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二次函数的应用
知识精讲
一．二次函数求解实际问题中的最值问题
设二次函数，自变量在没有限制条件时：
当时，；无最大值；
当时，；无最小值．
当自变量有限制时，要分类讨论，利用二次函数的增减性判断相应范围上的最值问题．
二．二次函数的实际应用
1．二次函数与面积问题；
2．二次函数与经济问题；
3．二次函数与拱桥问题；
4．二次函数与其它问题．
面积问题
例题
例题1、如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成矩形草坪ABCD。
（1）若此草坪面积为120平方米，求该矩形草坪BC边的长；
（2）当BC边为多长时，矩形草坪面积最大，最大是多少？
例题2、如图，四边形ABCD中，，，，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ）
A.. B.. C.. D..
例题3、某农户准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用30米长的篱笆围成，已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若垂直于墙的一边为多少米时，苗圃园的面积最大值？最大面积是多少？
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
经济问题
例题
例题1、某宾馆有30个房间供旅客居住，当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）每个房间每天的定价为多少时，宾馆利润最大？
（2）若物价局规定，每个房间每天定价不得超过200元，则该宾馆如何定价，每天能获得最大利润？最大利润是多少？
例题2、某商场购进一批玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与每天的销售量y（件）的关系如下表：
若每天的销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设商场销售玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？
（3）若商场销售玩具每天获得的利润最多不超过15000元，最低不低于12000元，那么商场该如何确定玩具的销售单价的波动范围？请你直接给出销售单价x的范围．
例题3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．通过调查发现，这种水产品每千克售价y1（元）与销售月份x（月）之间满足函数解析式y1=﹣x+36，而每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数图象如图所示．
（1）确定b，c的值；
（2）求这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数解析式；
（3）“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
随练
随练1、某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均每台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染的电脑会不会超过台？
随练2、某公司生产一种产品，每件成本为元，售价为元，年销售量为万件．为获取更好的效益，公司准备拿出一定资金做广告．通过市场调查发现：每年投入的广告费用为（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的倍；同时又是的二次函数，相互关系如下表：
（1）求与的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润（十万元）与广告费（十万元）的函数关系式；
（3）如果一年投入的广告费为万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
拱桥问题
例题
例题1、如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加________m．
例题2、某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设不锈钢管（如图）做成立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员测得如图所示的数据．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）计算所需不锈钢管的总长度．
随练
随练1、一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=-x2+x+，铅球运行路线如图．
（1）求铅球推出的水平距离；
（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m？
随练2、如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部米时，水面宽为米，如图建立直角坐标系．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当水位上升米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中）．
其他问题
例题
例题1、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A..1 B..2 C..3 D..4
例题2、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A..球不会过网 B..球会过球网但不会出界
C..球会过球网并会出界 D..无法确定
例题3、经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．
随练
随练1、科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．
如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y=，10：00之后来的游客较少可忽略不计．
（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；
（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？
随练2、一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度与水平距离之间的关系用如图所示的二次函数图象表示．（铅球从点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）
（1）由已知图象上的三点，求与之间的函数关系式；
（2）求出铅球被推出的距离；
（3）若铅球到达的最大高度的位置为点，落地点为，求四边形的面积．
拓展
拓展1、如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是________（不写定义域）．
拓展2、经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在下列横线上：
销售单价x（元）___；
销售量y（件）__________；
销售玩具获得利润w（元）___________________；
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
拓展3、已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如左图所示．
（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义．
（2）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如右图所示，该经销商拟每日售出以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．
拓展4、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为米，桥洞离水面的最大高度为，跨度为，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．
（2）如图，在对称轴右边处，桥洞离水面的高是多少？
拓展5、小强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线、满足抛物线，其中是球的飞行高度，是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有．
（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴；
（2）请求出球飞行的最大水平距离；
（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．
拓展6、一身高1.8m的篮球运动员在距篮板4m处起跳投篮，球在运动员头顶上方0.25m处出手，按如图所示的直角坐标系，球在空中运行的路线可以用y=﹣0.2x2+3.5来描述，那么：
（1）球能达到的最大高度是多少？
（2）球出手时，运动员跳离地面的高度是多少？
x（元） … 35 40 45 50 …
y（件） … 750 700 650 600 …
……
……
t 0 1 2 3 4 5 6 7 …
h 0 8 14 18 20 20 18 14 …

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