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2021年广东省广州市中考数学真题名师详解版
一、选择题（本大题共10题，每小题3分，满分30分）
1．下列四个选项中，为负整数的是（　　）
A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2
2．如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6
3．方程＝的解为（　　）
A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6
4．下列运算正确的是（　　）
A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3
C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
5．下列命题中，为真命题的是（　　）
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形
（2）对角线互相垂直的四边形是菱形
（3）对角线相等的平行四边形是菱形
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形
A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）
6．为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（　　）
A．8π cm B．16π cm C．32π cm D．192π cm
8．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（　　）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（　　）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．代数式在实数范围内有意义时，x应满足的条件是 　 　．
12．方程x2﹣4x＝0的实数解是 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD＝1，则AD的长为 　 　．
14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　 　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
15．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 　 　（填写所有正确结论的序号）．
（1）H是FK的中点
（2）△HGD≌△HEC
（3）S△AHG：S△DHC＝9：16
（4）DK＝
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17．解方程组．
18．如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．
19．已知A＝（﹣） ．
（1）化简A；
（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．
20．某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下：
3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4
根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
次数 1 2 3 4 5 6
人数 1 2 a 6 b 2
（1）表格中的a＝　 　，b＝　 　；
（2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 　 　，中位数为 　 　；
（3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数．
21．民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次．
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．
24．已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
25．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长；
（3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．
参考答案与试题解析
一、
1．【解析】D．
0是整数，但0既不是负数也不是正数，则选项A不符合题意；
﹣0.5是负分数，不是整数，则选项B不符合题意；
﹣是负无理数，不是整数，则选项C不符合题意；
﹣2是负整数，则选项D符合题意．
2．【解析】A．
∵a+b＝0，
∴a与b互为相反数，即b=﹣a
又∵AB＝6，
∴b﹣a＝6．
∴2b＝6．
则b＝3，a＝﹣3．
即点A表示的数为﹣3．
【解析】D．
给方程两边同乘以x（x-3）去分母，得x＝2x﹣6，
解得x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
【解析】C．
|﹣（﹣2）|＝2，则选项A不符合题意；
3与不是同类二次根式，不能合并，则选项B不符合题意；
（a2b3）2＝a4b6，则选项C符合题意；
（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，则选项D不符合题意．
5．【解析】B．
（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则命题正确，为真命题；
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则原命题错误，为假命题；
（3）对角线相等的平行四边形是矩形，则原命题错误，为假命题；
（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，则命题正确，为真命题，
所以真命题为（1）（4）.
6．【解析】B.
根据题意可画处树状图如图所示：
共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，
则恰好抽到2名女学生的概率为＝.
7．【解析】B．
由题意得：CA和CB分别与⊙O分别相切于点A、B，
∴OA⊥CA，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝180°-60°=120°，
则劣弧AB=＝16π（cm），
8．【解析】A．
根据题意得抛物线如图所示：
由题意可得抛物线对称轴x＝＝1，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
则当x＝2时，y=﹣5．
9．【解析】C．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，
∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，
∴BC'＝4，
∴B'B＝＝＝4，
∴sin∠BB′C′＝＝＝.
10．【解析】A.
解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E.
∵在矩形OABC中∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
得2m2+7m﹣4＝0，
解得m1＝，m2＝﹣4（舍去）
∴A（，2）.
二．
11．【解析】x≥6．
解：∵代数式在实数范围内有意义时，
∴x﹣6≥0，
解得x≥6，
∴ x应满足的条件是x≥6．
12．【解析】x1＝0，x2＝4．
解：x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
得x＝0或x﹣4＝0，
即x1＝0，x2＝4．
13．【解析】2．
解：∵线段AB的垂直平分线是DE，
∴AD＝BD，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝1，
∴BD＝2CD＝2，
∴AD＝2．
14．【解析】＞．
解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝ (-4)2﹣4m=16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵m＞0，
∴反比例函数y＝图象在一三象限，
∴反比例函数图象在每个象限y随x的增大而减少，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2.
15．【解析】32°．
解：∵在△ABC中，AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB＝∠CDB′＝（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣39°﹣109°＝32°．
16．【解析】（1）（3）（4）.
解：（1）∵在正方形ABCD中AD=AB，∠DAF=∠ABE，
∴在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
根据垂径定理，得：FH＝HK，
则H是FK的中点，所以（1）正确；
（2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，
∵AB＝4，BE＝3，
∴AE＝＝5，
∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，
∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，
∴＝，
∴AH＝，HM＝，
∴HN＝4﹣＝，
即HM≠HN，
∵MN∥CD，
∴MD＝CN，
∵HD＝，
HC＝，
∴HC≠HD，
∴△HGD≌△HEC不对，所以（2）不正确；
（3）由（2）知，AM＝＝，
∴DM＝，
∵MN∥CD，
∴MD＝HT＝，
∴＝＝，所以（3）正确；
（4）由（2）知，HF＝＝，
∴，
∴DK＝DF﹣FK＝，所以（4）正确．
三．解答题（共9小题）
17．【解析】
解：，
将①代入②得，x+（x﹣4）＝6，
解得x＝5，
将x＝5代入①得，y＝1，
所以方程组的解为．
18．【解析】
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DCF．
在△ABE和△DCF中，∠A=∠D，∠ABE＝∠DCF，BE＝CF，
∴△ABE≌DCF．
∴AE＝DF．
19．【解析】
解：（1）A＝（﹣）
＝
＝
＝（m+n）；
（2）∵m+n﹣2＝0，
∴m+n＝2，
将m+n＝2代入（1）中，得
A＝×2＝6．
20．【解析】
解：（1） 根据该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5；
（2）根据题意，该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下：
1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，
则4出现的最多，有6次，
∴所以参加志愿活动的次数的众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数＝4，
（3）300×＝90（人）．
答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人．
21．【解析】
解：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，
根据题意，得：31+2x+x＝100，
解得：x＝23．
答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
（2）设李某的年工资收入增长率为m，
根据题意，得：9.6（1+m）≥12.48，
解得：m≥0.3，即m≥30%．
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
22．【解析】
（1）解：如图，图形如图所示．
证明：由（1）得AF平分∠CAD，
又∵AC＝AD，
∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，
∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，
∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，
∵BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，
∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，
∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，
∴∠BEF＝60°，
∴△BEF是等边三角形．
23．【解析】
解：（1）∵直线y＝x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，
∴当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），B（0，4）；
（2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
∴P（x，），
∴S△APO＝＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
∴S＝2x+16（﹣8＜x＜0）；
（3）∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴OA＝8，OB＝4，
在Rt△AOB中，AB＝，
∵在⊙C中PQ是直径，
∴∠POQ＝90°，
∵∠BAO＝∠Q，
∴tanQ＝tan∠BAO＝，
∴，
∴OQ＝2OP，
∴S△POQ＝，
∴当S△POQ最小时，OP最小，
∵点P在线段AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP最小，
∴S△AOB＝，
∴，
∵sinQ＝sin∠BAO，
∴，
∴，
∴PQ＝8，
∴⊙C半径为4．
24．【解析】
解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
将x＝2代入上式，得y＝4﹣2+3＝5≠4，
∴点（2，4）不在抛物线上；
∵抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3
∴顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
∵＝﹣（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，则是顶点移动到了最高处，
∴顶点坐标为（2，5）；
根据题意设直线EF的解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得-1=-k+b①，7=3k+b②，解得，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为（2，5）和（m+1，2m+3），
∵（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
25．【解析】
解：（1）如图所示，连接DF，CE.
，
∵点E为AB中点，AF＝AE，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）如图所示，作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝，CH＝，
cos60°＝，BC＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF ＝CH +FH ，
即（2+2m） ＝（） +（3+m） ，
得：3m +2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴．
（3）如图所示，点H沿线段AB直线运动，点F沿线段BA的延长线直线运动，并且CD∥AB，线段ED与线段CF的交点G运动轨迹为线段AG，刚开始运动时，A、F、H、G四点重合，当点H与点B重合时，G点运动到极限位置，所以点G轨迹为线段AG，
作GH⊥AB.
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2，
∴CD∥BF，BD＝2，
∴△CDG∽△FBG，
∴，
∴BG＝2DG，
∵BG+DG＝BD＝2，
∴BG＝，
在Rt△GHB中，BG＝，∠DBA＝60°，
sin60°＝，GH＝，
cos60°＝，BH＝，
在Rt△AHG中，AH＝2﹣＝，GH＝，
AG ＝（） +（） ＝，
∴AG＝．
∴点G运动路径的长度为．

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