资源简介

数学文化-三角函数与解三角形
专题综述
数学文化不仅是数学知识，还包含数学理念、数学思想，以及数学史和所有解决数学问题的思路和方法，数学文化伴随着人类文明的发展，承载了数学发展漫长的积累过程。
新课标把"体现数学文化价值"作为高中数学课程的十项理念之一,强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容。高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化，一般以选填题的形式出现。三角函数中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的几何测量问题或几何图形为背景，考查解三角形或三角变换。
专题探究
探究1：以数学名著为背景
在数学发展的历史中，有很多的数学著作问世，它们起着数学传播的作用，使得前人的思想和方法得以传承，如中国古代的《九章算术》、欧洲的《圆锥曲线论》等，而且这些书籍中的思想和方法在高中数学中也有所体现。
(2021江苏省南京市模拟)《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积弦矢矢矢弧田是由圆弧弧田弧及圆弧两端点的弦弧田弦围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为
A. B. C. D.
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解“矢”和“弦”的含义 “矢”为CD，“弦”为AB
理解弧田面积及计算公式
理解二倍角公式的实际应用
以古代名著《九章算术》为背景，考查学生的阅读理解能力，理解用汉字描述的数学定义、定理，考查以数学知识和背景为基础和依托的文字语言、符号语言和图形语言的理解能力.
【解析呈现】
如图所示,矢长,弧田面积为,所以,解得，
所以，解得，
所以，，
所以弧田弧所对圆心角的正弦值为
．
故选：．
(2021江苏省宿迁市模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家.约公元年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图,已知大正方形的面积为,小正方形的面积为,若直角三角形较小的锐角为,则的值为
A. B.
C. D.
探究2：以社会生活为背景
数学文化不仅仅是枯燥的理论知识或者数学历史，其实在我们周围的生活圈中早已蕴藏着丰富的数学文化，展现着它的魅力。
(2021湖南省四校联考)《掷铁饼者》取材于古希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间现在把掷铁饼者张开的双臂及肩近似看成一张“弓”，掷铁饼者的肩宽约为米，一只手臂长约为米，“弓”所在圆的半径约为米，则掷铁饼者双手之间的直线距离约为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解“肩宽”和“手臂长”的含义
理解“弓”的含义
分析如何提炼题干的关键信息，构建几何模型
数学源于生活，本题以体育竞技活动为载体，通过构建扇形模型，借助弧长公式及圆心角定理求解。考查了阅读理解能力、逻辑思维能力、数学建模等能力，考查了理性思维、数学应用、数学探索学科素养。
【解析呈现】
如图所示，弓所在弧长为，
则其对应的圆心角，
则两手之间的距离为米，
故选C．
(2021江苏省苏州市)达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角，处作圆弧的切线,两条切线交于点,测得如下数据：，，其中根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A. B. C. D.
探究3：以几何定理、图形为背景
在数学发展的历史中，有很多著名的中外数学家，他们的数学思想、数学成就等均为大家所熟知，他们的一些发现、发明和我们的高中数学息息相关。
(2021江苏省南京市)克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号根据以上材料，完成下题：如图，半圆的直径为，为直径延长线上的一点，，为半圆上一点，以为一边作等边，则当线段的长取最大值时，
A. B. C. D.
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解制作弦表的原理
理解余弦定理，利用余弦定理求边和角
在已学数学知识的基础上,给出一个"新概念",要求学生学习并运用这个"新概念"来解决相关数学问题.此类试题,还突出考查学生的数学阅读理解能力,数学抽象概括能力和"新概念"的实际应用能力.
【解析呈现】
由制作弦表原理，，可知，，
，当且仅当四边形的对角互补时取等号，
当线段的长取最大值时，与互补，
，，
在三角形中，，
在三角形中，，，，，，
故选：．
(2020北京市高考)年月日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形各边均与圆相切的正边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A. B.
C. D.
专题升华
学科内或学科间的综合问题是高考的热点问题之一.新课标高考要求,对基础知识的考查,既要全面又要突出重点,要注重学科的内在联系和知识的综合性,从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络的交汇处设计试题,使得对数学基础知识的考查达到必要的深度. 由三角函数与其它知识整合的题目近年来频频出现在各级各类考试题中, 充分体现了三角函数的工具作用。
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】由题意得，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
，则，
由于为锐角，，
，，
，
．
故选：．
变式训练2【答案】
【解析】，，其中．
设．则，
由题意必为锐角，可得，
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，．
故选：．
变式训练3【答案】
【解析】如图设单位圆的内接正边形的边长为，单位圆的外切正边形的边长为，
可得，
，
则，
即，
故选：．

展开更多......

收起↑