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2.1　导数的概念
第二章　§2　导数的概念及其几何意义
1.理解导数的概念.
2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
3.理解导数的实际意义.
学习目标
中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”.中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家.同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、导数的概念
二、求函数在某点处的导数
三、导数在实际问题中的意义
内容索引
一、导数的概念
问题　一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s).
(1)质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？
提示　8 m/s,14 m/s.
(2)对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？
知识梳理
导数的定义
1.定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，
函数值y关于x的平均变化率为 ＝___________＝_______________.当x1
趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个 ，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0处的导数.
固定的值
注意点：
(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在.
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关.
(3)导数的实质是一个极限值.
A.－2a B.2a
C.a D.－a
√
反思感悟　利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同.
√
二、求函数在某点处的导数
反思感悟　由导数的定义，可以得到求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
A.－4 B.2 C.－2 D.±2
√
三、导数在实际问题中的意义
例3　一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3.求s′(1)，并解释它的实际意义.
导数s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度.
反思感悟　首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义.
跟踪训练3　某小区的某一天用电量y(单位：kW·h)是时间x(单位：h)的函数y＝f(x)，假设函数y＝f(x)在x＝5和x＝12处的导数分别为f′(5)＝12和f′(12)＝50，试解释它们的实际意义.
解　f′(5)＝12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；
f′(12)＝50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW.
1.知识清单：
(1)导数的概念.
(2)求导数的一般步骤.
(3)导数在实际问题中的意义.
2.方法归纳：极限思想.
3.常见误区：函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.
课堂小结
随堂演练
1.f(x)＝x2在x＝1处的导数为
A.2x B.2 C.2＋Δx D.1
√
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2.函数在某一点的导数是
A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B.一个函数
C.一个常数，不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
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√
解析　由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数.
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3.已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于
A.Δx－3 B.(Δx)2－3Δx
C.－3 D.0
√
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4.已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝____.
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课时对点练
基础巩固
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1.(多选)设函数f(x)在x＝x0处可导，以下有关 的值的说法中不正确的是
A.与x0，h都有关 B.仅与x0有关而与h无关
C.仅与h有关而与x0无关 D.与x0，h均无关
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√
√
√
解析　导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关.
2.已知函数f(x)可导，且满足 ＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为
A.－1 B.－2 C.1 D.2
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3.汽车在笔直公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋近于0时，
的意义是
A.表示当t＝t0时汽车的加速度
B.表示当t＝t0时汽车的瞬时速度
C.表示当t＝t0时汽车的路程变化率
D.表示当t＝t0时汽车与起点的距离
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解析　由于v(t)表示时刻t的速度，则当Δt趋近于0时， 表示当t＝t0时汽车的加速度.
4.做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为
A.0 B.3 C.－2 D.3－2t
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解析　当t＝0时的瞬时速度，即为初速度，
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5.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是
A.1 B.－1 C.±1 D.
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6.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足 ＝－1，则f′(0)等于
A.－2 B.2 C.－1 D.1
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解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
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7.函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为_____.
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解析　∵Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
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8.已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的导数为－8，则f(x0)＝____.
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得x0＝－2，
所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9.
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9.一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
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10.设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系.
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解　设f(－x)＝g(x)，
则f(－x)在a处的导数为g′(a)，
令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数.
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综合运用
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解析　令Δx＝x－a，则当x→a时，Δx→0，
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拓广探究
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15.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f′(0)>0，且对于任意实数x，有
f(x)≥0，则 的最小值为____.
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解析　由导数的定义，
16.(1)已知函数y＝f(x)＝13－8x＋ ，且f′(x0)＝4，求x0的值；
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(2)已知函数y＝f(x)＝x2＋2xf′(0)，求f′(0)的值.
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∴f′(0)＝0.
本课结束§2　导数的概念及其几何意义
2．1　导数的概念
学习目标　1.理解导数的概念.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.3.理解导数的实际意义．
导语
中国高速铁路，常被简称为“中国高铁”．中国是世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运营速度最快、在建规模最大的国家．同学们，高速列车，风驰电掣，呼啸而过，怎样确定它的瞬时速度？怎样研究它的速度与路程的关系呢？
一、导数的概念
问题　一质点按规律s＝2t2＋2t做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．
(1)质点在前3 s内的平均速度是多少？在3 s时的瞬时速度是多少？
(2)对于函数y＝f(x)，当x从x0变到x0＋Δx时，y关于x的平均变化率是多少？当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？
提示　(1)8 m/s,14 m/s.
(2)＝，当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数．
知识梳理
导数的定义
1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝＝.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0处的导数．
2．记法：函数y＝f(x)在x0处的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝
＝.
注意点：
(1)函数应在x0的附近有定义，否则导数不存在．
(2)导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x＝x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．
(3)导数的实质是一个极限值．
例1　若f′(x0)＝a，则的值为(　　)
A．－2a B．2a
C．a D．－a
答案　B
解析　∵f′(x0)＝＝a，
∴＝
＝＋
＝＋＝2a.
反思感悟　利用导数定义解题时，要充分体会导数定义的实质，虽然表达式不同，但表达的实质可能相同．
跟踪训练1　已知＝1，则f′(x0)等于(　　)
A．2 B．1 C. D．0
答案　C
解析　∵＝1，
∴2＝2f′(x0)＝1，
所以f′(x0)＝.故选C.
二、求函数在某点处的导数
例2　求函数y＝在x＝2处的导数．
解　∵f(x)＝，
∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，
∴＝，
∴＝＝－1，∴f′(2)＝－1.
反思感悟　由导数的定义，可以得到求函数y＝f(x)在x0处的导数的步骤
(1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率＝；
(3)取极限，得导数f′(x0)＝.
跟踪训练2　(1)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，则m的值等于(　　)
A．－4 B．2 C．－2 D．±2
答案　D
解析　因为＝
＝＝，
所以f′(m)＝＝－，
所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2.
(2)函数y＝在x＝1处的导数是________．
答案　
解析　∵Δy＝－1，
∴＝＝＝，
∴函数y＝在x＝1处的导数为.
三、导数在实际问题中的意义
例3　一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s＝－2t＋3.求s′(1)，并解释它的实际意义．
解　＝
＝＝－2(m/s)．
当Δt趋于0时，趋于－2，则s′(1)＝－2 m/s，
导数s′(1)＝－2 m/s表示该质点在t＝1时的瞬时速度．
反思感悟　首先要理解导数与平均变化率的概念，才能根据实际问题体会到导数的实际意义．
跟踪训练3　某小区的某一天用电量y(单位：kW·h)是时间x(单位：h)的函数y＝f(x)，假设函数y＝f(x)在x＝5和x＝12处的导数分别为f′(5)＝12和f′(12)＝50，试解释它们的实际意义．
解　f′(5)＝12表示该小区某一天开始用电后5 h时的用电量增加的速度为12 kW；f′(12)＝50表示该小区某一天开始用电后12 h时的用电量增加的速度为50 kW.
1.知识清单：
(1)导数的概念．
(2)求导数的一般步骤．
(3)导数在实际问题中的意义．
2．方法归纳：极限思想．
3．常见误区：函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．
1．f(x)＝x2在x＝1处的导数为(　　)
A．2x B．2 C．2＋Δx D．1
答案　B
解析　＝
＝＝(2＋Δx)＝2.
2．函数在某一点的导数是(　　)
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
答案　C
解析　由导数的定义可知，函数在某点的导数是平均变化率的极限值，是个常数．
3．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)等于(　　)
A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx
C．－3 D．0
答案　C
解析　f′(0)＝＝＝(Δx－3)＝－3，故选C.
4．已知函数y＝f(x)＝2ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.
答案　1
解析　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2a(1＋Δx)＋4－2a－4＝2aΔx，＝2a，∴＝2a，∴a＝ f′(1)＝1.
课时对点练
1．(多选)设函数f(x)在x＝x0处可导，以下有关 的值的说法中不正确的是(　　)
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关而与h无关
C．仅与h有关而与x0无关
D．与x0，h均无关
答案　ACD
解析　导数是一个局部概念，它只与函数y＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与h无关．
2．已知函数f(x)可导，且满足＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为(　　)
A．－1 B．－2 C．1 D．2
答案　B
解析　由题意，知f′(3)＝＝－2.
3．汽车在笔直公路上行驶，如果v(t)表示t时刻的速度，则当Δt趋近于0时，的意义是(　　)
A．表示当t＝t0时汽车的加速度
B．表示当t＝t0时汽车的瞬时速度
C．表示当t＝t0时汽车的路程变化率
D．表示当t＝t0时汽车与起点的距离
答案　A
解析　由于v(t)表示时刻t的速度，则当Δt趋近于0时，表示当t＝t0时汽车的加速度．
4．做直线运动的一物体，其位移s与时间t的关系式为s＝3t－t2，t∈[0，＋∞)，则其初速度为(　　)
A．0 B．3 C．－2 D．3－2t
答案　B
解析　当t＝0时的瞬时速度，即为初速度，故初速度为＝(3－Δt)＝3.
5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是(　　)
A．1 B．－1 C．±1 D．3
答案　C
解析　∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x＝3xΔx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，
∴＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2，
∴f′(x0)＝[3x＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x，
由f′(x0)＝3，得3x＝3，∴x0＝±1.
6．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－1 D．1
答案　C
解析　∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0，
∴f′(0)＝＝＝－1.
7．函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数为__________．
答案　16
解析　∵Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx，
∴＝＝2Δx＋16.
f′(3)＝＝(2Δx＋16)＝16.
8．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x0处的导数为－8，则f(x0)＝________.
答案　9
解析　由题知－8＝＝(2Δx＋4x0)＝4x0，得x0＝－2，所以f(x0)＝f(－2)＝2×(－2)2＋1＝9.
9．一条水管中流过的水量y(单位：m3)与时间t(单位：s)之间的函数关系为y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)，并解释它的实际意义．
解　因为＝＝＝3，
所以f′(2)＝ ＝3.
f′(2)的实际意义：水流在t＝2时的瞬时流速为3 m3/s.
10．设f(x)在R上可导，求f(－x)在x＝a处与f(x)在x＝－a处的导数之间的关系．
解　设f(－x)＝g(x)，
则f(－x)在a处的导数为g′(a)，于是
g′(a)＝
＝
而f′(－a)＝，
令x＝－t，则当x→－a时，t→a，
∴f′(－a)＝
＝－
＝－g′(a)，
这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数．
11．若函数f(x)可导，则等于(　　)
A．－2f′(1) B.f′(1)
C．－f′(1) D．f′
答案　C
解析　
＝－ ＝－ f′(1)．
12．设函数f(x)＝，则 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　令Δx＝x－a，则当x→a时，Δx→0，
∴ ＝
＝＝－.
13．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则 ＝________.
答案　－22
解析　
＝－2·
＝－2f′(x0)＝－22.
14．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝a，则f′(x0)＝________.
答案　－a
解析　∵
＝
＝－3f′(x0)＝a，∴f′(x0)＝－a.
15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
答案　2
解析　由导数的定义，得f′(0)＝
＝
＝[a·(Δx)＋b]＝b>0.
又∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
当且仅当a＝c＝时等号成立．
16．(1)已知函数y＝f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝4，求x0的值；
(2)已知函数y＝f(x)＝x2＋2xf′(0)，求f′(0)的值．
解　(1)f′(x0)＝＝
＝
＝(－8＋2x0＋Δx)＝－8＋2x0＝4，
∴x0＝3.
(2)f′(0)＝＝
＝
＝[Δx＋2f′(0)]＝2f′(0)，
∴f′(0)＝0.

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