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第2课时　等差数列的性质
学习目标　1.了解等差中项的概念.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题．
导语
悉尼歌剧院(Sydney Opera House)，位于澳大利亚新南威尔士州悉尼市区北部的便利朗角(Bennelong Point)，1959年3月动工建造，1973年10月20日正式投入使用，是澳大利亚地标式建筑．它占地面积1.8公顷，坐落在距离海面19米的花岗岩基座上，最高的壳顶距海面60米，总建筑面积88 000平方米．音乐厅是悉尼歌剧院最大的厅，共有2 678个座位，舞台正面第一排有35个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为35,37,39,41,43，….第20排的座位数与第18排与第22排的座位数的和有什么关系？
一、等差中项
问题1　由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
知识梳理
等差中项的概念
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝.
注意点：
(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一．
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝.
(3)a3是a1和a5的等差中项．
例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
解　∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
反思感悟　在等差数列{an}中，
(1)an是an－1与an＋1(n≥2，n∈N＋)的等差中项，即an＝(n≥2，n∈N＋)．
(2)当m＋n＝2p时，有ap是am与an的等差中项．
跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．
解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，
即m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
二、等差数列与一次函数的关系
问题2　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示　一次函数．
知识梳理
从函数角度研究等差数列
对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数．其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，{an}为递增数列，如图甲所示．
当d<0时，{an}为递减数列，如图乙所示．
当d＝0时，{an}为常数列，如图丙所示．
注意点：
通项法判定等差数列：an为n的一次函数 {an}为等差数列．
例2　(多选)下列判断正确的是(　　)
A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列
C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
答案　BCD
解析　A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确．
反思感悟　根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列 an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质．
跟踪训练2　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　)
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
答案　B
解析　∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项．
三、等差数列的性质
问题3　在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？
提示　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，
所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，
am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，
因为p＋q＝m＋n，
所以ap＋aq＝am＋an.
知识梳理
等差数列的性质
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，
(1)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．
(2)抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的新的等差数列．
(3)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差数列．
2．等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
注意点：
(1)性质2的逆命题不一定成立．
(2)特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
(3)在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N＋，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.
例3　(1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75；
(2)若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值．
解　(1)方法一　由已知条件，得a15＝a1＋14d＝8，①
a60＝a1＋59d＝20.②
由①②解得a1＝，d＝，
故a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
方法二　∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．
设新的等差数列的公差为d1，则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20，
解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24.
(2)∵{an}是等差数列，
∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9.
又∵a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，
∴a9＝117，
∴a3＋a15＝2a9＝234.
延伸探究　本例(2)若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值．
解　因为数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0，
所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d，
解得k＝22.
反思感悟　解决等差数列运算问题的一般方法
一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之．这些方法都运用了整体代换与方程的思想．
跟踪训练3　(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
解　(1)方法一　设等差数列的公差为d，
根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝.
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝.
方法二　根据等差数列的性质，
得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝，
∴a4＋a8＝2a6＝.
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，
∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16 d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
1.知识清单：
(1)等差中项的概念．
(2)等差数列的单调性及图象．
(3)等差数列的性质．
2．方法归纳：函数法、列方程组法、转化法、整体代换法．
3．常见误区：
(1)对等差数列的性质不理解而致错．
(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐．
1．已知数列1，a,5是等差数列，则实数a的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D.
答案　B
解析　由等差中项的定义知2a＝1＋5＝6，所以a＝3.
2．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
答案　A
解析　由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
3．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是(　　)
A．公差为d的等差数列 B．公差为5d的等差数列
C．非等差数列 D．以上都不对
答案　B
解析　由等差数列的定义知an－an－1＝d，所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d.
4．在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝________.
答案　n＋
解析　因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3，
又a2＝2，所以d＝，
an＝a2＋(n－2)d＝2＋(n－2)＝n＋.
课时对点练
1．已知等差数列{an}的各项都是负数，且a＋a＋2a3a8＝9，则a5＋a6的值为(　　)
A．3 B．－3 C．±3 D．－9
答案　B
解析　由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，得a3＋a8＝±3，又a5＋a6＝a3＋a8且{an}各项都是负数，∴a5＋a6＝－3.
2．在等差数列{an}中，若a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 011＋a2 021等于(　　)
A．10 B．15 C．20 D．40
答案　B
解析　∵a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a2＋a2 020＝10，
由等差数列的性质得2a1 011＝10，即a1 011＝5，
∴a1＋a1 011＋a2 021＝3a1 011＝15.
3．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于(　　)
A．45 B．75 C．180 D．300
答案　C
解析　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，∴a5＝90.∴a2＋a8＝2a5＝180.
4．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为(　　)
A．0 B．37 C．100 D．－37
答案　C
解析　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列．
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，
所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
5．(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(　　)
A．a1＋a101>0 B．a1＋a101<0
C．a3＋a99＝0 D．a51＝0
答案　CD
解析　∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴a51＝0＝a3＋a99.
6．(多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的说法正确的是(　　)
A．数列{an}是递增数列
B．数列{nan}是递增数列
C．数列是递增数列
D．数列{an＋3nd}是递增数列
答案　AD
解析　对于A，因为an＝a1＋(n－1)d，d>0，所以an＋1－an＝d>0，A正确；对于B，nan＝na1＋n(n－1)d，所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，故数列{nan}不一定递增，B不正确；对于C，＝＋d，所以－＝(n≥2)，当d－a1>0，即d>a1时，数列递增，但d>a1不一定成立，C不正确；对于D，设bn＝an＋3nd，则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以数列{an＋3nd}是递增数列，D正确．
7．已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝________.
答案　－
解析　∵a7＋a1＝2a4，
∴a7－2a4＝－a1＝－1，∴a1＝1，
又a3＝0，∴2d＝－1，d＝－.
8．若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则使ak·ak＋1<0的k值为________．
答案　23
解析　由3an＋1＝3an－2，得an＋1－an＝－，
又a1＝15，∴{an}是首项为15，公差为－的等差数列，
∴an＝a1＋(n－1)d＝15＋(n－1)×＝－n＋.
令an＝0，解得n＝＝23.5，
∵d＝－，∴数列{an}是递减数列，
∴a23>0，a24<0，∴k＝23.
9．画出数列an＝的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率．
解　画出图象如图所示．
由图象可得，直线的斜率k＝1.
10．在等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12.
(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17，
由解得或
∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.
11．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．1或2
答案　D
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
12．设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列，则(　　)
A．d<0 B．d>0
C．a1d<0 D．a1d>0
答案　C
解析　设bn＝，则bn＋1＝，由于{}是递减数列，则bn>bn＋1，即>.∵y＝2x是增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.
13．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小的一份为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.
由(a＋a＋d＋a＋2d)＝a－2d＋a－d，
得3a＋3d＝7(2a－3d)，
∴24d＝11a，∴d＝，
∴最小的一份为a－2d＝20－＝.
14．在△ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为________．
答案　等边三角形
解析　因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，
得lg sin A＋lg sin C＝2lg sin B，
即sin2B＝sin Asin C，①
又三个内角A，B，C也成等差数列，
所以B＝60°，代入①得sin Asin C＝，②
设A＝60°－α，C＝60°＋α，
代入②得sin(60°＋α)sin(60°－α)＝，
cos2α－sin2α＝，
即cos2α＝1，所以α＝0°，
所以A＝B＝C＝60°，所以△ABC为等边三角形．
15．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为______________．
答案　an＝2n－
解析　由题意得an＋1＋an＝4n－3，①
an＋2＋an＋1＝4n＋1，②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
∵a1＋a2＝1，∴a1＋a1＋d＝1，∴a1＝－.
∴an＝2n－.
16．已知f(x)＝x2－2x－3，在等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；
(2)通项an.
解　(1)由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，
a3＝x2－2x－3，
又因为a1，a2，a3成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3，
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，
解得x＝0或x＝3.
(2)当x＝0时，a1＝0，d＝a2－a1＝－，
此时an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)；
当x＝3时，a1＝－3，d＝a2－a1＝，
此时an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)．(共58张PPT)
第1课时　等差数列的概念与通项公式
第一章　2.1　等差数列的概念及其通项公式
1.理解等差数列的定义.
2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决
一些简单的问题.
学习目标
奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.你能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050年应该举行奥运会吗？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差数列的概念
二、等差数列的通项公式
三、等差数列的实际应用
内容索引
一、等差数列的概念
问题1　(1)姚明是大家都熟悉的篮球运动员，下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数：第一天6 000，第二天6 500，第三天7 000，第四天7 500，第五天8 000，第六天8 500，得到数列6 000,6 500,7 000,7 500,8 000，8 500.
(2)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,
1910,1986，得到数列1682,1758,1834,1910,1986.
以上两个数列有共同特征吗？
提示　对于数列(1)：6 500－6 000＝500,7 000－6 500＝500,7 500－7 000＝500,8 000－7 500＝500,8 500－8 000＝500，即该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于数列(2)：1758－1682＝76，
…，有同样的取值规律.
知识梳理
等差数列的定义
对于一个数列，如果从第 项起，每一项与前一项的差都是同一个 ，那么称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的 ，通常用字母d表示.
2
常数
公差
注意点：
(1)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1－an(n∈N＋).公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒.
(2)公差d可正可负可为零，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列.
例1　(多选)下列命题中正确的是
A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B.数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C.数列{2n＋1}是等差数列
D.数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列
√
√
解析　A中，数列是公差为－2的等差数列；
B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；
C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；
D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列.
反思感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数.
跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是
A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16
C. D.－3，－2，－1,1,2
√
√
√
解析　由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；
B项，d＝3，故是等差数列；
D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列.
二、等差数列的通项公式
问题2　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
思路二：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2).
知识梳理
等差数列的通项公式
若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为 .
an＝a1＋(n－1)d
注意点：
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.
(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝ ，知道等差数列中任意两项，可以求公差d.
例2　(1)求等差数列10,8,6，…的第20项；
解　由于a1＝10，d＝－2，
∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋.
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
角度1　求项或项数
(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.
解　由于a1＝2，d＝7，
∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，n∈N＋.
由7n－5＝100，得n＝15.
∴100是这个数列的第15项.
例3　已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式.
解　设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)，
角度2　求通项公式
故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n，n∈N＋.
延伸探究　本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解　设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，
所以153是所给数列的第45项.
反思感悟　等差数列的通项公式及其应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量.
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项.
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项.
跟踪训练2　在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项.
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解　设{an}的公差为d，
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋，
所以a10＝13－10＝3.
三、等差数列的实际应用
例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km
(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？
解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元.
反思感悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.
跟踪训练3　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.
解　设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋).
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.
1.知识清单：
(1)等差数列的概念、判定.
(2)等差数列的通项公式.
(3)等差数列通项公式的应用.
2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法.
3.常见误区：在具体应用问题中项数不清.
课堂小结
随堂演练
1.在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于
√
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2.在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于
A.－9 B.－8 C.－7 D.－4
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√
解析　∵a6＝a4＋6，
∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.
∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8，故选B.
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3.在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝_____.
解析　因为a5＝11，d＝－2，
所以a1＋4×(－2)＝11，
所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
令－2n＋21＝1，得n＝10.
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4.等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________.
－4n＋1
解析　a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，
所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1.
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)下列数列中，是等差数列的为
A.1,3,5,7,9 B.2,0，－2,0，－6,0，…
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√
√
√
2.已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的第n项为
A.2n－5 B.2n－3 C.2n－1 D.2n＋1
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解析　已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，
故有(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，
故等差数列{an}的前三项依次为－1,1,3，
故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，
故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.
3.已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于
A.15 B.22 C.7 D.29
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解析　设{an}的首项为a1，公差为d，
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
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4.在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为
A.52 B.51 C.50 D.49
√
解析　因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，
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5.首项为－24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是
√
16
解析　该等差数列通项an＝－24＋(n－1)d，
6.《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得________斤？
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解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依次类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，
设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，
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7.数53为等差数列{an}：－5，－3，－1,1，…中的第_____项.
30
解析　由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2，
所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋，
令2n－7＝53，解得n＝30，
所以53是数列{an}中的第30项.
8.等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，
使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是______.
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解析　设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，
又∵a5＝a1＋4d，a5＝10，∴a1＝－2，
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
9.在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式.
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
方法二　由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d，
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10.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
证明　由已知an＋1＝2an＋2n，
即bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
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(2)求数列{an}的通项公式.
解　由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n，
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综合运用
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11.在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}
A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项
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解析　设等差数列{an}的公差为d，
解得d＝2.
∴an＝2n－11(n＝1,2，…)，
Tn＝(－9)×(－7)×…×(2n－11).
当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0，
故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0.
故数列{Tn}有最大项T4，无最小项.
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14.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第
5节的容积为_____升.
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解析　设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，
由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋6d＝3， ①
3a1＋21d＝4， ②
拓广探究
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15.已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝____.
解析　易知an≠0，
∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，
16.已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2；
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解　由题意得，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋.
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)求数列{bn}的通项公式；
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解　由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20，
所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
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解　因为m＝4n－1，n∈N＋，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项.
本课结束(共61张PPT)
第3课时　等差数列的综合问题
第一章　2.1　等差数列的概念及其通项公式
1.进一步加深对等差数列概念与通项公式的理解.
2.会用恰当的方法判断一个数列是等差数列.
3.学会解决与等差数列有关的综合问题.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、等差数列的判定与证明
二、等差数列项的设法及运算
三、等差数列的综合问题
内容索引
一、等差数列的判定与证明
例1　已知函数f(x)＝ ，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定.
(1)求证： 是等差数列；
反思感悟　判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋) {an}是等差数列.
(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列.
(3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋) {an}是等差数列.
跟踪训练1　(1)已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列.
证明　因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，
所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，
所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列.
解　通项公式an＝3n－1是关于n的一次函数，
所以这个数列是等差数列.
(2)判断下列数列是否为等差数列：
①an＝3n－1；
显然an＋1－an＝1(n∈N＋，n≥2)恒成立.
但a2－a1≠a3－a2，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差才是同一个常数，
所以该数列不是等差数列.
二、等差数列项的设法及运算
例2　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列.
解　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
又因为是递增数列，所以d>0，
所以此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
延伸探究　本例若改为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.
解　方法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
由已知，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
所以d＝1，所以所求的四个数为－2,0,2,4.
方法二　设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
由已知，得2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，
所以d>0，所以d＝2，
所以所求的四个数为－2,0,2,4.
反思感悟　三个数或四个数成等差数列的设法
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量.
跟踪训练2　已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
解　方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1，n∈N＋.
方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设其前三项分别为a－d，a，a＋d，
从而an＝4n－1，n∈N＋.
三、等差数列的综合问题
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；
所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈N＋).
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项.
当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1.
反思感悟　解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组).
(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
跟踪训练3　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋).
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
解　因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，
(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.
解　因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，
a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，
即λ2－7λ＋13＝0.
因为Δ＝49－4×13<0，所以方程无实数解，
所以λ的值不存在，
所以不存在λ的值使{an}为等差数列.
1.知识清单：
(1)等差数列的判定方法.
(2)等差数列项的设法与运算.
(3)等差数列的综合问题.
2.方法归纳：定义法、通项公式法、中项法.
3.常见误区：
(1)通项公式法判断等差数列时忽视通项公式成立的条件.
(2)四个数成等差数列时错误设为a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.
课堂小结
随堂演练
解析　选项A，B，C仅对前三项成立，对整个数列不一定成立，只有选项D符合.
1.如果一个数列的前三项分别为1,2,3，下列结论中正确的是
A.它一定是等差数列
B.它一定是递增数列
C.通项公式是an＝n
D.以上结论都不一定正确
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2.已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为
A.a6 B.a7 C.a8 D.a9
1
2
3
4
√
解析　因为3a3＝4a4，
所以3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，
所以a3＝－4d，
所以an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，
所以a7＝0.
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3.在数列{an}中，a1＝1,2an＋1－2an＝4，则a2 021的值为______.
解析　由题意，知数列{an}满足2an＋1－2an＝4，
即an＋1－an＝2，
又由a1＝1，
所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以a2 021＝a1＋2 020d＝1＋2 020×2＝4 041.
4 041
4.直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为______.
解析　设三边为a－d，a，a＋d(a＞0且a＞|d|)，
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课时对点练
基础巩固
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1.等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为
16
√
2.在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 011＝1，则该数列中a1＋a2 021等于
A.1 B.2 C.3 D.4
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解析　因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，
所以2an＋1＝an＋an＋2，
所以{an}为等差数列，
因为a1 011＝1，
所以a1＋a2 021＝2a1 011＝2.
3.在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为
A.6 B.12 C.24 D.48
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解析　∵a1＋a15＝2a8，∴a1＋3a8＋a15＝5a8.
∴5a8＝120，a8＝24.
而3a9－a11＝3(a8＋d)－(a8＋3d)＝2a8＝48.
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4.(多选)一个等差数列的前三项之和为9，前三项的平方和为35，这个数列第10项为
A.－17 B.－13 C.19 D.23
√
解析　设这个数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，
则a－d＋a＋a＋d＝3a＝9，∴a＝3.
而(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，∴d＝±2.
∴所求数列的通项公式为an＝2n－1或an＝－2n＋7.
∴a10＝19或a10＝－13.
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5.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有
A.{|an|} B.{an＋1－an}
C.{pan＋q}(p，q为常数) D.{2an＋n}
√
16
解析　设an＝kn＋b，则an＋1－an＝k，
故B为常数列，也是等差数列；
pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故C为等差数列；
2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故D为等差数列；
A未必是等差数列，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2,0,2,4，
故{|an|}不一定是等差数列.
√
√
根据表格提供数据，下列判断正确的是
A.甲虫的爬行距离和时间之间可以建立等差数列模型
B.甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t＋9.8(t∈N＋，t≤60)
C.甲虫的爬行49 cm需要5 s
D.甲虫1 min能爬597.8 cm
时间/s 1 2 3 … … 60
距离/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 …
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6.(多选)甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某甲虫1 min内的爬行时间与相应的爬行距离：
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解析　以1,2,3，…，60为数列{an}的序号，9.8,19.6,29.4，…为数列{an}的对应项，
由表可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，
所以可建立等差数列模型.
∵a1＝9.8，d＝9.8，
∴甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t(t∈N＋，t≤60).
当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm).
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8.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为________________.
2,5,8,11或11,8,5,2
解析　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
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即2ac＝b(a＋c).
10.已知等差数列{an}单调递减，a3＝1，a2a4＝
(1)求数列{an}的通项公式；
解　由题意知a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2a3＝2.
∴a1＝a2－d＝2，
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(2)判断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由.
解　由(1)知a1an＝2an，
则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝－1(常数)，
∴数列{a1an}是等差数列，且公差为－1.
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综合运用
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11.已知函数f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于
√
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12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日、第五日、第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为
A.13 B.14 C.15 D.16
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解析　设第一天织a1尺，从第二天起每天比前一天多织d尺，
所以第十四日所织尺数为a14＝a1＋13d＝1＋13×1＝14.
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2n－3或－2n＋5
解析　因为b1b2b3＝ ，又因为bn＝ ，
所以
所以 所以a1＋a2＋a3＝3，
又因为{an}成等差数列，所以a2＝1，a1＋a3＝2，
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所以an＝2n－3或an＝－2n＋5.
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那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________.
n2＋n
14.在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …
解析　观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，
所以第n行第n＋1列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.
拓广探究
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15.设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为
A.－10 B.－12 C.－14 D.－16
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解析　根据题意，设该等差数列的首项为a1，公差为d，
若a3＋a7＝36，a4a6＝275，
则(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝36，(a1＋3d)(a1＋5d)＝275，
则数列{an}的通项为an＝7n－17或an＝－7n＋53，
当an＝7n－17时，anan＋1＝(7n－17)(7n－10)
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分析可得当n＝2时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12；
分析可得当n＝7时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12，
即anan＋1有最小值－12.
16.两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
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解　数列5,8,11，…记为{an}，数列3,7,11，…记为{bm}，
则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，
bm＝3＋(m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)，
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要使n为正整数，m必须是3的倍数，
记m＝3k(k∈N＋).
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∴1≤k≤25.
∴两数列共有25个相同的项.
本课结束§2　等差数列
2．1　等差数列的概念及其通项公式
第1课时　等差数列的概念与通项公式
学习目标　1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题．
导语
奥运会是举世瞩目、振奋人心的体育盛会．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．你能判断2008年的北京奥运会是第几届吗？你能写出举行前30届奥运会的所有年份吗？2050年应该举行奥运会吗？
一、等差数列的概念
问题1　(1)姚明是大家都熟悉的篮球运动员，下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数：第一天6 000，第二天6 500，第三天7 000，第四天7 500，第五天8 000，第六天8 500，得到数列6 000,6 500,7 000,7 500,8 000，8 500.
(2)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682,1758,1834,1910,1986，得到数列1682,1758,1834,1910,1986.
以上两个数列有共同特征吗？
提示　对于数列(1)：6 500－6 000＝500,7 000－6 500＝500,7 500－7 000＝500,8 000－7 500＝500,8 500－8 000＝500，即该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于数列(2)：1758－1682＝76，…，有同样的取值规律．
知识梳理
等差数列的定义
对于一个数列，如果从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么称这个数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．
注意点：
(1)求公差d时，可以用d＝an－an－1(n≥2，n∈N＋)或d＝an＋1－an(n∈N＋)．公差是每一项(从第二项起)与它前一项的差，切勿颠倒．
(2)公差d可正可负可为零，当d＝0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
例1　(多选)下列命题中正确的是(　　)
A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列
B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列
C．数列{2n＋1}是等差数列
D．数列{an}中，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，则数列{an}是等差数列
答案　BC
解析　A中，数列是公差为－2的等差数列；B中，a－1－a＝a－2－(a－1)＝a－3－(a－2)＝－1，是公差为－1的等差数列；C中，an＋1－an＝2(n＋1)＋1－2n－1＝2为常数，是等差数列；D中，a2－a1＝0，an－an－1＝2(n≥3)，数列{an}不是等差数列．
反思感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证an＋1－an(n∈N＋)是不是一个与n无关的常数．
跟踪训练1　(多选)下列数列是等差数列的是(　　)
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2
答案　ABC
解析　由等差数列的定义得，A项，d＝0，故是等差数列；B项，d＝3，故是等差数列；C项，d＝，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．
二、等差数列的通项公式
问题2　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
知识梳理
等差数列的通项公式
若首项是a1，公差为d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
注意点：
(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项．
(2)等差数列的通项公式可以推广为an＝am＋(n－m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d＝，知道等差数列中任意两项，可以求公差d.
角度1　求项或项数
例2　(1)求等差数列10,8,6，…的第20项；
(2)100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．
解　(1)由于a1＝10，d＝－2，
∴an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，n∈N＋.
∴a20＝－2×20＋12＝－28.
(2)由于a1＝2，d＝7，
∴an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，n∈N＋.
由7n－5＝100，得n＝15.
∴100是这个数列的第15项．
角度2　求通项公式
例3　已知在等差数列{an}中，a5＝－20，a20＝－35.试求出数列的通项公式．
解　设{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N＋)，
由已知得解得
故数列{an}的通项公式为an＝－16＋(n－1)(－1)＝－15－n，n∈N＋.
延伸探究　本例若改为等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
解　设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，
由已知得
解得
所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，n∈N＋，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N＋，
所以153是所给数列的第45项．
反思感悟　等差数列的通项公式及其应用
(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．
(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项．
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项．
跟踪训练2　在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项；
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.
解　(1)因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5，n∈N＋.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．
(2)设{an}的公差为d，
则解得
所以an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，n∈N＋，
所以a10＝13－10＝3.
三、等差数列的实际应用
例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？
解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2表示4 km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14 km处时，n＝11，
此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.
即需要支付车费23.2元．
反思感悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素．
跟踪训练3　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值．如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是－17.5 ℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温．
解　设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n(1≤n≤10，n∈N＋)．
∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2 km,4 km,8 km高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，
－37 ℃.
1.知识清单：
(1)等差数列的概念、判定．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列通项公式的应用．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：在具体应用问题中项数不清．
1．在等差数列{an}中，a3＝5，a6＝8，则公差d等于(　　)
A. B．－
C．1 D．－1
答案　C
解析　∵a3＝5，a6＝8，∴d＝＝1.
2．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于(　　)
A．－9 B．－8 C．－7 D．－4
答案　B
解析　∵a6＝a4＋6，
∴2d＝a6－a4＝6，∴d＝3.
∴a1＝a2－d＝－5－3＝－8，故选B.
3．在等差数列{an}中，已知a5＝11，d＝－2，an＝1，则n＝________.
答案　10
解析　因为a5＝11，d＝－2，
所以a1＋4×(－2)＝11，
所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)＝－2n＋21.
令－2n＋21＝1，得n＝10.
4．等差数列{an}：－3，－7，－11，…的一个通项公式为an＝________.
答案　－4n＋1
解析　a1＝－3，d＝a2－a1＝－7－(－3)＝－4，所以an＝a1＋(n－1)d＝－4n＋1.
课时对点练
1．(多选)下列数列中，是等差数列的为(　　)
A．1,3,5,7,9 B．2,0，－2,0，－6,0，…
C.，，，，… D.＋1，，－1
答案　ACD
2．已知等差数列的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，则此数列的第n项为(　　)
A．2n－5 B．2n－3
C．2n－1 D．2n＋1
答案　B
解析　已知等差数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1,2a＋3，故有(a＋1)－(a－1)＝(2a＋3)－(a＋1)，解得a＝0，故等差数列{an}的前三项依次为－1,1,3，故数列是以－1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an＝－1＋(n－1)×2＝2n－3，n∈N＋.
3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　)
A．15 B．22 C．7 D．29
答案　A
解析　设{an}的首项为a1，公差为d，
根据题意得
解得a1＝47，d＝－8.
所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.
4．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)
A．52 B．51 C．50 D．49
答案　A
解析　因为2an＋1－2an＝1，a1＝2，
所以数列{an}是首项a1＝2，公差d＝的等差数列，
所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.
5．首项为－24的等差数列从第10项起为正数，则公差d的取值范围是(　　)
A．d> B．d<3
C.≤d<3 D.答案　D
解析　该等差数列通项an＝－24＋(n－1)d，
由题意得解得6．《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得________斤？(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依次类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得即解得d＝，
所以每等人比下一等人多得斤金．
7．数53为等差数列{an}：－5，－3，－1,1，…中的第________项．
答案　30
解析　由题意可知，等差数列{an}的首项a1＝－5，公差d＝(－3)－(－5)＝2，
所以通项an＝－5＋2(n－1)＝2n－7，n∈N＋，
令2n－7＝53，解得n＝30，
所以53是数列{an}中的第30项．
8．等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是________．
答案　－
解析　设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5＝a1＋8d d＝＝＝＝－.
9．在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式．
解　方法一　由题意，知
解得
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
方法二　由an＝am＋(n－m)d，得a12＝a5＋(12－5)d，
即d＝＝3.
又∵a5＝a1＋4d，a5＝10，∴a1＝－2，
∴an＝－2＋(n－1)·3＝3n－5，n∈N＋.
10．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1，
即bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解　由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn＝n，
又bn＝，所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1(n∈N＋)．
11．在等差数列{an}中，a1＝－9，a5＝－1.记Tn＝a1a2…an(n＝1,2，…)，则数列{Tn}(　　)
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
答案　B
解析　设等差数列{an}的公差为d，
由得
解得d＝2.
∴an＝2n－11(n＝1,2，…)，
Tn＝(－9)×(－7)×…×(2n－11)．
当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0，
故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0.
故数列{Tn}有最大项T4，无最小项．
12．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意可得
解得所以＝＋3d＝，
则a4＝ .
13．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.
答案　，n∈N＋
解析　∵a－a＝4，
∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4，
∴a＝1＋(n－1)×4＝4n－3.
又an>0，∴an＝，n∈N＋.
14．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．
答案　
解析　设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9，
由题意可得a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，
设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋6d＝3，①
3a1＋21d＝4，②
由①②可得d＝，a1＝，
所以a5＝a1＋4d＝＋4×＝.
15．已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝________.
答案　
解析　易知an≠0，
∵数列{an}满足an－1－an＝anan－1(n≥2)，
∴－＝1(n≥2)，
故数列是等差数列，且公差为1，首项为1，
∴＝1＋9＝10，∴a10＝.
16．已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式；
(3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？
解　(1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为an＝3－5(n－1)＝8－5n，
设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N＋.
所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，
b2＝a7＝8－5×7＝－27.
(2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20，
所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1＝－7，公差d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝
－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n.
(3)因为m＝4n－1，n∈N＋，
所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439，
所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项．(共60张PPT)
第2课时　等差数列的性质
第一章　2.1　等差数列的概念及其通项公式
1.了解等差中项的概念.
2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.
3.能运用等差数列的性质解决有关问题.
学习目标
悉尼歌剧院(Sydney Opera House)，位于澳大利亚新南威尔士州悉尼市区北部的便利朗角(Bennelong Point)，1959年3月动工建造，1973年10月20日正式投入使用，是澳大利亚地标式建筑.它占地面积1.8公顷，坐落在距离海面19米的花岗岩基座上，最高的壳顶距海面60米，总建筑面积88 000平方米.音乐厅是悉尼歌剧院最大的厅，共有2 678个座位，舞台正面第一排有35个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为
35,37,39,41,43，….第20排的座位
数与第18排与第22排的座位数的和有什么关系？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差中项
二、等差数列与一次函数的关系
三、等差数列的性质
内容索引
一、等差中项
问题1　由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
知识梳理
等差中项的概念
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与
b的 ，即A＝
等差中项
注意点：
(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一.
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝
(3)a3是a1和a5的等差中项.
例1　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
解　∵－1，a，b，c,7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
又a是－1与3的等差中项，
∴该数列为－1,1,3,5,7.
反思感悟　在等差数列{an}中，
(2)当m＋n＝2p时，有ap是am与an的等差中项.
解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，
即m＋n＝6.
跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项.
二、等差数列与一次函数的关系
问题2　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
提示　一次函数.
知识梳理
从函数角度研究等差数列
对于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些 的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的 ，即自变量每增加1，函数值增加d.
等间隔
斜率
当 时，{an}为 ，如图甲所示.
当 时，{an}为 ，如图乙所示.
当 时，{an}为 ，如图丙所示.
d>0
d＝0
递增数列
d<0
递减数列
常数列
注意点：
通项法判定等差数列：an为n的一次函数 {an}为等差数列.
例2　(多选)下列判断正确的是
A.等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B.若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)，则数列{an}是等差数列
C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D.若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
解析　A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；
因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确.
√
√
√
反思感悟　根据等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知{an}为等差数列 an＝pn＋q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质.
跟踪训练2　等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是
A.第7项 B.第8项
C.第9项 D.第10项
解析　∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项.
√
三、等差数列的性质
问题3　在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n(m，n，p，q∈N＋)，那么ap＋aq与am＋an有何数量关系？
提示　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，
am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，
所以ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，
am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，
因为p＋q＝m＋n，
所以ap＋aq＝am＋an.
知识梳理
等差数列的性质
1.若数列{an}是公差为d的等差数列，
(1)数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列.
(2)抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为 的新的等差数列.
(3)若数列{bn}也为等差数列，则{kan＋mbn}(k，m∈N＋)也成等差数列.
2.等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N＋，且p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an.
md
注意点：
(1)性质2的逆命题不一定成立.
(2)特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
(3)在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N＋，且l＋m＋n＝p＋q＋r，则al＋am＋an＝ap＋aq＋ar.
例3　(1)若{an}为等差数列，且a15＝8，a60＝20，求a75；
解　方法一　由已知条件，得a15＝a1＋14d＝8， ①
a60＝a1＋59d＝20. ②
方法二　∵{an}为等差数列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列.
设新的等差数列的公差为d1，则a60＝a15＋3d1＝8＋3d1＝20，
解得d1＝4，故a75＝a60＋d1＝24.
解　∵{an}是等差数列，
∴a1＋a17＝a3＋a15＝2a9.
又∵a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，
∴a9＝117，
∴a3＋a15＝2a9＝234.
(2)若{an}为等差数列，且a1－a3＋a9－a15＋a17＝117，求a3＋a15的值.
延伸探究　本例(2)若改为等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0.若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，试求k的值.
解　因为数列{an}为等差数列，首项a1＝0，公差d≠0，
所以ak＝a1＋(k－1)d＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝21d，
解得k＝22.
反思感悟　解决等差数列运算问题的一般方法
一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.
跟踪训练3　(1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
解　方法一　设等差数列的公差为d，
根据等差数列的通项公式，得a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
方法二　根据等差数列的性质，
得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.
解　{an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，
∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16 d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
1.知识清单：
(1)等差中项的概念.
(2)等差数列的单调性及图象.
(3)等差数列的性质.
2.方法归纳：函数法、列方程组法、转化法、整体代换法.
3.常见误区：
(1)对等差数列的性质不理解而致错.
(2)不注意运用性质而出错或解法烦琐.
课堂小结
随堂演练
解析　由等差中项的定义知2a＝1＋5＝6，所以a＝3.
1.已知数列1，a,5是等差数列，则实数a的值为
A.2 B.3 C.4 D.
√
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2
3
4
2.在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于
1
2
3
4
√
解析　由等差数列的性质，得a4＋a5＝a2＋a7，
所以a2＝15－12＝3.
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2
3
4
3.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是
A.公差为d的等差数列 B.公差为5d的等差数列
C.非等差数列 D.以上都不对
√
解析　由等差数列的定义知an－an－1＝d，所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d.
4.在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝______.
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3
4
解析　因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3，
课时对点练
基础巩固
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1.已知等差数列{an}的各项都是负数，且 ＋2a3a8＝9，则a5＋a6的值为
A.3 B.－3 C.±3 D.－9
16
√
得a3＋a8＝±3，
又a5＋a6＝a3＋a8且{an}各项都是负数，
∴a5＋a6＝－3.
2.在等差数列{an}中，若a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 011＋a2 021等于
A.10 B.15 C.20 D.40
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√
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解析　∵a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，
∴a2＋a2 020＝10，
由等差数列的性质得2a1 011＝10，即a1 011＝5，
∴a1＋a1 011＋a2 021＝3a1 011＝15.
3.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于
A.45 B.75 C.180 D.300
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√
解析　∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝5a5＝450，
∴a5＝90.
∴a2＋a8＝2a5＝180.
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4.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么数列{an＋bn}的第37项为
A.0 B.37 C.100 D.－37
√
解析　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，
所以数列{an＋bn}仍然是等差数列.
又d1＋d2＝(a2＋b2)－(a1＋b1)＝100－(25＋75)＝0，
所以a37＋b37＝a1＋b1＝100.
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5.(多选)已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有
A.a1＋a101>0 B.a1＋a101<0
C.a3＋a99＝0 D.a51＝0
√
16
解析　∵a1＋a2＋…＋a101＝0，
又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，
∴a51＝0＝a3＋a99.
√
6.(多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的说法正确的是
A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列
C.数列 是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列
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√
解析　对于A，因为an＝a1＋(n－1)d，d>0，
所以an＋1－an＝d>0，A正确；
对于B，nan＝na1＋n(n－1)d，
所以nan－(n－1)an－1＝a1＋2(n－1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，
故数列{nan}不一定递增，B不正确；
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但d>a1不一定成立，C不正确；
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对于D，设bn＝an＋3nd，
则bn＋1－bn＝an＋1－an＋3d＝4d>0，
所以数列{an＋3nd}是递增数列，D正确.
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7.已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝_____.
解析　∵a7＋a1＝2a4，
∴a7－2a4＝－a1＝－1，∴a1＝1，
8.若数列{an}满足a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则使ak·ak＋1<0的k值为____.
23
∴a23>0，a24<0，∴k＝23.
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9.画出数列an＝ 的图象，并求经过图象上所有点的直
线的斜率.
解　画出图象如图所示.

由图象可得，直线的斜率k＝1.
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10.在等差数列{an}中.
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
解　根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，
得4a13＝48，∴a13＝12.
1
2
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(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
解　由a2＋a3＋a4＋a5＝34，得2(a2＋a5)＝34，
即a2＋a5＝17，
1
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综合运用
16
11.若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为
A.0 B.1 C.2 D.1或2
√
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点个数为1或2.
解析　设bn＝ ，则bn＋1＝ ，
由于{ }是递减数列，
则bn>bn＋1，即
∵y＝2x是增函数，∴a1an>a1an＋1，
∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，
∴a1d<0.
12.设等差数列{an}的公差为d.若数列{ }为递减数列，则
A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0
√
1
2
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13.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 等于较小的两份之和，则最小的一份为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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15
16
√
解析　设五个人所分得的面包个数为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，其中d>0，
则(a－2d)＋(a－d)＋a＋(a＋d)＋(a＋2d)＝5a＝100，∴a＝20.
1
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3
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5
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得3a＋3d＝7(2a－3d)，
1
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3
4
5
6
7
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10
11
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等边三角形
14.在△ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为___________.
1
2
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解析　因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，
得lg sin A＋lg sin C＝2lg sin B，
即sin2B＝sin Asin C， ①
又三个内角A，B，C也成等差数列，
设A＝60°－α，C＝60°＋α，
1
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即cos2α＝1，所以α＝0°，
所以A＝B＝C＝60°，所以△ABC为等边三角形.
拓广探究
15.若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为________
_____.
解析　由题意得an＋1＋an＝4n－3， ①
an＋2＋an＋1＝4n＋1， ②
②－①，得an＋2－an＝4.
∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d＝2.
an＝2n
1
2
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16.已知f(x)＝x2－2x－3，在等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝ ，a3＝f(x)，求：
(1)x的值；
1
2
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解　由f(x)＝x2－2x－3，
得a1＝f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3＝x2－4x，a3＝x2－2x－3，
又因为a1，a2，a3成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3，
即－3＝x2－4x＋x2－2x－3，
解得x＝0或x＝3.
(2)通项an.
1
2
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本课结束第3课时　等差数列的综合问题
学习目标　1.进一步加深对等差数列概念与通项公式的理解.2.会用恰当的方法判断一个数列是等差数列.3.学会解决与等差数列有关的综合问题．
一、等差数列的判定与证明
例1　已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2，且n∈N＋)确定．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100.
(1)证明　xn＝f(xn－1)＝(n≥2，n∈N＋)，
所以＝＝＋，
－＝(n≥2，n∈N＋)．
所以是等差数列．
(2)解　由(1)知的公差为.
又因为x1＝，即＝2.
所以＝2＋(n－1)×，＝2＋(100－1)×＝35.
所以x100＝.
反思感悟　判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋) {an}是等差数列．
(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋) {an}是等差数列．
(3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋) {an}是等差数列．
跟踪训练1　(1)已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
证明　因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，
所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，
所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
(2)判断下列数列是否为等差数列：
①an＝3n－1；
②an＝
解　①通项公式an＝3n－1是关于n的一次函数，所以这个数列是等差数列．
②由通项公式an＝知a1＝1，a2＝1，a3＝2.
显然an＋1－an＝1(n∈N＋，n≥2)恒成立．
但a2－a1≠a3－a2，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差才是同一个常数，所以该数列不是等差数列．
二、等差数列项的设法及运算
例2　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．
解　设四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
则
又因为是递增数列，所以d>0，
解得
所以此等差数列为－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.
延伸探究　本例若改为四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解　方法一　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
由已知，得2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，a2－9d2＝－8，
所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d>0，
所以d＝1，所以所求的四个数为－2,0,2,4.
方法二　设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
由已知，得2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把a＝1－d代入a(a＋3d)＝－8，
得＝－8，
即1－d2＝－8，
化简得d2＝4，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，
所以d>0，所以d＝2，
所以所求的四个数为－2,0,2,4.
反思感悟　三个数或四个数成等差数列的设法
当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a－d，a，a＋d；四个数时，设a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量．
跟踪训练2　已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式．
解　方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则
即
解得或
因为数列{an}为单调递增数列，所以
从而等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1，n∈N＋.
方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设其前三项分别为a－d，a，a＋d，
则
即
解得或
由于数列{an}为单调递增数列，因此
从而an＝4n－1，n∈N＋.
三、等差数列的综合问题
例3　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项．
(1)证明　因为an＝2－(n≥2，n∈N＋)，
所以an－1＝，
所以＝＝1＋，
即－＝1.
因为bn＝，
所以bn－bn－1＝1(n≥2，n∈N＋)．
又a1＝，b1＝＝－，
所以数列{bn}是以b1＝－为首项，1为公差的等差数列．
故bn＝－＋(n－1)×1＝n－(n∈N＋)．
(2)解　由(1)得an＝＋1＝1＋，
当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1.
又a1＝，a2＝－2，a3＝，
所以在数列{an}中，最大项为a3＝，最小项为a2＝－2.
反思感悟　解决数列综合问题的方法策略
(1)结合等差数列的性质或利用等差中项．
(2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组)．
(3)利用函数或不等式的有关方法解决．
跟踪训练3　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N＋)．
(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；
(2)是否存在λ的值，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由．
解　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2，
所以λ＝，所以a3＝－a2＋22，
所以a3＝.
(2)因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，
所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，
a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.
若{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，
即λ2－7λ＋13＝0.
因为Δ＝49－4×13<0，所以方程无实数解，
所以λ的值不存在，
所以不存在λ的值使{an}为等差数列．
1.知识清单：
(1)等差数列的判定方法．
(2)等差数列项的设法与运算．
(3)等差数列的综合问题．
2．方法归纳：定义法、通项公式法、中项法．
3．常见误区：
(1)通项公式法判断等差数列时忽视通项公式成立的条件．
(2)四个数成等差数列时错误设为a－2d，a－d，a＋d，a＋2d.
1．如果一个数列的前三项分别为1,2,3，下列结论中正确的是(　　)
A．它一定是等差数列
B．它一定是递增数列
C．通项公式是an＝n
D．以上结论都不一定正确
答案　D
解析　选项A，B，C仅对前三项成立，对整个数列不一定成立，只有选项D符合．
2．已知等差数列{an}满足3a3＝4a4，则该数列中一定为零的项为(　　)
A．a6 B．a7 C．a8 D．a9
答案　B
解析　因为3a3＝4a4，
所以3a3＝4(a3＋d)＝4a3＋4d，
所以a3＝－4d，
所以an＝a3＋(n－3)·d＝－4d＋(n－3)d＝(n－7)d，
所以a7＝0.
3．在数列{an}中，a1＝1,2an＋1－2an＝4，则a2 021的值为________．
答案　4 041
解析　由题意，知数列{an}满足2an＋1－2an＝4，即an＋1－an＝2，又由a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2 021＝a1＋2 020d＝1＋2 020×2＝4 041.
4．直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为________．
答案　12
解析　设三边为a－d，a，a＋d(a＞0且a＞|d|)，
则
a2＝48.
∵a＞0，∴a＝4，
周长为C＝a－d＋a＋a＋d＝3a＝12.
课时对点练
1．等差数列{an}中，am＋n＝α，am－n＝β，则其公差d的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　d＝＝.
2．在数列{an}中，已知an＋1－an＝an＋2－an＋1，a1 011＝1，则该数列中a1＋a2 021等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　因为an＋1－an＝an＋2－an＋1，所以2an＋1＝an＋an＋2，所以{an}为等差数列，因为a1 011＝1，所以a1＋a2 021＝2a1 011＝2.
3．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为(　　)
A．6 B．12 C．24 D．48
答案　D
解析　∵a1＋a15＝2a8，∴a1＋3a8＋a15＝5a8.
∴5a8＝120，a8＝24.
而3a9－a11＝3(a8＋d)－(a8＋3d)＝2a8＝48.
4．(多选)一个等差数列的前三项之和为9，前三项的平方和为35，这个数列第10项为(　　)
A．－17 B．－13 C．19 D．23
答案　BC
解析　设这个数列的前三项分别为a－d，a，a＋d，
则a－d＋a＋a＋d＝3a＝9，∴a＝3.
而(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝35，∴d＝±2.
∴所求数列的通项公式为an＝2n－1或an＝－2n＋7.
∴a10＝19或a10＝－13.
5．(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有(　　)
A．{|an|} B．{an＋1－an}
C．{pan＋q}(p，q为常数) D．{2an＋n}
答案　BCD
解析　设an＝kn＋b，则an＋1－an＝k，故B为常数列，也是等差数列；pan＋q＝p(kn＋b)＋q＝pkn＋(pb＋q)，故C为等差数列；2an＋n＝2(kn＋b)＋n＝(2k＋1)n＋2b，故D为等差数列；A未必是等差数列，如an＝2n－4，则{|an|}的前4项为2,0,2,4，故{|an|}不一定是等差数列．
6．(多选)甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某甲虫1 min内的爬行时间与相应的爬行距离：
时间/s 1 2 3 … … 60
距离/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 …
根据表格提供数据，下列判断正确的是(　　)
A．甲虫的爬行距离和时间之间可以建立等差数列模型
B．甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t＋9.8(t∈N＋，t≤60)
C．甲虫的爬行49 cm需要5 s
D．甲虫1 min能爬597.8 cm
答案　AC
解析　以1,2,3，…，60为数列{an}的序号，9.8,19.6,29.4，…为数列{an}的对应项，由表可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以可建立等差数列模型．∵a1＝9.8，d＝9.8，∴甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s＝9.8t(t∈N＋，t≤60)．当t＝1 min＝60 s时，s＝9.8t＝9.8×60＝588(cm)．当s＝49 cm时，t＝＝＝5(s)．
7．在数列{an}中，已知a1＝1，＝＋(n∈N＋)，则a50＝________.
答案　
解析　已知条件可化为－＝(n∈N＋)．由等差数列的定义，知是首项为＝1，公差为d＝的等差数列，所以＝1＋(50－1)×＝，所以a50＝.
8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为________________．
答案　2,5,8,11或11,8,5,2.
解析　设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，
则由题设得

解得或
∴所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
9．已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列．
证明　因为，，成等差数列，
所以＝＋，
即2ac＝b(a＋c)．
因为＋＝
＝＝
＝＝，
所以，，成等差数列．
10．已知等差数列{an}单调递减，a3＝1，a2a4＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)判断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由．
解　(1)由题意知a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2a3＝2.
又a2a4＝，数列{an}单调递减，
∴a4＝，a2＝.
∴公差d＝＝－，
∴a1＝a2－d＝2，
∴an＝2＋(n－1)·＝－n＋.
(2)由(1)知a1an＝2an，
则当n≥2时，2an－2an－1＝2(an－an－1)＝－1(常数)，
∴数列{a1an}是等差数列，且公差为－1.
11．已知函数f(x)＝cos x，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，
所以m<0，则公差d＝＝，
所以m＝cos＝－.
12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日、第五日、第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为(　　)
A．13 B．14 C．15 D．16
答案　B
解析　设第一天织a1尺，从第二天起每天比前一天多织d尺，
由已知得
解得
所以第十四日所织尺数为a14＝a1＋13d＝1＋13×1＝14.
13．设数列{an}是等差数列，bn＝，又因为b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，则通项公式an＝________.
答案　2n－3或－2n＋5
解析　因为b1b2b3＝，又因为bn＝，
所以
所以所以a1＋a2＋a3＝3，
又因为{an}成等差数列，所以a2＝1，a1＋a3＝2，
所以b1b3＝，b1＋b3＝，
所以或
即或
所以an＝2n－3或an＝－2n＋5.
14．在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …
那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
答案　n2＋n
解析　观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n＋1列的数是n＋[(n＋1)－1]×n＝n2＋n.
15．设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为(　　)
A．－10 B．－12 C．－14 D．－16
答案　B
解析　根据题意，设该等差数列的首项为a1，公差为d，若a3＋a7＝36，a4a6＝275，则(a1＋2d)＋(a1＋6d)＝36，(a1＋3d)(a1＋5d)＝275，
解得或
则数列{an}的通项为an＝7n－17或an＝－7n＋53，
当an＝7n－17时，anan＋1＝(7n－17)(7n－10)
＝49＝492－，
分析可得当n＝2时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12；当an＝－7n＋53时，anan＋1＝(－7n＋53)(－7n＋46)＝(7n－53)(7n－46)＝49，
因为＝≈7.07，
分析可得当n＝7时，anan＋1有最小值，且其最小值为－12，即anan＋1有最小值－12.
16．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？
解　数列5,8,11，…记为{an}，数列3,7,11，…记为{bm}，
则an＝5＋(n－1)·3＝3n＋2，
bm＝3＋(m－1)·4＝4m－1.
令an＝bm，得3n＋2＝4m－1(n，m∈N＋)，
即n＝m－1(n，m∈N＋)．
要使n为正整数，m必须是3的倍数，
记m＝3k(k∈N＋)．
∴n＝·3k－1＝4k－1.
∵4k－1≤100，∴k≤，且k∈N＋，
∴1≤k≤25.
∴两数列共有25个相同的项．

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