资源简介

7.1.1 数系的扩充和复数的概念（导学案）
教学重难点 教学目标 核心素养
复数的有关概念 了解数系的扩充过程，理解复数的概念 数学抽象
复数的分类 理解复数的分类 数学抽象
复数相等 掌握复数相等的充要条件及其应用 数学运算
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？
2．复数分为哪两大类？
3．复数相等的条件是什么？
二、新知探究
探究点1：复数的概念
例1：下列命题：
①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的命题是（　　）
A．① B．②
C．③ D．④
解析：对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．
答案：D
规律方法1：判断与复数有关的命题是否正确的方法
（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．
探究点2：复数的分类
例2：当实数m为何值时，复数z＝＋（m2－2m）i：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？
解：（1）当即m＝2时，复数z是实数．
（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
（3）当即m＝－3时，复数z是纯虚数．
规律方法2：解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0．
探究点3：复数相等
例3：（1）若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（　　）
A．4或0 B．－4或0
C．2或0 D．－2或0
（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．
答案：（1）A （2）－2
解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A．
（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，
所以即解得x＝－2．
规律方法3：复数相等的充要条件
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立．　
三、课堂总结
1．复数的有关概念
（1）复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．
（2）复数集
全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．
（3）复数的表示方法
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．
2．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
3．复数的分类
（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
名师点拨：复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数．
四、课堂检测
1．若复数z＝ai2－bi（a，b∈R）是纯虚数，则一定有（　　）
A．b＝0 B．a＝0且b≠0
C．a＝0或b＝0 D．ab≠0
解析：选B．z＝ai2－bi＝－a－bi，由纯虚数的定义可得a＝0且b≠0．
2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（　　）
A．－1 B．2
C．1 D．－1或2
解析：选D．因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2．
3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．
答案：－3
解析：因为z＜0，所以解得m＝－3．
4．已知＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．
答案：3
解析：因为x∈R，所以∈R，
由复数相等的条件得解得x＝3．

展开更多......

收起↑