2.5简单复合函数的求导法则 课件(60张PPT)+学案(2份打包)

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§5 简单复合函数的求导法则
第二章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则
进行一些复合函数的求导(仅限于形如y=f(ax+b)的导数).
学习目标
法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过:“我只会做两件事,一件是简单的事,一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数,还可以把两个或几个函数进行“复合”,怎样复合呢?那么,对于复合后的函数如何求导呢?我们是否也有简单的方法?
导语
随堂演练
课时对点练
一、复合函数的概念
二、求复合函数的导数
三、复合函数的导数的应用
内容索引
一、复合函数的概念
问题1 函数y=(3x+2)2是哪些函数复合成的?
提示 是由一次函数u=3x+2和二次函数y=u2复合而成的,
即y=f(u)=(3x+2)2.
知识梳理
复合函数
一般地,对于两个函数 和 ,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数 和 的复合函数,记作 ,其中u为中间变量.
y=f(u)
u=φ(x)=ax+b
y=f(u)
u=φ(x)
y=f(φ(x))
注意点:
复合函数中,把函数y=f(u)称为外层函数,把u=φ(x)称为内层函数,内层函数和外层函数通常为基本初等函数.
例1 函数y=sin(2x-1)如果看成复合函数y=f(φ(x)),下列式子正确的是
A.φ(x)=2x B.φ(x)=sin x
C.φ(x)=2x-1 D.φ(x)=sin(2x-1)

解析 y=sin(2x-1)是由函数y=sin u和u=2x-1复合而成,可见φ(x)=2x-1.
反思感悟 判断复合函数的复合关系的一般方法
从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式,各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析,最里层应是关于自变量x的基本初等函数.
跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数



二、求复合函数的导数
问题2 (1)你能分别求出y=(3x+2)2,f(u)=u2,g(x)=3x+2的导数吗?
提示 y′=(9x2+12x+4)′=18x+12,f′(u)=2u,g′(x)=3.
(2)上面问题(1)中导数有何关系?
提示 y′=[f(g(x))]′=f′(u)·g′(x).
知识梳理
复合函数的求导法则
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为:y′x=[f(φ(x))]′=__________________
.
f′(u)φ′(x),其中u
=φ(x)
注意点:
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构.
(2)求导由外向内,并保持对外层函数求导时,内层不变的原则.
(3)求每层函数的导数时,注意分清是对哪个变量求导.
例2 求下列函数的导数:
(1)y=(4-3x)2;
解 设y=u2,u=4-3x,
则y′u=2u,u′x=-3,
于是y′x=y′u·u′x=-6(4-3x)=18x-24,
即y′=18x-24.
则y′u=-sin u,u′x=2,
(3)y=ln(4x-1);
解 设y=ln u,u=4x-1,
(4)y= .
解 设y=eu,u=x2,
则y′u=eu,u′x=2x,
于是y′x=y′u·u′x= ·2x,
即y′=
解 ∵y =
∴y′= (3x+1)′=
反思感悟 求复合函数的导数的步骤
跟踪训练2 求下列函数的导数:
解 y=
设y= ,u=1-2x,
则y′x=( )′(1-2x)′
= ·(-2)

解 函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,
所以y′x=y′u·u′x=5(log2u)′·(1-x)′
(2)y=5log2(1-x);
三、复合函数的导数的应用
例3 (1)某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)= ,则在t=40 min时的降雨强度为
A.20 mm B.400 mm

(2)曲线y=f(x)=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为 ,则直线l的方程为_______________________.
x-y+3=0或x-y-1=0
解析 设u=sin x,
则f′(x)=(esin x)′=(eu)′(sin x)′=cos xesin x.
f′(0)=1.
则切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x-y+c=0.
故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.
反思感悟 复合函数应用问题的关注点
(1)正确求导是关键.
(2)涉及切线问题,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.
(3)实际问题中,函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体某时刻的变化状况.
跟踪训练3 (1)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是__________.
(-ln 2,2)
解析 依题意,设P点坐标为(x0,y0),
又y′=-e-x,
所以 =-2,
解得x0=-ln 2,y0=2,即P(-ln 2,2).
(2)已知某质点的位移s与时间t满足s=tet-1,则质点在t=1时的瞬时速度为____.
2
解析 s′=(t+1)et-1,当t=1时,s′(1)=2.
1.知识清单:
(1)复合函数的概念.
(2)复合函数的求导法则.
(3)复合函数的导数的应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:求复合函数的导数时不能正确分解函数;求导时不能分清是对哪个变量求导;计算结果复杂化.
课堂小结
随堂演练
解析 A不是复合函数;
BCD都是复合函数.
1.(多选)下列哪些函数是复合函数
A.y=xln x B.y=(3x+6)2
C.y=esin x D.y=

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2.已知f(x)=sin 2x+e2x,则f′(x)等于
A.2cos 2x+2e2x B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x D.sin 2x+e2x
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解析 根据题意,f(x)=sin 2x+e2x,
则f′(x)=2cos 2x+2e2x.
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3.若f(x)=log3(2x-1),则f′(2)=______.
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4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=____.
2
解析 易知y′=aeax,k=ae0=a,
课时对点练
基础巩固
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1.(多选)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是
A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n D.t=x2-1,y=tn
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2.(多选)下列结论中不正确的是
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对于B,y=sin x2,则y′=2xcos x2,故正确;
对于C,y=cos 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;
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3.若f(x)=e2xln 2x,则f′(x)等于
解析 f′(x)=(e2x)′ln 2x+e2x(ln 2x)′
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解析 因为y=sin2x,
所以y′=2sin x(sin x)′=2sin x·cos x=sin 2x,
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5.函数y=e2x-4在点x=2处的切线方程为
A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0

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解析 y′=2e2x-4,
则当x=2时,y′=2e0=2,∴斜率为2.
又当x=2时,y=e2×2-4=1,
∴切点为(2,1).
∴切线方程为2x-y-3=0.
6.曲线y= 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A. e2 B.4e2 C.2e2 D.e2

令x=0,得y=-e2;
令y=0,得x=2.
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7.质点M按规律s(t)=(2t+1)2 做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2时的瞬时速度为_____m/s.
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解析 ∵s(t)=(2t+1)2,
∴s′(t)=2(2t+1)×2=8t+4,
则质点在t=2时的瞬时速度为s′(2)=8×2+4=20(m/s).
8.设曲线f(x)=ax-ln(x+1)在点(1,f(1))处的切线与y= 平行,则a=____.
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所以a=1.
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9.求下列函数的导数.
(1)y=(2x-1)4;
解 y′=4(2x-1)3·(2x-1)′=8(2x-1)3.
(2)y=e-x·sin 2x;
解 y′=(e-x)′sin 2x+e-x·(sin 2x)′
=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x.
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10.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)=
(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数,
并解释它的实际意义.
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将t=18代入s′(t),
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综合运用
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11.已知点P在曲线y= 上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是

解析 设切点P的坐标为(x0,y0),
故tan α=y′ =
因为 ≥2,所以 +2≥4,
故tan α= ∈[-1,0),
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12.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0· ,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则M(60)等于
A.5太贝克 B.75ln 2太贝克
C.150ln 2太贝克 D.150太贝克

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∴M0=600.
∴M(t)=600× ,
∴M(60)=600×2-2=150(太贝克).
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解析 ∵M′(t)=- M0· ·ln 2,
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14.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为____.
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解析 设直线y=x+1切曲线y=ln(x+a)于点(x0,y0),
则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),
又y0=ln(x0+a),∴y0=0,
∴x0=-1,∴a=2.
拓广探究
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15.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(ln x)=2x-ln x,则f′(1)=_______.
解析 因为f(ln x)=2x-ln x,
令t=ln x,则x=et,所以f(t)=2et-t,
即f(x)=2ex-x,所以f′(x)=2ex-1,
因此f′(1)=2e-1.
2e-1
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解 ∵f(x)=eπxsin πx,
∴f′(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx
=πeπx(sin πx+cos πx).
(2)在曲线y= 上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
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解 设切点坐标为P(x0,y0),
解得x0=0,此时y0=1.
即切点坐标为P(0,1),切线方程为y-1=0.
本课结束§5 简单复合函数的求导法则
学习目标 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y=f(ax+b)的导数).
导语
法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过:“我只会做两件事,一件是简单的事,一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数,还可以把两个或几个函数进行“复合”,怎样复合呢?那么,对于复合后的函数如何求导呢?我们是否也有简单的方法?
一、复合函数的概念
问题1 函数y=(3x+2)2是哪些函数复合成的?
提示 是由一次函数u=3x+2和二次函数y=u2复合而成的,即y=f(u)=(3x+2)2.
知识梳理
复合函数
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)),其中u为中间变量.
注意点:
复合函数中,把函数y=f(u)称为外层函数,把u=φ(x)称为内层函数,内层函数和外层函数通常为基本初等函数.
例1 函数y=sin(2x-1)如果看成复合函数y=f(φ(x)),下列式子正确的是(  )
A.φ(x)=2x B.φ(x)=sin x
C.φ(x)=2x-1 D.φ(x)=sin(2x-1)
答案 C
解析 y=sin(2x-1)是由函数y=sin u和u=2x-1复合而成,可见φ(x)=2x-1.
反思感悟 判断复合函数的复合关系的一般方法
从外向里分析,最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式,各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析,最里层应是关于自变量x的基本初等函数.
跟踪训练1 (多选)下列哪些函数是复合函数(  )
A.y=log2(2x+1) B.y=2x2-
C.y=2ln x D.y=cos
答案 ACD
二、求复合函数的导数
问题2 (1)你能分别求出y=(3x+2)2,f(u)=u2,g(x)=3x+2的导数吗?
提示 y′=(9x2+12x+4)′=18x+12,f′(u)=2u,g′(x)=3.
(2)上面问题(1)中导数有何关系?
提示 y′=[f(g(x))]′=f′(u)·g′(x).
知识梳理
复合函数的求导法则
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为:y′x=[f(φ(x))]′=f′(u)φ′(x),其中u=φ(x).
注意点:
(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构.
(2)求导由外向内,并保持对外层函数求导时,内层不变的原则.
(3)求每层函数的导数时,注意分清是对哪个变量求导.
例2 求下列函数的导数:
(1)y=(4-3x)2;
(2)y=cos;
(3)y=ln(4x-1);
(4)y=.
解 (1)设y=u2,u=4-3x,
则y′u=2u,u′x=-3,
于是y′x=y′u·u′x=-6(4-3x)=18x-24,
即y′=18x-24.
(2)设y=cos u,u=2x-,
则y′u=-sin u,u′x=2,
于是y′x=y′u·u′x=-2sin,
即y′=-2sin.
(3)设y=ln u,u=4x-1,
则y′u=,u′x=4,
于是y′x=y′u·u′x=,
即y′=.
(4)设y=eu,u=x2,
则y′u=eu,u′x=2x,
于是y′x=y′u·u′x=·2x,
即y′=
延伸探究 求函数y=的导数.
解 
∴y′=(3x+1)′=
反思感悟 求复合函数的导数的步骤
跟踪训练2 求下列函数的导数:
(1)y=;
(2)y=5log2(1-x);
(3)y=sin.
解 (1) y=
设y=,u=1-2x,
则y′x=()′(1-2x)′
=·(-2)
(2)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,
所以y′x=y′u·u′x=5(log2u)′·(1-x)′
==.
(3) 设y=sin u,u=4x+,
则y′x=(sin u)′′=cos u·4=4cos.
三、复合函数的导数的应用
例3 (1)某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=,则在t=40 min时的降雨强度为(  )
A.20 mm B.400 mm
C. mm/min D. mm/min
答案 D
解析 f′(t)=·10=,
∴f′(40)==.
(2)曲线y=f(x)=esin x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,则直线l的方程为________________________________________________________________________.
答案 x-y+3=0或x-y-1=0
解析 设u=sin x,
则f′(x)=(esin x)′=(eu)′(sin x)′=cos xesin x.
f′(0)=1.
则切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x-y+c=0.
两平行线间的距离d== c=3或c=-1.
故直线l的方程为x-y+3=0或x-y-1=0.
反思感悟 复合函数应用问题的关注点
(1)正确求导是关键.
(2)涉及切线问题,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程;若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标.
(3)实际问题中,函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体某时刻的变化状况.
跟踪训练3 (1)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是__________.
答案 (-ln 2,2)
解析 依题意,设P点坐标为(x0,y0),
又y′=-e-x,
所以=-2,
解得x0=-ln 2,y0=2,即P(-ln 2,2).
(2)已知某质点的位移s与时间t满足s=tet-1,则质点在t=1时的瞬时速度为________.
答案 2
解析 s′=(t+1)et-1,当t=1时,s′(1)=2.
1.知识清单:
(1)复合函数的概念.
(2)复合函数的求导法则.
(3)复合函数的导数的应用.
2.方法归纳:转化法.
3.常见误区:求复合函数的导数时不能正确分解函数;求导时不能分清是对哪个变量求导;计算结果复杂化.
1.(多选)下列哪些函数是复合函数(  )
A.y=xln x B.y=(3x+6)2
C.y=esin x D.y=sin
答案 BCD
解析 A不是复合函数;BCD都是复合函数.
2.已知f(x)=sin 2x+e2x,则f′(x)等于(  )
A.2cos 2x+2e2x B.cos 2x+e2x
C.2sin 2x+2e2x D.sin 2x+e2x
答案 A
解析 根据题意,f(x)=sin 2x+e2x,
则f′(x)=2cos 2x+2e2x.
3.若f(x)=log3(2x-1),则f′(2)=________.
答案 
解析 因为f′(x)=[log3(2x-1)]′=(2x-1)′=,
所以f′(2)=.
4.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=________.
答案 2
解析 易知y′=aeax,k=ae0=a,
故a×=-1,则a=2.
课时对点练
1.(多选)函数y=(x2-1)n的复合过程正确的是(  )
A.y=un,u=x2-1 B.y=(u-1)n,u=x2
C.y=tn,t=(x2-1)n D.t=x2-1,y=tn
答案 AD
2.(多选)下列结论中不正确的是(  )
A.若y=cos,则y′=-sin
B.若y=sin x2,则y′=2xcos x2
C.若y=cos 5x,则y′=-sin 5x
D.若y=xsin 2x,则y′=xsin 2x
答案 ACD
解析 对于A,y=cos ,则y′=sin ,故错误;
对于B,y=sin x2,则y′=2xcos x2,故正确;
对于C,y=cos 5x,则y′=-5sin 5x,故错误;
对于D,y=xsin 2x,则y′=sin 2x+xcos 2x,故错误.
3.若f(x)=e2xln 2x,则f′(x)等于(  )
A.e2xln 2x+ B.e2xln 2x+
C.2e2xln 2x+ D.2e2x·
答案 C
解析 f′(x)=(e2x)′ln 2x+e2x(ln 2x)′
=2e2xln 2x+e2x.
4.函数y=sin2x的图象在点A处的切线的斜率是(  )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为y=sin2x,
所以y′=2sin x(sin x)′=2sin x·cos x=sin 2x,
所以k=sin=sin =.
5.函数y=e2x-4在点x=2处的切线方程为(  )
A.2x-y-3=0
B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0
D.ex+y+2e-1=0
答案 A
解析 y′=2e2x-4,
则当x=2时,y′=2e0=2,∴斜率为2.
又当x=2时,y=e2×2-4=1,
∴切点为(2,1).∴切线方程为2x-y-3=0.
6.曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(  )
A.e2 B.4e2 C.2e2 D.e2
答案 D
解析 由导数的几何意义知,切线的斜率
k=e2,
所以切线方程为y-e2=e2(x-4),
令x=0,得y=-e2;令y=0,得x=2.
所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
S=×2e2=e2.
7.质点M按规律s(t)=(2t+1)2 做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2时的瞬时速度为________m/s.
答案 20
解析 ∵s(t)=(2t+1)2,
∴s′(t)=2(2t+1)×2=8t+4,
则质点在t=2时的瞬时速度为s′(2)=8×2+4=20(m/s).
8.设曲线f(x)=ax-ln(x+1)在点(1,f(1))处的切线与y=x平行,则a=________.
答案 1
解析 f′(x)=a-,
由题意得f′(1)=,即a-=,
所以a=1.
9.求下列函数的导数.
(1)y=(2x-1)4;
(2)y=e-x·sin 2x;
(3)y=.
解 (1)y′=4(2x-1)3·(2x-1)′=8(2x-1)3.
(2)y′=(e-x)′sin 2x+e-x·(sin 2x)′
=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x.
(3)y′=
==.
10.某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)=3sin(0≤t≤24),其中s的单位是m,t的单位是h,求函数在t=18时的导数,并解释它的实际意义.
解 设f(x)=3sin x,x=φ(t)=t+,
所以s′(t)=f′(x)φ′(t)=3cos x·
=cos,
将t=18代入s′(t),
得s′(18)=cos=(m/h).
s′(18)表示当t=18 h时,潮水的高度上升的速度为 m/h.
11.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设切点P的坐标为(x0,y0),
因为y′=′=-=-,
故tan α=y′=
因为≥2,所以+2≥4,
故tan α=∈[-1,0),
又α∈[0,π),所以α∈.
12.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0·,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln 2(太贝克/年),则M(60)等于(  )
A.5太贝克 B.75ln 2太贝克
C.150ln 2太贝克 D.150太贝克
答案 D
解析 ∵M′(t)=-M0··ln 2,
∴M′(30)=-×M0ln 2=-10ln 2,
∴M0=600.
∴M(t)=600×,
∴M(60)=600×2-2=150(太贝克).
13.已知f(x)=,且f′(1)=1,则a的值为________.
答案 2
解析 ∵f′(x)=·(ax-1)′=,
∴f′(1)==1,解得a=2.
14.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为________.
答案 2
解析 设直线y=x+1切曲线y=ln(x+a)于点(x0,y0),则y0=1+x0,y0=ln(x0+a),
又曲线的导数为y′=,
∴k==1,即x0+a=1.
又y0=ln(x0+a),∴y0=0,
∴x0=-1,∴a=2.
15.设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f′(x),且f(ln x)=2x-ln x,则f′(1)=________.
答案 2e-1
解析 因为f(ln x)=2x-ln x,
令t=ln x,则x=et,所以f(t)=2et-t,
即f(x)=2ex-x,所以f′(x)=2ex-1,
因此f′(1)=2e-1.
16.(1)已知f(x)=eπxsin πx,求f′(x)及f′;
(2)在曲线y=上求一点,使过该点的切线平行于x轴,并求切线方程.
解 (1)∵f(x)=eπxsin πx,
∴f′(x)=πeπxsin πx+πeπxcos πx=πeπx(sin πx+cos πx).
∴f′==.
(2)设切点坐标为P(x0,y0),
∵y′=,∴=0.
解得x0=0,此时y0=1.
即切点坐标为P(0,1),切线方程为y-1=0.

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