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三角形全等的判定
三角形全等的证明
第1段
1.“边边边”判定两个三角形全等
三边分别对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”.格式：在△ABC和△DEF中
∴ △ABC≌△DEF（SSS）
注意：
书写过程中，一定要保持非常精准的对应关系.因为 “对应”是解三角形全等问题的灵魂所在.
2.“角边角”“角角边”判定三角形全等
角边角：两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 格式：在△ABC和△DEF中
∴ △ABC≌△DEF （ASA）
角角边：两角分别对应相等且其中一组等角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 格式：在△ABC和△DEF中
或
∴ △ABC≌△DEF（AAS）
注意：
因为三角形的内角和是180°，所以如果两个三角形（△ABC与△DEF），它们有两个角对应相等（∠A＝∠D，∠B＝∠E），那第三个角必然也对应相等（∠C＝∠F）.
所以这两种证明全等的方法，在本质上其实是同一种，即三个角对应相等且有一条边对应相等的两个三角形全等.
在书写的过程中，三个角相等，我们只需要书写其中的两个角相等，然后加一条边相等，就构成了“AAS”或者“ASA”这 两种看似不同的证明方法.
3.“边角边”判定三角形全等 两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 格式：在△ABC和△DEF中
∴ △ABC≌△DEF （SAS）
注意： 用两边和一个角证明两个三角形全等时，角必须是两边的夹角.
4.直角三角形的全等
如果有两个三角形都是直角三角形，我们可以通过证明它们的斜边和其中一条直角边对应相等，得到这两个直角三角形全等.
格式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，
或
∴Rt△ABC和Rt△DEF中（HL）
注意：直角三角形全等虽然看起来只要两个条件，即两边对应相等，但是我们后面学了勾股定理之后就会明白，直角三角形的三边满足一定的数量关系，由两边对应相等，可以算出第三边必然对应相等，所以直角三角形全等的证明方法可以归类到“SSS”中去.
例1
如图，点B，F，C，E在直线 上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）指出图中所有平行的线段，并说明理由．
练1
如图，B、D为AE上两点，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF，则下列结论：①AC∥DF；②∠C＝∠F；③BC∥EF；④∠A＝∠E.其中正确的是 （填序号）.
例2
如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB＝DE，BF＝EC，请添加一个条件，使得本题能用“SSS”判定△ABC≌△DEF，并写出证明过程.
练2
如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，添加下列条件，能够使用“SSS”证明△ABC≌△DEC的是（ ）.
BC=DC，AC=EC B、BC=EC，AC=DC C、BC=AC，EC＝DC D、以上都不能
例3
如图，AB=AD，∠C=∠E，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADE．
练3
如图，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（ ）.
∠A=∠D B、BE=CF，AC=DF C、∠ACB=∠F D、AC=DF
例4
已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．求证：△ACD≌△CBE．
练4
如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）.
AB=AC B、BD=CD C、∠B=∠C D、∠BDA=∠CDA
例5
如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，试用（HL）全等识别法说明AD平分∠BAC．
练5
如图，BE和CD是△ABC的高，它们相交于点O，且BE=CD，则图中有 对全等三角形，其中根据“HL”来判定三角形全等的有 对．
例6
如图，在△ABC中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC外的等边三角形，而点D在A C上，且BC=DC
（1）证明：△C′BD≌△B′DC；
（2）证明：△AC′D≌△DB′A；
练6
如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（ ）.
A、75° B、70° C、65° D、60°
用全等思想解决实际问题
第1段
1.学习了全等的知识之后，我们可以把生活中的一些问题，用全等的思想建立起数学模型，从而进行研究.比如构造全等三角形测量两地之间的距离等.
2.在解答题中，有一类动点问题常常把行程问题和全等结合在一起考查，有一定难度，需要多加练习巩固.
3.用全等思想来解决实际问题，基础还在于掌握几种证明全等的方法，以及全等的性质.
例7
工人师傅常用角尺平分一个任意角．作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移 动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种作法的道理是
（ ）.
A、HL B、SSS C、SAS D、ASA
练7
已知AB=CD，BC=AD，小明看了一眼图形，断定△ABC≌△CDA，他的理由是（ ）.
“AAA” B、"SAS" C、“ASA" D、"SSS"
例8
初一（1）班的篮球拉拉队，为了在明天的比赛中给同学加油助威，每个人都提前制作了一面同一规格的三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角，他想用彩纸重新制作一面彩旗（如图所示）．于是小明挑选了其中的一块，准备用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形，你认为他作图的根据是 ．（只要填写两个三角形全等的一个条件：如SSS、AAS、ASA等）
练8
如图，小明不小心把一块三角形的玻璃摔成三块碎片，现要带其中一块取配出与原来完全一样的玻璃，正确的办法是带 第（ ）块去配，这是因为这两块玻璃全等，其全等的依据是（ ）．
①：SAS B、②：SAS C、③：SSS D、③：ASA
例9
泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图，B是观察点，船A在B 的正前方，过B作AB的垂线，在垂线上截取任意长BD，C是BD的中点，观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走，直到点E、船A和点C在一条直线上，那么△ABC≌△EDC，从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB，这里判定△ABC≌△ED C的方法是（ ）.
SAS B、ASA C、AAS D、SSS
练9
小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸到里边直接测，于是她拿来了两根长 度相同的细木条，并且把两根细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻 璃瓶的内径是多少，那么△OAB≌△OCD理由是（ ）.
边角边 B、角边角 C、边边边 D、角角边
例10
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠B AC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD=AB：AC，其中正确的有（ ）.
A、5个 B、4个 C、3个 D、2个
练10
如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（ ）.
A、4cm B、6cm C、8cm D、9cm
附加题1
如图，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明；
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？
若点Q以②的运动速度从点C出发点，P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间 点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
附加题2
如图，已知△ABC中，AB=AC=24厘米，∠ABC=∠ACB，BC=16厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
附加题3
【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“H L”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E.然后对∠B进行分 类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．请写出证明过程.
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
（3）当∠B是锐角时，△ABC和△DEF 全等．（填“一定”或者“不一定”）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？ 请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．
附加题4
根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ）.
A、 AB=3，BC=4，AC=8 B、AB=4，BC=3，∠A=30°
C 、∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D、∠C=90°，AB=6
一课一练1
如图，a、b、c分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是（ ）.
B、 C、 D、
一课一练2
如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）.
AB=DE B、∠B=∠E C、EF=BC D、EF∥BC
一课一练3
在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则 与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）.
A、1 B、2 C、3 D、4
一课一练4
下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两 个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（ ）
①② B、②③ C、①③ D、①②③
一课一练5
已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接B D，BE．以下四个结论： ①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°． 其中结论正确的个数是 （ ）.
A、1 B、2 C、3 D、4
一课一练6
如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ）.
A、50 B、62 C、65 D、68
课后作业1
如图，AB∥FC，DE=EF，AB=15，CF=8，则BD等于（ ）.
A、8 B、7 C、6 D、5
课后作业2
如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）.
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个
课后作业3
下列判断不正确的是（ ）
A、形状相同的图形是全等图形 B、能够完全重合的两个三角形全等
C、全等图形的形状和大小都相同 D、全等三角形的对应角相等
? ? 课后作业4
如图，给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF；
②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；
④AC=DF，∠A=∠D，∠B=∠E；
其中能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）.
A、1组 B、2组 C、 3组 D、4组
课后作业5
一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整四碎片（如图所示），聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带 其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．你认为下列四个答案中考虑最全面的是（ ）.
A、带其中的任意两块去都可以 B、带①②或②③去就可以了
C、带①④或③④去就可以了 D、带①④或②④或③④去均可
课后作业6
如图，两棵大树间相距13m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90°，且EA=ED．已知大树AB的高为5m，小华行走的速度为1m/s，小华走的时间是（ ）.
A、13 B、8 C、6 D、5
答案：
例1：
练1：①②③
例2：
练2：B
例3：
练3：D
例4：
练4：B
例5：
练5：
例6：
练6：C
例7：B
练7：D
例8：
练8：D
例9：B
练9：A
例10：A
练10：C
附加题1：
附加题2：
附加题3：
附加题4：C
一课一练1:B；一课一练2:C；一课一练3:D；一课一练4:A；一课一练5:D；一课一练6:A
课后作业1：B ；课后作业2：B ；课后作业3：A；课后作业4：D；课后作业5：D；
课后作业6：B

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