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(共59张PPT)
4.2　导数的乘法与除法法则
第二章　§4　导数的四则运算法则
1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则.
2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数.
学习目标
我们前面学习了导数的加法与减法法则，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的积、商的导数呢？与加法、减法法则类似吗？
导语
随堂演练
课时对点练
一、导数的乘法与除法法则及其简单应用
二、求较复杂函数的导数
三、与切线有关的问题
内容索引
一、导数的乘法与除法法则及其简单应用
问题　已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2.
(1)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？
提示　不成立.
因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3.
(2)能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？
提示　能.
因为f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，[f(x)g(x)]′＝5x4，
所以[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
(3)对于其他函数还满足上述关系吗？
提示　满足.
知识梳理
导数的乘法与除法法则
(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则
[f(x)g(x)]′＝ .
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(2)[kf(x)]′＝ ，k∈R.
kf′(x)
注意点：
(1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和；
的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方.
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x·sin x；
解　y′＝sin x＋xcos x.
(2)y＝(x－1)(x－2)；
解　y′＝1×(x－2)＋(x－1)×1＝2x－3.
反思感悟　简单导数运算的关注点
前提：基本初等函数的导数公式.
关键：理解并掌握求导法则.
解　y′＝4(x－2)＋4x＝8x－8.
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝4x(x－2)；
(2)y＝xex；
解　y′＝ex＋xex＝ex(1＋x).
二、求较复杂函数的导数
例2　求下列函数的导数：
反思感悟　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式.
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
跟踪训练2　求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
解　∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
解　∵y＝
∴y′＝
三、与切线有关的问题
A.x＋y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
√
∴f′(0)＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－0)，
即x＋y－1＝0.
延伸探究　曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是
√
解析　设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行.
∵y′＝ln x＋1，
∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0).
反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同.
√
(2)曲线y＝ (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为____.
1
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；
令y＝0得x＝1.
1.知识清单：
(1)导数的乘法与除法法则.
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.
2.方法归纳：转化法.
3.常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则.
课堂小结
随堂演练
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)＝－2ex(sin x＋cos x).
1.设函数y＝－2exsin x，则y′等于
A.－2excos x B.－2exsin x
C.2exsin x D.－2ex(sin x＋cos x)
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4.已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______.
y＝x
解析　∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)下列运算中正确的是
A.(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B.(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′

D.(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
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解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
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D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故正确.
2.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于
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解析　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，
由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，
即ln x0＝1，解得x0＝e.
√
3.设曲线y＝ 在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于
即a＝－2.
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解析　f′(x)＝sin x＋xcos x，
由导数的几何意义可知，切线的斜率k＝－1，
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5.日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：
元)为c(x)＝ (80的瞬时变化率是
A.－40元/t B.－10元/t
C.10元/t D.40元/t
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解析　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
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所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.
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6.当函数y＝ (a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于
A.a B.±a C.－a D.a2
√
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8.已知函数f(x)＝ ，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x
＋2y－3＝0，则a，b的值分别为_______.
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9.求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x；
解　y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋1.
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(3)y＝(2x2－1)(3x＋1).
解　方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)
(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
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10.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
解　因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
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(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程.
解　由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
A.1 B.－1 C.7 D.－7
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综合运用
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√
12.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…
(x－a8)，则f′(0)等于
A.212 B.29 C.28 D.26
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解析　因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…
(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f(x)的图象相切，如图所示，则函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为______.
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y＝3
解析　因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，
由图象可知f(3)＝1，
又点(3,1)在直线l上，所以3k＋2＝1，
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因为g(x)＝xf(x)，所以g(3)＝3f(3)＝3，
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
即函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零，
所以函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为y＝3.
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14.设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝ ，则h′(5)＝____.
解析　由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
拓广探究
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15.已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________.
x－y－1＝0
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，
∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点坐标为(x0，y0).
又∵f′(x)＝1＋ln x，
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16.已知函数f(x)＝ ，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
(1)求函数f(x)的解析式；
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因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
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(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
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本课结束4.2　导数的乘法与除法法则
学习目标　1.理解并掌握导数的乘法法则与除法法则.2.能利用导数公式和乘法法则与除法法则求函数的导数．
导语
我们前面学习了导数的加法与减法法则，如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它们的积、商的导数呢？与加法、减法法则类似吗？
一、导数的乘法与除法法则及其简单应用
问题　已知函数f(x)＝x3，g(x)＝x2.
(1)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)成立吗？
提示　不成立．因为[f(x)·g(x)]′＝(x5)′＝5x4，而f′(x)·g′(x)＝3x2·2x＝6x3.
(2)能否用f(x)和g(x)的导数表示f(x)·g(x)的导数？如何表示？
提示　能．因为f′(x)＝3x2，g′(x)＝2x，[f(x)g(x)]′＝5x4，所以[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)对于其他函数还满足上述关系吗？
提示　满足．
知识梳理
导数的乘法与除法法则
(1)若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
′＝，g(x)≠0.
(2)[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R.
注意点：
(1)注意f(x)g(x)的导数是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之和；
的导数的分子是f′(x)g(x)与f(x)g′(x)之差，分母是g(x)的平方．
(2)[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x)，′≠.
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝x·sin x；
(2)y＝(x－1)(x－2)；
(3)y＝；
(4)y＝.
解　(1)y′＝sin x＋xcos x.
(2)y′＝1×(x－2)＋(x－1)×1＝2x－3.
(3)y′＝＝.
(4)y′＝.
反思感悟　简单导数运算的关注点
前提：基本初等函数的导数公式．
关键：理解并掌握求导法则．
跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)y＝4x(x－2)；
(2)y＝xex；
(3)y＝.
解　(1)y′＝4(x－2)＋4x＝8x－8.
(2)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)．
(3)y′＝＝.
二、求较复杂函数的导数
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝＋.
解　(1)y′＝
＝
＝.
(2)y＝＋＝＝－2，
∴y′＝＝.
反思感悟　利用导数运算法则的策略
(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．
(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．
(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．
跟踪训练2　求下列函数的导数：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝.
解　(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)∵y＝
∴y′＝
三、与切线有关的问题
例3　函数f(x)＝的图象在(0,1)处的切线方程是(　　)
A．x＋y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案　A
解析　∵f′(x)＝，
∴f′(0)＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－0)，
即x＋y－1＝0.
延伸探究　曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是(　　)
A. B. C．1 D．2
答案　B
解析　设曲线y＝xln x在点(x0，y0)处的切线与直线x－y－2＝0平行．
∵y′＝ln x＋1，
∴切线斜率k＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，
∴y0＝0，即切点坐标为(1,0)．
∴切点(1,0)到直线x－y－2＝0的距离为d＝＝，
即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是.
反思感悟　(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．
(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．
(3)分清“在某点”和“过某点”导数的不同．
跟踪训练3　(1)曲线f(x)＝－在点M 处的切线的斜率为(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　f′(x)＝
＝，
故切线的斜率k＝f′＝，
∴曲线在点M 处的切线的斜率为.
(2)曲线y＝ (x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．
答案　1
解析　由题意可知，y′＝x·ex，切线斜率k＝2，
∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.
∴曲线y＝(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S＝×2×1＝1.
1.知识清单：
(1)导数的乘法与除法法则．
(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
2．方法归纳：转化法．
3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．
1．设函数y＝－2exsin x，则y′等于(　　)
A．－2excos x B．－2exsin x
C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)
答案　D
解析　y′＝－2(exsin x＋excos x)
＝－2ex(sin x＋cos x)．
2．若y＝，则y′等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　A
解析　∵y＝，
∴y′＝
＝.
3．已知f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝________.
答案　－
解析　因为f(x)＝cos x，
所以f′(x)＝－cos x－sin x，
所以f′＝－，
又f(π)＝－，
所以f(π)＋f′＝－.
4．已知函数f(x)＝ex·sin x，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是____________．
答案　y＝x
解析　∵f(x)＝ex·sin x，f′(x)＝ex(sin x＋cos x)，f′(0)＝1，f(0)＝0，
∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝1×(x－0)，即y＝x.
课时对点练
1．(多选)下列运算中正确的是(　　)
A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′
B．(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2′(x2)′
C.′＝
D．(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′
答案　AD
解析　A项中，(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′，故正确；
B项中，(sin x－2x2)′＝(sin x)′－2(x2)′，故错误；
C项中，′＝，故错误；
D项中，(cos x·sin x)′＝(cos x)′sin x＋cos x(sin x)′，故正确．
2．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)
A．e2 B．e C. D．ln 2
答案　B
解析　∵f(x)＝xln x，∴f′(x)＝ln x＋1(x>0)，由f′(x0)＝2，得ln x0＋1＝2，即ln x0＝1，解得x0＝e.
3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A．2 B. C．－ D．－2
答案　D
解析　∵y＝＝1＋，
∴y′＝－，
∴y在x＝3处的导数为－.
∴－a×＝－1，
即a＝－2.
4．函数f(x)＝xsin x的图象在点处的切线的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　f′(x)＝sin x＋xcos x，
f′＝sin ＋cos ＝－1，
由导数的几何意义可知，切线的斜率k＝－1，
设切线的倾斜角为α，即tan α＝－1，所以α＝.
5．日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c＝.那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是(　　)
A．－40元/t B．－10元/t
C．10元/t D．40元/t
答案　D
解析　净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，
因为c(x)＝(80所以c′(x)＝′＝，
又因为c′(90)＝＝40，
所以净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/t.
6．当函数y＝(a>0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于(　　)
A．a B．±a
C．－a D．a2
答案　 B
解析　y′＝′＝＝，
由x－a2＝0，得x0＝±a.
7．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f 的值为________．
答案　1
解析　∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cos x＋sin x，∴f ＝1.
8．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为____________．
答案　1,1
解析　f′(x)＝－.
由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，
故即解得
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋xln x；
(2)y＝；
(3)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解　(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′
＝2x＋ln x＋x·
＝2x＋ln x＋1.
(2)y′＝′＝＝.
(3)方法一　y′＝[(2x2－1)(3x＋1)]′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′
＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3
＝12x2＋4x＋6x2－3
＝18x2＋4x－3.
方法二　∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′
＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′
＝18x2＋4x－3.
10．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.
(1)求a，b的值；
(2)设函数g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．
解　(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，
所以f′(x)＝2ax＋b，
又f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.
(2)由(1)可知g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3，
所以g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8，
所以g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7，
又g(0)＝3，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，
即7x＋y－3＝0.
11．已知曲线f(x)＝在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，则实数a等于(　　)
A．1 B．－1 C．7 D．－7
答案　C
解析　∵f′(x)＝＝，
又f′(1)＝tan ＝－1，∴a＝7.
12．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)等于(　　)
A．212 B．29 C．28 D．26
答案　A
解析　因为f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，
所以f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84＝212.
13．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f(x)的图象相切，如图所示，则函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为________．
答案　y＝3
解析　因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，由图象可知f(3)＝1，
又点(3,1)在直线l上，所以3k＋2＝1，
从而k＝－，所以f′(x)＝k＝－，
因为g(x)＝xf(x)，所以g(3)＝3f(3)＝3，
g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
则g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0，
即函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线斜率为零，
所以函数g(x)＝xf(x)的图象在点(3，g(3))处的切线方程为y＝3.
14．设f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，若h(x)＝，则h′(5)＝________.
答案　
解析　由题意知f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，
∵h′(x)＝，
∴h′(5)＝
＝＝.
15．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
答案　x－y－1＝0
解析　∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点坐标为(x0，y0)．
又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴
解得x0＝1，y0＝0.
∴切点坐标为(1,0)，
∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，
即x－y－1＝0.
16．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．
解　(1)由题意得f′(x)＝
＝＝，
因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以解得
则f(x)＝.
(2)由(1)可得，f′(x)＝，
所以直线l的斜率
k＝f′(x0)＝＝4，
令t＝，则t∈(0,1]，
所以k＝4(2t2－t)＝82－，
则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是.

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