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2022年广东省高等职业院校招收中等职业学校“3+专业证书”模拟考试（五） 7. 抛物线 y = 2x2 的准线方程是 （ ）
数 学 试 卷 1 1 1 1A. x = B. x = C. y = D. y =
2 8 8 2
8. “ x 3 ”是“ x2 3x 0 ”的 （ ）
本试卷共 2页，24小题，满分 150分。考试时间 120分钟。 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 9. 已知点 A(0, 4), B(4,0)在直线 上，则 的方程为 （ ）
2．选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 A. x + y 4 = 0 B. x y 4 = 0 C. x + y + 4 = 0 D. x y + 4 = 0
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动， 10. 下列各式子中，正确的是 （ ）
先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 A. 4 ( 2)4 = 2 B. lg(3+ 5) = lg 5+ lg 3
一、选择题:本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符
2
合题目要求. 1 1 ln 2C. ( )3 = 3 D. log 5 = 2
3 9 ln 5
1. 已知集合 A ={1, 2,3, 4}，B = x R | 0 x 1 3 ，则 A B = （ ）
1+ cos2
A. {1, 2} B. {2,3} C. {1, 2,3} D. {2,3, 4} 11. 若 tan = 2 ，则 = （ ）
sin 2
1
⒉ 函数 f (x) = 2x 3 的 定义域为 （ ） 3A. 6 B. 3 C. 1 D.
x 3 2
3 3
A. [ ,+ ) B. [ ,3) (3,+ ) C. ( ,3) (3,+ ) D. (3,+ )
2 2 12. 已知向量 a = (2, 1)，a b = 5，| a +b |= 8，则 b = （ ）
3. 下列函数在定义域内既是奇函数，又是增函数的是 （ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
A. f (x) = 2x B. f (x) = x C. f (x) = lg x D. f (x) = x3 13. 我国古代，9 是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇
4. 从 A，B，C，D 四所大学中随机选取两所大学参与北京冬奥会的志愿者工作，则 A 校被选中的 家建筑中包含许多与 9 相关的设计．例如，北京天坛圆丘
概率为 （ ）
1 1 1 1 的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层的中心是
A. B. C. D.
2 3 4 5 一块天心石，围绕它的第一圈有 9 块石板从第二圈开始，
5.不等式（3 2x)(x + 5) 6的解集是 （ ）
每一圈比前一圈多 9 块，共有 9 圈，则第六圈的石板块数是 （ ）
9 9
A. x | x 1或x B. x | 1 x A. 45 B. 54 C. 72 D. 81
2 2
14. 点 P 在焦点为F ( 4,0)和 F (4,0)的椭圆上，若 PF F 面积的最大值为 16，则椭圆的标准方程为
9 9 1 2 1 2
C. x | x 1或x D. x | x 1
2 2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1
6. 某单位有技工 18 人，技术员 12 人，工程师 6 人，用分层抽样方法从中抽取一个容量为 18 的样 20 4 4 20 32 16 10 6
本，则技术员应抽取的人数为 （ ） 15. 已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数.若对于 x 0 都有 f (x) = f (2+ x) ，且当 x 0, 2)时，
f (x) = log (x +1)，则 f ( 2021) + f (2022)． ． ． ． 2 的值为 A 4 B 5 C 6 D 12 （ ）
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
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二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，满分 25分.
n2 + n
23. 已知数列{a }的前nn 项和 S = （ n N
* ）．
16. 某次青年歌手大奖赛上 9 位评委给某位选手打分为 79，84，84，84，86，87，91，93，96，这 n 2
组数据的众数是________.
（1）求数列 an 的通项公式；
17. 已知 a = (m,1),b = ( 1,2) ，若 a ⊥ b，则m = .
a（2）设b = 2 n + ( 1)
n a ，求数列 b 的前 2n项和．
18. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若b = 6,sin A = 2sin C, B = ，则 ABC 的面积 n n n
3
为 ___________．
19. 在等比数列 an 中， a2 = 2, a6 = 8，则 a3a5 + a8 = .
20. 已知圆M 与直线 2x + y 3 = 0相切于点 p(1,1)，点Q( 2,1)， 在圆内，且过 的最短弦所在
直线的方程为 x y + 3 = 0，则圆M 的标准方程为________.
三、解答题：本大题共 4小题，其中第 21，22，23,题各 12分，第 24题 14分，满分 50分.解答题
应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
21. 如图，在足够大的空地上有一段长为 a 米的旧墙 MN，小明利用旧墙和长为 100 米的木栏围成中
间有一道木栏的长方形菜园 ABCD，其中 AD≤MN，a＜100，已知长方形菜园的一边靠墙，设菜
园的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米．
（1）求 S 与 x 的函数关系式，并确定 x 的取值范围；
（2）若 a＝40，所围成的长方形菜园的面积为 700 平方米，求所利用
旧墙 AD 的长．
x2 y2 3 1
a c 24. 已知椭圆C : + =1 a b 0 的离心率为 ，且过点 3, . 22. 在△ABC 中，角 A、 B 、C 所对的边分别为 、b 、 ，满足 ( )c = 3a sin C c cos A . 2 2 a b 2 2
（1）求 A 的值； （1）求椭圆C 的方程；
（2）若 a = 2，求△ABC 的面积为 3 ，求b,c .
（2）过 (0, 2)且倾斜角为60 的直线交椭圆与 A、B两点，求 AOB 的面积.
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2022 年广东省高等职业院校招收中等职业学校“3+专业证书”模拟考试（五）
21. 解析：（1） AB = x米， BC = (100 3x) 米， S = x(100 3x) = 3x2 +100x， ，
数学试卷参考答案
一、选择题:本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 100 a 100
解得 x ，即 S 与 x 的函数关系式为 S = 3x2 +100x， x的取值范围为
合题目要求. 3 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 100 a 100 x .
3 3
B B D A D C C A A C D C B C B 70
（2）由题意可得 x(100 3x) = 700，解得 x =10, x = ，当 x =10 时，10 3x = 70 40，不合题意1 2
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，满分 25分. 3
70
16. 答案：84 （舍去）；当 x = 时，10 3x = 30，所以 AD 的长 30.
3
解析：数据中 84 出现的次数最多，故众数为 84.
22. 解析：（1）由 c = 3a sin C c cos A及正弦定理得 3 sin Asin C cos Asin C = sin C ．由于sin C 0 ，
17. 答案：2
1
解析：因为 ，所以 ，解得： 所以 sin(A ) = ． 又 ，故 ．
6 2
18. 答案：6 3 1
（2） 的面积 S = bcsin A = 3，故bc = 4． 2 2 2 而 a = b + c 2b cos A，故b2 + c2 = 8． 所以
2
解析： 根据题意，由 sin A = 2sin C ，根据正弦定理得 a = 2c ，在 ABC 中，由余弦定理，
(b + c)2 = b2 + c2 + 2bc = 8+8 =16，所以b + c = 4，所以解得b = c = 2．
1 1 a
得b2 = a2 + c2 2ac cos B ， b = 6, B = ,a = 2c，所以 62 = a2 + a2 2a ，解得 a = 4 3 或
3 4 2 2 n2 + n (n 1)2 + (n+1)
1 23. 解：（1）当 n =1时，a1 = S1 =1，当 n 2 时，an = Sn Sn 1 = = n ，当n =1
a = 4 3 （舍），故 c = 2 3 ，因此 S ABC = acsin B = 6 3 .故答案为：6 3 . 2 2
2
19. 答案：32 时，上式也符合.所以数列 an 的通项公式为 an = n .
a n n
解析：设等比数列的公比为 ，则 4 2q q = 6 = 4，则 q = 2，所以 （2）由（1）知，bn = 2 + ( 1) n，记数列 bn 的前 2n项和为T2n ，则
a2
T = (21 + 22 + + 22n2n )+ ( 1+ 2+ 3+ 4 + 2n) ．记
a 3 6 4 63a5 + a8 = a2q a2q + a2q = a2q + a2q = 4 4+ 2 8 = 32 .故答案为：32.
2n
1 2 2n 2(1 2 ) 2n+1
20. 答案： (x +1)2 + y2 = 5 A = 2 + 2 + + 2 , B = 1+ 2+ 3+ 4 + 2n, 则 A = = 2 2，
1 2
解析：过 且与直线 x y + 3 = 0垂直的直线方程设为 x + y +m = 0．由 2+1+m = 0得 ，所 B = ( 1+ 2) + ( 3+ 4) + + [ (2n+1)+ 2n] = n．故数列 的前2n项和T = A+ B = 22n+12n + n 2．
2a a 1 3 c 3
以圆心在直线 x + y +1= 0，设圆心坐标为 (a, a 1)，则 (a 1)2 + ( a 1 1)2 = ， e = =
5 a 2
a = 2
x2
24. （1）由题意有： 3 1 ，解得 b =1 ，因此，椭圆C 的方程为 + y2 =1；
+ =1
解得 a = 1，所以圆心坐标为 ( 1,0) ，半径为 r = ( 1 1)2 + (1 1 1)2 = 5 ，圆标准方程为 a2 b2
4
c = 3
2 2 2
a = c + b
(x +1)2 + y2 = 5．故答案为： (x +1)2 + y2 = 5．
y = 3x + 2
三、解答题：本大题共 4小题，其中第 21，22，23,题各 12分，第 24题 14分，满分 50分.解答题 （2）直线 AB 方程为 2y = 3x + 2，设 A(x 2 13x +16 3x +12 = 01, y1), B(x2 , y2 ) ，由 x 得 ，
+ y
2 =1
应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 4
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16 3 12 16 3 12 144
x1 + x = , x x = ，所以2 1 2 (x x )
2 = (x + x )2 4x x = ( )21 2 1 2 1 2 4 = ，
13 13 13 13 169
2
AB = 1+ ( 3)2
144 24 1 24 12
= ， 到直线 的距离为 =1，则面积为= 1=
169 13 1+ ( 3)2 2 13 13
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