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解题方法-换元法
专题综述
换元法是在解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量代替它，从而使问题得到简化。又称为辅助元素法，变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。其实质是转化，关键是构造元，原则是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新函数的知识背景中去研究，使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，在研究方程、不等式、函数、数列、三角函数等问题中有广泛的应用。
专题探究
探究1：整体换元法
对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,常将一个或几个式子分别看成整体,用一个或几个新“元”代换它们,使得以新元为基础的问题求解比较简易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果。
(2021山东省聊城市三模)已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为__________．
【审题视点】
函数的形式复杂，如何化繁为简？
【思维引导】
本题考查函数零点与方程根的关系，但是的形式复杂，考虑将看作一个整体，转化为二次函数进行求解，则函数有三个不同的零点，，其中，转化为方程需要有两个不同的根，其中，然后借助函数图像对分类讨论即可。
【规范解析】
解：令，构造，求导得，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
且时，，时，，，
可画出函数的图像见下图，
由函数有三个不同的零点，，，
则有两不等根，，
则，
解得或，且．
当时，
则，，且．
所以．
当时，
因为，且，
所以，与矛盾，
故不符合题意．故答案为．
【探究总结】
当我们面对一个复杂的数学式子的时候，我们一定要尝试着将一个式子看成一个整体，然后利用来替代，从而达到换元目的，简化问题，实质就是转化。
(2021江苏省南通市模拟.多选) 已知函数的值域为，则实数与实数的取值可能为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
探究2：三角元法
在高中数学中，存在大量的以二次式为背景的条件，但是处理方法各异，因此学生不易学习和掌握，更别谈理解方法的本质，在学习三角函数之后，大家应该注意到三角函数运算的一个特点：可以升次也可以降次，从这一点来看，三角函数可以灵活切换次数，也就为二次条件的消元提供了极好的工具。
(2021全国理科乙卷.11)设是椭圆：的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【审题视点】
用常规方法计算量很大，利用三角换元转化为三角函数的范围问题。
【思维引导】
设，求得，利用正弦函数的性质求得，进而可求离心率的范围。
【规范解析】
解：设，由题意，得，
则，
当不等式成立；
当
，
而，，，
又，故椭圆离心率的取值范围是，
故选：．
【探究总结】
圆锥曲线有一个特点，就是曲线上的点不易于直接表达（抛物线除外），例如椭圆
，为了表示椭圆上一点，需要引入两个参数，此时会涉及到两个麻烦事：①开根号，②定符号，这样一来，会给后面的处理带来很多麻烦，而三角函数的出现正好弥补了这样的问题，因为三角函数本身就有降次和升次的功能，利用三角恒等式,可以自然类比到椭圆中,那么椭圆上的点就可以表达成，此时只含有一个参数，成功实现了减元、去根号和定符号的效果。
(2020河北邯郸市)如图，已知，分别是椭圆在第三象限的动点和上顶点．当最大时，直线被圆截得的弦长为（ ）
A. B. C. D.
探究3：比值换元法
对于多元函数,我们称为双变量，一般来说，我们无法对其进行求导，可以采用“先转换后构造”的解题策略：同除变形令,构造函数。
(2021全国新课标Ⅰ卷.22)已知函数 ．
（1）讨论的单调性； （2）设为两个不相等的正数，且，证明：．
【审题视点】
待证不等式为一个二元不等式，无法直接求出，也就无法直接将与2和e比大小，如何转化？如何构造函数，再利用导数研究函数的单调性是解题关键。
【思维引导】
（1）求导，解不等式，即可判断的单调性；
（2）先对左右两边同除以，化简可得，不妨设，且，，要证，即证，
通过运用函数单调性将和直接比较转化为和的比较，利用转化为一元变量的函数，用导致证明。
【规范解析】
解：的定义域为 ，，
由解得，由解得，
在上单调递增，在上单调递减；
证明：由可得，
整理得：，即，
不妨设，且，
即，即证明，
由在上单调递增，在上单调递减，
且，可得，
先证明，
令
，，
，
在上单调递增，
又，，
，即，
由可知在上单调递减，，即；
下面再证明，不妨设 则，
由，可得 ，
要证，即证，
即证，即证，
即证，
设，，，
令，，
，，
在上单调递减，，
，在上单调递减，
，即，
，故．
【探究总结】
这类问题的解题思路是根据题设条件将所证不等式转化为只含有的不等式，再通过令或的代换方法，将含二元变量的不等式转化为一元变量的函数，以导数为工具证明。
(2021江苏省苏州市模拟)已知函数在处的切线与直线平行．
Ⅰ求实数的值，并判断函数的单调性；
Ⅱ若函数有两个零点，，且，求证：．
专题升华
使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注意新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 换元法可以化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角函数等问题中有广泛的应用。
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】，
设，则．
当时，在上单调递增，时，，所以，即，故正确；
当时，在上单调递增，时，，故，即，故正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，故，即，故错误；
当时，在上单调递增，时，，故，即，故正确．
故选．
变式训练2【答案】B
【解析】椭圆中，，设，
，
，
当，最大，此时，，故，
直线的方程为，
圆心到直线的距离为，弦长为．
故选B．
变式训练3
【解析】Ⅰ函数的定义域：，
因为，所以解得，
，
令，解得，故在上单调递减，
令，解得，故在上单调递增．
Ⅱ由，为函数的两个零点，
得，
两式相减，可得，
即，，
因此，，令，由,得,
则，
构造函数，则，
所以函数在上单调递增，故，
即，又所以，所以，
故命题得证．

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