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2022 年广东省高等职业院校招收中等职业学校毕业生考试
数 学
一、选择题:本大题共 15 小题，每小题 5分，满分 75 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．设集合 A = {1，3，4}，B = {0，1，2}，则 A∩B = ( )
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{0，1} D．{1}
【答案】 D 【考点】集合的运算．
【解释】集合 A，B有且仅有一个公共元素 1，故选 D．
2 x，x 0
2．设函数 f (x) 22 x 0 ，则 f ( 2) f (0) ( )，
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B 【考点】分段函数求函数值．
0
【解释】依题意，f ( 2) 2 ( 2) 0，f (0) 2 1，∴ f ( 2) f (0) 0 1 1，故选 B．
3．“x 1”是“|x| 1”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 A 【考点】充要条件．
【解释】解不等式|x| 1得 x 1或 x 1，∴“x 1”的范围小，故选 A．
4．函数 f (x) x 的定义域是 ( )
x 1
A．( ， ) B．( ，0)∪(0， )
C．( ， 1)∪( 1， ) D．( ， 1)∪( 1，0)∪(0， )
【答案】 C 【考点】求函数的定义域．
【解释】依题意，需满足分母 x 1 0，即 x 1，故选 C．
5．已知 log a 3 a2，则 ( )
2
A．9 B．36 C．64 D．81
【答案】 C 【考点】指数对数的运算．
【解释】由 log a 3，得 a 23 8， 2∴ a 64，故选 C．
2
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6．设向量 a = (x，1)，b = (2，4)，若 a 与 b 共线，则 x ( )
A．2 B． 2 C 1． D 1．
2 2
【答案】 C 【考点】平行向量的条件．
【解释】依题意，a∥b 4x 1 2，∴ x 1，故选 C．
2
→ → →
7．已知四点 P1(1，3)，P2(0，8)，P3( 7，3)，P4( 1， 6)，则P1P2 P2P3 P3P4 ( )
A．( 2， 9) B．(2，9) C．(10， 3) D．(3， 8)
【答案】 A 【考点】向量的坐标运算．
→ → → →
【解释】依题意，P1P2 P2P3 P3P4 P1P4 ( 1， 6) (1，3) ( 2， 9)，故选 A．
8．数列{an}满足a1 1，an 3an 1 1(n 1)，则a4 ( )
A．2 B．5 C．14 D．41
【答案】 C 【考点】数列通项的递推公式．
【解释】依题意，a2 3a1 1 3 1 1 2，a3 3a2 1 3 2 1 5，a4 3a3 1 3 5
1 14，故选 C．
9．甲有编号 9，6，5三张卡片，乙有 8，7两张卡片，两人各取一张自己的卡片，则甲比
乙大的概率是 ( )
A 1． B 1． C 2 2． D．
6 3 5 3
【答案】 B 【考点】概率．
【解释】依题意，甲乙各取一张卡片的事件有{9，8}，{9，7}，{6，8}，{6，7}，{5，8}，
{5，7}共 6 2 1种，其中甲比乙大的有 2种，∴ P ，故选 B．
6 3
10．某中学为了了解学生上学的方式，随机抽查了部分学生，数据绘制成
饼图，该校共有 1500个学生，则骑自行车上学的学生人数大约为 ( )
A．150 B．300 C．450 D．600
【答案】 B 【考点】频数与频率．
【解释】依题意，骑自行车上学的学生有 1 40% 30% 10% 20%，人数约为1500 20%
300，故选 B．
11．函数 f (x) 4sin 6x 5 的最小正周期为 ( )
6
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A B ． ． C 5 ． D．
6 3 2 6
【答案】 B 【考点】正余弦型函数的周期和最值．
2
【解释】依题意， 6，∴ 原函数的最小正周期 T ，故选 B．
6 3
12．已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴非负半轴重合，角 的终边经过点 P(1，2)，则
cos 2 ( )
A 3 B 4 3 4． ． C． D．
5 5 5 5
【答案】 A 【考点】三角函数的定义 二倍角公式．
2 2
【解释】依题意，r 1 2 5 sin 2， ，∴cos2 1 2sin2 3，故选 A．
5 5
13 2．已知抛物线 x 2y上的点 M到点 0 1 1， 的距离为 5，则点 M到直线 y 的距离为
2 2
( )
A 2 5． B． C．4 D．5
5 2
【答案】 D 【考点】抛物线的性质 点到直线的距离公式．
1 1
【解释】依题意，点 0， 是抛物线的焦点，直线 y 是椭圆的准线，由抛物线的性质，
2 2
M 1点 到准线 y 的距离等于点 M到焦点的距离为 5，故选 D．
2
14 2．已知圆 x y2 2x 2ky 1 0 (k 0)的面积为 4 ，则 k ( )
A． 1 B． 2 C． 2 D．4
【答案】 C 【考点】圆的一般方程．
2
S r2 4 r 2 r2 ( 2) (2k)
2 4 1
【解释】依题意，圆面积 ， ．由圆方程， 4，解
4
得 k 2或 k 2(舍去)，故选 C．
15．已知定义在 R上的函数 F (x) f (x) 2是奇函数，满足 f ( 1) 1，则 f (0) f (1)
( )
A． 3 B． 1 C．2 D．5
【答案】 D 【考点】函数的奇偶性．
【解释】依题意，F (0) f (0) 2 0，得 f (0) 2；F ( 1) f ( 1) 2 1 2 1，∵F (x)
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是奇函数，∴F (1) f (1) 2 1，得 f (1) 3，∴ f (0) f (1) 5，故选 D．
二、填空题：本大题共 5小题，每小题 5分，满分 25分．
16．已知a1，a2的平均数为 6.5，a3，a4，a5的平均数为 9，则a1，a2，a3，a4，a5的平均数
为 ．
【答案】 8 【考点】样本均值．
【解释】依题意，a1 a2 2 6.5 13，a3 a4 a5 3 9 27，则a1，a2，a3，a4，a5的
a a a a a
平均数为 1 2 3 4 5 13 27 8，故填 8．
5 5
17．已知向量 a = (1，1)，b = (3， 4)，设 a，b 的夹角为 ，则 cos ．
2
【答案】 【考点】向量的夹角公式．
10
【解释】依题意，a·b 1 3 1 ( 4) 1，|a| 12 12 2，|b| 32 ( 4)2
5 a·b |a||b|cos cos a·b 1 2 2，由 ，得 ，故填 ．
|a||b| 2 5 10 10
18．数列{an}的通项公式为an n n + 1，则数列{an}的前 8项和为 ．
【答案】 2 【考点】数列裂项求和．
【解释】依题意，S ( 1 2) ( 2 3) … ( 8 9) 1 9 2，故填
8
2．
19．已知点 A( 1，5)，B(9，3)，则线段 AB的垂直平分线方程为 ．
【答案】 y 5x 16或 5x y 16 0 【考点】求线段的垂直平分线．
k 3 5 1 1【解释】依题意， AB ，线段 AB的垂直平分线的斜率 k 5，
9 ( 1) 5 kAB
AB 1 9 5 3线段 的中点坐标为 ， 即(4，4)，线段 AB的垂直平分线方程为 y 4
2 2
5(x 4)，即 y 5x 16，故填 y 5x 16或 5x y 16 0．
cos( 2 )
20．若 tan 2，则 ．cos
2
【答案】 1 【考点】诱导公式．
2
cos 1 1 1 1
【解释】依题意，原式 ，故填 ．
sin sin tan 2 2
cos
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三、解答题:本大题共 4小题，第 21 23题各 12分，第 24题 14分，满分 50分．解答须写
出文字说明、证明过程和演算步骤．
21．(本小题满分 12分)
4
在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，P是函数 y (x 0)图像上的一点，点 A，
x
B分别在 x轴和 y轴上，四边形 OAPB为矩形．
（1）求矩形 OAPB的面积；
（2）若矩形 OAPB的周长为 10，求点 P的坐标．
【解】（1）依题意，|PB| x，|PA| y，
∴矩形 OAPB 4的面积 S |PB||PA| xy x · 4．
x
（2）矩形 OAPB的周长 C 2(|PB| |PA|) 2(x y) 2(x 4) 10，
x
整理得 x2 5x 4 0，
解得 x 1或，x 4( 4经检验，均是方程 2(x ) 10的根)．
x
当 x 1 4 4时，y 4；当 x 4时，y 1．
1 4
∴ 点 P的坐标为(1，4)或(4，1)．
22．(本小题满分 12分)
在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别是 a，b ，c，已知 A ，B ．
6 4
（1）求 sinC的值；
（2）若 a 2，求△ABC的周长．
【解】（1）依题意，sinC sin[ (A B)] sin(A B)
sinAcosB sinAcosB sinAcosB cosAsinB 1 2 3 2 2 6．
2 2 2 2 4
2 a b a c（ ）由正弦定理得， ， ，
sinA sinB sinA sinC
2 2 6
asinB 2 2
∴ b 2 2 c asinC， 4 3 1，
sinA 1 sinA 1
2 2
故△ABC的周长为 a b c 2 2 3 1 2 3 3．
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23．(本小题满分 12分)
已知等差数列{an}满足a1 a2 a3 9，a1·a2 6．
（1）求{an}的通项公式；
3an
（2）设bn ，求数列{b }的前 n和 Sn．6n 1 n
【解】（1）依题意，设数列{an}的公差为 d，则有
3a1 3d 9
a1(a1 d) 6
，解得a1 2，d 1，
∴ an n + 1；

3n 1 n 1
（2）由（1），bn n 1
1
，
6 2
n 2
1
1 1
b
∵ n 1
2
1 b 1n 1 ， 1
1
，
bn 1 2 2 4
2
1 1
∴ 数列{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列，4 2
n
1 1 1 n 1
S 4 2 1 1n ．
1 1 2 2
2
24．(本小题满分 14分)
x2 y2 3
已知椭圆与双曲线 1有共同的左右焦点 F1，F2，且椭圆的离心率为 ．
4 5 5
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点 P是椭圆与双曲线左支的交点，求 cos F1PF2的值．
（3）若以 F2为圆心，半径为 r的圆与椭圆没有交点，求 r的取值范围．
【解】（1）依题意，c 4 5 3，
x2 y2
设椭圆方程为
a2
2 1(a b 0)b
c 3 3
椭圆的离心率 e ，∴ a 5，b a2 c2 25 9 4，
a a 5
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x2 y2
故椭圆方程为 1；
25 16
（2）在双曲线中，双曲线的半实轴长为 4 2，由双曲线的性质，得
|PF2| |PF1| 2 2 4，
由椭圆的性质得，|PF2| |PF1| 2 5 10，
∴ |PF1| 3，|PF2| 7，
又 |F1F2| 2c 6，
在△F1PF2中，由余弦定理得
2 2 2
cos F PF | PF1| |PF2| |F1F2| 3
2 72 62 11
1 2 ；2|PF1||PF2| 2 3 7 21
（3）依题意，右焦点 F2到椭圆左顶点的距离是 a c 5 3 8，
右焦点 F2到椭圆右顶点的距离是 a c 5 3 2，
r的取值范围为(0，2)∪(8， )．
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数 学
一、选择题:本大题共15小题，每小题5分，满分75分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A = {1，3，4}，B = {0，1，2}，则A∩B = ( )
A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{0，1} D．{1}
2．设函数f ，则f f ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．“x 1”是“”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数f 的定义域是 ( )
A． B．∪
C．∪ D．∪∪
5．已知loga 3，则a ( )
A．9 B．36 C．64 D．81
6．设向量a = ，b = ，若a与b共线，则x ( )
A．2 B．2 C． D．
7．已知四点P1，P2，P3，P4，则 ( )
A． B． C． D．
8．数列满足 1， 3 1，则 ( )
A．2 B．5 C．14 D．41
9．甲有编号9，6，5三张卡片，乙有8，7两张卡片，两人各取一张自己的卡片，则甲比乙大的概率是 ( )
A． B． C． D．
10．某中学为了了解学生上学的交通方式，随机抽查了部分学生，数据绘制成饼图，该校共有1500个学生，则骑自行车上学的学生人数大约为 ( )
A．150 B．300 C．450 D．600
11．函数f 4sin 的最小正周期为 ( )
A． B． C． D．
12．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，角的终边经过点P，则cos 2 ( )
A． B． C． D．
13．已知抛物线x 2y上的点M到点的距离为5，则点M到直线y x的距离为 ( )
A． B． C．4 D．5
14．已知圆x y 2x 2ky 1 0的面积为4，则k ( )
A． 1 B． C． 2 D．4
15．已知定义在R上的函数F f 2是奇函数，满足f 1，则f f ( )
A．3 B．1 C．2 D．5
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．
16．已知，的平均数为6.5，，，的平均数为9，则，，，，的平均数为 ．
17．已知向量a = ，b = ，设a，b的夹角为，则cos ．
18．数列的通项公式为 ，则数列的前8项和为 ．
19．已知点A，B，则线段AB的垂直平分线为 ．
20．若tan 2，则 ．
三、解答题:本大题共4小题，第2123题各12分，第24题14分，满分50分．解答须写出文字说明 、证明过程和演算步骤．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，P是函数y 图像上的一点，点A，B分别在x轴和y轴上，四边形OAPB为矩形．
（1）求矩形OAPB的面积；
（2）若矩形OAPB的周长为10，求点P的坐标．
22．(本小题满分12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A ，B ．
（1）求sinC的值；
（2）若a ，求△ABC的周长．
23．(本小题满分12分)
已知等差数列满足 9，· 6．
（1）求的通项公式；
（2）设 ，求数列的前n和Sn．
24．(本小题满分14分)
已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点F1，F2，且椭圆的离心率e ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P是椭圆与双曲线左支的交点，求cosF1PF2的值．
（3）若以F2为圆心，半径为r的圆与椭圆没有交点，求r的取值范围．

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