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第六章 计数原理
6.3 二项式定理
6.3.2 二项式系数的性质
学案
一、学习目标
1. 掌握二项式系数的性质及其应用；
2. 掌握“赋值法”并会灵活运用.
二、基础梳理
1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__________.
2.增减性与最大值：因为，即，所以，当，即__________时，随的增加而__________；由对称性知，当__________时，随的增加而__________.当是偶数时，中间的一项__________取得最大值；当是奇数时，中间的两项__________和__________相等，且同时取得最大值.
3.各二项式系数的和：的展开式的各二项式系数的和等于__________.
三、巩固练习
1.若展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为( )
A.10 B. C.5 D.
2.在的展开式中，二项式系数的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知，则的值等于( )
A.64 B.32 C.63 D.31
4.在的展开式中，偶数项的二项式系数的和为128，则展开式的中间项为( )
A. B. C. D.
5.的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中的系数为( )
A.40 B.30 C.20 D.10
6.已知在的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式的有理项的项数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知展开式的各项系数和为243，则展开式中含的项的二项式系数为___________.
8.已知的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中的常数项.
9.在的展开式中，求：
（1）各二项式系数的和；
（2）各项系数的和；
（3）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和.
10.在（，且）的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为256，求展开式中二项式系数最大的项；
（2）若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，求展开式中各项的系数的绝对值之和.
答案解析
基础梳理
相等
；增大；；减小；；；
巩固练习
1.答案：A
解析：由二项式系数之和为32，即，可得，
展开式的通项.
令，得.
所以常数项为，故选A.
2.答案：B
解析：的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为，故选B.
3.答案：C
解析：因为，所以，所以，因此，故选C.
4.答案：C
解析：偶数项的二项式系数的和为，即，
故展开式的中间项为.故选C.
5.答案：D
解析：的展开式中，各二项式系数和为.
令，可得各项系数的和为，
，其展开式的通项为，令，可得，
故展开式中的系数为，故选D.
6.答案：C
解析：的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，，
，其展开式的通项为，
当时，为有理项，
且符合要求，
∴有理项有3项，分别为第5，11，17项.
故选C.
7.答案：10
解析：展开式的各项系数和为243，令，可得，解得.
展开式的通项.
令，得，
展开式中含的项的二项式系数为.
8.答案：（1）由展开式中所有偶数项的二项式系数和为64，得，所以，
所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.
因为的展开式的通项为，
所以展开式中二项式系数最大的项为.
（2）由（1）知，且的展开式中含的项为，含的项为，
所以展开式中常数项为.
9.答案：（1）的展开式中各二项式系数的和为.
（2）令，得，
所以各项系数的和为1.
（3）的展开式中奇数项的二项式系数的和为，
偶数项的二项式系数的和为.
10.答案：（1）由已知得，
，
展开式中二项式系数最大的项是第5项，
即.
（2）易得的展开式的通项为，
第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，
，解得或（舍去），
因为的展开式中各项的系数的绝对值之和与的展开式中各项的系数之和相等，
所以对于，令，得，即的展开式中各项的系数的绝对值之和为.

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