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初中数学解题模型之图形认识初步（双中点线段）
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 宝安区期末）如图，点C、D分别是线段AB上两点（CD＞AC，CD＞BD），用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
2．（2021秋 工业园区期末）延长线段AB至点C，分别取AC、BC的中点D、E．若AB＝8cm，则DE的长度（ ）
A．等于2cm B．等于4cm C．等于8cm D．无法确定
3．（2021秋 白云区期末）已知点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020秋 广南县期末）如图，点C是线段AB上的点，点E、F分别是AC、BC的中点，若AC＝6，EF＝5，则线段BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
5．（2021秋 公安县期末）如图，A，B，C依次为直线l上三点，M为AB的中点，N为MC的中点，且AB＝8cm，NC＝10cm，则BC的长是（ ）cm．
A．6 B．12 C．16 D．18
6．（2021秋 郎溪县期末）已知线段AB＝2022cm，点C是直线AB上一点，BC＝1000cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．1011cm B．511cm
C．1511cm D．511cm或1511cm
7．（2021秋 宣汉县期末）如图，线段AB＝16cm，点C在线段AB上，点M、点N分别是AC、BC的中点，则MN＝（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．无法确定
8．（2021秋 潍坊期末）如图，点C，D是线段AB上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，若AB＝m，MN＝n，则线段CD的长等于（ ）
A．（m+n） B．2（m﹣n） C．2m﹣n D．2n﹣m
9．（2021秋 巴南区期末）如图，点C在线段AB上，且AC：CB＝3：2，点D、E分别是AC、AB的中点，若线段DE＝2cm，则AB的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
10．（2021秋 舞钢市期末）如图，点C是线段AB上的一点，且AC＜BC，M和N分别是AB和BC的中点，已知AC＝10，NB＝7，则线段MN的长度是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋 洪山区期末）点C、D都在线段AB上，且AB＝30，CD＝12，E，F分别为AC和BD的中点，则线段EF的长为 ．
12．（2021秋 龙沙区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 ．
13．（2021秋 新都区期末）如图所示，已知点B在线段OA上，点C是线段OA的中点，点D是线段OB的中点，若线段OA＝25cm，线段OB＝15m，则线段CD的长度为 cm．
14．（2021秋 武昌区期末）已知线段AB＝a，在直线AB上取一点C，使得BC＝AB，若M，N分别为AB，BC的中点，则MN＝ ．（用含a的式子表示）
15．（2021秋 聊城期末）如图，已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点；则DE的长为 cm．
16．（2021秋 道县期末）如图，延长长度为10的线段AB到C，使BC＝6，M、N分别是AB、BC的中点，则MN的长为 ．
17．（2019秋 寿阳县期末）点C在直线AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点．则线段MN的长为 ．
18．（2017秋 平顶山期末）如图，点C是线段AB上的一点，M、N分别是AC、BC的中点，且MN＝7cm，则线段AB＝ cm．
19．（2016秋 桑植县期末）如图：线段AD＝8cm，线段AC＝BD＝6cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，EF的长是 ．
20．（2016秋 茌平县期末）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的值是 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2021秋 大名县期末）如图所示，点C、D在线段AB上，点E、F分别是AC、DB的中点．
（1）设EF＝7cm，CD＝4cm，求线段AB的长；
（2）设AB＝a，EF＝b，用a，b表示线段CD的长．
22．（2021秋 岳麓区校级期末）如图，C是线段AB上一点，线段AB＝25cm，，D是AC的中点，E是AB的中点．
（1）求线段CE的长；
（2）求线段DE的长．
23．（2021秋 南昌县期末）如图，已知线段AB＝10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点．
（1）AO＝ CO；BO＝ DO；
（2）求线段CD的长度；
（3）小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度．
24．（2021秋 攸县期末）已知点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M为线段AC中点．
（1）如图1，若点N为线段CB的中点，求线段MN的长；
（2）如图2，若点N为线段CB上的点，且满足2CN＝3NB，求线段MN的长．
25．（2021秋 公安县期末）如图，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点．
（1）若线段CD＝6，求线段AB的长；
（2）若题中的“点O是线段AB上一点”改为“点O是线段BA延长线上一点”，其他条件不变，请你画出图形，若AB＝8，求CD的长．
初中数学解题模型之图形认识初步（双中点线段）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋 宝安区期末）如图，点C、D分别是线段AB上两点（CD＞AC，CD＞BD），用圆规在线段CD上截取CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，AB＝8，则CD＝（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】由作图可得点C和点D分别是AE、BF的中点，再根据线段中点的定义可得答案．
【解答】解：∵CE＝AC，DF＝BD，若点E与点F恰好重合，
∴点C和点D分别是AE、BF的中点，
∴CE＝AE，DF＝BF，
∴CD＝CE+DF＝AE+BF＝AB＝4．
故选：A．
【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．
2．（2021秋 工业园区期末）延长线段AB至点C，分别取AC、BC的中点D、E．若AB＝8cm，则DE的长度（ ）
A．等于2cm B．等于4cm C．等于8cm D．无法确定
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据题意画出图形，再利用线段中点的定义可得答案．
【解答】解：如图，
∵线段AC、BC的中点是D、E，
∴DC＝AC，EC＝BC，
∴DE＝DC﹣EC＝AC﹣BC＝AB＝4cm．
故选：B．
【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．
3．（2021秋 白云区期末）已知点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据线段的中点性质先求出AD，再求出AB即可．
【解答】解：如图：
∵C是线段AD的中点，CD＝1，
∴AD＝2CD＝2，
∵点D是线段AB的中点，
∴AB＝2AD＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件画出图形是解题的关键．
4．（2020秋 广南县期末）如图，点C是线段AB上的点，点E、F分别是AC、BC的中点，若AC＝6，EF＝5，则线段BE的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据线段中点的性质，可得AE、AB的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：∵点E，F分别是AC，BC的中点，AC＝AB+BC，
∴CE＝AE＝AC＝3，CF＝BC，
∴EF＝CE+CF＝AC+BC＝AB＝5，
∴AB＝10，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣3＝7．
故选：B．
【点评】本题考查了求两点之间的距离，根据线段中点的性质得AE、AB的长是解此题的关键．
5．（2021秋 公安县期末）如图，A，B，C依次为直线l上三点，M为AB的中点，N为MC的中点，且AB＝8cm，NC＝10cm，则BC的长是（ ）cm．
A．6 B．12 C．16 D．18
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】因为M为AB的中点，N为MC的中点，则可求AM＝BM＝AB＝4cm，BN＝MN﹣BM＝6cm，故BC＝BN+NC可求．
【解答】解：∵M为AB的中点，
∴AM＝BM＝AB＝4cm，
∵N为MC的中点，
∴MN＝NC＝10cm．
∴BN＝MN﹣BM＝6cm，
∴BC＝BN+NC＝6+10＝16（cm）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了线段的中点，关键是能根据线段的中点写出正确的表达式，从而求出有关的一些线段的长．
6．（2021秋 郎溪县期末）已知线段AB＝2022cm，点C是直线AB上一点，BC＝1000cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．1011cm B．511cm
C．1511cm D．511cm或1511cm
【考点】两点间的距离．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】本题需要分两种情况讨论，①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，根据线段中点的定义，计算即可．
【解答】解：如图，
①当点C在线段AB上时，AB＝2022cm，BC＝1000cm，
∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴AC＝2022﹣1000＝1022cm，
则MN＝MC+CN＝AC+BC＝511+500＝1011cm；
②当点C在线段AB的延长线上时，AC＝2022+1000＝3022cm，
MN＝MC﹣CN＝AC﹣BC＝1511﹣500＝1011cm．
综上所述，线段MN的长度是1011cm．
故选：A．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，难点在于要分情况讨论．
7．（2021秋 宣汉县期末）如图，线段AB＝16cm，点C在线段AB上，点M、点N分别是AC、BC的中点，则MN＝（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．无法确定
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，可知：MN＝MC﹣NC＝AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝AB，继而即可得出答案．
【解答】解：∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
∴MN＝MC﹣NC＝AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝AB，
∵AB＝16cm，
∴MN＝8cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了比较线段的长短的知识，注意理解线段的中点的概念．利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，比较简单．
8．（2021秋 潍坊期末）如图，点C，D是线段AB上任意两点，点M是线段AC的中点，点N是线段DB的中点，若AB＝m，MN＝n，则线段CD的长等于（ ）
A．（m+n） B．2（m﹣n） C．2m﹣n D．2n﹣m
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】先由AB﹣MN＝m﹣n，得AM+BN＝m﹣n，再根据中点的性质得AC+BD＝2m﹣2n，最后由CD＝AB﹣（AC+BD）即可求出结果．
【解答】解：∵AB＝m，MN＝n，
∴AB﹣MN＝m﹣n，
∴AM+BN＝m﹣n，
∵点M是AC的中点，点N是DB的中点，
∴AM＝MC，BN＝DN，
∴AC+BD＝AM+MC+BN+DN＝2（AM+BN）＝2（m﹣n）＝2m﹣2n．
∴CD＝AB﹣（AC+BD）＝m﹣（2m﹣2n）＝2n﹣m．
故选：D．
【点评】本题考查与线段中点有关的计算，解题的关键是掌握线段中点的性质．
9．（2021秋 巴南区期末）如图，点C在线段AB上，且AC：CB＝3：2，点D、E分别是AC、AB的中点，若线段DE＝2cm，则AB的长为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据比值，可得 AC、BC，根据线段中点的性质，可得AD，AE，根据线段的和差，可得关于x的方程，根据解方程，可得x的值，可得答案．
【解答】解：由AC：CB＝3：2，
得AC＝3x，BC＝2x，
∴AB＝AC+BC＝5x．
由D、E两点分别为AC、AB的中点，
得AD＝AC＝1.5x，AE＝AB＝2.5x，
由线段的和差，
得DE＝AE﹣AD＝2.5x﹣1.5x＝x，
∵DE＝2，
∴x＝2，AB＝5x＝10cm，
故选：B．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用比值得出AC＝3x，BC＝2x是解题关键．
10．（2021秋 舞钢市期末）如图，点C是线段AB上的一点，且AC＜BC，M和N分别是AB和BC的中点，已知AC＝10，NB＝7，则线段MN的长度是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据线段中点的定义可得AB＝24，再利用MN＝BM﹣BN可得答案．
【解答】解：∵N是BC的中点，
∴BN＝CN，
∴AB＝AC+2BN＝10+14＝24，
∵M是中点，
则BM＝AB＝12，
∴MN＝BM﹣BN＝12﹣7＝5，
故选：D．
【点评】本题考查的是两点间的距离，关键是通过中点确定所求线段和整体线段的数量关系，进而求解．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋 洪山区期末）点C、D都在线段AB上，且AB＝30，CD＝12，E，F分别为AC和BD的中点，则线段EF的长为 9或21 ．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】注意分情况讨论，当点D在点C的左边和右边时，画出对应图形，可得答案．
【解答】解：如图，当点D在点C的左边时，
∵E，F分别为AC和BD的中点，
∴AE＝AC，BF＝DB，
∴EF＝AB﹣（AE+BF）＝AB﹣（AC+DB）＝AB﹣＝30﹣（30+12）＝9，
如图，当点D在点C的右边时，
∵E，F分别为AC和BD的中点，
∴AE＝AC，BF＝DB，
∴EF＝AB﹣（AE+BF）＝AB﹣（AC+DB）＝AB﹣（AB﹣CD）＝30﹣（30﹣12）＝21．
故答案为：9或21．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差．
12．（2021秋 龙沙区期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB＝30，BC＝10，则MN的长是 10或20 ．
【考点】两点间的距离．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】此题首先要考虑A、B、C三点在直线上的不同位置：点C在线段AB上或点C在线段AB的延长线上．再根据线段中点的概念进行计算．
【解答】解：∵M，N分别为AB，BC的中点，
∴BM＝AB＝15，BN＝BC＝5，
如图，点C在线段AB上时，
MN＝BM﹣BN＝15﹣5＝10，
如图，点C在线段AB的延长线上时，
MN＝BM+BN＝15+5＝20；
故答案为：10或20．
【点评】此题考查了两点间的距离，正确考虑三点在直线上的不同位置，掌握线段的中点概念是解题的关键．
13．（2021秋 新都区期末）如图所示，已知点B在线段OA上，点C是线段OA的中点，点D是线段OB的中点，若线段OA＝25cm，线段OB＝15m，则线段CD的长度为 5 cm．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据线段中点的定义求出OC和OD的长，进而可得答案．
【解答】解：∵点C是线段OA的中点，点D是线段OB的中点，OA＝25cm，OB＝15cm，
∴OC＝OA＝12.5cm，OD＝OB＝7.5cm，
∴DC＝OC﹣OD＝12.5﹣7.5＝5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义是解题关键．
14．（2021秋 武昌区期末）已知线段AB＝a，在直线AB上取一点C，使得BC＝AB，若M，N分别为AB，BC的中点，则MN＝ a或a ．（用含a的式子表示）
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】分两种情况进行讨论，先画图来确定C、A、B三点的位置，然后根据这三点的位置来确定MN的长．
【解答】解：如图，当点C在线段AB上时，
∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM＝AB，BN＝BC，
又∵AB＝a，BC＝AB＝a，
∴MN＝BM﹣BN＝a﹣a＝a；
当点C在线段AB的延长线上时，
∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM＝AB，BN＝BC，
又∵AB＝a，BC＝AB＝a，
∴MN＝BM+BN＝a+a＝a．
故答案为：a或a．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
15．（2021秋 聊城期末）如图，已知点C为AB上一点，AC＝12cm，CB＝AC，D、E分别为AC、AB的中点；则DE的长为 4 cm．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据AC＝12cm，CB＝AC，求出CB的长度，从而得到AB的长度，根据D、E分别为AC、AB的中点，分别求出AD，AE，最后根据DE＝AE﹣AD即可求出DE的长．
【解答】解：∵AC＝12cm，CB＝AC，
∴CB＝12×＝8（cm），
∴AB＝AC+CB＝12+8＝20（cm），
∵D、E分别为AC、AB的中点，
∴AD＝AC＝×12＝6（cm），AE＝AB＝×20＝10（cm），
∴DE＝AE﹣AD＝10﹣6＝4（cm），
故答案为：4．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，解题的关键是：根据D、E分别为AC、AB的中点，求出AD，AE的长．
16．（2021秋 道县期末）如图，延长长度为10的线段AB到C，使BC＝6，M、N分别是AB、BC的中点，则MN的长为 8 ．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】利用线段中点的定义得到MB＝AB＝4，BN＝BC＝2，然后计算MB+BN即可．
【解答】解：∵AB＝10，BC＝6，M、N分别是AB、BC的中点，
∴MB＝AB＝5，BN＝BC＝3，
∴MN＝MB+BN＝5+3＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
17．（2019秋 寿阳县期末）点C在直线AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点．则线段MN的长为 7cm或1cm ．
【考点】两点间的距离．
【专题】常规题型．
【分析】作出草图，分点B在线段AC上与点B不在线段AC上两种情况进行讨论求解．
【解答】解：①点B在AC上，如图1，
∵AC＝8cm，CB＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC＝4cm，CN＝BC＝3cm，
∴MN＝MC﹣CN＝4﹣3＝1cm，
②点B在射线AC上时，如图2，AC＝8cm，CB＝6cm，
点M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM＝AC＝4cm，CN＝BC＝3cm，
∴MN＝MC+CN＝4+3＝7cm．
故答案为：7cm或1cm．
【点评】本题考查了两点间的距离与中点的位置，注意要分两种情况讨论，避免漏解．
18．（2017秋 平顶山期末）如图，点C是线段AB上的一点，M、N分别是AC、BC的中点，且MN＝7cm，则线段AB＝ 14 cm．
【考点】两点间的距离．
【专题】推理填空题．
【分析】根据题目中的数据和图形可以求得AB与MN的关系，从而可以求得AB的长．
【解答】解：∵点C是线段AB上的一点，M、N分别是AC、BC的中点，
∴AC＝2MC，BC＝2CN，
∵MN＝MC+NC，MN＝7cm，
∴AB＝2MN＝14cm，
故答案为：14．
【点评】本题考查两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（2016秋 桑植县期末）如图：线段AD＝8cm，线段AC＝BD＝6cm，E、F分别是线段AB、CD的中点，EF的长是 6cm ．
【考点】两点间的距离．
【分析】根据题意、结合图形分别求出AB、CD的长，根据线段中点的性质求出EA、DF，计算即可．
【解答】解：∵AD＝8cm，AC＝BD＝6cm，
∴AB＝CD＝2cm，
∵E、F分别是线段AB、CD的中点，
∴EA＝AB＝1cm，DF＝CD＝1cm，
EF＝AD﹣AE﹣DF＝6cm．
故答案为：6cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
20．（2016秋 茌平县期末）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的值是 5cm ．
【考点】两点间的距离．
【分析】由已知条件可知，MN＝MC+NC，又因为点M、N分别是AC、BC的中点，则MC＝AC，NC＝BC，故MN＝MC+NC＝（AC+BC），由此即可得出结论．
【解答】解：∵AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC＝3cm，NC＝2cm，
∴MN＝MC+NC＝3+2＝5cm．
故答案为：5cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
三．解答题（共5小题）
21．（2021秋 大名县期末）如图所示，点C、D在线段AB上，点E、F分别是AC、DB的中点．
（1）设EF＝7cm，CD＝4cm，求线段AB的长；
（2）设AB＝a，EF＝b，用a，b表示线段CD的长．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】（1）根据线段的中点求出AE＝EC，DF＝FB，根据线段的和差求出AE+FB，即可求出AB长；
（2）根据线段的中点求出EC+DF，即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵点E、F分别是AC、DB的中点，
∴AE＝EC，DF＝FB，
∵EF＝7cm，CD＝4cm，而EF＝EC+CD+DF，
∴EC+DF＝3cm，
∴AE+FB＝3cm，
∴AB＝AE+EF+FB＝3+7＝10cm，
即AB＝10cm；
（2）∵AB＝a，EF＝b，AB＝AE+EF+FB，
∴AE+FB＝a﹣b，
∴EC+DF＝a﹣b，
∵EF＝EC+CD+DF＝b，
∴CD＝b﹣（a﹣b）＝2b﹣a，
即CD＝2b﹣a．
【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能求出AE+FB的长是解此题的关键．
22．（2021秋 岳麓区校级期末）如图，C是线段AB上一点，线段AB＝25cm，，D是AC的中点，E是AB的中点．
（1）求线段CE的长；
（2）求线段DE的长．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】（1）根据线段的和差倍分即可得到结论；
（2）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝25cm，BC＝AC，
∴BC＝AB＝×25＝10（cm），
∵E是AB的中点，
∴BE＝AB＝12.5cm，
∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；
（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），
∵点D、E分别是AC、AB的中点，
∴AE＝AB＝＝12.5（cm），AD＝AC＝＝7.5（cm），
∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
23．（2021秋 南昌县期末）如图，已知线段AB＝10，点O在线段AB上，点C，D分别是AO，BO的中点．
（1）AO＝ 2 CO；BO＝ 2 DO；
（2）求线段CD的长度；
（3）小明在反思过程中突发奇想：若点O在线段AB的延长线上，点C，D分别是AO，BO的中点，请帮小明画出图形分析，并求线段CD的长度．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】（1）根据线段中点的性质，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得CO＝AO，DO＝BO，根据线段的和差，可得答案；
（3）O是AB延长线上的一点，由C、D分别是线段AO，BO的中点可得出CO，DO分别是AO，BO的一半，因此，CO，DO的差的一半就等于AO，BO差的一半，因为CD＝CO﹣DO，AB＝AO﹣BO，根据上面的分析可得出CD＝AB．因此结论是成立的．
【解答】解：（1）∵点C、D分别是AO、BO的中点
∴AO＝2CO；BO＝2DO；
故答案为：2；2．
（2）∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO＝AO，DO＝BO，
∴CD＝CO+DO＝＝AO+BO＝AB＝5；
（3）仍然成立，
如图：
理由：∵点C、D分别是AO、BO的中点，
∴CO＝AO，DO＝BO，
∴CD＝CO﹣DO＝AO﹣BO＝（AO﹣BO）＝AB＝×10＝5．
【点评】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用了线段中点的性质，线段的和差得出答案．
24．（2021秋 攸县期末）已知点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M为线段AC中点．
（1）如图1，若点N为线段CB的中点，求线段MN的长；
（2）如图2，若点N为线段CB上的点，且满足2CN＝3NB，求线段MN的长．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】（1）根据线段中点的定义可得MC＝4cm，CN＝3cm，再根据MN＝MC+CN可得答案；
（2）根据线段的中点的定义和线段的比例可得MC＝4cm，CN＝3.6cm，再根据MN＝MC+CN可得答案．
【解答】解：（1）∵点M为线段AC中点，点N为线段CB的中点，
∴MC＝AC＝8＝4cm，CN＝BC＝＝3cm，
∴MN＝MC+CN＝4+3＝7cm；
（2）∵点M为线段AC中点，
∴MC＝AC＝8＝4cm，
∵2CN＝3NB，
∴CN＝BC＝3.6cm，
∴MN＝MC+CN＝4+3.6＝7.6cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
25．（2021秋 公安县期末）如图，点O是线段AB上一点，点C，D分别是线段OA，OB的中点．
（1）若线段CD＝6，求线段AB的长；
（2）若题中的“点O是线段AB上一点”改为“点O是线段BA延长线上一点”，其他条件不变，请你画出图形，若AB＝8，求CD的长．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】（1）根据线段中点的性质证明CD＝AB即可解答；
（2）画出图形后，根据线段中点的性质证明CD＝AB即可解答．
【解答】解：（1）∵点C为OA中点，
∴OC＝OA，
∵点D为OB中点，
∴OD＝OB，
∴CD＝OC+OD＝OA+OB＝AB，
又∵CD＝6，
∴AB＝12；
（2）如图所示：
∵点C为OA中点，
∴OC＝OA，
∵点D为OB中点，
∴OD＝OB，
∴CD＝OD﹣OC＝OB﹣OA＝AB，
又∵AB＝8，
∴CD＝4．
【点评】本题考查了两点间距离，根据题目的已知条件并结合图形去分析是解题的关键．
考点卡片
1．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离。初中数学解题模型之图形认识初步（线段的数量问题）
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，以A，B，C，D，E为线段的端点，图中共有线段（ ）
A．8条 B．10条 C．12条 D．14条
2．（2011秋 大兴区期末）如果要在一条直线上得到6条不同的线段，那么在这条直线上应选几个不同的点（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，线段的条数一共是（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
4．（2005 河源）由河源到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：河源﹣惠州﹣东莞﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
5．（2019秋 绥棱县期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
6．（2022 德城区校级开学）若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．49 B．42 C．21 D．20
7．（2005 梅州）由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州﹣﹣兴宁﹣﹣华城﹣﹣河源﹣﹣惠州﹣﹣东莞﹣﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A．6种 B．12种 C．21种 D．42种
8．（2003 黑龙江）从哈尔滨开往某市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，那么有多少种不同的票价（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
9．（2016秋 双台子区期末）由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．30种
10．（2013 涪城区校级自主招生）由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）
A．7种 B．8种 C．56种 D．28种
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋 河源期末）如图，点A、B在线段MN上，则图中共有 条线段．
12．（2018春 垦利区期末）由东营南到德州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州，那么要为这次列车制作的火车票有 种．
13．（2013 阜宁县校级模拟）如图A，B，C三点在同一直线上，用上述字母表示的不同线段共有 条．
14．如图，图中共有线段 条．
15．（2020秋 锦江区校级期末）如图，点B，C，D是线段AE上的三个点，已知AE＝12cm，BD＝5cm，求图中以A、B、C、D，E这5个点为端点的所有线段的和为 cm．
16．（2005 广州）如图，点A、B、C在直线l上，则图中共有 条线段．
17．（2016秋 萧山区期末）如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段 条．
18．（2010秋 江津区期末）如图，图中共有线段 条．
19．直线l上有10个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A9A10，则以这些点为端点的线段共有 条；将所有这些线段的中点用红点标出，则可得 个红点．
20．（2011秋 顺义区期末）如图，图中共有 条线段．
初中数学解题模型之图形认识初步（线段的数量问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，以A，B，C，D，E为线段的端点，图中共有线段（ ）
A．8条 B．10条 C．12条 D．14条
【考点】直线、射线、线段．
【分析】由于每两个不同的点确定一条线段，根据端点个数任取两点作为一条，查出个数就是条数．
【解答】解：同一直线上的不同的5个点之间的线段的条数＝5×4÷2＝10条；故选：B．
【点评】在线段、射线的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．
2．（2011秋 大兴区期末）如果要在一条直线上得到6条不同的线段，那么在这条直线上应选几个不同的点（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】直线、射线、线段．
【专题】计算题．
【分析】由于同一直线上的n个点之间有条线段，代入即可求得n的值．
【解答】解：∵n个点之间有条线段，∴要得到6条不同的线段，则n＝4；
故选：B．
【点评】本题利用了同一直线上的n个点之间有条线段求解．
3．如图，线段的条数一共是（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【考点】直线、射线、线段．
【专题】计算题．
【分析】根据直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点来解答本题即可．
【解答】解：有线段AB，BC，CD，AC，BD，AD共6条．
故选：D．
【点评】在线段、射线的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．
4．（2005 河源）由河源到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：河源﹣惠州﹣东莞﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．12种
【考点】直线、射线、线段．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】由题意可知：由河源要经过3个地方，所以要制作3种车票；由惠州要经过2个地方，所以要制作2种车票；由东莞要经过1个地方，所要制作1种车票；结合上述结论，通过往返计算出答案．
【解答】解：根据分析，知这次列车制作的火车票的总数＝3+2+1＝6（种）．
故选：C．
【点评】本题的关键是要找出由一地到另一地的车票的数是多少．
5．（2019秋 绥棱县期末）往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
【考点】直线、射线、线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】可以借助线段图来分析，有多少条线段，就有多少中不同的票价．
【解答】解：如图所示：
A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站，
图中共有线段：AB，AC，AD，AE，AF．BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，总共15条，
所以共有15种不同的票价，
故选：A．
【点评】本题考查了直线，射线，线段，借助线段图来解决是解题的关键．
6．（2022 德城区校级开学）若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．49 B．42 C．21 D．20
【考点】直线、射线、线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】先求得单程的车票数，再求出往返的车票数，根据往返车票票价相同即可得出结论．
【解答】解：如图所示，线段的总条数是×6×7＝21，
因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制21×2＝42（种）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直线、射线和线段，关键是掌握计算线段条数的计算公式n（n﹣1）（n是点的个数）．
7．（2005 梅州）由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州﹣﹣兴宁﹣﹣华城﹣﹣河源﹣﹣惠州﹣﹣东莞﹣﹣广州，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A．6种 B．12种 C．21种 D．42种
【考点】直线、射线、线段．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】每两站点都要设火车票，从一个城市出发到其他6个城市有6种车票，进而得出答案．
【解答】解：每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他6个城市有6种车票，
但是已知中是由梅州到广州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：梅州﹣﹣兴宁﹣﹣华城﹣﹣河源﹣﹣惠州﹣﹣东莞﹣﹣广州，故没有往返车票，是单程车票，
所以要为这次列车制作的火车票有×6×7＝21种．
故选：C．
【点评】这道题学生关键是要联系生活实际，学以致用，学为生活服务．
8．（2003 黑龙江）从哈尔滨开往某市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，那么有多少种不同的票价（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【考点】直线、射线、线段．
【专题】计算题；应用题．
【分析】由题意可知：由哈尔滨到某市要经过2个站点，则在哈尔滨车票的票价有3种．
依此类推，在第一个站点的票价有2种．
在第二个站点的票价有1种，从而求得总结果数．
【解答】解：根据分析，得
共有票价3+2+1＝6（种）．
故选：C．
【点评】本题的关键是要理解由一地到另一地的车票的票价都是不同的．
9．（2016秋 双台子区期末）由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，那么要为这次列车制作的火车票有（ ）
A．6种 B．12种 C．15种 D．30种
【考点】直线、射线、线段．
【分析】每两站点都要设火车票，从一个城市出发到其他6个城市有6种车票，进而得出答案．
【解答】解：每两站点都要设火车票，所以从一个城市出发到其他5个城市有5种车票，
但是已知中是由盘锦到沈阳的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：盘锦﹣西柳﹣海城﹣鞍山﹣辽阳﹣沈阳，故没有往返车票，是单程车票，
所以要为这次列车制作的火车票有×5×6＝15种，
故选：C．
【点评】本题考查了线段、射线、直线等知识点，解此题的关键是能得出规律，学会用数学来解决实际问题．
10．（2013 涪城区校级自主招生）由绵阳出发到成都的某一次列车，运行途中须停靠的车站依次是：绵阳→罗江→黄许→德阳→广汉→清白江→新都→成都．那么要为这次列车制作的车票一共有（ ）
A．7种 B．8种 C．56种 D．28种
【考点】直线、射线、线段．
【专题】应用题．
【分析】从绵阳要经过7个地方，所以要制作7种车票；从罗江要经过6个地方，所以制作6种车票，进而求解．
【解答】解：车票数＝7+6+5+4+3+2+1＝28（种）．
故选：D．
【点评】本题的关键是要找到由一地到另一地的车票的频数．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋 河源期末）如图，点A、B在线段MN上，则图中共有 6 条线段．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】数形结合．
【分析】根据在一直线上有n点，一共能组成线段的条数的公式：，代入可直接选出答案．
【解答】解：线段AB、AC、AD、BC、BD、CD共六条，
也可以根据公式计算，＝6．
故答案为：6．
【点评】在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．
12．（2018春 垦利区期末）由东营南到德州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州，那么要为这次列车制作的火车票有 10 种．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】数形结合．
【分析】设东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州五站分别用A、B、C、D、E表示，然后根据线段的定义求出线段的条数．
【解答】解：如图，设东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州五站分别用A、B、C、D、E表示，
则共有线段：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条，
故答案为：10．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，要注意同两个站之间的车票有起点站和终点站的区分．
13．（2013 阜宁县校级模拟）如图A，B，C三点在同一直线上，用上述字母表示的不同线段共有 3 条．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】写出线段再计算个数．
【解答】解：由图示可知表示的不同线段有AB，AC，BC共三条；故应填3．
【点评】本题的实质是考查线段的表示方法，是中学阶段最基本的知识，同学们要熟练掌握．
14．如图，图中共有线段 9 条．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】根据图示数出线段即可．
【解答】解：图中线段有：线段AB，线段AC，线段AE，线段ED，线段AD，线段CE，线段BC，线段CD，线段BD，
故图中共有线段9条，
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了线段的数法，注意要不重不漏，要细心．
15．（2020秋 锦江区校级期末）如图，点B，C，D是线段AE上的三个点，已知AE＝12cm，BD＝5cm，求图中以A、B、C、D，E这5个点为端点的所有线段的和为 70 cm．
【考点】两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】先找全以A、B、C、D，E这5个点为端点的所有线段，然后相加即可．
【解答】解：以A为端点的线段有：AB，AC，AD，AE，
以B为端点的线段有：BC，BD，BE，
以C为端点的线段有：CD，CE，
以D为端点的线段有：DE，
∴AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
＝（AB+BE）+（AC+CE）+（AD+DE）+（BC+CD）+BD+AE
＝4AE+2BD
＝58cm，
故答案为：58cm．
【点评】本题考查了两点间距离，不重复，不遗漏的找全所有线段是解题的关键．
16．（2005 广州）如图，点A、B、C在直线l上，则图中共有 3 条线段．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】数形结合．
【分析】根据线段的概念求解．
【解答】解：有3条线段：AB，AC，CD．故应填3．
【点评】掌握线段的定义和数线段的方法．
17．（2016秋 萧山区期末）如图，A，B，C，D，E，P，Q，R，S，T是构成五角星的五条线段的交点，则图中共有线段 30 条．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】分别求出构成五角星的每条线段上有几条线段，在将其乘以5即可．
【解答】解：线段AC，BE，CE，BD，AD上各有另两个点，每条上有6条线段；所以共有6×5＝30条线段．
【点评】把这个五星分成五条线段，每条上有另两个点来求解．
18．（2010秋 江津区期末）如图，图中共有线段 6 条．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】根据线段的定义来解答本题即可．
【解答】解：图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条．
【点评】本题考查线段的定义，查找线段数目是按一定顺序，做到不重不漏．
19．直线l上有10个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8，A9，A10，A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝A9A10，则以这些点为端点的线段共有 45 条；将所有这些线段的中点用红点标出，则可得 17 个红点．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】先根据题意求出2个点时线段及红点的数量、3个点时线段及红点的数量、4个点时线段及红点的数量、5个点时线段及红点的数量，从而可总结出规律，代入计算即可．
【解答】解：2个点时线段及红点的数量分别为：1，1；
3个点时线段及红点的数量分别是3，3；
4个点时线段及红点的数量分别是6，5；
5个点时线段及红点的数量分别是10，7；
∴可得：线段数＝，红点数为：2n﹣3，
故当n＝10时，线段数＝55，红点数为：17．
故答案为：45，17．
【点评】本题考查点与线段数量之间的关系，有一定难度，主要培养有特殊到一般规律总结的能力．
20．（2011秋 顺义区期末）如图，图中共有 6 条线段．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】根据线段的定义解答即可．
【解答】解：线段：OA、OB、AB、OC、AC、BC共6条，
故答案为：6．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记定义是解题的关键．
考点卡片
1．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
2．两点间的距离
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．初中数学解题模型之图形认识初步（直线及其交点的数量问题）
一．选择题（共10小题）
1．经过四个点中的每两个点画直线共可以画（ ）
A．2条，4条或5条 B．1条，4条或6条
C．2条，4条或6条 D．1条，3条或6条
2．平面上有任意四点，经过其中两点画一条直线，共可画（ ）
A．1条直线 B．4条直线
C．6条直线 D．1条或4条或6条直线
3．（2007 长沙）经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）
A．一条或三条 B．三条 C．两条 D．一条
4．（2008秋 台州期末）在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四个点的位置关系是（ ）
A．四点在同一直线 B．有且只有三点共线
C．任意三点都不共线 D．以上答案都不对
5．（2015秋 张掖校级月考）经过同一平面内任意三点中的两点共可以画出（ ）
A．一条直线 B．两条直线
C．一条或三条直线 D．三条直线
6．（2011春 城关区校级期中）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．2，3，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
7．（2015秋 东阳市期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
8．在同一平面内任意画四条互不相重合的直线，那么它们的交点最多有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．（2012秋 宁波期末）阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；…；10条直线相交，最多可形成交点的个数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
10．（2017春 锦江区校级期中）平面内互不重合的三条直线的交点个数是（ ）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
二．填空题（共17小题）
11．（2007 云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为 ．
12．（2011秋 惠山区期末）若平面内有A、B、C三点，过其中任意两点画直线，最多可以画 条直线，最少可以画 条直线．
13．（2009秋 镇江期末）平面内有三个点A，B，C，经过其中的每两点画直线，可以画 条．
14．在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么8条直线两两相交，最多有 个交点．
15．（2015秋 东西湖区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若5条直线相交，最多有 个交点．
16．（2015秋 安丘市校级月考）5条直线两两相交，最多有 个交点．
17．（2014秋 平南县期末）平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b＝ ．
18．已知平面上四个点，过其中两点画直线，最多能画 条直线．
19．有四个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画 条直线．
20．（2005 资阳）已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2＝1，S3＝3，S4＝6，S5＝10，…，由此推断，Sn＝ ．
21．（2018秋 东坡区期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点．
22．（2019秋 历下区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若n条直线相交，最多有 个交点．
23．（2016秋 南漳县期末）两条直线相交，有1个交点．三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交，最多有 个交点．
24．（2019秋 衢州期末）如图1，两条直线相交，以交点为端点的射线有4条；如图2，三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条；如图3，四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条．那么六条直线相交，以交点为端点的射线最多有 条．
25．（2015 杭州模拟）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，八条直线相交最多有 个交点．
26．（2014秋 北流市期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，二十条直线相交最多有 个交点．
27．（2016秋 海拉尔区期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点．
初中数学解题模型之图形认识初步（直线及其交点的数量问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．经过四个点中的每两个点画直线共可以画（ ）
A．2条，4条或5条 B．1条，4条或6条
C．2条，4条或6条 D．1条，3条或6条
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分类画出图形即可求得画的直线的条数．
【解答】解：如下图，分以下三种情况：
故经过四个点中的每两个点画直线共可以画1条，4条或6条，
故选：B．
【点评】此类题没有明确平面上四点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
2．平面上有任意四点，经过其中两点画一条直线，共可画（ ）
A．1条直线 B．4条直线
C．6条直线 D．1条或4条或6条直线
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分四点在同一直线上，当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，当没有三点共线时三种情况讨论即可．
【解答】解：分三种情况：
1、四点在同一直线上时，只可画一条；
2、当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画4条；
3、当没有三点共线时，可画6条；
故选：D．
【点评】此类题没有明确平面上四点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
3．（2007 长沙）经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（ ）
A．一条或三条 B．三条 C．两条 D．一条
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分两种情况：①三点在同一直线上时，只能作出一条直线；
②三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条．
【解答】解：①当三点在同一直线上时，只能作出一条直线；
②三点不在同一直线上时，每两点可作一条，共3条；
故选：A．
【点评】两点可确定一条直线，注意分类讨论．
4．（2008秋 台州期末）在同一平面内有四个点，过其中任意两点画直线，仅能画出四条直线，则这四个点的位置关系是（ ）
A．四点在同一直线 B．有且只有三点共线
C．任意三点都不共线 D．以上答案都不对
【考点】直线、射线、线段．
【分析】先画出图形，再据图回答．
【解答】解：（1）
（2）
（3）
如图，因为仅能画出四条直线，所以选图（2），故选：B．
【点评】解答此题要熟知以下概念并要数形结合．
直线：是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹，向两个方向无限延伸．
公理：两点确定一条直线．
5．（2015秋 张掖校级月考）经过同一平面内任意三点中的两点共可以画出（ ）
A．一条直线 B．两条直线
C．一条或三条直线 D．三条直线
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】根据交点个数来判断，然后选取答案．
【解答】解：有两种情况，一种是三点共线时，只有一条，另一种是三点不共线，有三条；故选：C．
【点评】此类题没有明确平面上三点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
6．（2011春 城关区校级期中）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．2，3，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】利用分情况讨论求解．
【解答】解：分四种情况：1、三条直线平行，有0个交点，
2、三条直线相交于同一点，有1个交点，
3、一条直线截两条平行线有2个交点，
4、三条直线两两相交有3个交点．
故选：C．
【点评】此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
7．（2015秋 东阳市期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ）
A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2
【考点】直线、射线、线段．
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，平行和相交，三条直线互相平行无交点，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【解答】解：分四种情况：1、三条直线平行，有0个交点，
2、三条直线相交于同一点，有1个交点，
3、一条直线截两条平行线有2个交点，
4、三条直线两两相交有3个交点．
如图所示：
故选：C．
【点评】此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
8．在同一平面内任意画四条互不相重合的直线，那么它们的交点最多有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【考点】直线、射线、线段．
【分析】最多时，每两条就有一个交点，作图后查处交点个数．
【解答】解：如图，最多可有6个交点；
故选：C．
【点评】本题主要考查直线、射线、线段的知识点，注意每两条直线就有一个交点．
9．（2012秋 宁波期末）阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；…；10条直线相交，最多可形成交点的个数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】结合图形，找规律解答即可．
【解答】解：设直线由n条，交点有m个．
有以下规律：
直线n条交点m个
2 1
3 1+2
4 1+2+3
：
：
：
n m＝1+﹣﹣﹣+（n﹣1）＝
十条直线相交有＝45个；
故选：B．
【点评】根据图形，寻找规律，将几何问题转化为代数题来解．
10．（2017春 锦江区校级期中）平面内互不重合的三条直线的交点个数是（ ）
A．1，3 B．0，1，3 C．0，2，3 D．0，1，2，3
【考点】相交线．
【分析】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，平行和相交，三条直线互相平行无交点，两条直线平行，第三条直线与它相交，有2个交点，三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点．
【解答】解：由题意画出图形，如图所示：
故选：D．
【点评】本题考查了直线的交点个数问题．此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况，需要运用分类讨论思想，解答时要分各种情况解答，要考虑到可能出现的所有情形，不要遗漏，否则讨论的结果就不全面．
二．填空题（共17小题）
11．（2007 云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为 3 ．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】考查直线公理：过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线．同一平面内不在同一直线上的3个点，可画3条直线，三点在同一条直线上时，能画一条直线．
【解答】解：同一平面内不在同一直线上的3个点，可画三条直线．
【点评】注意对直线与点的关系，也可画出图形，找出正确结果．
12．（2011秋 惠山区期末）若平面内有A、B、C三点，过其中任意两点画直线，最多可以画 3 条直线，最少可以画 1 条直线．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，即可看出答案．
【解答】
解：如图最多可以画3条直线，最少可以画1条直线；
【点评】本题的关键是进行分类讨论，将三个点进行不同的排列，可得两个结果．
13．（2009秋 镇江期末）平面内有三个点A，B，C，经过其中的每两点画直线，可以画 1或3 条．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】分类讨论．
【分析】分两种情况：若三个点A，B，C共线，若三个点A，B，C不共线讨论即可．
【解答】解：根据题意分析可得：若三个点A，B，C共线，经过其中的每两点画直线，可以画1条．
若三个点A，B，C不共线，经过其中的每两点画直线，可以画3条．
【点评】本题考查与直线、线段、射线相关的几何图形的性质．
14．在同一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点，那么8条直线两两相交，最多有 28 个交点．
【考点】相交线．
【专题】规律型．
【分析】在同一平面内，n条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【解答】解：交点的个数为＝28，故答案为28个．
【点评】能够求解同一平面内，直线两两相交的交点的个数．
15．（2015秋 东西湖区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若5条直线相交，最多有 10 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】根据每两条直线就有一个交点，可以列举出所有情况后再求解．
【解答】解：两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点，此时要求第3条直线不过前2条直线的交点；四条直线相交，最多有6个交点；仍要求不存在交点重合的情况，据此可推得：若5条直线相交，最多有6+4＝10个交点，即与前4条都相交，即增加了4个交点；共10个交点．
或者代入公式S＝n（n﹣1）＝×5×4＝10求解．
故应填10．
【点评】本题考查直线的相交情况，要细心，查找时要不重不漏；同时也可以借助规律，利用公式求解．
16．（2015秋 安丘市校级月考）5条直线两两相交，最多有 10 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】5条直线两两相交，有5种位置关系，画出图形，进行解答．
【解答】解：若5条直线两两相交，其位置关系有5种，如图所示：
则交点的个数有1个，或5个，或6个，或8个，或10个．
所以最多有10个交点，
故答案为：10
【点评】本题主要考查了直线两两相交时交点的情况，关键是画出图形．
17．（2014秋 平南县期末）平面内三条直线两两相交，最多有a个交点，最少有b个交点，则a+b＝ 4 ．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】计算题．
【分析】分析可得：平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，则即可求得a+b的值．
【解答】解：∵平面内三条直线两两相交，最多有3个交点，最少有1个交点，
∴a+b＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查与直线、线段、射线相关的几何图形的性质．
18．已知平面上四个点，过其中两点画直线，最多能画 6 条直线．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】画出图形即可确定能画的直线的条数．
【解答】解：如图，可画6条直线．
【点评】只有在任意三点不在同一直线时，才能画出最多的直线．
19．有四个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画 6 条直线．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】从基本图形开始画，比较每一次比上一次增加了多少条直线，探索点的个数与直线条数的规律．
【解答】解：经过两个点可以画1条直线，
经过三个点（不在一条直线上），可以画1+2＝3条直线，
经过四个点（每三个点都不在一条直线上），过其中每两个点画直线，
可以画1+2+3＝＝6条直线．
【点评】本题是探索规律题，有m个点，每三个点都不在一条直线上，过其中每两个点画直线，可以画条直线．
20．（2005 资阳）已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，…，Pn在同一平面内，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2＝1，S3＝3，S4＝6，S5＝10，…，由此推断，Sn＝ ．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】分析数据后总结规律，再进行计算．
【解答】解：∵S2＝1＝，
S3＝3＝1+2＝，
S4＝6＝1+2+3＝，
∴Sn＝1+2+3+…+（n﹣1）＝．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
21．（2018秋 东坡区期末）一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点；8条直线两两相交，最多有 28 个交点．
【考点】相交线．
【专题】压轴题；规律型；数据分析观念；模型思想．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有 个交点，代入即可求解．
【解答】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点，
∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ＝28．
故答案为：28．
【点评】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法．
22．（2019秋 历下区期末）平面内两条直线相交，有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；…，若n条直线相交，最多有 个交点．
【考点】相交线；规律型：图形的变化类．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【分析】画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有1+2个交点；
4条直线相交最多有1+2+3个交点；
5条直线相交最多有1+2+3+4个交点；
6条直线相交最多有1+2+3+4+5个交点；
…
n条直线相交最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝个交点；
故答案为：．
【点评】此题考查了直线相交的交点个数，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，可以激发同学们的学习兴趣．
23．（2016秋 南漳县期末）两条直线相交，有1个交点．三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交，最多有 6 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】画出图形，根据具体图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时的交点个数．
【解答】解：如图：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点，
故答案为：6
【点评】此题考查了直线相交的交点个数，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，可以激发同学们的学习兴趣．
24．（2019秋 衢州期末）如图1，两条直线相交，以交点为端点的射线有4条；如图2，三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条；如图3，四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条．那么六条直线相交，以交点为端点的射线最多有 60 条．
【考点】相交线；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】可以从数字找规律，即可解答．
【解答】解：两条直线相交，以交点为端点的射线有4条，4＝2×（2×1），
三条直线相交，以交点为端点的射线最多有12条，12＝3×（2×2），
四条直线相交，以交点为端点的射线最多有24条，24＝4×（2×3），
那么，六条直线相交，以交点为端点的射线最多有：6×（2×5）＝60条，
故答案为：60．
【点评】本题考查了相交线，规律型：图形的变化类，一般有两种思路，可以从图形找规律，还可以从数字找规律．
25．（2015 杭州模拟）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，八条直线相交最多有 28 个交点．
【考点】规律型：图形的变化类；相交线．
【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3＝1+2，6＝1+2+3，10＝1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，由此代入得出答案即可．
【解答】解：3条直线相交最多有1+2＝3个交点，
4条直线相交最多有1+2+3＝6个交点，
5条直线相交最多有1+2+3+4＝10个交点，
…
n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，
八条直线相交最多有×8×（8﹣1）＝28个交点．
故答案为：28．
【点评】此题考查图形的变化规律，培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
26．（2014秋 北流市期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，二十条直线相交最多有 190 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】根据交点公式进行计算即可得解．
【解答】解：二十条直线相交最多有交点＝190个．
故答案为：190．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记公式是解题的关键．
27．（2016秋 海拉尔区期末）如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有 15 个交点，n条直线相交最多有 个交点．
【考点】直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；
根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解．
【解答】解：三条直线交点最多为1+2＝3个，
四条直线交点最多为3+3＝6个，
五条直线交点最多为6+4＝10个，
六条直线交点最多为10+5＝15个；
n条直线交点最多为1+2+3+…+（n﹣1）＝．
故答案为：15；．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，发现规律题，观察出相邻两个图形的交点个数的差为连续整数是解题的关键．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
3．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．初中数学解题模型之图形认识初步（角的数量问题）
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，在∠AOB的内部有4条射线，则图中角的个数为（ ）
A．10 B．15 C．5 D．20
2．（2014秋 正定县期中）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，锐角的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
5．（2018秋 合川区期末）如图，在射线OA，OB，OC，OD，OE，OF所构成的图形中，∠AOB＝50°，图中锐角的个数为（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．16个
6．（2021春 武汉月考）探究同一平面内的n条直线两两相交（没有3条或3条以上的直线共交点）同旁内角的数量问题，当n＝6时共有（ ）对同旁内角．
A．120 B．100 C．80 D．60
7．（2021秋 嘉祥县期末）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（ ）
A．10个 B．18个 C．45个 D．55个
8．（2021秋 忠县期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为（ ）
A．15 B．16 C．21 D．22
二．填空题（共4小题）
9．观察下列各图，在第1个图中有一个角，第2个图中共有3个角，第3个图中共有6个角，则第4个图中角的个数是 ，第n个图中角的个数为 ．
10．图中小于平角的角的个数为 ．
11．如图①中有1个角，图②中有3个角，图③中有6个角，以此类推，……
请从下面A，B题中任选﹣题作答，我选择
（A题）第④个图中角的个数为 ．
（B题）第 个图中角的个数为 ．
12．（2016秋 桥西区期中）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为 ．
三．解答题（共6小题）
13．（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：
∠AOB内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 　 　 　 　 　 　 　 　
（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论；
（3）若角的总个数为5050个，则∠AOB内有射线条数多少条？
14．（2019秋 寿阳县期末）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1，从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 场．
15．观察下图，并解答下列问题：
（1）图①中，有 条直线， 对对顶角；
（2）图②中，有 条直线， 对对顶角；
（3）图③中，有 条直线， 对对顶角；
（4）猜想：当n条直线相交于一点时，可形成 对对顶角；（用含n的式子表示）
（5）若有100条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
16．观察图的各个角，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图①所示，两条直线AB与CD相交于一点形成 对对顶角；
（2）如图②所示，三条直线AB，CD，EF相交 于一点形成 对对顶角；
（3）如图③所示，四条直线AB，CD，EF，GH相交于一点形成 对对顶角；
（4）探究（1）～（3）各题中直线条数与对顶角 对数之间的关系，若有n（n≥2 且n为整数） 条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
（5）根据（4）中探究得到的结论计算：若有 022条直线相交于一点，则可形成 对对顶角．
17．（2018秋 沛县期末）（1）若直线l上有2个点，一共有 条线段；
若直线l上有3个点，一共有 条线段；
若直线l上有4个点，一共有 条线段；…
若直线l上有n个点，一共有 条线段；
（2）有公共顶点的2条射线可以组成 个小于平角的角；
有公共顶点的3条射线最多可以组成 个小于平角的角；
有公共顶点的4条射线最多可以组成 个小于平角的角；…
有公共顶点的n条射线最多可以组成 个小于平角的角；
（3）你学过的知识里还有满足类似规律的吗？试着写一个．
18．（2013秋 怀远县期末）如图（1）：给出一个角∠AOB，这时图中的角的个数为1，记作P0＝1．
如图（2）如果在∠AOB的内部，从角的顶点O出发任作一条射线，这时共有P1个角，即P1＝1+2＝3
如图（3）如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作两条不同的射线，这时共有P2个角，即P2＝1+2+3＝6
如此类推：P3＝ ＝ ；P4＝ ＝ ．
如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作n条不同的射线，这时共有Pn个角，那么Pn等于多少？
初中数学解题模型之图形认识初步（角的数量问题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图所示，在∠AOB的内部有4条射线，则图中角的个数为（ ）
A．10 B．15 C．5 D．20
【考点】角的概念．
【分析】图中的任意两条射线就可以构成一个角，据此即可求解．
【解答】解：图中角的个数是：×6×（6﹣1）＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了角的定义，若从一点发出n条射线，则构成n（n﹣1）个角．
2．（2014秋 正定县期中）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】角的概念．
【专题】规律型．
【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律得到角的个数的表达式．
【解答】解：画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝．
故选：D．
【点评】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．
3．如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】角的概念．
【专题】推理填空题；线段、角、相交线与平行线．
【分析】根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为多少即可．
【解答】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为：
＝＝＝6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了角的概念以及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为．
4．如图，锐角的个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．9
【考点】角的概念．
【分析】先计算∠AOD＝95°，∠BOE＝89°，则可判断∠AOD为钝角，∠BOE为锐角，然后从OA开始依次写出图中的锐角．
【解答】解：∵∠AOD＝37°+27°+31°＝95°，∠BOE＝27°+31°+21°＝89°，
∴∠AOD为钝角，∠BOE为锐角，
∴图中锐角有：∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠COD，∠COE，∠DOE．
故选：C．
【点评】本题考查了角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
5．（2018秋 合川区期末）如图，在射线OA，OB，OC，OD，OE，OF所构成的图形中，∠AOB＝50°，图中锐角的个数为（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．16个
【考点】角的概念．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；应用意识．
【分析】找出以OA为始边的角的个数，然后找出相邻的边为始边的角的个数相加即可，按照五条射线角的个数的计算方法即可得到答案．
【解答】解：引出6条射线时，以OA为始边的角有5个，以OC为始边的角有4个，以OD为始边的角有3个，
以OE为始边的角有2个，以OF为始边的角有1个，故当有5条射线时共有角：5+4+3+2+1＝15（个）．
故选：C．
【点评】本题主要考查角的个数的计算方法，在数角的个数时，能按一定的顺序计算，理清顺序，发现规律是解题的根据．
6．（2021春 武汉月考）探究同一平面内的n条直线两两相交（没有3条或3条以上的直线共交点）同旁内角的数量问题，当n＝6时共有（ ）对同旁内角．
A．120 B．100 C．80 D．60
【考点】同位角、内错角、同旁内角；相交线．
【专题】规律型；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据同旁内角的定义，结合图形确定同旁内角的对数，总结规律得出答案．
【解答】解：如图所示：
直线l1，l2被直线l3所截，在这个基本图形中，形成了2对同旁内角，
平面内三条直线l1，l2，l3两两相交，交点分别为A、B、C，图中一共有3×2＝6对同旁内角，
平面内四条直线两两相交，交点最多为6个，最多可以形成4×（4﹣1）×（4﹣2）＝24对同旁内角，
平面内n条直线两两相交，最多可以形成n（n﹣1）（n﹣2）对同旁内角，
所以当n＝6时共有：6×5×4＝120（条），
故选：A．
【点评】本题考查了同旁内角问题，关键在于要结合图形总结规律，应运用数形结合的思想求解．
7．（2021秋 嘉祥县期末）如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画9条射线得的角的个数是（ ）
A．10个 B．18个 C．45个 D．55个
【考点】角的概念；规律型：图形的变化类．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】根据画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角，可以得出规律是画n条射线，图中共有 （n+1）（n+2）个角，把n＝9代入计算即可．
【解答】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3＝（1+1）（1+2）；
画2条射线，图中共有6个角，6＝（2+1）（2+2）；
画3条射线，图中共有10个角，10＝（3+1）（3+2）；
…，
∴画n条射线，图中共有（n+1）（n+2）个角，
∴画9条射线所得的角的个数是（9+1）（9+2）＝55（个），
故选：D．
【点评】本题考查了对角的概念和规律探索，解题的关键是能够根据求出的结果探索出规律．
8．（2021秋 忠县期末）如图，图①中有1个角，图②中有3个不同角，图③中有6个不同角，…，按此规律下去图⑥中有不同角的个数为（ ）
A．15 B．16 C．21 D．22
【考点】角的概念；规律型：图形的变化类．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】利用已知图中角的个数，进而得出变化规律，即可得到所求的结论．
【解答】解：图①中有＝1个角，
图②中有＝3个角，
图③中有＝6个角．
按此规律下去图⑥中有不同角的个数为＝21个角．
故选：C．
【点评】此题主要考查了角的概念以及图形变化类，解答此类规律型问题，一定要弄清题目的规律，可以从简单的图形入手进行总结，然后得到一般化结论再进行求解．
二．填空题（共4小题）
9．观察下列各图，在第1个图中有一个角，第2个图中共有3个角，第3个图中共有6个角，则第4个图中角的个数是 10 ，第n个图中角的个数为 ．
【考点】角的概念．
【专题】规律型．
【分析】先计数出每个图中角的个数，然后找出其中的规律，从而得到第n个图有个角．
【解答】解：其中第1个图中共有＝1个角，
第2个图中共有＝3个角，
第3个图中共有＝6个角，
第3个图中共有＝10个角
…，
由此规律得出第n个图有个角．
故答案为：10；．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键．
10．图中小于平角的角的个数为 9 ．
【考点】角的概念．
【分析】根据角的定义，按照一定的规律计数即可．
【解答】解：图中小于平角的角有∠AOE、∠AOD、∠AOC、∠EOD、∠EOC、∠EOB、∠DOC、∠DOB、∠COB．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查的是角的概念，掌握按照一定的顺序计数是解题的关键．
11．如图①中有1个角，图②中有3个角，图③中有6个角，以此类推，……
请从下面A，B题中任选﹣题作答，我选择 AB
（A题）第④个图中角的个数为 10 ．
（B题）第 个图中角的个数为 ．
【考点】角的概念；规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】先计数出每个图中角的个数，然后找出其中的规律，从而得到第n个图有个角．
【解答】解：其中第1个图中共有＝1个角，
第2个图中共有＝3个角，
第3个图中共有＝6个角，
第4个图中共有＝10个角
…，
由此规律得出第n个图个角．
故答案为：10；．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解题的关键．
12．（2016秋 桥西区期中）如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为 ．
【考点】角的概念．
【专题】规律型．
【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律得到角的个数的表达式．
【解答】解：画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．
三．解答题（共6小题）
13．（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表：
∠AOB内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 　3　 　6　 　10　 　15　
（2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论；
（3）若角的总个数为5050个，则∠AOB内有射线条数多少条？
【考点】角的概念；直线、射线、线段．
【专题】规律型．
【分析】（1）（2）若∠AOB内射线的条数是n，可构成（n+1）（n+2）个角，依据规律回答即可；
（3）可设∠AOB内有射线条数x条，根据等量关系：角的总个数＝5050个，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）填表如下：
∠AOB内射线的条数 1 2 3 4
角的总个数 3 6 10 15
（2）若∠AOB内射线的条数是n，角的总个数＝（n+1）（n+2）；
（3）设∠AOB内有射线条数x条，依题意有
（x+1）（x+2）＝5050，
解得x1＝99，x2＝﹣102（负值舍去）．
故∠AOB内有射线条数99条．
故答案为：3，6，10，15．
【点评】本题主要考查的是角的概念，掌握其规律是解题的关键．有公共顶点的n条射线，一共可构成n（n﹣1）个角．
14．（2019秋 寿阳县期末）如图，从点O引出的射线（任两条不共线）条数与角的总个数有如下关系：从点O引出两条射线形成1个角；如图1，从点O引出3条射线共形成3个角；如图2从点O引出4条射线共形成6个角；如图3从点O引出5条射线共形成10个角；
（1）观察操作：当从点O引出6条射线共形成有 15 个角；
（2）探索发现：如图4当从点O引出n条射线共形成 个角；（用含n的式子表示）
（3）实践应用：8支篮球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），总的比赛场数为 28 场．如果n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是 n（n﹣1） 场．
【考点】角的概念；列代数式；规律型：图形的变化类．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】（1）从数字找规律即可解答；
（2）利用第（1）找到的规律即可解答；
（3）把篮球队的支数当作射线的条数，总的比赛场数相当于射线可以组成的角的个数即可解答．
【解答】解：（1）从点O引出3条射线共形成3个角，3＝1+2，
从点O引出4条射线共形成6个角，6＝1+2+3，
从点O引出5条射线共形成10个角，10＝1+2+3+4，
从点O引出6条射线共形成的角的个数有：1+2+3+4+5＝15，
故答案为：15；
（2）由（1）得：从点O引出n条射线共形成 的角的个数为：1+2+3+...+（n﹣1）＝，
故答案为：；
（3）把8支篮球队当作8条射线，
由（1）得：当n＝8时，＝＝28，
那么：n支篮球队进行主客场制单循环赛（参加的每个队都与其它所有队各赛2场）总的比赛场数是：×2＝n（n﹣1），
故答案为：28，n（n﹣1）．
【点评】本题考查了角的概念，列代数式，规律型：图形的变化类，从数字找规律是解题的关键．
15．观察下图，并解答下列问题：
（1）图①中，有 2 条直线， 2 对对顶角；
（2）图②中，有 3 条直线， 6 对对顶角；
（3）图③中，有 4 条直线， 12 对对顶角；
（4）猜想：当n条直线相交于一点时，可形成 n（n﹣1） 对对顶角；（用含n的式子表示）
（5）若有100条直线相交于一点，则可形成 9900 对对顶角．
【考点】对顶角、邻补角；列代数式；直线、射线、线段．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】由图示可得，（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角；
（2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角，
（3）四条直线相交于一点，形成12对对顶角；
依次可找出规律：（4）若有n条直线相交于一点，则可形成（n﹣1）n对对顶角；
（5）将n＝100代入n（n﹣1），可得100条直线相交于一点可形成的对顶角的对数．
【解答】解：（1）如图①，两条直线相交于一点，共有1×2＝2对对顶角；
故答案为：2；2；
（2）如图②，三条直线相交于一点，共有2×3＝6对对顶角；
故答案为：3；6；
（3）如图③，四条直线相交于一点，共有3×4＝12对对顶角；
故答案为：4；12；
（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，
若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角；
故答案为：n（n﹣1）；
（5）若有100条直线相交于一点，则可形成（100﹣1）×100＝9900对对顶角．
故答案为：9900．
【点评】此题主要考查了多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有n条直线相交于一点，则可形成（n﹣1）n对对顶角．
16．观察图的各个角，寻找对顶角（不含平角）：
（1）如图①所示，两条直线AB与CD相交于一点形成 2 对对顶角；
（2）如图②所示，三条直线AB，CD，EF相交 于一点形成 6 对对顶角；
（3）如图③所示，四条直线AB，CD，EF，GH相交于一点形成 12 对对顶角；
（4）探究（1）～（3）各题中直线条数与对顶角 对数之间的关系，若有n（n≥2 且n为整数） 条直线相交于一点，则可形成 n（n﹣1） 对对顶角；
（5）根据（4）中探究得到的结论计算：若有 022条直线相交于一点，则可形成 4086462 对对顶角．
【考点】对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】（1）根据图形可以知道有两对；
（2）可以发现有6对，
（3）共有12对，
（4）依据规律可以推测出若有n条直线相交于一点，则可形成n（n﹣1）对对顶角．
（5）分别根据对顶角的定义计算即可得解；
【解答】解：（1）中对顶角是∠AOC与∠BOD，∠AOD与∠BOC；
故答案为：2．
（2）中对顶角是∠AOC与∠DOB，∠COF与DOE，∠BOF与∠AOE，∠AOE∠与BOE，∠BOC与∠AOD，∠DOF与∠COE；
故答案为：6．
（3）中是4条线交于O点对顶角的数目是在6对对顶角的基础上加上第四条线与前3条线的2个端点的组合共6对对顶角，
∴③中对顶角共有12对；
故答案为：12．
（4）根据以上总结2条线相交对顶角有2×（2﹣1）＝2；
3条线相交对顶角3×（3﹣1）＝6；
4条线相交对顶角4×（4﹣1）＝12；
以此类推：2×0+2×（2﹣1）+…+2×（n﹣1）＝2×（0+1+2+3+…+n﹣1）＝2×[（n﹣1+0）×]＝n×（n﹣1）；n＞0，n为整数．
∴n条直线两两相交，共形成n（n﹣1）对对顶角．
故答案为：n（n﹣1）．
（5）由（1）中的结论可知，若有 2022 条直线相交于一点，则可形成的对顶角的个数为2022×（2022﹣1）＝4086462．
故答案为：4086462．
【点评】本题考查了对顶角的定义，是基础题，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键．
17．（2018秋 沛县期末）（1）若直线l上有2个点，一共有 1 条线段；
若直线l上有3个点，一共有 3 条线段；
若直线l上有4个点，一共有 6 条线段；…
若直线l上有n个点，一共有 n（n﹣1） 条线段；
（2）有公共顶点的2条射线可以组成 1 个小于平角的角；
有公共顶点的3条射线最多可以组成 3 个小于平角的角；
有公共顶点的4条射线最多可以组成 6 个小于平角的角；…
有公共顶点的n条射线最多可以组成 n（n﹣1） 个小于平角的角；
（3）你学过的知识里还有满足类似规律的吗？试着写一个．
【考点】角的概念；规律型：图形的变化类；直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】（1）依据直线上点的个数，即可数出线段的条数，进而得到规律；
（2）依据射线的条数，即可数出角的个数，进而得到规律；
（3）根据规律可得其它的例子．
【解答】解：（1）若直线l上有2个点，一共有1条线段；
若直线l上有3个点，一共有1+2＝3条线段；
若直线l上有4个点，一共有1+2+3＝6条线段；
…
若直线l上有n个点，一共有n（n﹣1）条线段；
故答案为：1，3，6，n（n﹣1）；
（2）有公共顶点的2条射线可以组成1个小于平角的角；
有公共顶点的3条射线最多可以组成1+2＝3个小于平角的角；
有公共顶点的4条射线最多可以组成1+2+3＝6个小于平角的角；
…
有公共顶点的n条射线最多可以组成n（n﹣1）个小于平角的角；
故答案为：1，3，6，n（n﹣1）；
（3）例如：平面上有n个点，最多能画出n（n﹣1）条直线．
比赛时有n个球队，每两个球队打一场，最多能打n（n﹣1）场比赛．
【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
18．（2013秋 怀远县期末）如图（1）：给出一个角∠AOB，这时图中的角的个数为1，记作P0＝1．
如图（2）如果在∠AOB的内部，从角的顶点O出发任作一条射线，这时共有P1个角，即P1＝1+2＝3
如图（3）如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作两条不同的射线，这时共有P2个角，即P2＝1+2+3＝6
如此类推：P3＝ 1+2+3+4 ＝ 10 ；P4＝ 1+2+3+4+5 ＝ 15 ．
如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作n条不同的射线，这时共有Pn个角，那么Pn等于多少？
【考点】规律型：图形的变化类；角的概念．
【分析】根据角的概念分单个的角和复合角分别查出，然后根据数据的变化总结出通项公式即可得解．
【解答】解：观察发现：
P1＝1+2＝3；
P2＝1+2+3＝6；
P3＝1+2+3+4＝10；
P4＝1+2+3+4+5＝15；
…
Pn＝1+2+3+4+…+（n+1）＝（n+1）（n+2）；
故答案为：1+2+3+4，10；1+2+3+4+5，15；
【点评】考查了图形的变化类问题及角的概念，解决本题的关键是能根据题意得出规律．
考点卡片
1．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3．直线、射线、线段
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
4．直线的性质：两点确定一条直线
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
5．角的概念
（1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．
（2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．
（3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角．
（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．
6．相交线
（1）相交线的定义
两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线．
（2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）．
7．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
8．同位角、内错角、同旁内角
（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．
（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．
（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．初中数学解题模型之图形认识初步（欧拉公式）
一．选择题（共5小题）
1．将正方体的面数记为f，边数记为e，顶点数记为v，则f+v﹣e＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．一个多面体，若顶点数为4，面数为4，则棱数是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（　　）
A．26 B．2 C．14 D．10
4．正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E＝2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（　　）
A．6 B．8 C．12 D．20
5．（2015秋 游仙区校级期末）欧拉公式中，多面体的面数F，棱数E，顶点数V之间的正确关系是（　　）
A．F+V﹣E＝2 B．F+E﹣V＝2 C．E+V﹣F＝2 D．E﹣V﹣F＝2
二．填空题（共13小题）
6．（2018秋 上杭县期末）简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 6
长方体 8 6
正八面体 8 12
现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝　 　．

7．（2018秋 南江县期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是，如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是80，则其顶点数为 　 　．
8．（2013秋 南江县校级期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现，就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为 　 　．
9．（2013秋 郸城县校级月考）一个多面体的顶点数为12，棱数是30，则这个多面体的面数是 　 　．
10．（2012秋 高港区校级月考）任意一个多面体，它的面数记为a，顶点数记为b，棱的条数记为c，则a，b，c三者之间的关系式为 　 　．
11．（2011秋 市中区校级月考）n棱柱的面数+顶点数﹣棱数＝　 　．
12．从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体、其面数+顶点数﹣棱数＝　 　．
13．（2021秋 南关区校级月考）如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝　 　．

14．（2018秋 成都期中）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 　 　个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 　 　面体．

15．（2017秋 高新区期末）一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为 　 　．
16．（2011 南海区模拟）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：

根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是 　 　．
17．正多面体共有五种，它们是 　 　、　 　、　 　、　 　、　 　，它们的面数f，棱数e、顶点数v满足关系式 　 　．
18．图1（1）、（2）、（3）依次表示四面体、八面体、正方体．

它们各自的面积数F、棱数E与顶点数V如下表：
F E V
四面体 4 6 4
八面体 8 12 6
正方体 6 12 8
观察这些数据，可以发现F、E、V之间的关系满足等式：　 　．
三．解答题（共12小题）
19．（2020秋 寿阳县期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 　 　
长方体 8 6 12
正八面体 　 　 8 12
正十二面体 20 12 30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　．
（3）一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体的面数是　 　．
20．（2018秋 南丰县期中）图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求将表格补充完整：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 　 　 7 12
图2 7 　 　 13
图3 7 10 　 　
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4035条，试求出它的面数．

21．（2020秋 灵石县月考）观察下列多面体，并把下表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 　 　 10 12
棱数b 9 12 　 　 　 　
面数c 5 　 　 　 　 8
观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出发现的关系式．
22．（2019秋 沈北新区期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 　 　 　 　 　 　
长方体 　 　 　 　 　 　
正八面体 　 　 　 　 　 　
正十二面体 　 　 　 　 　 　
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　．
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
23．（2018 凉山州模拟）观察下列多面体，并把如表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b 9 12
面数c 5 8
观察表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．
24．（2014秋 海陵区期末）回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？

（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
25．（2013秋 泉港区期末）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．
（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝　 　，F3＝　 　，E3＝　 　；
五棱锥中，V5＝　 　，F5＝　 　，E5＝　 　；
（2）猜想：①十棱锥中，V10＝　 　，F10＝　 　，E10＝　 　；
②n棱锥中，Vn＝　 　，Fn＝　 　，En＝　 　；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：　 　；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝　 　；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．

26．（2020秋 兴庆区校级月考）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．

（1）根据要求填写表格：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 　 　 　 　 　 　
图2 　 　 　 　 　 　
图3 　 　 　 　 　 　
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
27．（2016秋 雁塔区校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　．
（2）正十二面体有12个面，那它有　 　条棱；
（3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是　 　；
（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
28．（2015秋 龙岩校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 　 　
长方体 8 6 12
正八面体 　 　 8 12
正十二面体 20 　 　 30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　 　．
（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　．
29．（2017秋 太原期中）在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题：

（1）根据上图完成下表：
多面体 V（顶点数） F（面数） E（棱数）
（1） 　 　 7 15
（3） 6 　 　 9
（5） 8 6 　 　
（2）猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是 　 　；
（3）计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有 　 　个顶点．
30．（2017秋 吉安期中）观察下列多面体，并把表补充完整．
名称 　三棱柱 　四棱柱 　五棱柱 　六棱柱
　图形
　顶点数a 　6 　 　 　10 　12
　棱数b 　9 　12 　 　 　 　
　面数c 　5 6 　 　 　8
（1）完成表中的数据；
（2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为 　 　棱柱；
（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有 　 　个面，共有 　 　个顶点，共有 　 　条棱；
（4）观察表中的结果，你发现棱柱顶点数、棱数、面数之间有什么关系吗？请直接写出来．
初中数学解题模型之图形认识初步（欧拉公式）
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．将正方体的面数记为f，边数记为e，顶点数记为v，则f+v﹣e＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】欧拉公式．
【分析】根据正方体的概念和特性进行分析计算即解．
【解答】解：正方体的顶点数v＝8，棱数e＝12，面数f＝6．
故f+v﹣e＝8+6﹣12＝2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，解决本题的关键是明白正方体的构造特征为：正方体有6个面，8个顶点，12条棱．
2．一个多面体，若顶点数为4，面数为4，则棱数是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】欧拉公式．
【分析】根据欧拉公式，简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2，代入求出棱数．
【解答】解：根据欧拉公式：V+F﹣E＝2，
可得4+4﹣E＝2，
解得E＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查欧拉公式：V+F﹣E＝2，属于基础题．
3．设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（　　）
A．26 B．2 C．14 D．10
【考点】欧拉公式．
【专题】计算题．
【分析】根据长方体的概念和特性进行分析计算即解．
【解答】解：长方体的顶点数v＝8，棱数e＝12，面数f＝6．故v+e+f＝8+12+6＝26．
故选：A．
【点评】解决本题的关键是明白长方体的构造特征为：长方体有6个面，8个顶点，12条棱．
4．正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E＝2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（　　）
A．6 B．8 C．12 D．20
【考点】欧拉公式．
【专题】计算题．
【分析】根据题意中的公式F+V﹣E＝2，将E，V代入即解．
【解答】解∵正多面体共有12条棱，6个顶点，
∴E＝12，V＝6，
∴F＝2﹣V+E＝2﹣6+12＝8．
故选：B．
【点评】解决本题的关键是正确的审题，合理利用题目中给出的公式解答．
5．（2015秋 游仙区校级期末）欧拉公式中，多面体的面数F，棱数E，顶点数V之间的正确关系是（　　）
A．F+V﹣E＝2 B．F+E﹣V＝2 C．E+V﹣F＝2 D．E﹣V﹣F＝2
【考点】欧拉公式．
【专题】应用意识．
【分析】根据欧拉公式进行解答即可．
【解答】解：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：V+F﹣E＝2
故选：A．
【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题．
二．填空题（共13小题）
6．（2018秋 上杭县期末）简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表：
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4 6
长方体 8 6
正八面体 8 12
现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝　8　．

【考点】欧拉公式；数学常识．
【专题】图表型；运算能力．
【分析】直接利用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，欧拉公式为V﹣E+F＝2，求出答案．
【解答】解：∵现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，
∴这个多面体的顶点数V＝2+E﹣F，
∵每一个面都是三角形，
∴每相邻两条边重合为一条棱，
∴E＝F，
∵E+F＝30，
∴F＝12，
∴E＝18，
∴V＝，2+E﹣F＝8，
故答案为8．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，正确应用公式是解题关键．
7．（2018秋 南江县期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是，如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是80，则其顶点数为 　70　．
【考点】欧拉公式；列代数式．
【专题】新定义；符号意识．
【分析】直接利用欧拉公式V﹣E+F＝2，求出答案．
【解答】解：∵用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．
∴V＝E﹣F+2，
∵一个多面体的面数为12，棱数是80，
∴其顶点数为：80﹣12+2＝70．
故答案为：70．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，正确应用公式是解题关键．
8．（2013秋 南江县校级期末）阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现，就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为 　20　．
【考点】欧拉公式．
【分析】直接把面数、棱数代入公式，即可求得顶点数．
【解答】解：由题意可得，V﹣30+12＝2，
解得V＝20．
故答案为：20
【点评】此题考查欧拉公式的应用，直接代入计算即可．
9．（2013秋 郸城县校级月考）一个多面体的顶点数为12，棱数是30，则这个多面体的面数是 　20　．
【考点】欧拉公式．
【分析】根据常见几何体的结构特征进行判断．
【解答】解：∵顶点数记为V，棱数记为E，面数记为F，
V+F﹣E＝2，
∴12+F﹣30＝2，
解得：F＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了欧拉公式及几何体的特征，是一道简单的基础题．
10．（2012秋 高港区校级月考）任意一个多面体，它的面数记为a，顶点数记为b，棱的条数记为c，则a，b，c三者之间的关系式为 　a+b﹣c＝2　．
【考点】欧拉公式．
【分析】简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2，这个公式叫欧拉公式．
【解答】解：由欧拉公式可得：a+b﹣c＝2．
故答案为：a+b﹣c＝2．
【点评】本题考查了欧拉公式，属于基础知识的考察，欧拉公式的内容需要同学们熟练掌握．
11．（2011秋 市中区校级月考）n棱柱的面数+顶点数﹣棱数＝　2　．
【考点】欧拉公式．
【分析】根据欧拉公式，得出正多面体的面数+顶点数﹣棱数的结果．
【解答】解：从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了欧拉公式中多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，灵活运用公式是解题关键．
12．从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体、其面数+顶点数﹣棱数＝　2　．
【考点】欧拉公式．
【分析】根据欧拉公式，得出正多面体的面数+顶点数﹣棱数的结果．
【解答】解：从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数＝2．故答案为2．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
13．（2021秋 南关区校级月考）如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝　2　．

【考点】欧拉公式．
【专题】投影与视图；几何直观．
【分析】只需分别找出正八面体的顶点数，面数和棱数即可．
【解答】解：正八面体有6个顶点，12条棱，8个面．
∴正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝6+8﹣12＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查欧拉公式，正确找出正八面体的顶点数，面数，棱数是求解本题的关键．
14．（2018秋 成都期中）瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为 　12　个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个 　12　面体．

【考点】等边三角形的性质；数学常识；规律型：图形的变化类；欧拉公式．
【专题】图表型．
【分析】①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．利用欧拉公式构建方程即可解决问题．②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题．
【解答】解：①设出正二十面体的顶点为n个，则棱有条．
由题意F＝20，
∴n+20﹣＝2，
解得n＝12．
②设顶点数V，棱数E，面数F，每个点属于三个面，每条边属于两个面
由每个面都是五边形，则就有E＝，V＝
由欧拉公式：F+V﹣E＝2，代入：
F+﹣＝2
化简整理：F＝12
所以：E＝30，V＝20
即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，
故答案为12，12．
【点评】本题考查欧拉公式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
15．（2017秋 高新区期末）一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为 　8　．
【考点】欧拉公式．
【分析】因为多面体的面数为6，棱数是12，故多面体为四棱柱．
【解答】解：根据四棱柱的概念，有8个顶点．
故答案为8．
【点评】本题考查的棱柱的定义，关键点在于：棱柱的面与面相交成棱，棱与棱相交成点．
16．（2011 南海区模拟）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：

根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是 　v+f﹣e＝2　．
【考点】欧拉公式．
【分析】先根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（f ）、棱数（e）之间存在的关系式即可．
【解答】解：四面体的顶点数为4、面数为4，棱数为6，则4+4﹣6＝2；
长方体的顶点数为8、面数为6，棱数为12，则8+6﹣12＝2；
正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则8+6﹣12＝2；
则关系式为：v+f﹣e＝2；
故答案为：v+f﹣e＝2．
【点评】本题考是一个找规律的题目，查了欧拉公式，由特殊到一般的思想在数学教学中常用到．
17．正多面体共有五种，它们是 　用正三角形做面的正四面体　、　用正三角形做面的正八面体　、　用正三角形做面的正十二面体　、　用正方形做面的正六面体　、　用正五边形做面的正十二面体　，它们的面数f，棱数e、顶点数v满足关系式 　f+v﹣e＝2　．
【考点】欧拉公式．
【专题】常规题型．
【分析】根据正多面体的面是正三角形，正方形，正五边形三种情况写出即可；再根据欧拉公式进行解答．
【解答】解：正多面体只能有五种，
用正三角形做面的正四面体、正八面体，正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体．
f+v﹣e＝2．
【点评】本题考查了正多面体的分类与欧拉公式，都是基础知识，需要熟练掌握．
18．图1（1）、（2）、（3）依次表示四面体、八面体、正方体．

它们各自的面积数F、棱数E与顶点数V如下表：
F E V
四面体 4 6 4
八面体 8 12 6
正方体 6 12 8
观察这些数据，可以发现F、E、V之间的关系满足等式：　F﹣E+V＝2　．
【考点】欧拉公式．
【专题】计算题．
【分析】根据题给图形中各图具体的面积数F、棱数E与顶点数V，即可得出答案．
【解答】解：根据表中所列可知：四面体有4﹣6+4＝2；
八面体有8﹣12+6＝2；
正方体有6﹣12+8＝2；
故有F﹣E+V＝2．
故答案为：F﹣E+V＝2．
【点评】本题主要考查了欧拉公式的知识，属于基础题，注意对欧拉公式的熟练掌握．
三．解答题（共12小题）
19．（2020秋 寿阳县期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．
请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 　6　
长方体 8 6 12
正八面体 　6　 8 12
正十二面体 20 12 30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　V+F﹣E＝2　．
（3）一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体的面数是　7　．
【考点】欧拉公式；数学常识．
【专题】几何图形；几何直观．
【分析】（1）依据多面体模型，即可得到棱数和顶点数；
（2）依据表格中的数据，即可得出顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式；
（3）依据欧拉公式进行计算，即可得到这个多面体的面数．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；
故答案为：6，6；
（2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2，
故答案为：V+F﹣E＝2；
（3）设这个多面体的面数是x，则
2x﹣12＝2，
解得x＝7，
这个多面体的面数是7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了欧拉公式，多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
20．（2018秋 南丰县期中）图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．
（1）根据要求将表格补充完整：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 　7　 7 12
图2 7 　8　 13
图3 7 10 　15　
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4035条，试求出它的面数．

【考点】截一个几何体；欧拉公式．
【专题】规律型；几何直观．
【分析】（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v﹣e＝2．
（3）把数值代入f+v﹣e＝2求出即可．
【解答】解：（1）填表如下：，
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 7 7 12
图2 7 8 13
图3 7 10 15
故答案为：7，8，15．

（2）f+v﹣e＝2．

（3）∵v＝2018，e＝4035，f+v﹣e＝2
∴f+2018﹣4035＝2，
解得f＝2019．
故它的面数是2019．
【点评】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
21．（2020秋 灵石县月考）观察下列多面体，并把下表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 　　 10 12
棱数b 9 12 　　 　　
面数c 5 　　 　　 8
观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出发现的关系式．
【考点】欧拉公式．
【分析】只要将各个图形的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内，通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．
【解答】解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 8 10 12
棱数b 9 12 15 18
面数c 5 6 7 8
观察上表中的结果，能发现a、b、c之间有的关系是：a+c﹣b＝2．
【点评】本题考查了欧拉公式的知识，在找顶点数，棱数，面数的时候，如何做到不重不漏是难点
22．（2019秋 沈北新区期中）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 　4　 　4　 　6　
长方体 　8　 　6　 　12　
正八面体 　6　 　8　 　12　
正十二面体 　20　 　12　 　30　
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　V+F﹣E＝2　．
（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　12　．
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【考点】欧拉公式；数学常识．
【专题】图表型；创新意识．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．
【解答】解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；

（2）由题意得：F+8+F﹣30＝2，解得F＝12；
（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2＝36条棱，
那么24+F﹣36＝2，解得F＝14，
∴x+y＝14．
故答案为：（1）6；6；V+F﹣E＝2．
（2）12；
（3）14．
【点评】考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
23．（2018 凉山州模拟）观察下列多面体，并把如表补充完整．
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 10 12
棱数b 9 12
面数c 5 8
观察表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．
【考点】欧拉公式．
【专题】常规题型．
【分析】结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案，
利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
【解答】解：填表如下：
名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱
图形
顶点数a 6 8 10 12
棱数b 9 12 15 18
面数c 5 6 7 8
根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱；
故a，b，c之间的关系：a+c﹣b＝2．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．
24．（2014秋 海陵区期末）回答下列问题：
（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？

（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？
（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．
【考点】展开图折叠成几何体；欧拉公式．
【分析】（1）由长方体与五棱锥的折叠及长方体与五棱锥的展开图解题．
（2）列出几何体的面数，顶点数及棱数直接进行计算即可；
（3）设这个多面体的面数为x，根据顶点数+面数﹣棱数＝2，列出方程即可求解．
【解答】解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体；
图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥．

（2）甲：f＝6，e＝12，v＝8，f+v﹣e＝2；
乙：f＝6，e＝10，v＝6，f+v﹣e＝2；
规律：顶点数+面数﹣棱数＝2．

（3）设这个多面体的面数为x，则
x+x+8﹣50＝2
解得x＝22．
【点评】本题考查了欧拉公式，展开图折叠成几何体的知识，有一定难度，同时考查了学生的想象和动手能力．
25．（2013秋 泉港区期末）设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．
（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝　4　，F3＝　4　，E3＝　6　；
五棱锥中，V5＝　6　，F5＝　6　，E5＝　10　；
（2）猜想：①十棱锥中，V10＝　11　，F10＝　11　，E10＝　20　；
②n棱锥中，Vn＝　n+1　，Fn＝　n+1　，En＝　2n　；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：　V＝F　；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝　V+F﹣2　；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．

【考点】欧拉公式．
【分析】（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可；
（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可；
②根据n棱锥的特征的特征填写即可；
（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系；
②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系；
（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．
【解答】解：（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝4，F3＝4，E3＝6；
五棱锥中，V5＝6，F5＝6，E5＝10；
（2）猜想：①十棱锥中，V10＝11，F10＝11，E10＝20；
②n棱锥中，Vn＝n+1，Fn＝n+1，En＝2n；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V＝F；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝V+F﹣2；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F﹣E＝2．
故答案为：4，4，6；6，6，10；11，11，20；n+1，n+1，2n；V＝F，V+F﹣2．
【点评】考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识，属于基础题．
26．（2020秋 兴庆区校级月考）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．

（1）根据要求填写表格：
面数（f） 顶点数（v） 棱数（e）
图1 　7　 　9　 　14　
图2 　6　 　8　 　12　
图3 　7　 　10　 　15　
（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；
（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．
【考点】截一个几何体；欧拉公式．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据图形数出即可．
（2）根据（1）中结果得出f+v﹣e＝2．
（3）代入f+v﹣e＝2求出即可．
【解答】解：（1）题1，面数f＝7，顶点数v＝9，棱数e＝14，
题2，面数f＝6，顶点数v＝8，棱数e＝12，
题3，面数f＝7，顶点数v＝10，棱数e＝15，
故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．

（2）f+v﹣e＝2．

（3）∵v＝2018，e＝4036，f+v﹣e＝2
∴f+2018﹣4036＝2，
f＝2020，
即它的面数是2020．
【点评】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律．
27．（2016秋 雁塔区校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　V+F﹣E＝2　．
（2）正十二面体有12个面，那它有　30　条棱；
（3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是　20　；
（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【考点】欧拉公式．
【分析】（1）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，关系式为：V+F﹣E＝2；
（2）根据题意得出是十二面体，得出顶点数；
（3）代入（1）中公式进行计算；
（4）根据欧拉公式可得顶点数+面数﹣棱数＝2，然后表示出棱数，进而可得面数．
【解答】解：（1）根据题意得：四面体的棱数为6，正八面体顶点数为6，
∵4+4﹣6＝2，8+6﹣12＝2，6+8﹣12＝2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2；
故答案为：V+F﹣E＝2；

（2）正十二面体有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点；
故答案是：30；

（3）由（1）可知：V+F﹣E＝2，
∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，
∴V+V﹣8﹣30＝2，即V＝20，
故答案是：20；

（4）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有48×3÷2＝72条棱，
设总面数为F，
48+F﹣72＝2，
解得F＝26，
∴x+y＝26．
【点评】本题考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，得出欧拉公式是解题关键．
28．（2015秋 龙岩校级月考）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 　6　
长方体 8 6 12
正八面体 　6　 8 12
正十二面体 20 　12　 30
（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　V+F﹣E＝2　．
（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　20　．
【考点】欧拉公式．
【分析】（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；
（3）代入（2）中的式子即可得到面数．
【解答】解：（1）观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；正十二面体的面数为12；
（2）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，关系式为：V+F﹣E＝2；
（3）由题意得：F﹣8+F﹣30＝2，解得F＝20．
故答案为：（1）6，6，12；（2）V+F﹣E＝2；（3）20．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
29．（2017秋 太原期中）在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题：

（1）根据上图完成下表：
多面体 V（顶点数） F（面数） E（棱数）
（1） 　10　 7 15
（3） 6 　5　 9
（5） 8 6 　12　
（2）猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是 　V+F﹣E＝2　；
（3）计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有 　12　个顶点．
【考点】截一个几何体；欧拉公式．
【专题】几何图形．
【分析】（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；
（3）代入（2）中的式子即可得到面数．
【解答】解：（1）观察图形，多面体（1）的顶点数为10；多面体（3）的面数为5；多面体（5）的棱数为12；
故答案为：10，5，12；
（2）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，
即关系式为：V+F﹣E＝2；
故答案为：V+F﹣E＝2；
（3）由题意得：V+20﹣30＝2，解得V＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
30．（2017秋 吉安期中）观察下列多面体，并把表补充完整．
名称 　三棱柱 　四棱柱 　五棱柱 　六棱柱
　图形
　顶点数a 　6 　8　 　10 　12
　棱数b 　9 　12 　15　 　18　
　面数c 　5 6 　7　 　8
（1）完成表中的数据；
（2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为 　26　棱柱；
（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有 　（n+2）　个面，共有 　2n　个顶点，共有 　3n　条棱；
（4）观察表中的结果，你发现棱柱顶点数、棱数、面数之间有什么关系吗？请直接写出来．
【考点】欧拉公式；规律型：图形的变化类．
【专题】图表型；规律型．
【分析】（1）结合三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表：
（2）（3）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案；
（4）利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．
【解答】解：（1）填表如下：
名称 　三棱柱 　四棱柱 　五棱柱 　六棱柱
　图形
　顶点数a 　6 8 　10 　12
　棱数b 　9 　12 15 18
　面数c 　5 6 7 　8
（2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为26棱柱；
（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有 （n+2）个面，共有 2n个顶点，共有 3n条棱；
（4）a，b，c之间的关系：a+c﹣b＝2
故答案为：8；15，18；7；26；（n+2），2n，3n．
【点评】此题主要考查了欧拉公式，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱是解题关键．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．

【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“ ”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
3．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
4．欧拉公式
（1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律．
（2）V+F﹣E＝X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数．
5．展开图折叠成几何体
通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
6．截一个几何体
（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．
（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．初中数学解题模型之图形认识初步（双角平分线）
一．选择题（共10小题）
1．（2013秋 长清区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝50°，∠COE＝60°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AOE＝110° B．∠BOD＝80° C．∠BOC＝50° D．∠DOE＝30°
2．（2012春 巴南区期中）如图，∠AOB是平角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，那么∠AOE的余角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021秋 肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（ ）
A．∠COD＝∠AOB B．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOD D．∠BOC＝∠AOD
4．（2016秋 昆山市校级期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD＝∠EOC
C．∠AOD+∠BOE＝60° D．∠BOE＝2∠COD
5．（2015秋 薛城区期末）如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定
B．∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°
C．∠BOE＝2∠COD
D．∠AOD＝
6．（2013秋 洛阳期末）如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD＝EOC
C．∠BOE＝2∠COD D．∠AOD+∠BOE＝65°
7．（2021秋 彭水县期末）如图，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，则∠COD的度数为（ ）
A．8° B．10° C．15° D．18°
8．（2021秋 朝阳区期末）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
9．（2017秋 淮安区期末）如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD＝∠EOC
C．∠AOD+∠BOE＝65° D．∠BOE＝2∠COD
10．（2021秋 武城县期末）如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠AOD+∠BOE＝60° B．∠AOD＝∠EOC
C．∠BOE＝2∠COD D．∠DOE的度数不能确定
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋 长春期末）如图，EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线．若∠BEF＝30°，则∠BEG＝ °．
12．（2021秋 盐城月考）如图，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOC＝100°，∠EOC＝40°，则∠BOD的度数为 °．
13．（2020秋 青岛期末）如图，∠AOB＝180°，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，则图中与∠COD互补的角是 ．
14．（2021秋 天河区期末）如图，∠AOB＝90°，OC是∠AOB里任意一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，则∠DOE＝ ．
15．（2021秋 金塔县期末）如图，∠AOB中，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，若∠AOB＝140°，则∠EOD＝ 度．
16．（2020秋 江津区期末）若∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则∠MON的度数为 °．
17．（2021秋 义乌市月考）已知∠AOC＝70°，∠COE＝30°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，则∠BOD的度数为 度．
18．（2020秋 东西湖区期末）已知∠AOB＝30°，∠AOC＝4∠AOB，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数是 ．
19．（2020秋 黄岛区期末）平面内有公共端点的三条射线OA，OB，OC，构成的角∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM和ON分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，则∠MON的度数是 ．
20．（2021秋 青羊区校级期中）已知∠AOB＝100°，射线OC在同平面内绕点O旋转，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，则∠EOF的度数为 ．
三．解答题（共5小题）
21．（2021秋 细河区期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，
①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；
②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系．
22．（2021秋 澄海区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOC＝70°，∠COE＝50°，求∠BOD的度数；
（2）如果∠AOE＝160°，求∠BOD的度数；
（3）如果OM平分∠AOE，∠COD：∠BOC＝2：3，∠COM＝15°，求∠BOD的度数．
23．（2021秋 义乌市期末）如图，已知OB是∠AOC内一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若AO⊥BO，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数；
（2）试判断∠AOB＝2∠EOF是否成立．并请说明理由．
24．（2021秋 金水区校级期末）已知OC为一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOB＝60°，OC为∠AOB内部任意一条射线时，∠MON＝ ；
（2）如图2，当∠AOB＝60°，OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON＝ ；
（3）如图3，当∠AOB＝α，OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部时，求∠MON，请借助图3填空．
解：因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC
所以∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC（依据是 ）
所以∠MON＝∠COM﹣
＝∠AOC﹣
＝ ．
25．（2021秋 红河州期末）已知∠AOB＝70°，如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如图2，当OC在∠AOB的外部且∠BOC＜70°时，其他条件不变，∠MON的度数会发生变化吗？请说明理由．
初中数学解题模型之图形认识初步（双角平分线）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2013秋 长清区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝50°，∠COE＝60°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠AOE＝110° B．∠BOD＝80° C．∠BOC＝50° D．∠DOE＝30°
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【分析】根据角平分线的性质，角的和差倍分关系计算作答．
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB＝50°，∠COE＝60°，
∴A、∠AOE＝2∠AOB+∠COE＝160°，故错误；
B、∠BOD＝∠BOC+∠COD＝∠AOB+∠COE＝80°，故正确；
C、∠BOC＝∠AOB＝50°，故正确；
D、∠DOE＝∠COE＝30°，故正确．
故选：A．
【点评】本题结合角平分线的性质考查了角的和差倍分关系计算．
2．（2012春 巴南区期中）如图，∠AOB是平角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，那么∠AOE的余角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【分析】利用角平分线的定义以及平角的定义，可知∠EOC与∠COD互余，∠AOE与∠BOD互余．而∠AOE＝∠EOC，故可知∠AOE的余角有两个．
【解答】解：∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC
∴∠AOE＝∠EOC，∠COD＝∠BOD
又∵∠AOB是平角
∴∠EOC+∠COD＝90°即∠DOE＝90°
∴∠AOE+∠BOD＝∠AOE+∠COD＝90°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平角，平分线的定义，余角的定义，是一个基本的类型．
3．（2021秋 肥西县期末）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（ ）
A．∠COD＝∠AOB B．∠AOD＝∠AOB
C．∠BOD＝∠AOD D．∠BOC＝∠AOD
【考点】角平分线的定义．
【分析】根据角平分线定义，得出角与角的关系．再根据选项选取正确答案．
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，∠BOD＝∠AOC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠AOD，
故选：D．
【点评】根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
4．（2016秋 昆山市校级期末）如图，∠AOB＝120°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD＝∠EOC
C．∠AOD+∠BOE＝60° D．∠BOE＝2∠COD
【考点】角的计算．
【分析】根据角的平分线的定义以及角的和差即可判断．
【解答】解：∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线
∴∠COD＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD+∠EOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝×120°＝60°．
故C正确；
而OC是∠AOB内部任意一条射线，则∠BOC和∠AOC的大小无法确定，
则A、B、D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了角的平分线的定义以及角的和差关系，正确理解∠DOE＝∠AOB是关键．
5．（2015秋 薛城区期末）如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定
B．∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°
C．∠BOE＝2∠COD
D．∠AOD＝
【考点】角平分线的定义．
【分析】本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．
【解答】解：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD、∠EOC＝∠BOE，
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD＝∠AOB＝130°，
∴∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°．
故选：B．
【点评】本题是对角平分线的性质的考查．然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
6．（2013秋 洛阳期末）如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD＝EOC
C．∠BOE＝2∠COD D．∠AOD+∠BOE＝65°
【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【分析】本题是对角的平分线的性质的考查，角平分线将角分成相等的两部分．结合选项得出正确结论．
【解答】解：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD、∠EOC＝∠BOE，
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD＝∠AOB＝130°，
∴∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°．
故选：D．
【点评】本题是对角平分线的性质的考查．然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．
7．（2021秋 彭水县期末）如图，已知∠AOB＝20°，∠AOE＝110°，OB平分∠AOC，OD平分∠AOE，则∠COD的度数为（ ）
A．8° B．10° C．15° D．18°
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据∠AOB＝20°，OB平分∠AOC，可得∠AOC的度数；根据OD平分∠AOE，∠AOE＝110°，可得∠COD的度数，根据角的和差即可求得∠COD的度数．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，∠AOB＝20°，
∴∠AOC＝2∠AOB＝40°，
∵OD平分∠AOE，∠AOE＝110°，
∴∠AOD＝∠AOE＝55°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝55°﹣40°＝15°．
则∠COD的度数为15°．
故选：C．
【点评】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是掌握角平分线的定义．
8．（2021秋 朝阳区期末）如图，射线OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角
C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据已知条件求出有关角的度数，即可对各个选项作出判断．
【解答】解：∵射线OC和OD把平角三等分，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠COE＝∠AOC＝30°，∠DOF＝∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝∠COF＝30°+60°＝90°，
图中120°的角有：∠AOD、∠EOF、∠COB，故A选项不正确；
图中直角有∠DOE、∠COF，故B选项不正确；
∠AOC＝60°，所以它的补角等于120°，图中有三个，故C选项正确；
∠AOE＝30°，所以它的余角等于60°，图中等于60°的角有三个，故D选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角、角平分线定义等知识；熟练掌握余角的定义和角平分线定义是解题的关键．
9．（2017秋 淮安区期末）如图，∠AOB＝130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定 B．∠AOD＝∠EOC
C．∠AOD+∠BOE＝65° D．∠BOE＝2∠COD
【考点】角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】依据OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°，结合选项得出正确结论．
【解答】解：∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD，∠EOC＝∠BOE，
又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD＝∠AOB＝130°，
∴∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°．
故选：C．
【点评】本题是对角的平分线的性质的考查，解题时注意：角平分线将角分成相等的两部分．
10．（2021秋 武城县期末）如图，∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠AOD+∠BOE＝60° B．∠AOD＝∠EOC
C．∠BOE＝2∠COD D．∠DOE的度数不能确定
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】计算题；线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【分析】由角平分线的定义，角的和差计算得∠AOD+∠BOE＝60°，故答案选A．
【解答】解：如图所示：
∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠AOD＝∠DOC＝，
∠COE＝∠BOE＝，
又∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝120°，
∴∠AOD+∠BOE＝60°，
故选：A．
【点评】本题综合考查了角平分线的定义，角的和差等相关知识点，重点掌握角的计算．
二．填空题（共10小题）
11．（2021秋 长春期末）如图，EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线．若∠BEF＝30°，则∠BEG＝ 60 °．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据双角平分线先求出∠FEG的度数，再减去∠BEF即可．
【解答】解：∵EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线，
∴∠BEG＝∠BEC，∠BEF＝∠BEA，
∴∠FEG＝∠BEG+∠BEF＝＝∠BEC+∠BEA＝（∠BEC+∠BEA）＝∠CEA＝×180°＝90°，
∵∠BEF＝30°，
∴∠BEG＝∠FEG﹣∠BEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据双角平分线求出∠FEG的度数是解题的关键．
12．（2021秋 盐城月考）如图，OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOC＝100°，∠EOC＝40°，则∠BOD的度数为 70 °．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】根据角平分线的定义可求出∠BOC＝∠AOC，∠COD＝∠COE，从而可求出∠BOD的度数．
【解答】解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，∠AOC＝100°，∠EOC＝40°，
∴∠BOC＝∠AOC＝50°，∠COD＝∠COE＝20°，
∴∠DOB＝∠COD+∠COB＝70°；
故答案为：70．
【点评】本题考查角平分线的定义，解题的关键是求出∠BOC＝∠AOC，∠COD＝∠COE，本题属于基础题型．
13．（2020秋 青岛期末）如图，∠AOB＝180°，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，则图中与∠COD互补的角是 ∠AOD ．
【考点】余角和补角；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据角平分线的性质，可得∠AOE＝∠COE，∠COD＝∠BOD，再根据补角的定义求解即可．
【解答】解：∵OD是∠BOC的平分线，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，
∴∠COD+∠AOD＝180°，
∴与∠COD互补的是∠AOD．
故答案为：∠AOD．
【点评】本题考查了补角的定义，角平分线的定义等知识，解答本题的关键是理解补角的定义，掌握角平分线的性质．
14．（2021秋 天河区期末）如图，∠AOB＝90°，OC是∠AOB里任意一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC，则∠DOE＝ 45° ．
【考点】角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】由角平分线可得∠DOE＝∠AOB，再将已知代入即可．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠AOD，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠AOB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DOE＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，灵活应用角的和差关系是解题的关键．
15．（2021秋 金塔县期末）如图，∠AOB中，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，若∠AOB＝140°，则∠EOD＝ 70 度．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【分析】由图形可知∠DOE＝∠DOC+∠EOC，然后根据角平分线的性质，可推出∠DOC＝∠BOC，∠EOC＝∠AOC，由此可推出∠DOE＝∠AOB，最后根据∠AOB的度数，即可求出结论．
【解答】解：∵OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，
∴∠DOC＝∠BOC，∠EOC＝∠AOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝140°，
∴∠EOD＝70°．
故答案为70．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，关键在于运用数形结合的思想推出∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOB．
16．（2020秋 江津区期末）若∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的平分线，则∠MON的度数为 25 °．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】画出符合的两种图形，根据角平分线定义求出∠MOC和∠NOC的度数，即可求出∠MON．
【解答】解：当射线OC位于∠AOB内部时，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝50°﹣30°＝20°，
∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝10°，∠CON＝∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝10°+15°＝25°；
当射线OC位于∠AOB外部时，
∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝50°+30°＝80°，
∵OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的角平分线，
∴∠COM＝∠AOC＝40°，∠CON＝∠BOC＝15°，
∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝54°﹣15°＝25°；
所以∠MON的度数是25°．
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，难度中等．
17．（2021秋 义乌市月考）已知∠AOC＝70°，∠COE＝30°，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，则∠BOD的度数为 50°或20° 度．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】分两种情况求解：当OE在∠AOC外时，∠BOD＝∠BOC+∠COD＝35°+15°＝50°；当OE在∠AOC内时，∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝35°﹣15°＝20°．
【解答】解：如图1，当OE在∠AOC外时，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝35°，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COD＝∠COE，
∵∠COE＝30°，
∴∠COD＝15°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝35°+15°＝50°；
如图2，当OE在∠AOC内时，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝35°，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠COD＝∠COE，
∵∠COE＝30°，
∴∠COD＝15°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝35°﹣15°＝20°；
综上所述：∠BOD的度数是50°或20°，
故答案为：50°或20°．
【点评】本题考查角的计算，熟练掌握角平分线的定义，灵活运用角的和差关系，准确画出图形是解题的关键．
18．（2020秋 东西湖区期末）已知∠AOB＝30°，∠AOC＝4∠AOB，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，则∠MON的度数是 45°或75° ．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【分析】分为两种情况，当∠AOB在∠AOC内部时，当∠AOB在∠AOC外部时，分别求出∠AOM和∠AON度数，即可求出答案．
【解答】解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝30°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝120°，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOB＝15°，∠AON＝∠AOC＝60°，
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣15°＝45°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠MON＝∠AOM+∠AOD＝60°+15°＝75°．
故∠MOD的度数是45°或75°．
故答案为：45°或75°．
【点评】本题考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想，注意根据射线OB的位置需要分类讨论．
19．（2020秋 黄岛区期末）平面内有公共端点的三条射线OA，OB，OC，构成的角∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，OM和ON分别是∠AOB和∠BOC的角平分线，则∠MON的度数是 20°或50° ．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】有两种情况，一种是射线OA在∠BOC的内部，一种是射线OA在∠BOC的外部，根据∠AOB＝30°，∠BOC＝70°和OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，分别求出∠BOM、∠BON，然后相加或相减，即可求得答案．
【解答】解：有两种情况，
（1）射线OA在∠BOC的内部，
∵∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，
OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝∠AOB＝×70°＝35°，
∠BON＝∠BOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝35°﹣15°＝20°．
（2）射线OA在∠BOC的外部．
∵∠AOB＝30°，∠BOC＝70°，
OM、ON分别是∠AOB和∠BOC的平分线，
∴∠BOM＝∠AOB＝×70°＝35°，
∠BON＝∠BOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝35°+15°＝50°．
故答案为：20°或50°．
【点评】本题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是明确此题有两种情况，不要遗漏．
20．（2021秋 青羊区校级期中）已知∠AOB＝100°，射线OC在同平面内绕点O旋转，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，则∠EOF的度数为 50°或130° ．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】分类讨论；线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】分射线OC在∠AOB的内部和在∠AOB的外部两种情况讨论解答，画出符合题意的图形，利用已知条件和角平分线的定义分别解答即可．
【解答】解：当射线OC在∠AOB的内部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝100°，
∴∠EOF＝50°；
当射线OC在∠AOB的外部时，
①射线OE，OF中有一个在∠AOB的内部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝（∠AOC﹣∠BOC），
∵∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝100°，
∴∠EOF＝50°；
②射线OE，OF两个都在∠AOB的外部时，如图，
∵射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC+∠FOC＝（∠AOC+∠BOC），
∵∠AOC+∠BOC＝360°﹣∠AOB＝260°，
∴∠EOF＝130°；
综上，∠EOF的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
21．（2021秋 细河区期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝α，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与α的数量关系；
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，
①猜想：∠MON与α、β有数量关系吗？直接写出结论即可；
②当∠CON＝3∠BOM时，直接写出α、β之间的数量关系．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】数形结合；几何直观．
【分析】（1）求出∠AOC的度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC的度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC的度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．
【解答】解（1）∵∠AOB是直角，
∴∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠COA＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，
∵OM 平分∠AOC，
∴∠COM＝∠COA＝75°，
∵ON平分∠BOC，
∴ ∠CON＝∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝75°﹣30°＝45．
（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝60°，
∴∠COA＝α+60°，
∴∠COM＝∠COA＝（α+60°），
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝（α+60°）﹣30°＝α．
（3）① ∠MON＝α；
②β＝α或β＝α．
【点评】本题考查了角相关的计算及角平分线的定义，关键在于学生要认真审题，结合图形完成题目．
22．（2021秋 澄海区期末）如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
（1）如果∠AOC＝70°，∠COE＝50°，求∠BOD的度数；
（2）如果∠AOE＝160°，求∠BOD的度数；
（3）如果OM平分∠AOE，∠COD：∠BOC＝2：3，∠COM＝15°，求∠BOD的度数．
【考点】角平分线的定义；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOC和∠∠COD的度数即可解答；
（2）利用双角平分线的定义求出∠BOD＝∠AOE，即可解答；
（3）根据已知设∠COD＝2x，则∠BOC＝3x，利用角平分线的定义求出∠COE＝4x，∠AOC＝6x，从而求出∠AOE，再根据OM平分∠AOE，求出∠EOM，最后利用∠COM＝15°，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵OB平分∠AOC，∠AOC＝70°，
∴∠BOC＝∠AOC＝35°，
∵OD平分∠COE，∠COE＝50°，
∴∠COD＝∠COE＝25°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝35°+25°＝60°；
（2）∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，
∴∠COD＝∠COE，∠BOC＝∠AOC，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC
＝∠COE+∠AOC
＝（∠COE+∠AOC）
＝∠AOE＝80°；
（3）∵∠COD：∠BOC＝2：3，
∴设∠COD＝2x，则∠BOC＝3x，
∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE，
∴∠COE＝2∠COD＝4x，∠AOC＝2∠BOC＝6x，
∴∠AOE＝∠COE+∠AOC＝10x，
∵OM平分∠AOE，
∴∠EOM＝∠AOE＝5x，
∵∠EOM﹣∠COE＝∠COM＝15°，
∴5x﹣4x＝15°，
∴x＝15°，
∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝2x+3x＝75°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握双角平分线是解题的关键．
23．（2021秋 义乌市期末）如图，已知OB是∠AOC内一条射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若AO⊥BO，∠BOC＝60°，求∠EOF的度数；
（2）试判断∠AOB＝2∠EOF是否成立．并请说明理由．
【考点】垂线；角平分线的定义；角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】（1）求出∠AOC，根据角平分线性质求出∠EOC＝∠AOC＝75°，∠FOC＝∠BOC＝30°，根据∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC代入求出即可；
（2）根据角平分线性质求出∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC，根据∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC代入求出即可．
【解答】解：（1）∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝75°，∠FOC＝∠BOC＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝75°﹣30°＝45°；
（2）成立，理由如下：
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠EOC＝∠AOC，∠FOC＝∠BOC，
∴∠EOF＝∠EOC﹣∠FOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB，
即∠AOB＝2∠EOF．
【点评】本题考查了角的计算，主要利用了角的平分线的定义，对识图能力有一定要求，快速准确识图是解题的关键．
24．（2021秋 金水区校级期末）已知OC为一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）如图1，当∠AOB＝60°，OC为∠AOB内部任意一条射线时，∠MON＝ 30° ；
（2）如图2，当∠AOB＝60°，OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON＝ 30° ；
（3）如图3，当∠AOB＝α，OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部时，求∠MON，请借助图3填空．
解：因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC
所以∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC（依据是 角平分线定义 ）
所以∠MON＝∠COM﹣ ∠CON
＝∠AOC﹣
＝ α ．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】（1）根据角平分线定义可得∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，再利用角的和差可得∠MON的度数；
（2）根据（1）的思路可得答案；
（3）根据角平分线的定义与角的和差可得答案．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝30°．
故答案为：30°；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOB＝30°．
故答案为：30°；
（3）因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM＝∠AOC，∠CON＝∠BOC（角平分线定义），
所以∠MON＝∠COM﹣∠CON，
＝∠AOC﹣BOC，
＝α．
故答案为：角平分线定义，∠CON，BOC，α．
【点评】本题考查角的计算和角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义与角的和差是解题关键．
25．（2021秋 红河州期末）已知∠AOB＝70°，如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）如图2，当OC在∠AOB的外部且∠BOC＜70°时，其他条件不变，∠MON的度数会发生变化吗？请说明理由．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】数形结合；几何直观．
【分析】（1）由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC得：AOB＝35°．
（2）由题意知：BOC＝．
【解答】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴，
∴AOB＝35°；
（2）∠MON的度数不会发生变化，
理由如下：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴，
∴BOC＝，
故∠MON的度数不会发生变化．
【点评】本题考查了双角平分线，关键是结合图形利用角平分线的定义求解．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．角的计算
（1）角的和差倍分
①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC＝∠AOB．
（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．
（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．
3．余角和补角
（1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
（2）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
（3）性质：等角的补角相等．等角的余角相等．
（4）余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
注意：余角（补角）与这两个角的位置没有关系．不论这两个角在哪儿，只要度数之和满足了定义，则它们就具备相应的关系．
4．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．

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