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第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
学案
一、学习目标
1.了解斜二测画法的概念，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
2.掌握斜二测画法的步骤，会用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.
3.会根据斜二测画法规则进行相关运算.
二、基础梳理
1.斜二测画法：常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图. 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.
2.平面图形直观图的画法及要求：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴相交于点，且使（或135°），它们确定的平面表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
3.用斜二测画法画空间几何体的直观图：
（1）在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴，，再作轴，使，.
（2）画出与，，对应的轴，，，使（或），，所确定的平面表示水平平面，平面和表示竖直平面.
（3）在几何体中，平行于轴，轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴，轴或轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.
（4）在几何体中平行于轴和轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半.
（5）擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图.
三、巩固练习
1.如图所示一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
A. B. C. D.
2.对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图，下列说法正确的是( )
A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B.梯形的直观图可能不是梯形
C.正方形的直观图为平行四边形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
3.下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是( )
A. B. C. D.
4.如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为( )
A.下底长为的等腰梯形 B.下底长为的等腰梯形
C.下底长为的直角梯形 D.下底长为的直角梯形
5.如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为16，过点作轴于点，则的长为( )
A. B. C. D.1
6.用斜二测画法作水平放置的的直观图如图所示，其中是的边的中点，，分别与轴，轴平行，则三条线段AB，AC，AD中( )
A.最长的是AB，最短的是AC B.最长的是AC，最短的是AB
C.最长的是AB，最短的是AD D.最长的是AC，最短的是AD
7.已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为，，，四棱锥的高为，如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D. ，，，
8.水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么是一个( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
9.关于斜二测画法，下列说法不正确的是_____________.
①原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；
②原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；
③画与直角坐标系xOy对应的时，必须是45°；
④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同.
10.水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则AB边上的中线的长度为_______________.
11.已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为________.
12.用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形的直观图.
13.已知一棱柱的底面是边长为的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.
答案解析
1.答案：C
解析：根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于轴的边与底边垂直.故选C.
2.答案：C
解析：根据“斜二测画法”的作图步骤可知，平行于x轴和y轴的线段的平行性不变，所以正方形的直观图的对边仍是平行的，所以正方形的直观图为平行四边形，故选C.
3.答案：A
解析：由题意知应看到正方体的上面、前面和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A.
4.答案：C
解析：平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为.故选C.
5.答案：A
解析：因为轴，所以在中，，又的面积为16，所以，所以，所以，所以的长为.故选A.
6.答案：B
解析：水平放置的直观图为，，分别与轴，轴平行，是边的中点，由斜二测画法规则，可知在原图形中，，AD为BC边上的中线，是以AB，BC为直角边，AC为斜边的直角三角形，.故选B.
7.答案：C
解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和棱锥的高分别为，，和，再结合直观图知在直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为，，，.故选C.
8.答案：A
解析：由题图知在中，，，，，，为等边三角形.故选A.
9.答案：③
解析：画与直角坐标系xOy对应的坐标系时，也可以是135°.
10.答案：
解析：在直观图中，，，所以在中，，，C为直角，所以，AB边上的中线的长度为.
11.答案：
解析：水平放置的按“斜二测画法”得到，其中，，可知原的底边长为4，高为，则原的面积为.
12.解析：(1)过点C作轴，垂足为E，如图①所示.
(2)画出相应的轴、轴，使，如图②所示，在轴上取点，，使得，；在轴上取点，使得；过点作轴，使.
(3)连接，，并擦去轴、轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形就是所求的直观图.
13.解析：（1）画轴.画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使，.
（2）画底面.以点O为中点，在x轴上画，在y轴上画，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.
（3）画侧棱过点A，B，C，D分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，，，，如图①所示.
（4）成图.连接，，，，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.

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