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第六章 计数原理
6.2 排列与组合
6.2.4 组合数
学案
一、学习目标
1. 理解组合数的概念，掌握组合数公式及组合数性质；
2. 认识组合与排列之间的区别与联系；
3. 能运用组合数公式解决一些简单的应用问题.
二、基础梳理
1. 组合数的概念：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号___________表示.
2. 组合数公式：______________________，这里，并且.
还可以写成____________.
3. 规定____________.
三、巩固练习
1.已知，则( )
A.14 B.15 C.13 D.12
2.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
3.若，则( )
A. B.4 C.或4 D.1或5
4.已知，下面恒成立的等式是( )
A. B. C. D.
5.从10名大学毕业生中选出3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A.85 B.56 C.49 D.28
6.有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排，不同的排列方法有___________种.
7.现有6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌，2人跳舞，共有_____________种不同的选法.（请用数学作答）
8.计算：.
9.回答下列问题：
（1）求值；
（2）已知，求.
10.蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员参加一项救援.
（1）若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？
（2）若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？
（3）若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同的选法？
答案以及解析
基础梳理
；
1
巩固练习
1.答案：D
解析：由题知，，由组合数的性质知，，
所以，所以，得.故选D.
2.答案：C
解析：从6名男医生中选出2名男医生有种选法，从5名女医生中选出1名女医生有种选法，所以不同的选法有种，故选C.
3.答案：B
解析：，
或，
解得或.
经检验，只有符合题意，的值是4.
故选B.
4.答案：B
解析：由组合数公式可知选项A错误；由排列数公式可知选项B正确；由组合数的性质可知，则选项C，D均错误.故选B.
5.答案：C
解析：丙没有入选，要把丙去掉，总的元素个数变为9.
甲、乙至少有1人入选，由条件可分为两类：
①甲、乙两人只有一人入选的选法有种，
②甲、乙都入选的选法有种.
根据分类加法计数原理知，共有种选法.故选C.
6.答案：56
解析：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有种排法.
7.答案：12
解析：根据题意，分三种情况：（1）既会唱歌又会跳舞的人未选中，有种选法；（2）选中既会唱歌又会跳舞的人唱歌，有种选法；（3）选中既会唱歌又会跳舞的人跳舞，有种选法.
故选法总数为.
8.答案：由组合数的性质可得.
9.答案：（1）由题意得，解得或.
当时，原式；当时，原式.
（2）由题意可知m的取值范围为，
由已知得，，
即，
整理得，解得（舍去）或.
10.答案：（1）共有12名救援员，若甲、乙必须参加，则再从剩下的10名中选3名即可，有种不同的选法.
（2）若甲、乙两人均不能参加，则从剩下的10名中选5名即可，有种不同的选法.
（3）由总的选法数减去5名都是男救援员的选法数，得到的就是至少有一名男救援员和一名女救援员参加的选法数，即有种不同的选法.

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