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(共55张PPT)
1.1　平均变化率~1.2　瞬时变化率
第二章　§1　平均变化率与瞬时变化率
1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实
际意义.
2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念.
学习目标
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈.当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？
导语
随堂演练
课时对点练
一、平均变化率
二、瞬时变化率
内容索引
一、平均变化率
问题1　下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：
提示　每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢.
x/min 0 10 20 30 40 50 60
y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
知识梳理
平均变化率
定义 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从
f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝__________
实质 函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量(Δy＝ )
与自变量的改变量(Δx＝ )的比值，即
作用 刻画函数值在区间 上变化的快慢
f(x2)－f(x1)
x2－x1
[x1，x2]
注意点：
(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零.
(2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的
平均速度，即
解　因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－( ＋3x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
所以当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，
例1　已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.当x1＝4，且Δx＝1时，求函数增量Δy和平均变化率
反思感悟　求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1).
二、瞬时变化率
问题2　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度.
知识梳理
Δx趋于0
注意点：
(1)平均变化率与瞬时变化率的关系
①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；
②联系：当Δx趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函
数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.
(2)“Δx趋于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究
1.若本例中的条件不变，试求物体的初速度.
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
即物体的初速度为1 m/s.
2.若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟　求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率.
解　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)＝7Δx＋3(Δx)2.
∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7.
1.知识清单：
(1)平均变化率.
(2)瞬时变化率.
2.方法归纳：极限法.
3.常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位.
课堂小结
随堂演练
1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足
A.Δx>0 B.Δx<0
C.Δx≠0 D.Δx可为任意实数
√
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2.一质点按运动方程s(t)＝ 作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为
A.－1 B.－ C.－2 D.2
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√
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3.函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为___.
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4.一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是____ m/s.
2
解析　Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，
课时对点练
基础巩固
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1.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是
A.1 B.－1
C.2 D.－2
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√
2.在x＝1附近，取Δx＝0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是
A.y＝x B.y＝x2 C.y＝x3 D.y＝
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√
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解析　根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，
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4.一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为
A.2 B.1 C.－1 D.6
√
所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，
解得m＝1.
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5.函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为
A.k1＞k2 B.k1＜k2
C.k1＝k2 D.不确定
√
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由题意知Δx>0，∴k1>k2.
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6.(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则
A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C.该物体位移的最大值为43
D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70
√
√
√
物体在t＝4时的瞬时速度是56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是70，故D正确.
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7.一水库的蓄水量与时间关系的图象如图所示，则蓄水效果最好的时间段(以两个月计)为___________；蓄水效果最差的时间段(以两个月计)为___________.
6月至8月
解析　由图象可以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好；
8月至10月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差.
8月至10月
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8.在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s单位：m，t单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速度为________.
210 m/s
当Δt趋于0时，v趋于10＋10t，
则在t＝20 s时的瞬时速度为10×20＋10＝210(m/s).
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9.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T(t)＝ ＋15，其中T(t)
为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min).
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.
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解　平均变化率是－1.6 ℃/min，它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
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10.某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度.
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由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
所以4 s时物体运动的瞬时速度为26 m/s.
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综合运用
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11.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
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解析　在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，
所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，
所以甲的平均速度较大.
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13.若一物体运动方程如下：s＝ 则此物体在t＝1和t
＝3时的瞬时速度分别为_____，_____.
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解析　∵0≤t<3时，s＝3t2＋1，
∵t≥3时，s＝2＋3(t－3)2，
14.将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为 ，则m的值为_____.
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所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍).
拓广探究
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15.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝ 分钟时的瞬时变
化率为_____分米/分钟.(注：π≈3.1)
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解析　由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，
设经过t分钟后水面高度为h，
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16.已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.
求：(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；
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解　由S(r)＝4πr2，r>0，
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当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，
(2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率.
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解　当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的增量
本课结束§1　平均变化率与瞬时变化率
1．1　平均变化率
1．2　瞬时变化率
学习目标　1.了解变化率在实际生活中的需求，探究和体会平均变化率的实际意义.2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．
导语
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？你能从数学的角度来反映山坡的平缓和陡峭程度吗？
一、平均变化率
问题1　下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：
x/min 0 10 20 30 40 50 60
y/℃ 39 38.7 38.5 38 37.6 37.3 36.9
观察上表，每10分钟病人的体温变化相同吗？哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
提示　每10分钟病人的体温变化不相同，从20分钟到30分钟变化最快，用体温的平均变化率刻画体温变化的快慢．
知识梳理
平均变化率
定义 对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它在区间[x1，x2]的平均变化率＝
实质 函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量(Δy＝f(x2)－f(x1))与自变量的改变量(Δx＝x2－x1)的比值，即＝
作用 刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢
注意点：
(1)Δx是自变量的变化量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数值的变化量，它可以为正，可以为负，也可以等于零．
(2)函数平均变化率的物理意义，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么函数s(t)在t到t＋Δt这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速度，即＝.
例1　已知函数f(x)＝2x2＋3x－5.当x1＝4，且Δx＝1时，求函数增量Δy和平均变化率.
解　因为f(x)＝2x2＋3x－5，
所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2x＋3x1－5)＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
所以当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2×12＋(4×4＋3)×1＝21，则＝＝21.
反思感悟　求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．
第三步，求平均变化率＝.
跟踪训练1　某物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s(t)＝sin t，t∈.分别求s(t)在区间和上的平均速度．
解　物体在区间上的平均速度为
1＝＝＝＝.
物体在区间上的平均速度为
2＝＝＝.
二、瞬时变化率
问题2　物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．当Δt趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？
提示　Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2，＝＝10＋5Δt.当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t＝1时的瞬时速度．
知识梳理
瞬时变化率
对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则该函数的平均变化率为＝＝.如果当Δx趋于0时，平均变化率就趋于某个值，那么这个值就是f(x)在点x0的瞬时变化率．它刻画函数在某一点处变化的快慢．
注意点：
(1)平均变化率与瞬时变化率的关系
①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢；
②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
(2)“Δx趋于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
例2　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．
解　∵＝
＝＝3＋Δt，
当Δt趋于0时，趋于3，
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
延伸探究　
1．若本例中的条件不变，试求物体的初速度．
解　求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
∵＝＝
＝1＋Δt，
当Δt趋于0时，趋于1，
即物体的初速度为1 m/s.
2．若本例中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
解　设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
又＝＝(2t0＋1)＋Δt.
当Δt趋于0时，趋于2t0＋1，
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
反思感悟　求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤
(1)求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；
(3)将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率．
跟踪训练2　求函数y＝f(x)＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率．
解　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝3(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－(3＋1)
＝7Δx＋3(Δx)2.
∴＝＝7＋3Δx.
∴当Δx趋于0时，＝7＋3Δx趋于7＋3×0＝7.
∴函数y＝3x2＋x在点x＝1处的瞬时变化率为7.
1.知识清单：
(1)平均变化率．
(2)瞬时变化率．
2．方法归纳：极限法．
3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率理解不到位．
1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足(　　)
A．Δx>0 B．Δx<0
C．Δx≠0 D．Δx可为任意实数
答案　C
解析　因平均变化率为，故Δx≠0.
2．一质点按运动方程s(t)＝作直线运动，则其从t1＝1到t2＝2的平均速度为(　　)
A．－1 B．－ C．－2 D．2
答案　B
解析　＝＝－1＝－.
3．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为______．
答案　8
解析　平均变化率为＝＝8.
4．一质点运动规律是s＝t2＋3(s的单位为m，t的单位为s)，则在t＝1 s时的瞬时速度估计是________ m/s.
答案　2
解析　Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝(1＋Δt)2＋3－(12＋3)＝2Δt＋(Δt)2，∴＝＝2＋Δt，当Δt趋于0时，趋于2.
课时对点练
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
答案　B
解析　＝＝＝－1.
2．在x＝1附近，取Δx＝0.3，下列四个函数中，平均变化率最大的是(　　)
A．y＝x B．y＝x2 C．y＝x3 D．y＝
答案　C
解析　根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－.
3．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为(　　)
A.米/秒 B.米/秒
C．8米/秒 D.米/秒
答案　B
解析　因为＝
＝
＝Δt＋8－.
当Δt趋于0时，趋于，
所以它在4秒末的瞬时速度为米/秒．
4．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．6
答案　B
解析　由已知，得＝26，
所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，
解得m＝1.
5．函数y＝f(x)＝x2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为(　　)
A．k1＞k2 B．k1＜k2
C．k1＝k2 D．不确定
答案　A
解析　k1＝＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝＝2x0－Δx.
由题意知Δx>0，∴k1>k2.
6．(多选)已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则(　　)
A．该物体在1≤t≤3时的平均速度是28
B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56
C．该物体位移的最大值为43
D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70
答案　ABD
解析　该物体在1≤t≤3时的平均速度是
＝＝28，A正确；
物体在t＝4时的瞬时速度是56，故B正确；
物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误；
物体在t＝5时的瞬时速度是70，故D正确．
7.一水库的蓄水量与时间关系的图象如图所示，则蓄水效果最好的时间段(以两个月计)为________；蓄水效果最差的时间段(以两个月计)为________．
答案　6月至8月　8月至10月
解析　由图象可以看出，6月至8月水库的蓄水量增长最快，蓄水效果最好；8月至10月水库的蓄水量减少最快，蓄水效果最差．
8．在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s单位：m，t单位：s)，则t＝20 s时的瞬时速度为________．
答案　210 m/s
解析　＝＝10＋10t＋5Δt.
当Δt趋于0时，v趋于10＋10t，则在t＝20 s时的瞬时速度为10×20＋10＝210(m/s)．
9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系式为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．
(1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？
(2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
解　(1)T(10)－T(0)＝＋15－－15＝－16 ℃，
所以蜥蜴的体温下降了16 ℃.
(2)平均变化率是－1.6 ℃/min，它表示从t＝0 min到t＝10 min这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.
10．某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s时物体运动的平均速度和4 s时的瞬时速度．
解　自运动开始到t s时，物体运动的平均速度
(t)＝＝3t＋2＋，
故前4 s物体的平均速度为(4)＝3×4＋2＋＝15 m/s.
由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)
＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3·Δt，
当t＝4，Δt趋于0时，趋于2＋6×4＝26，
所以4 s时物体运动的瞬时速度为26 m/s.
11.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
答案　C
解析　在0到t0范围内，甲、乙所走的路程相同，时间一样，所以平均速度相同，在t0到t1范围内，时间相同，而甲走的路程较大，所以甲的平均速度较大．
12．若小球自由落体的运动方程为s(t)＝gt2(g为重力加速度)，该小球在t＝1到t＝3时的平均速度为，在t＝2时的瞬时速度为v2，则和v2的大小关系为(　　)
A.>v2 B.C.＝v2 D．不能确定
答案　C
解析　平均速度为＝＝＝2g.
＝＝
＝gΔt＋2g，
∵当Δt趋于0时，趋于2g，
∴v2＝2g，∴＝v2.
13．若一物体运动方程如下：s＝则此物体在t＝1和t＝3时的瞬时速度分别为________，________.
答案　6　0
解析　∵0≤t<3时，s＝3t2＋1，
∴当t＝1时，＝＝＝6＋3Δt.
当Δt趋于0时，趋于6，故物体在t＝1时的瞬时速度为6.
∵t≥3时，s＝2＋3(t－3)2，
∴当t＝3时，＝＝3Δt.
当Δt趋于0时，趋于0，故物体在t＝3时的瞬时速度为0.
14．将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为，则m的值为________．
答案　2
解析　体积的增加量ΔV＝m3－＝(m3－1)，
所以＝＝，
所以m2＋m＋1＝7，所以m＝2或m＝－3(舍)．
15.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．(注：π≈3.1)
答案　9
解析　由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t，
因为9.3t＝π2·h，所以h3＝27t，所以h＝3.
因为＝
＝
＝，
所以当Δt趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝分钟时的瞬时变化率为9.
16．已知气球的表面积S(单位：cm2)与半径r(单位：cm)之间的函数关系是S(r)＝4πr2.
求：(1)气球表面积S由10 cm2膨胀到20 cm2时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；
(2)气球表面积S由30 cm2膨胀到40 cm2时的平均膨胀率．
解　由S(r)＝4πr2，r>0，
把r表示成表面积S的函数：r(S)＝.
(1)当S由10 cm2膨胀到20 cm2时，气球表面积的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，
气球半径的增量Δr＝r(20)－r(10)＝(－)≈0.37(cm)．
所以气球的平均膨胀率为≈＝0.037.
(2)当S由30 cm2膨胀到40 cm2时，气球半径的增量
Δr＝(－)≈0.239(cm)．
所以气球的平均膨胀率为≈＝0.023 9.

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