资源简介

6.3.1 平面向量基本定理
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1. 理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义。（重点） 2. 掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量。（重点） 1.数学运算; 2.数学抽象
【自主学面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
思考：基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)基底中的向量不能为零向量．(　　)
(2)若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，则必有a＝c，b＝d.(　　)
(3)若两个向量的夹角为θ，则当|cosθ|＝1时，两个向量共线．(　　)
(4)若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是60°.(　　)
(5)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．(　　)
(6)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.　(　　)
【经典例题】题型一 平面向量基本定理的理解
例1 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　 　)
①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝.
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② 　B．②③　　 C．③④　　 D．②
【跟踪训练】1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
题型二 用基底表示平面向量　
例2 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，＝a，＝b.试以{a，b}为基底表示，.
【跟踪训练】2 如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M、N分别是边OA、OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a、b表示.
.
【当堂达标】
1.下列说法中，正确说法的个数是(　 　)
①在△ABC中，，可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．3
2.如图在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)
A.(5e1＋3e2)　B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1)
3.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　 　)
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
4.已知非零向量，不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
5.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝ .
6.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示，.

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