，棱AF，棱BE……）
★ 多面体的顶点：
棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
（顶点A，顶点B，顶点C，顶点D，顶点E，顶点F）
多面体的相关概念
正四面体
正六面体（正方体）
正八面体
正十二面体
正二十面体
多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分；
多面体至少有4个面；
各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有如下五种——
多面体的相关概念
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.
图中的旋转体就是由平面曲线OAA′O′绕轴OO′旋转形成的.
纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状.
下面，我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手，进一步认识一些特殊的多面体和旋转体.
旋转体的相关概念
棱柱的结构特征
观察下面的长方体，它的每个面是什么样多边形？不同的面之间有什么位置关系？
它的每个面是平行四边形，并且相对的两个面，给我们以平行的形象，如同教室的地板和天花板一样.
棱柱的结构特征
一般地,有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
在棱柱中，
★底面：两个互相平行的面，简称底；
★侧面：其余各面；
★侧棱：相邻侧面的公共边；
★顶点：侧面与底面的公共顶点.
′
′
′
′
′
′
底面
侧棱
顶点
侧面
棱柱的特点：
棱柱的底面互相平行且全等；
棱柱的侧面都是平行四边形；
棱柱的侧棱平行且相等．
记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
棱柱的分类1：
棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、 …… 我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
棱柱的结构特征
棱柱的分类2：
一般地，把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的
棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。底面是平行四边
形的四棱柱也叫平行六面体.
直四棱柱
斜三棱柱
平行六面体
正五棱柱
棱柱的结构特征
平行六面体
斜棱柱
棱柱
直棱柱
侧棱垂直底面
侧棱不垂直底面
底面是平行四边形
底面是正n边形
正n棱柱
底面是矩形
长方体
正方体
棱柱的结构特征
各棱长都相等
例1　(1)(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
√
解析　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
B错误，棱柱的底面可以是三角形；
C正确，由棱柱的定义易知；
D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.
√
(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点.
①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
解　是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解　截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
跟踪训练1　下列命题中正确的是
A.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面
C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D.棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
√
棱锥的结构特征
　　一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体叫做棱锥．
★底面：棱锥的多边形面；
★侧面：有公共顶点的各个三角形面；
★侧棱：相邻侧面的公共边；
★顶点：各侧面的公共顶点．
棱锥的特点：
仅有一个底面且是多边形；
侧面都是三角形；
所有侧面有且只有一个公共顶点．
记作：棱锥S - ABCD
棱锥的结构特征
棱锥的分类：
按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为：三棱锥、四棱锥、五棱锥……
　　特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．
正四棱锥
正三棱锥
特别：当正三棱锥的侧棱长与底面边长相等时，称该三棱锥为正四面体.
例2　(多选)下列说法中，正确的是
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
√
√
棱台的结构特征
　　用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．
侧面
上底面
下底面
顶点
棱台ABCD -A′B′C′D′
棱台的特点：
上下底面是互相平行且相似的多边形；
侧面都是梯形；
各侧棱的延长线交于一点．
★底面：原棱锥的底面(下底面)和截面(上底面)；
★侧面：其余各面；
★侧棱：相邻侧面的公共边；
★顶点：各侧面的公共顶点．
棱台的分类：
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
三棱台
四棱台
五棱台
例3　(多选)下列选项中，不正确的是
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
√
√
√
解析　A中的平面不一定平行于底面，故A错；
由棱台的定义知，D正确；
B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错.
跟踪训练3　下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
①②
解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；
③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

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