资源简介

2．2　等差数列的前n项和
第1课时　等差数列的前n项和公式
学习目标　1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an.
导语
高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉．高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来．不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他同学都很吃惊．你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？
一、等差数列前n项和的基本运算
问题1　唐朝诗人张南史的宝塔诗《花》原文如下：
花，花．
深浅，芬葩．
凝为雪，错为霞．
莺和蝶到，苑占宫遮．
已迷金谷路，频驻玉人车．
芳草欲陵芳树，东家半落西家．
愿得春风相伴去，一攀一折向天涯．
这首诗每一行的字数有什么特点？全文共有多少字？
提示　每一行的字数构成首项为2，公差为2的等差数列，共有2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56(字)．
问题2　对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？
提示　倒序相加法

两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
知识梳理
等差数列前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝na1＋d
注意点：
(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和．
(2)由公式二知当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”．
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数．
例1　在等差数列{an}中，
(1)已知a3＝16，S20＝20，求S10；
(2)已知a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12；
(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
则解得
所以S10＝10×20＋＝200－90＝110.
(2)因为Sn＝n·＋·＝－15，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
所以a12＝＋(12－1)×＝－4.
(3)因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.
又因为Sn＝＝210，
所以n＝＝14.
反思感悟　等差数列前n项和公式应用的关注点
(1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn＝较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn＝na1＋d较好．
(2)在运用公式Sn＝求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq”的运用．
(3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．
跟踪训练1　已知等差数列{an}中，
(1)a1＝，S4＝20，求S6；
(2)已知a14＝10，求S27.
解　(1)S4＝4a1＋d＝4a1＋6d＝2＋6d＝20，
∴d＝3.
故S6＝6a1＋d＝6a1＋15d＝3＋15d＝48.
(2)∵a14＝10，a1＋a27＝2a14，
∴S27＝＝27a14＝270.
二、等差数列前n项和的实际应用
例2　从2021年5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，当日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．
(1)记该款服装五月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an；
(2)求五月份的总销售量．
解　(1)依题意知，数列a1，a2，…，a13是首项为10，公差为15的等差数列．∴an＝15n－5(1≤n≤13)，
a14，a15，a16，…，a31是首项为a14＝a13－10＝180，公差为－10的等差数列．
∴an＝180＋(n－14)(－10)＝－10n＋320(14≤n≤31)，
∴an＝
(2)五月份的总销售量为
＋18×180＋
＝3 010(件)．
延伸探究　根据以往经验，当该商场销售某服装超过1 300件时，当地社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失．在本例条件下，试求该款服装在社会上流行是否超过10天？并说明理由．
解　5月1日至5月13日销售总数为
＝＝1 300.
∴5月13日前还没有流行，
由－10n＋320<100，得n>22，
∴第22天流行结束，故该服装在社会流行没有超过10天．
反思感悟　应用等差数列解决实际问题的一般思路
跟踪训练2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元．
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
所以有S20＝×20＝1 105，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元)．
三、Sn与an的关系
问题3　(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？
(2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？
(3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？
提示　(1)能．
(2)不是．
(3)an＝Sn－Sn－1(n≥2)．
知识梳理
数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
注意点：
(1)这一关系对任何数列都适用．
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示．
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式．
例3　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
解　∵Sn＝2n2－3n－1，①
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝22－3－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[22－3－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，
故an＝
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列．
延伸探究　本例若把数列{an}的前n项和变为Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解　当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，
又a1＝5适合上式，∴an＝4n＋1，n∈N＋.
故数列{an}是等差数列，它的首项是a1＝5，公差是d＝4.
反思感悟　等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列．
跟踪训练3　已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.求数列{an}的通项公式．
解　∵S4＝28，
∴＝28，a1＋a4＝14，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴a2＝5，a3＝9，
∴解得
∴an＝4n－3，n∈N＋.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和及其计算公式．
(2)由an与Sn的关系求an.
(3)等差数列在实际问题中的应用．
2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
答案　B
解析　∵S5＝＝5a3＝25，∴a3＝5，
∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
2．已知{an}的前n项和Sn＝，则a5的值等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　a5＝S5－S4＝－＝－.
3．在各项均为正数的等差数列{an}中，已知公差d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝________，n＝________.
答案　3　5
解析　由题意得
解得或(舍去)．
故
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝________.
答案　2n
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
当n＝1时，a1＝2也适合an＝2n，
综上，an＝2n(n∈N＋)．
课时对点练
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于(　　)
A．27 B. C．45 D．－9
答案　A
解析　由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列，∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.
2．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)
A．an＝2n－5
B．an＝3n－10
C．Sn＝n2－4n
D．Sn＝n2－2n
答案　AC
解析　设首项为a1，公差为d.
由S4＝0，a5＝5可得
解得
所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.
3．在等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于(　　)
A. B．2 C. D．4
答案　A
解析　设公差为d，由题意得
10a1＋×10×9d＝4，
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
所以10a1＝5d，所以＝.
4．已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　)
A．24 B．26 C．25 D．28
答案　B
解析　设该等差数列为{an}，
由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，
又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，∴a1＋an＝22.
∴Sn＝＝11n＝286，
∴n＝26.
5．一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面(　　)
A．18 B．19 C．20 D．21
答案　C
解析　设物体经过t秒降落到地面．
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．
所以4.90t＋t(t－1)×9.80＝1 960，
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
6．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为(　　)
A．765 B．665 C．763 D．663
答案　B
解析　∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.
7．已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和为S5＝10，则其首项a1＝________，公差d＝________.
答案　1　
解析　a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①
S5＝5a1＋×5×(5－1)d＝10，②
由①②联立解得a1＝1，d＝.
8．将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
答案　3n2－2n
解析　方法一　(观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
故前n项和为Sn＝＝
＝3n2－2n.
方法二　(引入参变量法)
令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数．
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…)．
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
以下同方法一．
9．在等差数列{an}中．
(1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
解　(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
∴n＝15，d＝－.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
10．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解　(1)设n min后第1次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝70，
整理得n2＋13n－140＝0，
解得n＝7或n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7 min.
(2)设m min后第2次相遇，
依题意有2m＋＋5m＝3×70，
整理得m2＋13m－6×70＝0，
解得m＝15或m＝－28(舍去)．
所以第2次相遇是在开始运动后15 min.
11．在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　B
解析　由S13＝＝0，
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8.
12．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为(　　)
A．65 B．176 C．183 D．184
答案　D
解析　由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
13．把形如M＝mn(m，n∈N＋)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”．例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”．据此，对324的18项划分中最大的数是________．
答案　35
解析　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
则由解得
14．已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75，则数列的前n项和Tn＝________.
答案　n2－n
解析　设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋d.
∵S7＝7，S15＝75，
∴
即解得
∴＝a1＋d＝－2＋，
∴－＝，
∴数列是等差数列，且其首项为－2，公差为.
∴Tn＝n2－n.
15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)数列{an}的通项公式an＝________.
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，则非零常数c＝________.
答案　(1)an＝4n－3(n∈N＋)　(2)－
解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3∴a3＝9，a4＝13.
∴∴
∴an＝4n－3(n∈N＋)．
(2)由(1)知，Sn＝n×1＋×4＝2n2－n，
∴bn＝＝.
∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－ (c＝0舍去)．
经检验，c＝－符合题意，
∴c＝－.
16．某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？
解　设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1＋2＋3＋…＋n＝≥600，
所以n2＋n－1 200≥0，记 (n)＝n2＋n－1 200，
因为当n∈N＋时，f(n)单调递增，
而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0，
所以n≥35，因此最下面一层最少放35根．
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层．
故最下面一层放35根，共堆了28层．(共66张PPT)
第1课时　等差数列的前n项和公式
第一章　2.2　等差数列的前n项和
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由
其中任意三个求另外两个.
3.能用an与Sn的关系求an.
学习目标
高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：
“老师，我算出结果来了，是
5 050！”老师和其他同学都很
吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差数列前n项和的基本运算
二、等差数列前n项和的实际应用
三、Sn与an的关系
内容索引
一、等差数列前n项和的基本运算
问题1　唐朝诗人张南史的宝塔诗《花》原文如下：
花，花.
深浅，芬葩.
凝为雪，错为霞.
莺和蝶到，苑占宫遮.
已迷金谷路，频驻玉人车.
芳草欲陵芳树，东家半落西家.
愿得春风相伴去，一攀一折向天涯.
这首诗每一行的字数有什么特点？全文共有多少字？
提示　每一行的字数构成首项为2，公差为2的等差数列，共有2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56(字).
问题2　对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？
上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等.
知识梳理
等差数列前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
选用公式
注意点：
(1)公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
(2)由公式二知当d＝0时，Sn＝na1；当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
例1　在等差数列{an}中，
(1)已知a3＝16，S20＝20，求S10；
解　设等差数列{an}的公差为d，
整理得n2－7n－60＝0，
解得n＝12或n＝－5(舍去)，
(3)已知a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，Sn＝210，求项数n.
解　因为a1＋a2＋a3＋a4＝40，an－3＋an－2＋an－1＋an＝80，
所以4(a1＋an)＝40＋80，即a1＋an＝30.
反思感悟　等差数列前n项和公式应用的关注点
(3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二.
跟踪训练1　已知等差数列{an}中，
∴d＝3.
(2)已知a14＝10，求S27.
解　∵a14＝10，a1＋a27＝2a14，
二、等差数列前n项和的实际应用
例2　从2021年5月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，当日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后，每天售出的件数分别递增15件，直到5月13日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件.
(1)记该款服装五月份日销售量与销售天数n的关系为an，求an；
解　依题意知，数列a1，a2，…，a13是首项为10，公差为15的等差数列.
∴an＝15n－5(1≤n≤13)，
a14，a15，a16，…，a31是首项为a14＝a13－10＝180，公差为－10的等差数列.
∴an＝180＋(n－14)(－10)＝－10n＋320(14≤n≤31)，
(2)求五月份的总销售量.
解　五月份的总销售量为
∴5月13日前还没有流行，
由－10n＋320<100，得n>22，
∴第22天流行结束，故该服装在社会流行没有超过10天.
延伸探究　根据以往经验，当该商场销售某服装超过1 300件时，当地社会上就流行，而日销售量连续下降，且日销售量低于100件时，则流行消失.在本例条件下，试求该款服装在社会上流行是否超过10天？并说明理由.
反思感悟　应用等差数列解决实际问题的一般思路
跟踪训练2　某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？
解　设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，
则a1＝50＋1 000×1%＝60，
a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，
…
a10＝50＋(1 000－9×50)×1%＝55.5，
即第10个月应付款55.5元.
由于{an}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，
即全部付清后实际付款1 105＋150＝1 255(元).
三、Sn与an的关系
问题3　(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？
(2)二次函数形式Sn＝An2＋Bn＋C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？
(3)数列{an}中，Sn与Sn－1(n≥2)有何关系？
提示　能.
提示　不是.
提示　an＝Sn－Sn－1(n≥2).
知识梳理
数列中an与Sn的关系
对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an＝
，n＝1，
，n≥2.
S1
Sn－Sn－1
注意点：
(1)这一关系对任何数列都适用.
(2)若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得a1与利用a1＝S1求得的a1相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式也适合n＝1的情况，数列的通项公式用an＝Sn－Sn－1表示.
若在由an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得的通项公式中，令n＝1求得的a1与利用a1＝S1求得的a1不相同，则说明an＝Sn－Sn－1(n≥2)所得通项公式不适合n＝1的情况，数列的通项公式采用分段形式.
例3　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
解　∵Sn＝2n2－3n－1， ①
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2，
当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1， ②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5，
经检验当n＝1时，an＝4n－5不成立，
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列.
延伸探究　本例若把数列{an}的前n项和变为Sn＝2n2＋3n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
解　当n＝1时，a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，
又a1＝5适合上式，∴an＝4n＋1，n∈N＋.
故数列{an}是等差数列，它的首项是a1＝5，公差是d＝4.
反思感悟　等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn＝An2＋Bn，那么数列{an}一定是等差数列.
跟踪训练3　已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2a3＝45，S4＝28.求数列{an}的通项公式.
解　∵S4＝28，
∴a2＋a3＝14，
又a2a3＝45，公差d>0，
∴a2∴an＝4n－3，n∈N＋.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和及其计算公式.
(2)由an与Sn的关系求an.
(3)等差数列在实际问题中的应用.
2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想.
3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
课堂小结
随堂演练
∴d＝a3－a2＝5－3＝2，
∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.
1.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于
A.12 B.13 C.14 D.15
√
1
2
3
4
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3.在各项均为正数的等差数列{an}中，已知公差d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝____，n＝____.
3　 5
1
2
3
4
4.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝_____.
2n
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n，
当n＝1时，a1＝2也适合an＝2n，
综上，an＝2n(n∈N＋).
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于
A.27 B. C.45 D.－9
16
√
2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则
A.an＝2n－5 B.an＝3n－10
C.Sn＝n2－4n D.Sn＝ n2－2n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
√
解析　设首项为a1，公差为d.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
所以10a1＋45d＝20a1＋40d，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为
A.24 B.26 C.25 D.28
√
解析　设该等差数列为{an}，
由题意，得a1＋a2＋a3＋a4＝21，an＋an－1＋an－2＋an－3＝67，
又a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
∴4(a1＋an)＝21＋67＝88，∴a1＋an＝22.
∴n＝26.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过________秒落到地面
A.18 B.19 C.20 D.21
√
16
解析　设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.
即4.90t2＝1 960，解得t＝20.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为
A.765 B.665 C.763 D.663
√
解析　∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，
∴n<15，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知{an}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和为S5＝10，则其首项a1
＝____，公差d＝____.
1
解析　a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6， ①
S5＝5a1＋ ×5×(5－1)d＝10， ②
由①②联立解得a1＝1，d＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
3n2－2n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　方法一　(观察归纳法)
数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；
数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….
观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，
则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
方法二　(引入参变量法)
令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，
则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.
令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…).
at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.
以下同方法一.
9.在等差数列{an}中.
解得n＝15.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
整理得n2＋13n－140＝0，
解得n＝7或n＝－20(舍去).
第1次相遇是在开始运动后7 min.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
解　设m min后第2次相遇，
整理得m2＋13m－6×70＝0，
解得m＝15或m＝－28(舍去).
所以第2次相遇是在开始运动后15 min.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
16
11.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为
A.7 B.8 C.9 D.10
√
得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝2，
∴数列{an}的通项公式为
an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，
由2n－14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8.
12.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为
A.65 B.176 C.183 D.184
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，
其中d＝17，n＝8，S8＝996.
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋(8－1)×17＝184.
13.把形如M＝mn(m，n∈N＋)的正整数表示为各项都是整数、公差为2的等差数列的前m项和，称作“对M的m项划分”.例如：9＝32＝1＋3＋5，称作“对9的3项划分”；把64表示成64＝43＝13＋15＋17＋19，称作“对64的4项划分”.据此，对324的18项划分中最大的数是____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
35
解析　设对324的18项划分中最小数为a1，最大数为a18，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设等差数列{an}的公差为d，
∵S7＝7，S15＝75，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)数列{an}的通项公式an＝___________________.
an＝4n－3(n∈N＋)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，
又a3a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根.
又公差d>0，∴a3∴a3＝9，a4＝13.
∴an＝4n－3(n∈N＋).
∵{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1＋2＋3＋…＋n＝
≥600，
所以n2＋n－1 200≥0，记 (n)＝n2＋n－1 200，
因为当n∈N＋时，f(n)单调递增，
而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0，
所以n≥35，因此最下面一层最少放35根.
因为1＋2＋3＋…＋35＝630，
所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层.
故最下面一层放35根，共堆了28层.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束(共57张PPT)
第2课时　等差数列前n项和的性质
第一章　2.2　等差数列的前n项和
1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.
2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
学习目标
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等差数列前n项和的性质
二、等差数列前n项和的函数性质与最值
内容索引
一、等差数列前n项和的性质
问题1　等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
问题2　公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？
提示　(1)若数列共有2n项，
(2)若数列共有(2n＋1)项，
知识梳理
等差数列{an}的前n项和Sn的性质
性质1：“片段和”性质 等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列
性质2：“奇偶项”性质 若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，
S偶－S奇＝nd， ＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间
项)，S奇－S偶＝an， ＝(S奇≠0)
角度1　“片段和”性质的应用
例1　已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为
A.130 B.170 C.210 D.260
√
解析　利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列.
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，
解得S9＝210.
角度2　“奇偶项”性质的应用
例2　项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
解　设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)个，偶数项有n个，中间项是第(n＋1)项，即an＋1，
又因为S奇＝(n＋1)·an＋1＝44，
所以an＋1＝11.
故这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项).
反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.
(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
跟踪训练1　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为
A.9 B.12 C.16 D.17
√
解析　由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，
且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，
于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，
即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
(2)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中， ，则公差d＝____.
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
2
二、等差数列前n项和的函数性质与最值
问题3　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.
该函数的定义域是n∈N＋，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn.
知识梳理
等差数列前n项和的函数性质与最值
2.因为 ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，
Sn有 值；当d<0时，Sn有 值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.
最小
最大
3.在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有 值，使Sn取到最值的n可由不等式组 确定；当a1<0，d>0时，Sn有 值，使Sn取到最
值的n可由不等式组 确定.
最大
最小
注意点：
(1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1.
(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一.
例3　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
解　设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以an＝3n－12，n∈N＋.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.
解　因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以当n＝3或4时，
前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
延伸探究
1.在本例中，根据第(2)问的结果，若Sn＝0，求n.
解　方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，
由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝ ，
所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，
又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7.
方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，
故S7＝ ×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7.
故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，
故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n，n∈N＋.
2.把本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值.
即S27和S28最大，
又a1＝27，故S27＝S28＝378.
反思感悟　求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观.
跟踪训练2　已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
解　由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n，n∈N＋.
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解　方法一　a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋ ·(－2)＝－n2＋10n＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列.
令an≥0，则11－2n≥0，
∵n∈N＋，
当n≥6时，an<0.
∴当n≤5时，an>0；
∴当n＝5时，Sn取得最大值.
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的性质及应用.
(2)等差数列前n项和的最值问题.
2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想.
3.常见误区：
(1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误.
(2)不注意运用性质导致解题烦琐.
课堂小结
随堂演练
1.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是
A.12 B.24 C.36 D.48
√
1
2
3
4
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于
A.63 B.45 C.36 D.27
1
2
3
4
√
解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，
而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
1
2
3
4
3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为____.
解析　由等差数列前n项和的性质，
3
即30－15＝5d，解得d＝3.
4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值.
1
2
3
4
5或6
解析　∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于
A.160 B.180 C.200 D.220
16
√
解析　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，
得a2＝－8，
由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，
得a19＝26，S20＝ ×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.
2.在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)所在的曲线可能为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
解析　Sn为等差数列的前n项和，
故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上且S1>0，C中曲线满足.
3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是
A.－2 B.－1 C.0 D.1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，∴λ＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，则正整数k为
A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021
√
解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，
所以由二次函数的对称性及S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，
解得k＝2 021.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
√
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是
A.d<0 B.a7＝0
C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值
√
√
√
解析　∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0.
∴d<0.
∴S6与S7均为Sn的最大值.
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S91
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为_____.
2A
解析　数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，
当n＝1时也满足，所以d＝2A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
－2 021
可得2d＝2，即d＝1.
所以S2 021＝－2 021.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列，
设其公差为d，由此数列的前10项之和为
S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
又∵S10＝100，代入上式，得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，
S110＝－120＋S100＝－110.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.在等差数列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相对应的n值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　方法一　(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
解得11≤n≤12，
∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
16
11.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是
A.②③ B.①② C.①③ D.①④
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确.
{Sn}中最大项为S6，④不正确.
故正确的是①②.
12.等差数列{an}的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，若a5＋a8＋a11是一个定值，则下列为定值的是
A.S17 B.S18 C.S15 D.S16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　由等差数列的性质，得a5＋a11＝2a8，
由a5＋a8＋a11为定值，得a8为定值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，
则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
③
14.已知在无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7>S6，S7>S8，若数列{bn}中bn＝|an|，数列{bn}的和为Tn，则下列命题正确的是______
(填序号).
①{bn}中b7最大；②{an}中a3或a4最大；
③当n≥8时，an<0；④一定有T3＝T11.
解析　由S7>S6知a7>0，由S7>S8知a8<0，故d<0，所以当n≥8时，an<0，所以②错误，③正确；
数列{bn}的单调性是先减后增的，所以①错误；
由于bn>0，所以T3≠T11，所以④错误.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.已知等差数列{an}，满足a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于
A.4 037 B.4 036 C.4 035 D.4 034
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列.
又a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，所以a2 019>0>a2 020，
即数列的前2 019项为正数，从第2 020项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
所以当Sn取最小正值时，n＝4 037.
16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　设等差数列{an}的公差为d，
∴a3＝－11，
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋.
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　由(1)知，an＝2n－17，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64).
本课结束第2课时　等差数列前n项和的性质
学习目标　1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值．
导语
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？
一、等差数列前n项和的性质
问题1　等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
问题2　公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？
提示　(1)若数列共有2n项，则
S2n＝＝＝n(an＋an＋1)，
S奇＝＝＝nan，
S偶＝＝＝nan＋1.
(2)若数列共有(2n＋1)项，则
S2n＋1＝＝＝(2n＋1)an＋1，
S奇＝＝＝(n＋1)an＋1，
S偶＝＝＝nan＋1.
知识梳理
等差数列{an}的前n项和Sn的性质
性质1：“片段和”性质 等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列
性质2：“奇偶项”性质 若等差数列的项数为2n(n∈N＋)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0)
角度1　“片段和”性质的应用
例1　已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　)
A．130 B．170 C．210 D．260
答案　C
解析　利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即30＋(S9－100)＝2(100－30)，
解得S9＝210.
角度2　“奇偶项”性质的应用
例2　项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．
解　设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)个，偶数项有n个，中间项是第(n＋1)项，即an＋1，
所以＝＝＝＝＝，解得n＝3.
又因为S奇＝(n＋1)·an＋1＝44，
所以an＋1＝11.
故这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项)．
反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
跟踪训练1　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为(　　)
A．9 B．12 C．16 D．17
答案　A
解析　由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
(2)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
答案　2
解析　由得
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
二、等差数列前n项和的函数性质与最值
问题3　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
提示　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N＋，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn.
知识梳理
等差数列前n项和的函数性质与最值
1．等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d可化成关于n的函数得Sn＝n2＋n.
2．因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
3．在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．
注意点：
(1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1.
(2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一．
例3　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值．
解　(1)设等差数列的公差为d，
因为在等差数列{an}中，a10＝18，S5＝－15，
所以解得
所以an＝3n－12，n∈N＋.
(2)因为a1＝－9，d＝3，an＝3n－12，
所以Sn＝＝(3n2－21n)
＝2－，
所以当n＝3或4时，
前n项和Sn取得最小值为S3＝S4＝－18.
延伸探究
1．在本例中，根据第(2)问的结果，若Sn＝0，求n.
解　方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，
由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝，
所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，
又n∈N＋，所以S7＝0，所以n＝7.
方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，
故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7.
2．把本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
解　S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，
故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，
故Sn有最大值，
an＝a3＋(n－3)d＝28－n，n∈N＋.
设Sn最大，则解得27≤n≤28，
即S27和S28最大，
又a1＝27，故S27＝S28＝378.
反思感悟　求等差数列前n项和的最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N＋，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
跟踪训练2　已知在等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？
解　(1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
解得d＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)·d＝11－2n，n∈N＋.
(2)方法一　a1＝9，d＝－2，
Sn＝9n＋·(－2)＝－n2＋10n
＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
方法二　由(1)知a1＝9，d＝－2<0，
∴{an}是递减数列．
令an≥0，
则11－2n≥0，
解得n≤.
∵n∈N＋，
∴当n≤5时，an>0；
当n≥6时，an<0.
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
1.知识清单：
(1)等差数列前n项和的性质及应用．
(2)等差数列前n项和的最值问题．
2．方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想．
3．常见误区：
(1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误．
(2)不注意运用性质导致解题烦琐．
1．在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是(　　)
A．12 B．24 C．36 D．48
答案　B
解析　S10＝×10×(a1＋a10)＝5(a1＋a10)＝120，故a1＋a10＝24.
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)
A．63 B．45 C．36 D．27
答案　B
解析　因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，
而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，
所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，
即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.
3．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________．
答案　3
解析　由等差数列前n项和的性质，得S偶－S奇＝×d(d为该数列的公差)，即30－15＝5d，解得d＝3.
4．首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝________时，Sn取到最大值．
答案　5或6
解析　∵S3＝S8，
∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.
∵a1>0，
∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0.
故当n＝5或6时，Sn最大．
课时对点练
1．等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和等于(　　)
A．160 B．180
C．200 D．220
答案　B
解析　由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，S20＝×20×(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×18＝180.
2．在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)所在的曲线可能为(　　)
答案　C
解析　Sn为等差数列的前n项和，故Sn＝n2＋n，又a1>0，d<0，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上且S1>0，C中曲线满足．
3．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是(　　)
A．－2 B．－1 C．0 D．1
答案　B
解析　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，
∴(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，∴λ＝－1.
4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，则正整数k为(　　)
A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021
答案　D
解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，
所以由二次函数的对称性及S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，
可得＝，
解得k＝2 021.
5．含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　S奇＝，S偶＝，
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝.
6．(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是(　　)
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
答案　ABD
解析　∵S5S8，
∴a6>0，a7＝0，a8<0.
∴d<0.
∴S6与S7均为Sn的最大值．
S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.
∴S97．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________．
答案　2A
解析　数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时也满足，所以d＝2A.
8．在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 021＝________.
答案　－2 021
解析　由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d，则由－＝2，可得2d＝2，即d＝1.又＝－2 021，所以＝－2 021＋(2 021－1)×1＝－1，所以S2 021＝－2 021.
9．(1)在等差数列{an}中，＝，求的值；
(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110.
解　(1)∵{an}为等差数列，∴S5＝＝5a3，
S9＝＝9a5，
∴＝＝×＝1.
(2)∵数列{an}为等差数列，
∴S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列，
设其公差为d，由此数列的前10项之和为
S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100，
即10S10＋d＝S100＝10.
又∵S10＝100，代入上式，得d＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)d＝100＋10×(－22)＝－120，
S110＝－120＋S100＝－110.
10．在等差数列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相对应的n值．
解　方法一　(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则有解得
∴当
即时，Sn有最小值，
解得11≤n≤12，
∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
方法二　(配方法)由方法一得
∴Sn＝－22n＋×2＝n2－23n＝2－，
∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.
11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11，其中正确命题的序号是(　　)
A．②③ B．①② C．①③ D．①④
答案　B
解析　∵S6>S7，∴a7<0，
∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，①正确．
又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，②正确．
S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，③不正确．
{Sn}中最大项为S6，④不正确．
故正确的是①②.
12．等差数列{an}的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，若a5＋a8＋a11是一个定值，则下列为定值的是(　　)
A．S17 B．S18 C．S15 D．S16
答案　C
解析　由等差数列的性质，得a5＋a11＝2a8，由a5＋a8＋a11为定值，得a8为定值．又因为S15＝＝＝15a8，所以S15为定值．
13．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝(n∈N＋)，则＋＝________.
答案　
解析　设An＝kn(7n＋45)，Bn＝kn(n＋3)，则n≥2，n∈N＋时，an＝An－An－1＝k(14n＋38)，bn＝k(2n＋2)，则＝＝，＝＝，所以＋＝＋＝.
14．已知在无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7>S6，S7>S8，若数列{bn}中bn＝|an|，数列{bn}的和为Tn，则下列命题正确的是________(填序号)．
①{bn}中b7最大；②{an}中a3或a4最大；
③当n≥8时，an<0；④一定有T3＝T11.
答案　③
解析　由S7>S6知a7>0，由S7>S8知a8<0，故d<0，所以当n≥8时，an<0，所以②错误，③正确；数列{bn}的单调性是先减后增的，所以①错误；由于bn>0，所以T3≠T11，所以④错误．
15．已知等差数列{an}，满足a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　　)
A．4 037 B．4 036 C．4 035 D．4 034
答案　A
解析　因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列．
又a2 019＋a2 020<0，a2 019·a2 020<0，所以a2 019>0>a2 020，
即数列的前2 019项为正数，从第2 020项开始为负数，
由等差数列求和公式和性质可知，
S4 037＝·＝4 037a2 019>0，
S4 038＝＝<0，
所以当Sn取最小正值时，n＝4 037.
16．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d，
S5＝5·＝5a3＝－55，
∴a3＝－11，
∴d＝＝＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋.
(2)由(1)知，an＝2n－17，
∴Sn＝＝
＝n(n－16)＝(n－8)2－64，
∴(Sn)min＝－64.
Sn>t对任意n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t，
即－64>t.∴t∈(－∞，－64)．

展开更多......

收起↑