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第2课时　等比数列前n项和的性质
第一章　3.2　等比数列的前n项和
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.
2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
学习目标
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列前n项和公式的函数特征
二、等比数列前n项和的“片段和”性质
三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质
内容索引
一、等比数列前n项和公式的函数特征
问题1　我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？
提示　等比数列前n项和公式也具有函数特征，
知识梳理
等比数列前n项和公式的函数特征
在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的
前n项和公式是Sn＝ .即Sn是n的指数型函数.
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函数.
A(qn－1)
na1
注意点：
等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.
例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
方法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.
方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列.
延伸探究
1.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，
则实数k＝____.
解析　∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，
2.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝ ＋5，
则实数a＝_____.
反思感悟　(1)已知Sn，通过an＝ 求通项公式an，应特别
注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝_____.
二、等比数列前n项和的“片段和”性质
问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n
提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
知识梳理
“片段和”性质
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋ (n，m∈N＋).
2.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn， 仍构成等比数列.
qnSm
S3n－S2n
注意点：
“片段和”性质成立的条件：Sn≠0.
例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
③
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算.
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
跟踪训练2　设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于
A.－9 B.－21 C.－25 D.－63
解析　因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，
由等比数列前n项和的性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.
√
三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质
问题4　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
提示　若等比数列{an}的项数有2n项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，
则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，
于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，
即S奇＝a1＋qS偶.
知识梳理
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，
则(1)在其前2n项中， ＝ ；
q
注意点：
例3　若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_____，项数为_____.
2　 9
解析　由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，
所以q＝2，
即这个等比数列的项数为9.
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；
若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这
一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练3　一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项
之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝_______________.
解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q，
所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.
因为数列{an}的项数为偶数，
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
即a1＝12，
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的函数性质.
(2)等比数列前n项和的“片段和”性质.
(3)等比数列前n项和的“奇偶项”性质.
2.方法归纳：公式法、分类讨论.
3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件.
课堂小结
随堂演练
∴r＝－1.
1.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是
A.1 B.0 C.2 D.－1
√
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2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于
A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3
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√
解析　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，
因为S10∶S5＝1∶2，
得S15∶S5＝3∶4，故选A.
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3.在等比数列中，S2＝7，S4＝28，则S6＝____.
解析　由等比数列前n项和的性质，
得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，
所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
即(28－7)2＝7×(S6－28)，解得S6＝91.
91
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4.若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.
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课时对点练
基础巩固
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√
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，
∴当n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
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2.(多选)下列结论不正确的是
A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，
则这个数列是等差数列
B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
C.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列
D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
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所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误；
对于D选项，对任意的n∈N＋，
Sn＋1＝(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确.
解析　对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；
对于B选项，对任意n∈N＋，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误；
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3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于
A.8 B.6 C.4 D.2
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解析　S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
4.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为
A.6 B.8 C.10 D.12
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解析　设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.
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5.已知等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1为
√
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6.在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于
A.90 B.70 C.40 D.30
√
解析　∵S30≠3S10，∴q≠1.
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
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7.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝______.
2
解析　由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
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8.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是____.
4
解析　设数列{an}，{bn}的首项分别为a1，b1，前n项和分别为An，Bn，
所以d＋q＝4.
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9.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
解　由条件知S1＝a1＝1.
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(2)求a2＋a4＋…＋a2n.
解　①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；
②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，
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解　由题意设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，
显然Sn＝2n－1.
令n＝1，得a1＝S1＝1；
令n＝2，得a1＋a2＝3，∴a2＝2，
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综合运用
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解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，
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所以Tn＝a1·a2·…·an
＝ q1＋2＋…＋n－1＝ ，
故当n＝1或2时，Tn取最大值2.
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13.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝ ，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝
______.
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解析　令x＝n，y＝1，
则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)，
14.已知等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn＝An2＋Bn，则A＝_____，B的取值范围为____________.
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1　 (－3，＋∞)
而等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，
所以A＝1，于是bn＝n2＋Bn，
又因为数列{bn}是递增数列，
所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋B(n＋1)－n2－Bn＝2n＋1＋B>0恒成立，
所以B>－(2n＋1)恒成立，所以B>－3，
即B的取值范围为(－3，＋∞).
拓广探究
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16.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
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解　当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列.
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
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(2)设An＝ ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在
第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新.
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证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
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因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，
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所以须在第9年初对M更新.
本课结束3．2　等比数列的前n项和
第1课时　等比数列的前n项和公式
学习目标　1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
导语
2020年5月5日18时，为我国载人空间站工程研制的长征5B运载火箭，在文昌航天发射场点火升空，载荷组合体被送入预定轨道，首飞任务取得圆满成功，实现空间站阶段飞行任务首战告捷，也拉开我国载人航天工程“第三步”任务序幕．小明在手机上写下这条消息后将此消息传给了两个朋友，这两个朋友又在1分钟后将此消息分别传给了未知此消息的两个朋友，如此进行下去，4分钟后，这条消息可传遍多少人？
一、等比数列前n项和公式的基本运算
问题　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
提示　因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．
知识梳理
等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝ Sn＝
注意点：
(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论．
(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数.
(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项.
例1　求下列等比数列前8项的和：
(1)，，，…；
(2)a1＝27，a9＝，q<0.
解　(1)因为a1＝，q＝，
所以S8＝＝.
(2)由a1＝27，a9＝，可得＝27·q8.
又由q<0，可得q＝－，
所以S8＝＝＝＝.
反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立．
跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝，那么它的前5项和S5的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　S5＝＝＝.
(2)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________，前n项和Sn＝________.
答案　2　2n＋1－2
解析　设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
∴Sn＝＝2n＋1－2.
二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用
例2　在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
解　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
反思感悟　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．
跟踪训练2　等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝________.
答案　32
解析　设{an}的首项为a1，公比为q，
则
解得
所以a8＝×27＝25＝32.
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3　某种抗病毒药品具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1 000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药会不会对人体产生副作用？
解　由题意得，第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量为700×(1－70%)＝700×30%，经过24小时后，体内药物含量为700×(30%)2，以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，即an＝700×(30%)n－1，
所以第n次服药后，体内药物的含量为
700＋700×0.3＋700×0.32＋…＋700×0.3n－1
＝＝1 000×[1－(0.3)n]，
当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1 000，该药在人体内含量不超过1 000毫克，不会产生副作用．
反思感悟　解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型．
(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释．
(3)实际问题解答完成后一定要有结论．
跟踪训练3　国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年)
解　设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an万亩．
则a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，
an＝515(1＋12%)n，….
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝＝6 370－515，
所以515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，
即1.12n≈2.218.
又因为n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划，所以n＝8.
故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划．
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式．
(2)等比数列的前n项和公式的应用．
2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论．
3．常见误区：
(1)忽略q＝1的情况而致错．
(2)忽略对参数的讨论．
1．等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于(　　)
A．－63 B．31 C．－31 D．63
答案　D
解析　S6＝＝26－1＝64－1＝63.
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论．他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离(单位：米)为S5＝＝＝.
3．在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
答案　3或－4
解析　因为q≠1，所以S3＝＝＝26，所以q2＋q－12＝0，所以q＝3或q＝－4.
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.
答案　6
解析　因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又因为Sn＝126，所以＝126，所以n＝6.
课时对点练
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于(　　)
A．7 B．8 C．15 D．16
答案　C
解析　设{an}的公比为q，因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2.又a1＝1，所以S4＝＝15.
2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
答案　B
解析　显然q≠1，由Sn＝，得93＝，
解得q＝2.由an＝a1qn－1，
得48＝3×2n－1，解得n＝5.
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
答案　B
解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，
∴S7＝＝＝381，
解得a1＝3.
4．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
5．已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)
A.或5 B.或5 C. D.
答案　C
解析　由9S3＝S6，得q≠1，且＝，
即1＋q3＝9，解得q＝2，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
则数列的前5项和为＝.
6．(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝1，＋＋＝，则(　　)
A．{an}必是递减数列 B．S5＝
C．公比q＝4或 D．a1＝4或
答案　BD
解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>0，
因为a1a5＝a＝1，a3＝a1q2＝1 ，
所以＋＋＝1＋＋＝1＋＝1＋a1＋a5＝a1＋1＋＝，
解得或
当a1＝4，q＝时，S5＝＝，数列{an}是递减数列；
当a1＝，q＝2时，S5＝，数列{an}是递增数列；
综上，S5＝.
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.
答案　－2
解析　S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2.
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝________.
答案　2n－1
解析　设等比数列{an}的公比为q.
则q＝＝＝，
所以＝＝＝2n－1.
9．已知等比数列{an}．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8的值；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S6的值．
解　(1)方法一　∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17.
方法二　∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17.
(2)设等比数列{an}的公比为q，由题意得
即
∵a1≠0,1＋q2≠0，
∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8，∴a4＝a1q3＝8×3＝1，S6＝＝＝.
10．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{bn}的前n项和．
解　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，
因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－.
11．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则＝50，
解得a1＝，所以牛主人应偿还粟的量为a3＝22a1＝.
12．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N＋，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案　B
解析　设数列{an}的公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
∵＝＝qm＋1＝9，
∴qm＝8.
∵＝＝qm＝8＝，
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
13．已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为(　　)
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
答案　C
解析　由题意知S1正确；若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12.a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12.∴q＝，∴S4＝＝＝65，符合题意．
14．在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是________(填序号)．
①q＝2；②数列{Sn＋2}是等比数列；③S8＝510；④数列{lg an}是公差为2的等差数列．
答案　①②③
解析　因为数列{an}为等比数列，
又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32，又a2＋a3＝12，
所以或
又公比q为整数，则
即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2，由上可得q＝2，即①正确；
Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，即②正确；
S8＝29－2＝510，即③正确；
lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1，即数列{lg an}是公差为1的等差数列，④错误．
15．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N＋)均在直线y＝x＋上．若bn＝，则数列{bn}的前n项和Tn＝________.
答案　
解析　依题意得＝n＋，
即Sn＝n2＋n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝－＝2n－；
当n＝1时，a1＝S1＝，符合an＝2n－，
所以an＝2n－(n∈N＋)，
则bn＝＝32n，
由＝＝32＝9，
可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9，
故Tn＝＝.
16．已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈
N＋.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
解　(1)因为an·an＋1＝n，
所以an＋1·an＋2＝n＋1，
所以＝，即an＋2＝an，
因为bn＝a2n＋a2n－1，
所以＝＝＝，
所以{bn}是公比为的等比数列．
因为a1＝1，a1·a2＝，
所以a2＝ b1＝a1＋a2＝，
所以bn＝×n－1＝.
(2)由(1)可知an＋2＝an，
所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，
所以T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.(共65张PPT)
第1课时　等比数列的前n项和公式
第一章　3.2　等比数列的前n项和
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单
问题.
学习目标
2020年5月5日18时，为我国载人空间站工程研制的长征5B运载火箭，在文昌航天发射场点火升空，载荷组合体被送入预定轨道，首飞任务取得圆满成功，实现空间站阶段飞行任务首战告捷，也拉开我国载人航天工程“第三步”任务序幕.小明在手机上写下这条消息后将此消息传给了两个朋友，这两个朋友又在1分钟后将此消息分别传给了未知此消息的两个朋友，如此进行下去，4分钟后，这条消息可传遍多少人？
导语
随堂演练
课时对点练
一、等比数列前n项和公式的基本运算
二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用
三、等比数列前n项和公式的实际应用
内容索引
一、等比数列前n项和公式的基本运算
问题　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
提示　因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
而当q＝1时，Sn＝na1.
上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”.
知识梳理
等比数列的前n项和公式
已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式
注意点：
(1)用等比数列前n和公式求和，一定要对该数列的公比q＝1和q≠1进行分类讨论.
(2)公式一中的n表示的是所求数列的项数
(3)公式二中的an在求和时，表示数列的最后一项
例1　求下列等比数列前8项的和：
反思感悟　求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q＝1是否成立.
跟踪训练1　(1)在等比数列{an}中，首项a1＝8，公比q＝ ，那么它的前5项和S5的值为
√
解析　设等比数列的公比为q，
∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，
∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，
解得q＝2，且a1＝2.
(2)若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝___，前n项和Sn＝________.
2
2n＋1－2
二、等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用
例2　在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
解　设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
反思感悟　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解.
跟踪训练2　等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝ ，则a8＝____.
解析　设{an}的首项为a1，公比为q，
32
三、等比数列前n项和公式的实际应用
例3　某种抗病毒药品具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1 000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药会不会对人体产生副作用？
解　由题意得，第一次服药后，经过12小时后，体内药物含量为700×(1－70%)＝700×30%，
经过24小时后，体内药物含量为700×(30%)2，
以此类推，一次服药后体内药物含量构成以a1＝700，q＝30%为公比的等比数列，
即an＝700×(30%)n－1，
所以第n次服药后，体内药物的含量为700＋700×0.3＋700×0.32＋…
＋700×0.3n－1
当n→＋∞时，药在体内的含量无限接近1 000，
该药在人体内含量不超过1 000毫克，不会产生副作用.
反思感悟　解答等比数列前n项和公式的实际应用问题的注意事项
(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型.
(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释.
(3)实际问题解答完成后一定要有结论.
跟踪训练3　国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增.试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年)
解　设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an万亩.
则a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…，
an＝515(1＋12%)n，….
Sn＝a1＋a2＋…＋an
所以515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12，
即1.12n≈2.218.
又因为n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211，
此时完不成退耕还林计划，所以n＝8.
故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划.
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式.
(2)等比数列的前n项和公式的应用.
2.方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论.
3.常见误区：
(1)忽略q＝1的情况而致错.
(2)忽略对参数的讨论.
课堂小结
随堂演练
1.等比数列{an}的首项a1＝1，公比q＝2，则S6等于
A.－63 B.31 C.－31 D.63
√
1
2
3
4
2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米；……，所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离(单位：米)为
1
2
3
4
√
解析　由题意知，乌龟每次爬行的距离(单位：米)构成等比数列{an}，
1
2
3
4
易知a5＝10－2，
1
2
3
4
3.在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝26，则公比q＝________.
解析　因为q≠1，
3或－4
所以q2＋q－12＝0，
所以q＝3或q＝－4.a
1
2
3
4
4.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.若Sn＝126，则n＝____.
6
解析　因为a1＝2，an＋1＝2an，
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
又因为Sn＝126，
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列.若a1＝1，则S4等于
A.7 B.8 C.15 D.16
16
√
解析　设{an}的公比为q，
因为4a1,2a2，a3成等差数列，所以4a2＝4a1＋a3，
即4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，所以q＝2.
2.在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝48，Sn＝93，则n的值为
A.4 B.5 C.6 D.7
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√
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解得q＝2.
由an＝a1qn－1，
得48＝3×2n－1，解得n＝5.
解得a1＝3.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯
A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏
√
解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，
则由题意知S7＝381，q＝2，
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4.在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于
A.2 B.3 C.4 D.5
√
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解析　a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
5.已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，且9S3＝
S6，则数列 的前5项和为
√
即1＋q3＝9，解得q＝2，
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√
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解析　设等比数列{an}的公比为q，则q>0，
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7.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝_____.
－2
解析　S3＋3S2＝a1＋a2＋a3＋3a1＋3a2＝4a1＋4a2＋a3＝a1(4＋4q＋q2)＝a1(2＋q)2＝0，故q＝－2.
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2n－1
解析　设等比数列{an}的公比为q.
9.已知等比数列{an}.
(1)若q＝2，S4＝1，求S8的值；
解　方法一　∵q＝2，S4＝1，
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解　设等比数列{an}的公比为q，由题意得
∵a1≠0,1＋q2≠0，
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10.已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝ ，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.
(1)求{an}的通项公式；
所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1，n∈N＋.
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(2)求{bn}的前n项和.
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综合运用
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11.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？
√
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解析　5斗＝50升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，
由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，
A.－2 B.2 C.－3 D.3
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解析　设数列{an}的公比为q，
∴qm＝8.
∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.
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13.已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为
A.S1 B.S2 C.S3 D.S4
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解析　由题意知S1正确；
若S4错误，则S2，S3正确，
于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12.a3＝S3－S2＝16，与{an}为等比数列矛盾，故S4＝65；
若S3错误，则S2正确，
此时，a1＝8，a2＝12.
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14.在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1·a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是________(填序号).
①q＝2；②数列{Sn＋2}是等比数列；③S8＝510；④数列{lg an}是公差为2的等差数列.
①②③
解析　因为数列{an}为等比数列，
又a1·a4＝32，所以a2·a3＝32，又a2＋a3＝12，
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S8＝29－2＝510，即③正确；
lg an＋1－lg an＝(n＋1)－n＝1，即数列{lg an}是公差为1的等差数列，④错误.
拓广探究
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可知{bn}为公比为9的等比数列，b1＝32×1＝9，
16.已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝ ，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N＋.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
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因为bn＝a2n＋a2n－1，
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(2)求T2n.
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本课结束第2课时　等比数列前n项和的性质
学习目标　1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．
导语
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质．
一、等比数列前n项和公式的函数特征
问题1　我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？
提示　等比数列前n项和公式也具有函数特征，由Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.
知识梳理
等比数列前n项和公式的函数特征
在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1)．即Sn是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数．
注意点：
等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数．
例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列．
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴an＝
方法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．
方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列．
延伸探究
1．若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________.
答案　
解析　∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，
∴3－2k＝0，即k＝.
2．若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝a·n－1＋5，则实数a＝________.
答案　－
解析　由Sn＝a·n－1＋5，可得Sn＝3a·n＋5，依题意有3a＋5＝0，故a＝－.
反思感悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.
答案　－
解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
二、等比数列前n项和的“片段和”性质
问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n
提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm
＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m
＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn＝，S2n＝，S3n＝.
S2n－Sn＝－＝，
S3n－S2n＝－＝，
而2＝2，Sn(S3n－S2n)＝×，
故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
知识梳理
“片段和”性质
1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋)．
2．若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列．
注意点：
“片段和”性质成立的条件：Sn≠0.
例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，
即qn＝，③
③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63.
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，即60＝48＋48qn，得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63.
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算．
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
跟踪训练2　设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于(　　)
A．－9 B．－21 C．－25 D．－63
答案　B
解析　因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列前n项和的性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.
三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质
问题4　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即
S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q.
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为
S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
知识梳理
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，
则(1)在其前2n项中，＝q；
(2)在其前(2n＋1)项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)．
注意点：
若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0)；S奇＝a1＋qS偶．
例3　若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________．
答案　2　9
解析　由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，
S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练3　一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝________.
答案　12×n－1，n∈N＋
解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q，
所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，
S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．
因为数列{an}的项数为偶数，
所以有q＝＝.
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
所以a·q3＝64，
即a1＝12，
故所求通项公式为an＝12×n－1，n∈N＋.
1.知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的函数性质．
(2)等比数列前n项和的“片段和”性质．
(3)等比数列前n项和的“奇偶项”性质．
2．方法归纳：公式法、分类讨论．
3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．
1．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是(　　)
A．1 B．0 C．2 D．－1
答案　D
解析　当q≠1时，Sn＝＝－qn，
∴r＝－1.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于(　　)
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
答案　A
解析　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故选A.
3．在等比数列中，S2＝7，S4＝28，则S6＝________.
答案　91
解析　由等比数列前n项和的性质，得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，
即(28－7)2＝7×(S6－28)，解得S6＝91.
4．若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为________．
答案　300
解析　由＝2，S偶－S奇＝100可知S偶＝200，S奇＝100，故S2n＝300.
课时对点练
1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C
解析　方法一　∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，
由Sn＝A(qn－1)，得＝，
∴x＝，故选C.
方法二　当n＝1时，a1＝S1＝x－；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，
∵{an}是等比数列，
∴当n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
即2x·3－1＝x－，
解得x＝.
2．(多选)下列结论不正确的是(　　)
A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数，则这个数列是等差数列
B．等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数
C．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列
D．如果数列{an}的前n项和为Sn，则对 n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
答案　BC
解析　对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；
对于B选项，对任意n∈N＋，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误；
对于C选项，若等比数列{an}的公比q＝－1，且当n为正偶数时，则Sn＝＝0，
所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误；
对于D选项，对任意的n∈N＋，
Sn＋1＝＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)
A．8 B．6 C．4 D．2
答案　C
解析　S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
4．一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　)
A．6 B．8 C．10 D．12
答案　B
解析　设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
则q＝＝2，又它的首项为1，所以通项为an＝2n－1，
中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.
5．已知等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1为(　　)
A. B. C．20 D．110
答案　B
解析　由题意得＝
＝a1qn＝an＋1＝＝.
6．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于(　　)
A．90 B．70 C．40 D．30
答案　C
解析　∵S30≠3S10，∴q≠1.
由得
∴
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，
∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
7．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.
答案　2
解析　由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝＝2.
8．设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是________．
答案　4
解析　设数列{an}，{bn}的首项分别为a1，b1，前n项和分别为An，Bn，
则An＝n2＋n，Bn＝qn＋，
结合Sn＝n2－n＋2n－1，得
解得
所以d＋q＝4.
9．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a2＋a4＋…＋a2n.
解　由条件知S1＝a1＝1.
(1)①当c＝1时，an＝ an＝
②当c≠1时，an＝
(2)①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；
②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
10．在等比数列{an}中，对任意n∈N＋，均有a1＋a2＋…＋an＝2n－1，求a＋a＋…＋a.
解　由题意设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，
显然Sn＝2n－1.
令n＝1，得a1＝S1＝1；
令n＝2，得a1＋a2＝3，∴a2＝2，
∴公比q＝＝2，∴an＝a1·qn－1＝2n－1(n∈N＋)．
又∵＝＝4，
∴数列{a}是首项为1，公比为4的等比数列．
∴a＋a＋…＋a＝＝＝(4n－1)．
11．等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　D
解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，由题意得
S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝，
S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝，
因为项数为奇数时，＝q，
即2＋q＝，
所以q＝.
所以Tn＝a1·a2·…·an
＝aq1＋2＋…＋n－1＝，
故当n＝1或2时，Tn取最大值2.
12．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N＋时，Sn－的最大值与最小值的比值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　因为等比数列{an}的首项为，公比为－，
所以Sn＝＝1－n.
①当n为奇数时，Sn＝1＋n随着n的增大而减小，则1②当n为偶数时，Sn＝1－n随着n的增大而增大，则＝S2≤Sn<1，故－≤Sn－<0.
所以Sn－的最大值与最小值的比值为＝－.
13．设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)．若a1＝，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
答案　1－
解析　令x＝n，y＝1，
则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)，
∴＝＝f(1)＝a1＝，
∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，
∴Sn＝＝1－.
14．已知等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn＝An2＋Bn，则A＝________，B的取值范围为________．
答案　1　(－3，＋∞)
解析　因为任意一个公比不为1的等比数列的前n项和Sn＝＝－qn，
而等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，
所以A＝1，于是bn＝n2＋Bn，
又因为数列{bn}是递增数列，
所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋B(n＋1)－n2－Bn＝2n＋1＋B>0恒成立，
所以B>－(2n＋1)恒成立，所以B>－3，
即B的取值范围为(－3，＋∞)．
15．数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N＋)，则＋＋＋…＋＝________________.
答案　2 020＋
解析　由题意可知＝＋·，
即－1＝，
又－1＝－，
所以＝1－，
所以＋＋＋…＋＝n－
＝n－＋·，
则＋＋＋…＋＝2 021－＋×
＝2 020＋.
16．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.
(1)求第n年初M的价值an的表达式；
(2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新．
(1)解　当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．
an＝120－10(n－1)＝130－10n；
当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，
又a6＝70，所以an＝70×n－6.
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
an＝
(2)证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，
An＝120－5(n－1)＝125－5n；
当n≥7时，Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×n－6，
An＝，
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，
又A8＝＝82>80，A9＝＝76<80，
所以须在第9年初对M更新．

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