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解题方法-参变分离法
专题综述
参变分离法是解决方程、不等式有解或恒成立等问题的简洁、有效的方法。在高中数学中,经常出现含有参数的某些函数、方程、不等式,并要求确定参数的取值范围,此时常常会用到参变分离法。所谓参变分离法是指在等式或不等式中含有两个字母,一个视为变量,另一个视为参数,可以利用等价变形,使得参数与变量分离于等式或不等式的两端,从而转化为主元函数值域的求解。
专题探究
探究1：参变分离法解决恒成立问题
此类问题具有如下特征，函数中除外，还存在着其他变量即参数，需在函数满足某不等式恒成立的条件下，求出参数的取值范围。
具体而言，利用参变分离法来确定不等式恒成立问题中参数的取值范围，有如下三个步骤：
第一步：参数与变量分离，化为或；
第二步：求或，；
第三步：解或.
参变分离法可以避免对参数范围的讨论，简化解题过程，但需注意两点：
1.函数是否可以分离参数，
2.如果变性后得到的函数形式太复杂，则不宜采用参变分离法。
常见单变量不等式问题的最值转化：
（1）,则恒成立;
（2）,则恒成立;
（3）,则恒成立;
（4）,则恒成立;
（5）,则恒成立.令,
即可转化为,则恒成立，则.
特别说明:，恒成立不可以转化为：。
理由:和自变量都是,自变量一样是一个函数的问题,不能分为两个函数理解。
常见双变量不等式问题的最值转化：
（6）,,;
（7）,,;
（8）,;
（9）,;
（10）,,的值域是的值域的子集.
(2021湖南省长沙市一模)已知函数．
讨论函数的单调性；
若在上恒成立，求整数的最大值．
【审题视点】
解析式中及含对数函数又含指数函数，求导后无法得知单调性，如何转化不等式？
【思维引导】
题目中只出现一次，很容易改写成一侧只含有的形式，因此使用参变分离法。
【规范解析】
解：函数的定义域是，
，，
当时，对恒成立，
当时，由得，由得，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
由得，
故，
即对恒成立，
令，
则，
令，则，
，，
在上单调递增，
，，
故满足，
当时，，，
当时，，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，，，
故的最大值是．
【探究总结】
本题为使用参变分离法的典例，一来参数易于分离，二来另一侧的函数方便研究，但的单调性无法直接判断，因此采用再次求导的方法，以研究其单调性，并虚设零点求出的最大值。
(2021湖南省名校联考)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)若对任意,不等式恒成立,求正整数的最小值.
探究2：参变分离法解决零点问题
利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质做出图像，然后将问题转化为函数图像与坐标轴的交点问题，
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图像的交点问题
（3）参变分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图像的交点问题。
(2021皖豫名校联盟第三次联考)设函数，其中．
若，证明：当时，；
若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．
【审题视点】
如何利用条件“至少有两个不同的零点”将问题转化为交点问题？求导后发现是隐零点，又该如何继续研究？
【思维引导】
将问题转化为直线与函数的图象至少有两个不同交点，通过研究导数的单调性，虚设零点从而得出极值点，利用图像的性质求解。
【规范解析】
解：1函数的定义域为，
，当时，恒成立， 当时，令，得， 令，得．
综上，当时，函数在上单调递增，
当时,在上单调递增,在上单调递减．
2，
由至少有两个不同的零点，
则等价于方程至少有两个相异的实数根．
即至少有两个相异的实数根．
设，
则与的图象至少有两个公共点，
，
令，则，
令，可得或舍去，
所以在上，，单调递减
在上，，单调递增，
所以函数的最小值为，
又，所以当时，，
又，
因此必存在唯一，使得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以当时，有极大值，
当时，有极小值．
又，，且当时，，
所以，可得时，
与的图象至少有两个公共点，
故的最大值为．
【探究总结】
参变分离法处理函数的零点的本质是将函数的零点转化为方程的根的问题，再回归到函数图像的交点问题，所以参变分离往往和数形结合是结伴出现的，需要注意的是许多函数图像都有渐近线，需要大家仔细处理。
(2021湖南省长沙市模拟)设函数，其中．
若，证明：当时，；
若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．
探究3：参变分离法在数列中的应用
数列是自变量为正整数的函数，数列问题中蕴含着丰富的数学思想方法，例如函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转换等等，是高考考查考生数学综合素养的良好素材，数列的渗透力很强，它和函数方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，其中以数列为载体，考查不等式的恒成立问题是考查热点内容，解题策略主要是分离参数。
( 2021广东省广州市三校联考)设公差不为的等差数列的首项为，且，，构成等比数列．
求数列的通项公式，并求数列的前项和为；
令，若对恒成立，求实数的取值范围．
【审题视点】
第一问可以直接用常规数列求和方法求解，第二问的通项公式含有三角函数，又含有参数，应该如何处理？
【思维引导】
用错位相减法求和；
参变分离，讨论为奇数和偶数，运用不等式恒成立思想，即可求解．
【规范解析】
解：设公差不为的等差数列的首项为，
且，，构成等比数列，
可得，即，
解得，，
前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得；
，
当为奇数时，，
，
对恒成立，即为，
可得，则；
当为偶数时，，
，
对恒成立，即为，
可得，由在为偶数时递增，
可得取得最小值，则，综上所述，．
【探究总结】
数列和不等式都是高中数学重要内容，这两个重点知识的联袂、交汇融合，更能考查学生对知识的综合理解与运用的能力，对于数列求和问题，需熟练掌握常见的几种求和方法，如果跟三角函数交汇的题目，一般都是分奇偶性分类讨论，含有参数的数列不等式，常采用分离参数的方法求解。
(2021山东省临沂市模拟)在数列中，，且对任意的，都有．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
设，记数列的前项和为，若对任意的都有，求实数的取值范围．
专题升华
当有多个变量出现时，不容易把两个变量完全分开在不等式两侧的时候，可以通过半参变分离的方法，将函数的形式变为一边有参数一边无参的两个简单易确定、易作图的函数，再根据题意和图像来寻找答案的方法。
【答案详解】
变式训练1
【解析】当时，，导数为，
所以切线的斜率为，又，
所以切线的方程为，即为；
当时，，整理可得，
令，则，令，
则，由，可得，当时，，递减，
因为，，所以在存在一个零点，
此时，即，
所以当时，，即，递增；
当时，，即，递减，
所以有最大值，所以，
因为，所以正整数的最小值为．
变式训练2
【解析】，由，得，， 则，即在上为增函数．
故，即
由，得 设函数，，则 令，得，则时，， 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减．
又因为， ， ， 所以当时，方程，在区间内有两个不同解， 即所求实数的取值范围为．
变式训练3
【解析】由，可得
又，，所以．
所以首项为，公比为的等比数列．
所以．
所以．
因为，
所以
．
又因为对任意，都有，
所以恒成立，即，
易知当时，有最小值，为，
所以实数的取值范围为．

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