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第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
学案
一、学习目标
1.通过感受大量空间实物及模型，概括出柱、锥、台、球的结构特征.
2.能运用结构特征描述现实生活中简单物体的结构.
二、基础梳理
1.多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
2.旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
3.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 如图中的棱柱记作棱柱.
4.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 如图中的棱锥记作棱锥.
5.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.如图中的棱台记作棱台.
6.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 如图中的圆柱记作圆柱.
7.圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥. 如图中的圆锥记作圆锥.
8.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 如图中的圆台记作圆台.
9.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 如图中的球记作球O.
10.简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体. 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
三、巩固练习
1.下列几何体中是棱柱的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.给出下列叙述：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；
③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形.
其中叙述正确的序号是( )
A.①②③④ B.①②③ C.②③ D.③
3.如图所示的组合体，其结构特征是( )
A.左边是三棱台，右边是圆柱
B.左边是三棱柱，右边是圆柱
C.左边是三棱台，右边是长方体
D.左边是三棱柱，右边是长方体
4.下列结论中正确的是( )
A.以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆锥
B.以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆台
C.以平行四边形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体是一个圆柱
D.圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球
5.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )
A.是棱台
B.是圆台
C.不是棱柱
D.是棱锥
6.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为( )
A.一个球 B.一个球挖去一个圆柱
C.一个圆柱 D.一个球挖去一个长方体
7.下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是( )
A. B. C. D.
8.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A.该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体
B.该几何体有12条棱、6个顶点
C.该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D.该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形
9.给出下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线，②球的直径是球面上任意两点的连线；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆；④球常用表示球心的字母表示.其中说法正确的是____________.
10.关于如图所示几何体的正确说法的序号为___________.
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
11.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是___________（填序号）.
12.一个圆台的母线长为12cm，两底面的面积分别为和.
（1）求圆台的高；
（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.
13.在一个长方体的容器中，里面装有一定量的水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中，
（1）水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
（2）水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
（3）如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底面的一个顶点，上面的第（1）问和第（2）问对不对？
答案解析
1.答案：C
解析：棱柱的定义为有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.观察图形满足棱柱概念的几何体有（1）（3）（5）共3个.故选C.
2.答案：D
解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故错误；
对于②，由棱台的定义可知只有当该平面与底面平行时，底面与截面之间的部分才是棱台，故错误；
对于③，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故正确；
对于④，棱台的侧棱延长后交于一点，但其侧面不一定是等腰梯形，故错误.故选D.
3.答案：D
解析：根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体.故选D.
4.答案：D
解析：在选项A中，若绕直角三角形的斜边所在直线旋转一周，则得到的几何体不是一个圆锥，故选项A错误；在选项B中，若绕直角梯形的上底所在直线旋转一周，则得到的几何体不是圆台，故选项B错误；在选项C中，若平行四边形的一个内角为锐角，则绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体不是圆柱，故选项C错误；在选项D中，圆面绕其一条直径所在直线旋转后得到的几何体是一个球，故选项D正确.故选D.
5.答案：D
解析：对于A选项，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，A错误；对于B选项，上、下两个面不平行，不符合圆台的定义，B错误；对于C选项，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，C错误；对于D选项，符合棱锥的定义，D正确.故选D.
6.答案：B
解析：由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱.故选B.
7.答案：B
解析：A.旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成；C.旋转得到的几何体由两个圆锥构成；D.旋转得到的几何体由一个圆锥以及一个圆柱构成.故选B.
8.答案：D
解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故D说法不正确.故选D.
9.答案：①③④
解析：根据球的定义直接判断①正确；②错误；③用一个平面截一个球面，得到的是一个圆：可能是小圆，也可能是大圆，正确；④球常用表示球心的字母表示，满足球的定义，正确.
10.答案：①③④⑤
解析：①正确，因为有六个面，属于六面体的范围；②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；③正确，如果把几何体放倒，会发现是一个四棱柱；④⑤都正确，如图所示.
11.答案：①⑤
解析：当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时，截面图形如图①；当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时，截面图形可能为图⑤.
12.解析：（1）过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD，设，O分别为AD，BC的中点，连接，作于点M.
由已知可得上底半径，下底半径，腰长，所以，即圆台的高为.
（2）延长BA，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，可得，即，所以，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
13. 解析：（1）不对.
水面的形状就是用一个与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面截长方体时截面的形状，因而是矩形，不可能是非矩形的平行四边形.
（2）不对.
水的形状就是用与棱（倾斜时固定不动的棱）平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水较多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥.
（3）用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形；水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台.故此时（1）对，（2）不对.

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