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(共56张PPT)
第2课时　函数单调性的综合问题
第二章　6.1　函数的单调性
1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.
2.能求简单的含参的函数的单调区间.
3.能根据函数的单调性求参数的取值范围.
学习目标
随堂演练
课时对点练
一、求含参函数的单调区间
二、已知函数的单调性求参数的取值范围
内容索引
一、求含参函数的单调区间
角度1　对“Δ”进行讨论
例1　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.讨论函数f(x)的单调区间.
解　f′(x)＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4(a2－3).
令f′(x)>0，即3x2＋2ax＋1>0，
令f′(x)<0，即3x2＋2ax＋1<0，
故f(x)是R上的增函数.
角度2　对“根的大小”进行讨论
解　f′(x)＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，
令f′(x)<0，得(x－a)(x－a2)<0.
①当a<0时，不等式的解集为a②当0③当a>1时，不等式的解集为a④当a＝0或a＝1时，f′(x)≥0，此时f(x)无单调递减区间.
综上所述，当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；
当0当a＝0或a＝1时，函数f(x)无单调递减区间.
反思感悟　利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论.
(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数f(x)的单调区间.
(1)当a>0时，函数的定义域是(0，＋∞)，
所以函数只有单调递增区间，其单调递增区间是(0，＋∞).
(2)当a<0时，函数的定义域是(0，＋∞)，
二、已知函数的单调性求参数的取值范围
例3　已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
解　y′＝3x2－a.
若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增.
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x2)min.
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3].
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值.
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符.
因为(1，＋∞)是函数y的一个单调递增区间，
解　y′＝3x2－a，
当a<0时，y′＝3x2－a>0恒成立，函数y在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；
当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根.
延伸探究　将本例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
所以a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞).
反思感悟　(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).
跟踪训练2　若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax是定义域上的增函数，求实数a的取值范围.
解　∵f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，
且是(0，＋∞)上的增函数，
∴g(x)min＝4.
∴a≤4.
∴a的取值范围是(－∞，4].
1.知识清单：
(1)求含参函数的单调区间.
(2)由单调性求参数的取值范围.
2.方法归纳：分类讨论、数形结合.
3.常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.
课堂小结
随堂演练
1.函数y＝xln x＋m的单调递增区间是
√
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2.若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则
A.a≤0 B.a<1 C.a<2 D.a≤
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√
解析　∵f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
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3.若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围是
A.[－1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－1，＋∞) D.(1，＋∞)
√
解析　由题意可得，f′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，
故a≥－sin x恒成立，
因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.
4.函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝____.
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解析　令f′(x)＝3x2－2mx＝0，
课时对点练
基础巩固
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1.若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则
A.b2－4ac>0 B.b>0，c<0
C.b＝0，c>0 D.b2－3ac≤0
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√
解析　由f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0，
知Δ＝4b2－12ac≤0，
故b2－3ac≤0.
2.若函数h(x)＝2x－ 在(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是
A.[－2，＋∞) B.[2，＋∞)
C.(－∞，－2] D.(－∞，2]
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√
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即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，
所以k∈[－2，＋∞).
3.若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为 ，则a的取值范围是
A.(0，＋∞) B.(－1,0)
C.(1，＋∞) D.(0,1)
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只需y′＜0，即a＞0.
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4.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上单调递增，则a等于
A.1 B.2 C.0 D.
√
解析　∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，
依题意g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
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5.如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递增的，且在区间(0,2)上是单调递减的，则常数a的值为
A.1 B.2 C.－6 D.－12
√
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解析　f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0.
由f(x)在(0,2)上单调递减，知a＝－6.
6.(多选)函数f(x)＝ －(a＋2)x＋2ln x单调递增的必要不充分条件有
A.a≥2 B.a＝2 C.a≥1 D.a>2
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√
解析　由函数f(x)＝ －(a＋2)x＋2ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，
即ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
①当a＝0时，－2x＋2≥0 x≤1，不满足题意；
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则Δ＝(a＋2)2－8a＝(a－2)2≤0 a＝2，
故选AC.
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7.若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内单调递增，则实数b的取值范围是__________.
(－∞，2]
解析　由题意得y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立，
即b≤x在(2,8)内恒成立，所以b≤2.
[－5,5]
解析　∵f(x)在(－1，1)上单调递减，∴f′(x)＝x2＋mx－6≤0在(－1，1)上恒成立，
又f′(x)＝x2＋mx－6是开口向上的二次函数，为使f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，
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9.已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
解　∵a＝1，
∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，
∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1,3)，
∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
解　f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间.
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10.已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在a，使f(x)的单调递减区间是(－1,1)；
解　f′(x)＝3x2－a.
∵f(x)的单调递减区间是(－1,1)，
∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，∴a＝3.
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(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围.
解　∵f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立.
∵y＝3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0，
∴a的取值范围是(－∞，0].
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综合运用
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令h(x)＝2x2－2bx＋1，
12.当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是
A.[－5，－3] B.
C.[－6，－2] D.[－4，－3]
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∴a≥t－4t2－3t3恒成立.
令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2，
∴函数g′(t)在[1，＋∞)上单调递减，
而且g′(1)＝－16<0，
∴g(t)在[1，＋∞)上单调递减，
∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立.
∴g(t)max＝g(1)＝－6.
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令g′(t)＝0，∴t＝－1，
∴g(t)min＝g(－1)＝－2，
∴－6≤a≤－2.
13.若函数f(x)＝ ＋x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是__________.
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解析　f′(x)＝ax2＋1，若a≥0，f′(x)>0恒成立，不符合题意.
函数f(x)存在三个单调区间，满足题意，故a<0.
14.已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为__________.
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[1，＋∞)
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所以g(x)＜g(1).
拓广探究
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15.已知函数g(x)＝ex，若存在x∈[0，＋∞)，使得不等式 g(x)(－∞，3)
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即函数F(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以F(x)≥F(0)＝0，所以－m＋3>0，
即m<3.故实数m的取值范围为(－∞，3).
16.讨论函数y＝ (－11
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解　f(x)的定义域为(－1,1).
∵函数f(x)是奇函数，
∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性.
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当00，(x2－1)2>0，
若b>0，则f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递减；
若b<0，则f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增.
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，
∴当b>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当b<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增.
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本课结束§6　用导数研究函数的性质
6．1　函数的单调性
第1课时　导数与函数的单调性
学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．
导语
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底)．从股票走势曲线图来看，股票有升有降．在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性．那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？
一、导数与函数单调性的关系
问题　已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？
提示　(1)y′＝2>0，y＝2x－1是增函数．
(2)y′＝－3<0，y＝－3x是减函数．
(3)y′＝2xln 2>0，y＝2x是增函数．
知识梳理
导数的符号与函数单调性之间的关系
导数符号 单调性
在某个区间内，f′(x)>0 在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增
在某个区间内，f′(x)<0 在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减
若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减．
注意点：
“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为单调递增(减)”的充分条件，而不是必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性．例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
例1　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)
答案　D
解析　由函数的图象，可知当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；当x>0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
反思感悟　函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．
跟踪训练1　f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　由导函数的图象可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，排除A，C，在(0,2)上单调递减，排除B，故选D.
二、判断或证明函数的单调性
例2　利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)＝x3－x2＋2x－5；
(2)f(x)＝x－－ln x(x>0)；
(3)f(x)＝x－ex(x>0)．
解　(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，
所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5在R上为增函数．
(2)因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1＋－＝＝>0，
所以f(x)＝x－－ln x在(0，＋∞)上为增函数．
(3)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数．
反思感悟　利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立．一般步骤为：
(1)确定函数的定义域(给定区间除外)．
(2)求导函数f′(x)．
(3)判断f′(x)的符号．
(4)给出单调性结论．
跟踪训练2　证明：函数f(x)＝在区间(0,2)上单调递增．
证明　因为f(x)＝，
所以f′(x)＝＝，
因为0＜x＜2，所以ln x＜ln 2＜1，
故f′(x)＝＞0，
即函数在区间(0,2)上单调递增．
三、求函数的单调区间
例3　(1)函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为(　　)
A. B．(0,4)
C. D.
答案　A
解析　f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f′(x)＝－4＝，当f′(x)>0时，解得0(2)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为______________________________．
答案　(－2－，－2＋)
解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
解得－2－所以f(x)＝(x2＋2x)ex的单调递减区间为
(－2－，－2＋)．
反思感悟　利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导函数f′(x)．
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上单调递增；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上单调递减．
(4)结合定义域写出单调区间．
跟踪训练3　求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．
解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝＝，
令f′(x)＝0，得x＝或－(舍)，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
∴函数f(x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，
单调递减区间为.
1.知识清单：
(1)函数的单调性与导数正负的关系．
(2)利用导数判断函数单调性、求单调区间的方法．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论、转化化归．
3．常见误区：
(1)研究函数的单调区间时，忘记求函数的定义域，没有在定义域范围内研究函数的单调区间．
(2)将函数具有相同单调性的区间用“∪”连接．
(3)混淆“函数的单调区间是(a，b)”和“函数在(a，b)上单调”．
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
答案　D
解析　∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都单调递减，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0.
2．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
答案　D
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得03．函数f(x)＝x＋ln x(　　)
A．在(0,6)上单调递增
B．在(0,6)上单调递减
C．在上单调递减，在上单调递增
D．在上单调递增，在上单调递减
答案　A
解析　f′(x)＝1＋＝，
当00，
∴f(x)在(0,6)上单调递增．
4．y＝x＋sin x在[0，π)上单调递______(填“增”或“减”)．
答案　增
解析　∵y′＝1＋cos x≥0恒成立，
∴y＝x＋sin x在[0，π)上单调递增．
课时对点练
1．函数f(x)＝(x＋3)e-x的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案　A
解析　∵f(x)＝(x＋3)e-x，
∴f′(x)＝e-x－(x＋3)e-x＝e-x(－x－2)，
由f′(x)>0得x<－2.
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝xex
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
答案　B
解析　B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)上单调递增．
3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是递增的(　　)
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案　B
解析　由已知得y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．当x∈(π，2π)时，－xsin x>0.即函数在(π，2π)上是递增的．
4．函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是(　　)
答案　A
解析　因为f(x)＝xcos x，
所以f′(x)＝cos x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称，可排除C项．
由f′(0)＝1可排除D项．
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B项．
5．已知函数f(x)＝x＋(x>1)，则有(　　)
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)答案　A
解析　因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－>0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)6．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　)
答案　D
解析　A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．
7．已知函数f(x)＝－x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递增区间为________．
答案　(1,2)
解析　由题意可得
f′(x)＝－x＋3－＝－，
令f′(x)>0，解得1故函数f(x)的单调递增区间为(1,2)．
8．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为__________．
答案　∪(2,3)
解析　因为y＝f(x)在区间和区间(2,3)上是减少的，所以在区间和区间(2,3)上，f′(x)<0.
9．已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；当010．确定下列函数的单调区间．
(1)y＝x3－9x2＋24x；
(2)f(x)＝(x>0且x≠1)．
解　(1)y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，
由y′>0得x<2或x>4；
由y′<0得2∴函数的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)；单调递减区间是(2,4)．
(2)f′(x)＝－，
若f′(x)＝0，则x＝，列表如下：
x (1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － －
f(x) ↗ －e ↘? ↘
∴f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为，(1，＋∞)．
11．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是(　　)
A．增函数
B．减函数
C．常数函数
D．既不是增函数也不是减函数
答案　A
解析　求得函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数．
12．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)
答案　C
解析　由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，∴f(x)单调递增，当－10，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，当01时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，∴选C.
13．函数f(x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为________．
答案　(－，0)和(0，)
解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
∴－∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．
14．已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．
答案　(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
15．(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是(　　)
A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2＋2
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x
答案　AB
解析　设g(x)＝ex·f(x)，
对于A，g(x)＝ex·2－x＝x在定义域R上是增函数，故A正确；
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex
＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于C，g(x)＝ex·3－x＝x在定义域R上是减函数，故C不正确；
对于D，g(x)＝ex·cos x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确．
16．设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.
(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)；
当2故f(x)的单调递减区间为(2,3)．(共52张PPT)
第1课时　导数与函数的单调性
第二章　6.1　函数的单调性
1.理解导数与函数的单调性的关系.
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
学习目标
研究股票时，我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底).从股票走势曲线图来看，股票有升有降.在数学上，函数曲线也有升有降，就是我们常说的单调性.那么，函数的单调性与导数有什么关系呢？
导语
随堂演练
课时对点练
一、导数与函数单调性的关系
二、判断或证明函数的单调性
三、求函数的单调区间
内容索引
一、导数与函数单调性的关系
问题　已知函数：(1)y＝2x－1，(2)y＝－3x，(3)y＝2x，它们的导数的正负与它们的单调性之间有怎样的关系？
提示　(1)y′＝2>0，y＝2x－1是增函数.
(2)y′＝－3<0，y＝－3x是减函数.
(3)y′＝2xln 2>0，y＝2x是增函数.
知识梳理
导数的符号与函数单调性之间的关系
导数符号 单调性
在某个区间内，________ 在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增
在某个区间内，________ 在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减
f′(x)>0
f′(x)<0
若在某个区间内，f′(x)≥0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y＝f(x)单调递减.
注意点：
“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为单调递增(减)”的充分条件，而不是必要条件.如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数f(x)＝x3，在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但因为f′(x)＝3x2，所以f′(0)＝0，即不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0.
例1　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为
√
解析　由函数的图象，
可知当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；
当x>0时，函数先增后减再增，
即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
反思感悟　函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减.
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致.
跟踪训练1　f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是
√
解析　由导函数的图象可知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，排除A，C，
在(0,2)上单调递减，排除B，故选D.
二、判断或证明函数的单调性
例2　利用导数判断下列函数的单调性：
所以f′(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
解　因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，
所以f′(x)＝1－ex<0，
所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上为减函数.
反思感悟　利用导数判断或证明一个函数的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在定义域或给定区间上恒成立.一般步骤为：
(1)确定函数的定义域(给定区间除外).
(2)求导函数f′(x).
(3)判断f′(x)的符号.
(4)给出单调性结论.
因为0＜x＜2，所以ln x＜ln 2＜1，
即函数在区间(0,2)上单调递增.
三、求函数的单调区间
例3　(1)函数f(x)＝ln x－4x＋1的单调递增区间为
√
(2)函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为___________________.
解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，
即x2＋4x＋2<0，
反思感悟　利用导数求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导函数f′(x).
(3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围.当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上单调递增；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上单调递减.
(4)结合定义域写出单调区间.
跟踪训练3　求函数f(x)＝3x2－2ln x的单调区间.
解　f(x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，
1.知识清单：
(1)函数的单调性与导数正负的关系.
(2)利用导数判断函数单调性、求单调区间的方法.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论、转化化归.
3.常见误区：
(1)研究函数的单调区间时，忘记求函数的定义域，没有在定义域范围内研究函数的单调区间.
(2)将函数具有相同单调性的区间用“∪”连接.
(3)混淆“函数的单调区间是(a，b)”和“函数在(a，b)上单调”.
课堂小结
随堂演练
解析　∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都单调递减，
∴当x>0时，f′(x)<0，
当x<0时，f′(x)<0.
1.函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是
√
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2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为
A.(2，＋∞) B.(－∞，2)
C.(－∞，0) D.(0,2)
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√
解析　f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
f′(x)<0，得0所以f(x)的单调递减区间为(0,2).
3.函数f(x)＝x＋ln x
A.在(0,6)上单调递增
B.在(0,6)上单调递减
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√
当00，
∴f(x)在(0,6)上单调递增.
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4.y＝x＋sin x在[0，π)上单调递____(填“增”或“减”).
增
解析　∵y′＝1＋cos x≥0恒成立，
∴y＝x＋sin x在[0，π)上单调递增.
课时对点练
基础巩固
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1.函数f(x)＝(x＋3)e-x的单调递增区间是
A.(－∞，－2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2，＋∞)
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√
解析　∵f(x)＝(x＋3)e-x，
∴f′(x)＝e-x－(x＋3)e-x＝e-x(－x－2)，
由f′(x)>0得x<－2.
2.下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是
A.y＝sin x B.y＝xex
C.y＝x3－x D.y＝ln x－x
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解析　B项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，
当x∈(0，＋∞)时，y′>0，
∴y＝xex在(0，＋∞)上单调递增.
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3.函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间内是递增的
解析　由已知得y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
当x∈(π，2π)时，－xsin x>0.
即函数在(π，2π)上是递增的.
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4.函数f(x)＝xcos x的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致是
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解析　因为f(x)＝xcos x，
所以f′(x)＝cos x－xsin x.
因为f′(－x)＝f′(x)，
所以f′(x)为偶函数，
所以函数图象关于y轴对称，可排除C项.
由f′(0)＝1可排除D项.
而f′(1)＝cos 1－sin 1<0，排除B项.
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5.已知函数f(x)＝x＋ (x>1)，则有
A.f(2)C.f(3)√
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解析　因为在定义域(1，＋∞)上有f′(x)＝1－ >0，
所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)1
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6.设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是
√
解析　A，B，C均有可能；
对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；
若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合.
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7.已知函数f(x)＝ ＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递增区间为______.
(1,2)
令f′(x)>0，解得1故函数f(x)的单调递增区间为(1,2).
8.函数y＝f(x)在定义域 内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数
为y＝f′(x)，则不等式f′(x)<0的解集为______________.
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9.已知导函数f′(x)的下列信息：当x<0或x>7时，f′(x)>0；当0解　当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞)上都是单调递增的；
当0当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
故f(x)的图象如图所示.
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10.确定下列函数的单调区间.
(1)y＝x3－9x2＋24x；
解　y′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4)，
由y′>0得x<2或x>4；
由y′<0得2∴函数的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)；单调递减区间是(2,4).
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综合运用
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11.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)是
A.增函数 B.减函数
C.常数函数 D.既不是增函数也不是减函数
√
解析　求得函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)<0，
所以f′(x)>0恒成立，故f(x)是增函数.
12.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
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解析　由函数y＝xf′(x)的图象可知当x<－1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，
∴f(x)单调递增，当－10，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，
当0当x>1时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，
∴选C.
13.函数f(x)＝x＋ (b>0)的单调递减区间为___________________.
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解析　函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
14.已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是__________________.
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(－∞，－1)∪(0,1)
解析　因为在(0，＋∞)上f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x)为偶函数，
所以f(－1)＝f(1)＝0，
且f(x)在(－∞，0)上单调递减，
f(x)的草图如图所示，
所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1).
拓广探究
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15.(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是
A.f(x)＝2－x B.f(x)＝x2＋2
C.f(x)＝3－x D.f(x)＝cos x
√
√
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解析　设g(x)＝ex·f(x)，
对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g′(x)＝(x2＋2x＋2)ex＝[(x＋1)2＋1]ex>0，
所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确；
对于D，g(x)＝ex·cos x，
16.设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值；
解　因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，
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(2)求函数f(x)的单调区间.
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令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当03时，f′(x)>0，
故f(x)的单调递增区间为(0,2)，(3，＋∞)；
当2故f(x)的单调递减区间为(2,3).
本课结束第2课时　函数单调性的综合问题
学习目标　1.进一步理解函数的导数与其单调性的关系.2.能求简单的含参的函数的单调区间.3.能根据函数的单调性求参数的取值范围．
一、求含参函数的单调区间
角度1　对“Δ”进行讨论
例1　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R.讨论函数f(x)的单调区间．
解　f′(x)＝3x2＋2ax＋1，Δ＝4(a2－3)．
当Δ>0，即a>或a<－时，
令f′(x)>0，即3x2＋2ax＋1>0，
解得x>或x<；
令f′(x)<0，即3x2＋2ax＋1<0，
解得故函数f(x)的单调递增区间是，
；
单调递减区间是.
当Δ≤0，即－≤a≤时，对所有的x∈R都有f′(x)≥0，故f(x)是R上的增函数．
角度2　对“根的大小”进行讨论
例2　已知函数f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2，求函数f(x)的单调递减区间．
解　f′(x)＝x2－(a＋a2)x＋a3＝(x－a)(x－a2)，
令f′(x)<0，得(x－a)(x－a2)<0.
①当a<0时，不等式的解集为a②当0③当a>1时，不等式的解集为a④当a＝0或a＝1时，f′(x)≥0，此时f(x)无单调递减区间．
综上所述，当a<0或a>1时，函数f(x)的单调递减区间为(a，a2)；
当0当a＝0或a＝1时，函数f(x)无单调递减区间．
反思感悟　利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域．
(2)求导数f′(x)．
(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论．
(4)在不同的参数范围内，解不等式f′(x)>0和f′(x)<0，确定函数f(x)的单调区间．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0)，求f(x)的单调区间．
解　函数f(x)＝x2＋aln x的导数为f′(x)＝x＋.
(1)当a>0时，函数的定义域是(0，＋∞)，
于是有f′(x)＝x＋>0，
所以函数只有单调递增区间，其单调递增区间是(0，＋∞)．
(2)当a<0时，函数的定义域是(0，＋∞)，
于是由f′(x)＝x＋>0，得x>；
由f′(x)＝x＋<0，得0所以当a<0时，函数的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．
二、已知函数的单调性求参数的取值范围
例3　已知关于x的函数y＝x3－ax＋b.
(1)若函数y在(1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)若函数y的一个单调递增区间为(1，＋∞)，求a的值．
解　y′＝3x2－a.
(1)若函数y＝x3－ax＋b在(1，＋∞)上单调递增．
则y′＝3x2－a≥0在x∈(1，＋∞)时恒成立，
即a≤3x2在x∈(1，＋∞)时恒成立，则a≤(3x2)min.
因为x>1，所以3x2>3.
所以a≤3，即a的取值范围是(－∞，3]．
(2)令y′>0，得x2>.
若a≤0，则x2>恒成立，即y′>0恒成立，
此时，函数y＝x3－ax＋b在R上是增函数，与题意不符．
若a>0，令y′>0，得x>或x<－.
因为(1，＋∞)是函数y的一个单调递增区间，
所以＝1，即a＝3.
延伸探究　将本例(1)改为“若函数y在(1，＋∞)上不单调”，则a的取值范围又如何？
解　y′＝3x2－a，
当a<0时，y′＝3x2－a>0恒成立，函数y在(1，＋∞)上单调递增，不符合题意；
当a>0时，函数y在(1，＋∞)上不单调，即y′＝3x2－a＝0在区间(1，＋∞)上有根．
由3x2－a＝0，可得x＝或x＝－(舍去)．
依题意，有>1，
所以a>3，所以a的取值范围是(3，＋∞)．
反思感悟　(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)．
跟踪训练2　若函数f(x)＝2x2＋ln x－ax是定义域上的增函数，求实数a的取值范围．
解　∵f(x)＝2x2＋ln x－ax的定义域为(0，＋∞)，
且是(0，＋∞)上的增函数，
∴f′(x)＝4x＋－a≥0在(0，＋∞)上恒成立．
∴a≤4x＋在(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝4x＋，
由于g(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即x＝时取等号．
∴g(x)min＝4.∴a≤4.
又当a＝4时，f′(x)＝4x＋－4＝＝≥0满足条件．
∴a的取值范围是(－∞，4]．
1.知识清单：
(1)求含参函数的单调区间．
(2)由单调性求参数的取值范围．
2．方法归纳：分类讨论、数形结合．
3．常见误区：求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论．
1．函数y＝xln x＋m的单调递增区间是(　　)
A. B．(0，e)
C. D.
答案　A
解析　定义域为{x|x>0}，由y′＝ln x＋1>0，得x>.
2．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a<1 C．a<2 D．a≤
答案　A
解析　∵f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
3．若函数f(x)＝－cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
答案　B
解析　由题意可得，f′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立，因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.
4．函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0,3)，则m＝________.
答案　
解析　令f′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，m＝.
课时对点练
1．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)在R上为增函数，则(　　)
A．b2－4ac>0 B．b>0，c<0
C．b＝0，c>0 D．b2－3ac≤0
答案　D
解析　由f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0，知Δ＝4b2－12ac≤0，故b2－3ac≤0.
2．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－2，＋∞) B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2] D．(－∞，2]
答案　A
解析　根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，
即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，
所以k∈[－2，＋∞)．
3．若函数y＝a(x3－x)的单调递减区间为，则a的取值范围是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－1,0)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
答案　A
解析　y′＝a(3x2－1)＝3a.
当－＜x＜时，＜0，
要使y＝a(x3－x)在上单调递减，
只需y′＜0，即a＞0.
4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上单调递增，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．0 D.
答案　B
解析　∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上单调递减，
∴≥1，得a≥2.g′(x)＝2x－，
依题意g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
即2x2≥a在x∈(1,2)时恒成立，有a≤2，∴a＝2.
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上是单调递增的，且在区间(0,2)上是单调递减的，则常数a的值为(　　)
A．1 B．2 C．－6 D．－12
答案　C
解析　f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0.若a>0，解得－6．(多选)函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x单调递增的必要不充分条件有(　　)
A．a≥2 B．a＝2
C．a≥1 D．a>2
答案　AC
解析　由函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x在区间(0，＋∞)上单调递增，
则f′(x)＝ax－(a＋2)＋＝≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
即ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
①当a＝0时，－2x＋2≥0 x≤1，不满足题意；
②当a<0时，ax2－(a＋2)x＋2＝a(x－1)≥0，
又<0，
即(x－1)≤0 x≤1，不满足题意；
③当a>0时，ax2－(a＋2)x＋2＝a(x－1)≥0，
又>0，ax2－(a＋2)x＋2≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，
则Δ＝(a＋2)2－8a＝(a－2)2≤0 a＝2，
综上，函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x单调递增的充要条件为a＝2，
故选AC.
7．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内单调递增，则实数b的取值范围是________．
答案　(－∞，2]
解析　由题意得y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立，
即b≤x在(2,8)内恒成立，所以b≤2.
8．已知f(x)＝x3＋x2－6x＋1在(－1,1)上单调递减，则m的取值范围为________．
答案　[－5,5]
解析　∵f(x)在(－1，1)上单调递减，∴f′(x)＝x2＋mx－6≤0在(－1，1)上恒成立，
又f′(x)＝x2＋mx－6是开口向上的二次函数，为使f′(x)≤0在(－1，1)上恒成立，
只需即则m∈[－5,5]．
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a2x＋2.
(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间．
解　(1)∵a＝1，
∴f(x)＝x3＋x2－x＋2，
∴f′(x)＝3x2＋2x－1，
∴f′(1)＝4.又f(1)＝3，
∴切点坐标为(1,3)，
∴所求切线方程为y－3＝4(x－1)，
即4x－y－1＝0.
(2)f′(x)＝3x2＋2ax－a2＝(x＋a)(3x－a)，
由f′(x)＝0，得x＝－a或x＝.
又a>0，由f′(x)<0，得－a由f′(x)>0，得x<－a或x>，
故f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(－∞，－a)和.
10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.
(1)是否存在a，使f(x)的单调递减区间是(－1,1)；
(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．
解　f′(x)＝3x2－a.
(1)∵f(x)的单调递减区间是(－1,1)，
∴－1∴x＝±1是方程3x2－a＝0的两根，∴a＝3.
(2)∵f(x)在R上是增函数，
∴f′(x)＝3x2－a≥0对x∈R恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立．
∵y＝3x2在R上的最小值为0.
∴a≤0，
∴a的取值范围是(－∞，0]．
11．已知函数f(x)＝在上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是(　　)
A. B．(－∞，3)
C. D．(－∞，)
答案　A
解析　易得f′(x)＝＋x－b＝.
根据题意，得f′(x)>0在上有解．
令h(x)＝2x2－2bx＋1，
因为h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或h>0，
解得b<.
12．当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－5，－3] B.
C．[－6，－2] D．[－4，－3]
答案　C
解析　当x>0时，a≥－－恒成立．
令＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.
∴a≥t－4t2－3t3恒成立．
令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2，
对称轴t＝－＝－，
∴函数g′(t)在[1，＋∞)上单调递减，
而且g′(1)＝－16<0，
∴g′(t)<0在[1，＋∞)上成立．
∴g(t)在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(t)max＝g(1)＝－6.
当x<0时，a≤－－恒成立，
令＝t，x∈[－2,0)，∴t≤－，
令g′(t)＝0，∴t＝－1，
∴g(t)在(－∞，－1]上单调递减，在上单调递增，
∴g(t)min＝g(－1)＝－2，
∴－6≤a≤－2.
13．若函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
解析　f′(x)＝ax2＋1，若a≥0，f′(x)>0恒成立，不符合题意．
若a<0，由f′(x)>0，得－由f′(x)<0，得x<－或x>，
即当a<0时，函数f(x)在上单调递增，在及上单调递减，
函数f(x)存在三个单调区间，满足题意，故a<0.
14．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为________．
答案　[1，＋∞)
解析　由已知a＞在区间(1，＋∞)内恒成立，
设g(x)＝，所以g′(x)＝－＜0(x＞1)，
所以g(x)＝在区间(1，＋∞)内单调递减．
所以g(x)＜g(1)．
因为g(1)＝1，所以＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，所以a≥1.
15．已知函数g(x)＝ex，若存在x∈[0，＋∞)，使得不等式g(x)答案　(－∞，3)
解析　由g(x)令F(x)＝ex－x，原问题可转化为－m＋3>F(x)min.
因为F′(x)＝ex＋ex－1＝ex－1，
当x>0时，2x＋1>x＋1≥2，ex>1，
即F′(x)＝ex－1>0，
即函数F(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
所以F(x)≥F(0)＝0，所以－m＋3>0，
即m<3.故实数m的取值范围为(－∞，3)．
16．讨论函数y＝(－1解　f(x)的定义域为(－1,1)．
∵函数f(x)是奇函数，
∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．
f′(x)＝b·＝－.
当00，(x2－1)2>0，
∴－<0.
若b>0，则f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递减；
若b<0，则f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增．
又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，
∴当b>0时，f(x)在(－1,1)上单调递减；
当b<0时，f(x)在(－1,1)上单调递增．

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