资源简介

(共56张PPT)
§3　导数的计算
第一章　导数及其应用
1.理解导函数的定义.
2.掌握常见的函数的导数公式.
3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数.
学习目标
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟.
导语
随堂演练
课时对点练
一、定义法求函数的导数
二、利用导数公式求函数的导数
三、导数公式的应用
内容索引
一、定义法求函数的导数
当Δx趋于0时，得到导数
提示　对于定义域中的每一个自变量的取值x0，
(2)当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？
知识梳理
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)
＝ ，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
注意点：
导数与导函数之间既有区别又有联系，导数是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x(或x0)的位置有关，而与Δx无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，也与Δx无关.
例1　利用导函数的定义求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)的导数，并求x＝0和x＝2处的导数值.
解　∵f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1，
∴f′(0)＝1，f′(2)＝12×2＋1＝25.
反思感悟　利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；
(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
跟踪训练1　求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数.
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
二、利用导数公式求函数的导数
问题2　下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数：
f(x)＝x f′(x)＝1＝1×x1－1；
f(x)＝x2 f′(x)＝2x＝2x2－1；
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2＝3x3－1；
f(x)＝ ＝x－1 f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；
f(x)＝ ＝ f′(x)＝ ＝
你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？
提示　通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα－1.
函数 导数
y＝c(c是常数) y′＝___
y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1
y＝ax(a>0，a≠1) y′＝ 特别地(ex)′＝___
y＝logax(a>0，a≠1) y′＝_______特别地(ln x)′＝____
知识梳理
函数的导数公式
axln a
ex
0
y＝sin x y′＝_______
y＝cos x y′＝________
y＝tan x y′＝______
cos x
－sin x
注意点：
对于根式f(x)＝ ，要先转化为f(x)＝ ，所以f′(x)＝ .
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
解　y′＝0.
(3)y＝lg x；
反思感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
(3)要特别注意“ 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
解　y′＝0.
所以y′＝ ＝
(3)y＝4x；
(4)y＝log3x.
解　因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.
三、导数公式的应用
例3　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
延伸探究　求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程.
解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上.
反思感悟　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
跟踪训练3　求过曲线y＝cos x上点 且与过这点的切线垂直的直线方程.
解　∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，
1.知识清单：
(1)导函数的概念.
(2)函数的导数公式及其应用.
2.方法归纳：公式法、待定系数法.
3.常见误区：公式记混用错.
课堂小结
随堂演练
解析　常数函数的导数为0.
√
1
2
3
4
1
2
3
4
√
1
2
3
4
3.一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为
A.2cos 1 B.－sin 1 C.sin 1 D.2sin 1
√
解析　s′＝－sin t，当t＝1时，s′＝－sin 1，
所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.
1
2
3
4
4.曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是__________.
y＝x－1
解析　∵曲线y＝ln x与x轴的交点为(1,0)，
∴切线的斜率为1，
故所求切线方程为y＝x－1.
课时对点练
基础巩固
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1.(多选)下列结论正确的是
A.(sin x)′＝cos x B. ＝
16
√
√
解析　∵ ＝ ；(log3x)′＝ ，∴BC错误.
2.某质点的运动方程为s＝ (其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为
A.－4×3－4米/秒 B.－3×3－4米/秒
C.－5×3－5米/秒 D.－4×3－5米/秒
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
16
则质点在t＝3秒时的速度为－4×3－5米/秒.
3.已知函数f(x)＝xα(α是实数)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于
A.4 B.－4 C.5 D.－5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
解析　∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
√
解析　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2，
所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1,0)，
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5.(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为
A.(－1,1) B.(－1，－1)
C.(1,1) D.(1，－1)
√
16
解析　y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1).
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是
√
解析　∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.函数y＝f(x)＝ ，则f′(2)与f′(3)的大小关系是_____________.
f′(2)＜f′(3)
所以f′(2)＜f′(3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝____.
解析　f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，
9.已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值.
解　因为f(x)＝cos x，g(x)＝x，
所以f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，
g′(x)＝x′＝1.
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.求下列函数的导数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(3)y＝log2x2－log2x；
解　因为y＝log2x2－log2x＝log2x，
所以y′＝cos x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
综合运用
16
11.已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于
A.2 B.0 C.1 D.－1
√
解析　由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，
直线x＋y－3＝0的斜率为－1，
故－f′(1)＝－1得f′(1)＝1，故选C.
12.设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知在曲线y＝ 上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，
则点P的横坐标为_____.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设P(x0，y0).
∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，
14.设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝______.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
cos x
解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，
依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，
则f2 021(x)＝f1(x)＝cos x.
拓广探究
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15.若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是
A.y＝sin x B.y＝ln x
C.y＝ex D.y＝x3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析　设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，
点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，
若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.
对于A选项，f′(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，
所以该函数具有T性质；
故该函数不具有T性质；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于C选项，f′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝ ＝－1无解，
故该函数不具有T性质；
故该函数不具有T性质.
16.求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解　(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′＝2x，y2′＝3x2.
①当x＝0时，2x＝3x2＝0；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
本课结束§3　导数的计算
学习目标　1.理解导函数的定义.2.掌握常见的函数的导数公式.3.能利用给出的导数公式求简单函数的导数．
导语
同学们，前面我们学习了求简单函数的导函数，回想我们一共学习了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类基本初等函数，而对于大家所熟悉的一次函数、二次函数并不是基本初等函数，而是幂函数的线性组合，那么对于这四类基本初等函数的导函数是否存在呢，今天让我们一探究竟．
一、定义法求函数的导数
问题1　(1)如何利用导数的定义求函数f(x)＝＋x在x＝x0处的导数？
提示　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝＋(x0＋Δx)－
＝－＋Δx.
＝－＋1.
当Δx趋于0时，得到导数
f′(x0)＝＝＝－＋1.
(2)当x0在定义域内任意取值时，f′(x0)的值如何？
提示　对于定义域中的每一个自变量的取值x0，都有唯一一个导数值f′(x0)＝－＋1与之对应，所以f′(x)＝－＋1是x的函数．
知识梳理
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′.
注意点：
导数与导函数之间既有区别又有联系，导数是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x(或x0)的位置有关，而与Δx无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，也与Δx无关．
例1　利用导函数的定义求函数f(x)＝(2x＋1)·(3x－1)的导数，并求x＝0和x＝2处的导数值．
解　∵f(x)＝(2x＋1)(3x－1)＝6x2＋x－1，
∴f′(x)＝
＝
＝(12x＋6Δx＋1)＝12x＋1，
∴f′(0)＝1，f′(2)＝12×2＋1＝25.
反思感悟　利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；
(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝.
跟踪训练1　求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．
解　f′(x)＝
＝
＝(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.
∴f′(3)＝2×3＋5＝11.
二、利用导数公式求函数的导数
问题2　下面是某同学利用导数的定义求出的几个幂函数的导数：
f(x)＝x f′(x)＝1＝1×x1－1；
f(x)＝x2 f′(x)＝2x＝2x2－1；
f(x)＝x3 f′(x)＝3x2＝3x3－1；
f(x)＝＝x－1 f′(x)＝－x－2＝－x－1－1；
f(x)＝＝ f′(x)＝＝ .
你认为幂函数的导数有什么特点？能总结一下规律吗？
提示　通过观察，我们发现这几个幂函数的导数有规律，即(xα)′＝αxα－1.
知识梳理
函数的导数公式
函数 导数
y＝c(c是常数) y′＝0
y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1
y＝ax(a>0，a≠1) y′＝axln a特别地(ex)′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1) y′＝特别地(ln x)′＝
y＝sin x y′＝cos x
y＝cos x y′＝－sin x
y＝tan x y′＝
注意点：
对于根式f(x)＝，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝x0(x≠0)；
(2)y＝x；
(3)y＝lg x；
(4)y＝；
(5)y＝2cos2－1.
解　(1)y′＝0.
(2)y′＝xln ＝－xln 3.
(3)y′＝.
(4)∵y＝＝，∴y′＝＝＝.
(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
反思感悟　(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．
(3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．
跟踪训练2　求下列函数的导数．
(1)y＝sin ；
(2)y＝；
(3)y＝4x；
(4)y＝log3x.
解　(1)y′＝0.
(2)因为y＝＝，
所以y′＝＝.
(3)因为y＝4x，所以y′＝4xln 4.
(4)因为y＝log3x，所以y′＝.
三、导数公式的应用
例3　已知曲线y＝ln x，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．
解　∵y′＝，∴k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
延伸探究　求曲线y＝ln x过点O(0,0)的切线方程．
解　∵O(0,0)不在曲线y＝ln x上．
∴设切点为Q(x0，y0)，则切线的斜率k＝.
又切线的斜率k＝＝，
∴＝，即x0＝e，
∴Q(e,1)，∴k＝，
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
反思感悟　利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．
跟踪训练3　求过曲线y＝cos x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
解　∵y＝cos x，∴y′＝－sin x，
曲线在点P处的切线斜率是k＝－sin ＝－.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，
∴所求的直线方程为y－＝，
即2x－y－＋＝0.
1.知识清单：
(1)导函数的概念．
(2)函数的导数公式及其应用．
2．方法归纳：公式法、待定系数法．
3．常见误区：公式记混用错．
1．若y＝cos ，则y′等于(　　)
A．－ B．－ C．0 D.
答案　C
解析　常数函数的导数为0.
2．已知f(x)＝，则f′(8)等于(　　)
A．0 B．2 C. D．－1
答案　C
解析　f(x)＝，得f′(x)＝，
∴f′(8)＝×＝.
3．一质点的运动方程为s＝cos t，则t＝1时质点的瞬时速度为(　　)
A．2cos 1 B．－sin 1 C．sin 1 D．2sin 1
答案　B
解析　s′＝－sin t，当t＝1时，s′＝－sin 1，
所以当t＝1时质点的瞬时速度为－sin 1.
4．曲线y＝ln x与x轴交点处的切线方程是 ．
答案　y＝x－1
解析　∵曲线y＝ln x与x轴的交点为(1,0)，
∴切线的斜率为1，
故所求切线方程为y＝x－1.
课时对点练
1．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．(sin x)′＝cos x B．＝
C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝
答案　AD
解析　∵＝；(log3x)′＝，∴BC错误．
2．某质点的运动方程为s＝(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t＝3秒时的速度为(　　)
A．－4×3－4米/秒 B．－3×3－4米/秒
C．－5×3－5米/秒 D．－4×3－5米/秒
答案　D
解析　由s＝得s′＝′＝(t－4)′＝－4t－5，
则质点在t＝3秒时的速度为－4×3－5米/秒．
3．已知函数f(x)＝xα(α是实数)，若f′(－1)＝－4，则α的值等于(　　)
A．4 B．－4 C．5 D．－5
答案　A
解析　∵f′(x)＝αxα－1，f′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，
∴α＝4.
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A.e2 B．2e2 C．e2 D.
答案　D
解析　因为y′＝ex，所以切线的斜率k＝e2，
所以切线方程为y＝e2x－e2，它与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－e2)，(1,0)，
所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.
5．(多选)已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1) D．(1，－1)
答案　BC
解析　y′＝3x2，因为k＝3，
所以3x2＝3，所以x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
6．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点得切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
答案　A
解析　∵y＝sin x，∴y′＝cos x.
∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]．
∴倾斜角的范围是∪.
7．函数y＝f(x)＝，则f′(2)与f′(3)的大小关系是 ．
答案　f′(2)＜f′(3)
解析　因为f′(x)＝′＝－，
所以f′(2)＝－＝－，
f′(3)＝－＝－，
所以f′(2)＜f′(3)．
8．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝ .
答案　
解析　f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，所以a＝3，故f′(－1)＝3－1ln 3＝.
9．已知f(x)＝cos x，g(x)＝x，求适合f′(x)＋g′(x)≤0的x的值．
解　因为f(x)＝cos x，g(x)＝x，
所以f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，
g′(x)＝x′＝1.
由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sin x＋1≤0，
即sin x≥1，但sin x∈[－1,1]，
所以sin x＝1，所以x＝2kπ＋，k∈Z，
所以x的取值为.
10．求下列函数的导数．
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log2x2－log2x；
(4)y＝－2sin .
解　(1)y′＝′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4＝－.
(2)y′＝()′＝＝.
(3)因为y＝log2x2－log2x＝log2x，
所以y′＝(log2x)′＝.
(4)因为y＝－2sin
＝2sin
＝2sin cos ＝sin x，
所以y′＝cos x.
11．已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于(　　)
A．2 B．0 C．1 D．－1
答案　C
解析　由题可知，函数y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为f′(1)，直线x＋y－3＝0的斜率为－1，故－f′(1)＝－1得f′(1)＝1，故选C.
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　由题意得xn＝，则x1·x2·…·xn＝×××…××＝.
13．已知在曲线y＝上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为 ．
答案　
解析　设P(x0，y0)．
∵y′＝(x－2)′＝－2x－3，tan 135°＝－1，
∴－2x＝－1，∴x0＝.
14．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 021(x)＝ .
答案　cos x
解析　由已知得，f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，
f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 021(x)＝f1(x)＝cos x.
15．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝ex D．y＝x3
答案　A
解析　设函数y＝f(x)的图象上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为k1＝f′(x1)，k2＝f′(x2)，若函数具有T性质，则k1·k2＝f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于A选项，f′(x)＝cos x，显然k1·k2＝cos x1·cos x2＝－1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，f′(x)＝(x＞0)，显然k1·k2＝·＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，f′(x)＝ex＞0，显然k1·k2＝＝－1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，f′(x)＝3x2≥0，显然k1·k2＝3x·3x＝－1无解，故该函数不具有T性质．
16．求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率．
解　(1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得
y1′＝2x，y2′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝.
①当x＝0时，2x＝3x2＝0；
②当x＝时，2x＝3x2＝.
此时C1的切线方程为y－＝，
而C2的切线方程为y－＝.
显然两者不是同一条切线，所以x＝舍去．
(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1′＝2x1，y2′＝3x，
因为AB的斜率为kAB＝，
所以有2x1＝3x＝.
由2x1＝3x，得x1＝x，
代入3x＝中，解得x2＝，x1＝.
此时公切线的斜率为2x1＝.
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，.

展开更多......

收起↑