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高考试题中排列组合及二项式定理问题的类型与解法
大家知道，排列组合及二项式定理问题是近几年高考的热点问题之一，每年高考试卷中必有一个五分小题，有时在大题中也会涉及到排列组合的问题。从题型上，以选择题或填空题为主，难度系数为低档（或中档）。纵观近几年高考试题，归结起来排列组合及二项式定理问题主要包括：①二项定理应用的问题；②排列组合的综合问题；③排列组合与概率的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答排列组合及二项式定理问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析，来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、展开式中项的系数为 （用数字作答）（2022成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式通项公式，结合问题条件就可求出展开式中项的系数。
【详细解答】==，由5-2r=3解得：r=1，展开式中项的系数为-.=-516=-80。
2、的展开式中的系数为（ ）（2022成都市高三二诊）
A -160 B 160 C -80 D 80
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式的通项公式求出的展开式中的系数就可得出选项。
【详细解答】==，由6-r=3解得r=3，的展开式中的系数为=-820=-160, A正确，选A。
3、（x+ ）的展开式中的系数为（ ）（2020全国高考新课标I）
A 5 B 10 C 15 D 20
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理，运用二项式展开式的通项公式求出的展开式中和y的系数，两个系数相加求出（x+ ）的展开式中的系数就可得出选项。
【详细解答】=，当r=3或r=1时，==10，=5,，10+5=15，
（x+ ）的展开式中的系数为15，C正确，选C。
4、的展开式中常数项是 （用数字作答）（2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用；③确定二项式展开式某项系数的基本方法。
【解答思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，结合问题条件确定常数项的项，运用确定二项式展开式某项系数的基本方法就可求出、的展开式中常数项。
【详细解答】 = = ，当12-3r=0时，r=4，
的展开式中常数项是=1516=240。
5、的展开式中的系数是 （用数字作答）
【解析】
【考点】①二项式定理及运用；②二项式展开式的通项公式及运用。
【解题思路】根据二项式定理和二项式展开式的通项公式，得到的展开式中的项就可求出展开式中的系数。
【详细解答】= （）= ，=-1，r=3， 的展开式中的系数为=-35。
『思考问题1』
（1）【问题1】是求二项展开式中某项的系数的问题，解决这类问题的基本方法是：①运用二项展开式的通项公式求出该二项展开式的通项公式；②根据所求项的系数确定所在的项；③由确定的项，代入二项展开式的通项公式求出相应的系数；
（2）解答求二项展开式中某项的系数的问题时，应该注意二项系数与二项展开式中某项的系数具有不同的含义：在二项式的展开式中是第k+1项，求k+1项的系数数，是项除字母以外的系数，其中是该项的二项系数，它与a，b无关。
【典例2】解答下列问题：
1、将5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A 60种 B 120种 C 240种 D 480种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数和组合数的计算计算公式，结合问题条件求出共有不同的分配方案数就可得出选项。
【详细解答】5名北京东奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，共有不同的分配方案数为=4321=1024=240（种），C正确，选C。
2、6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）（2020全国高考新高考I理）
A 120种 B 90种 C 60种 D 30种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的安排方法数就可得出选项。
【详细解答】6名同学到甲，乙，丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，共有不同的安排方法数为..=6101
=60，C正确，选C。
3、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（ ）（2020全国高考新高考II理）
A 12种 B 18种 C 24种 D 36种
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③组合定义与性质；④组合数计算公式及运用。
【解答思路】根据排列和组合的性质，运用排列数计算公式和组合数计算公式，结合问题条件求出共有不同的安排方法数就可得出选项。
【详细解答】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由一人完成，共有不同的安排方法数为=66=36，D正确，选D。
『思考问题2』
（1）【典例2】是排列组合的综合问题，解决这类问题的基本方法是：① “分析”，就是找出问题中的条件和结论，弄清楚哪些是元素，哪些是位置；②“分辨”，是辨别问题中哪些是排列，哪些是组合，对哪些元素的位置有特别的限制；③“分类”，是对复杂问题中的元素分成互相排斥的几类，再逐类解答；④“分步”，是把问题化成几个互相联系的步骤，每一步都是简单的排列或组合问题，再逐步加以解答；
（2）排列的主要特征是元素与元素之间同顺序有关；组合的主要特征是元素与元素之间同顺序无关；
（3）在实际解答问题时，分辨它是排列还是组合的简便方法就是看元素与元素之间同顺序是否有关；
（4）在实际解答问题时，排列与组合往往会同时出现，面对解答既有排列又有组合的问题时，处理的基本方法是先组合后排列。
【典例3】解答下列问题：
1、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【解析】
【考点】①排列的定义与性质；②排列数计算公式及运用；③古典概率的定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据排列的性质和排列数计算公式，结合问题条件分别求出4个1和2个0随机排成一行和4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。（文）根据排列的性质和排列的基本方法，结合问题条件排出将3个1和2个0排成一行的所有可能的排列，分别求出排列总数与3个1和2个0排成一行的排列中2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将4个1和2个0随机排成一行的排列数为=654321=720，将4个1和2个0随机排成一行，且2个0不相邻的排列数为=43211021=480，p（A）=
=，C正确，选C。（文）设将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将3个1和2个0随机排成一行有：11100，00111，10011，11001，01011，01101，01110，10101，10110，11010共10个，将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列有：01011，01101，01110，10101，10110，11010共6个， p（A）==0.6，C正确，选C。
2、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取一个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，
丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”
则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 甲与丙相互独立 B 甲与丁相互独立 C 乙与丙相互独立 D 丙与丁相互独立
【解析】
【考点】①相互独立事件定义与性质；②判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法。
【解答思路】根据相互独立事件的性质，运用判断两个事件是否是相互独立事件的基本方法分别对各选项的两个事件是否是相互独立事件进行判断就可得出选项。
【详细解答】丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，第一次取出的球的数字至少是2，也就是说丙事件中第一次取出的球的数字不能是1，甲事件与丙事件两个事件不可能同时发生，且至少有一个发生，即甲与丙相互独立，A正确，选A。
2、以网络公司为某贫困山区培养了100名“乡土直播员”，以帮助宣传该山区文化和销售该山区的农副产品，从而带领山区人民早日脱贫致富，该公司将这100名“乡土直播员”中每
天直播时间不少于5小时的评为“网红乡土直播员”，其余的评为“乡土直播达人”，根据
实际评选结果得到了下面22列联表： 网红乡土直播员 乡土直播达人 合计
（1）根据列联表判断是否有95%的把握认 男 10 40 50
为“网红乡土直播员”与性别有关？ 女 20 30 50
（2）（理）在“网红乡土直播员”按分层 合计 30 70 100
抽样方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”中男性人数为，求的分布列和期望。
（文）在“网红乡土直播员”按分层抽样方法抽取6人，在这6人中选2人作为“乡土直播推广大使”，设被选中的2名“乡土直播推广大使”，求这俩人中恰有一男一女的概率（2021成都市高三一诊）
附：
（其中n=a+b+c+d）
【解析】
【考点】①22列联表的定义与性质；②两个变量相关的定义与判定的基本方法；③分层抽样的定义与性质；④分层抽样的基本方法；⑤随机变量概率分布列定义与性质；⑥求随机变量概率分布列的基本方法；⑦随机变量数学期望的定义与性质；⑧求随机变量数学期望的基本方法；⑨古典概率的定义与性质；⑩求古典概率的基本方法。
【解题思路】（1）根据22列联表和公式，结合问题条件求出的值就可判断是否有95%的把握为“网红乡土直播员”与性别有关；（2）（理）根据随机变量概率分布列的性质和求随机变量概率分布列的基本方法，结合问题条件就可得到随机变量的分布列，运用随机变量数学期望的性质和求随机变量数学期望的基本方法就可求出随机变量的数学期望。（文）根据古典概率的性质和求古典概率的基本方法就可求出选取的俩人中恰有一男一女的概率。
【详细解答】（1）==4.762>3.841，
有95%的把握认为“网红乡土直播员”与性别有关；（2）（理）抽取的男性人数为：
6=2（人），女性人数为：6=4（人），随机变量的可能取值为：0，1，2，p（=0）
===，p（=1）= = 0 1 2
= ，p（=2）= = =，随机变量 p
的分布列如表所示，E=0+1+2=。（文）设被选中的2名“乡土直播推广大使”中恰有一男一女的事件为A，抽取的男性人数为：6=2（人），女性人数为：6=4（人），令抽取的2名男性分别为，，抽取的4名女性分别为，，，，从这6人随机抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15个，从这6人随机抽取2人，恰有一男一女的基本事件有：，，，，，，，共8个，p（A）=，即被选中的2名“乡土直播推广大使”中恰有一男一女的概率为。
3、袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为（ ）（成都市2021高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①组合的定义与性质；②求组合数的基本方法；③古典概率的定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解题思路】根据组合的性质和求组合数的基本方法，分别求出从5个球中不放回地依次随机摸出两个球和摸出的两个球颜色相同的组合数，运用古典概率的性质和求古典概率的基本方法求出从5个球中不放回地依次随机摸出两个球，摸出的两个球颜色相同的概率就可得出选项。
【详细解答】设从5个球中不放回地依次随机摸出两个球摸出的两个球颜色相同的事件为A，从5个球中不放回地依次随机摸出两个球的摸法有.=54
=20，从5个球中不放回地依次随机摸出两个球摸出的两个球颜色相同的摸法有
.+.=32+21=6+2=8，p（A）==，B正确，选B。
『思考问题3』
（1）【典例3】是排列组合与概率的综合问题，解答这类问题需要理解排列，组合和概率的定义，掌握计算排列数，组合数和概率的基本方法；
（2）解答排列组合与概率的综合问题的基本方法是：①分辨问题涉及概率的类型；②运用排列数（或组合数）的计算公式求出问题事件发生的总数和包含某事件的发生数；③利用求相关概率的计算公式求出相应的概率。

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