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解题方法-配凑法
专题综述
配凑法是高中数学中常见的解题方法,指为了便于利用一些公式、定理、性质等，或使目标函数式转化为方便求解的形式,通过添加项、裂项、拆项、放缩，变形或用"1"的代换等方式,使问题获解的一种方法。在运用配凑法解题时，我们要仔细观察题干，寻找题干中的有效信息,结合所学的公式,定理,性质等对其进行合理配凑。
专题探究
探究1：配凑法解基本不等式
配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：
(1)配凑的技巧,以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。
答题思路一：“配系数”使和式为定值
系数配凑法大多用于形如的积的形式，通过系数配凑，使,且与之和为定值（或满足已知条件），可利用均值不等式解决。
答题思路二：“配项”使积式为定值
（1）拆项配凑法大多用于形如的和的形式，通过拆项，使,若相应项的平方和或积为定值（或满足已知条件），可利用均值不等式解决;
（2）添项配凑大多用于形如的形式，若为定值，通过添加项，
使,最后利用均值不等式即可;
（3）有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑拆项，变为和的形式，然后配凑定积。
(2021湖北省武汉市模拟)已知正数满足，则的最小值是
A. B. C. D.
【审题视点】
本题涉及最值的求解，考虑用基本不等式求解，观察特征，配凑出满足基本不等式的数量关系式是解题关键。
【思维引导】
很明显本题不能直接用“1”的代换，观察所求式子的分母分别为和，所以将条件等式变形为，即可求解。
【规范解析】
，
，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值是．
故选C．
【探究总结】
用基本不等式求最值时需要注意三个条件：一正、二定、三相等，“一正”不满足时，需提负号或甲乙讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性。需注意求乘积最值时，同样要验证“一正、二定、三相等”。
(2021福建省厦门市双十中学高三期中.多选)早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式下列与基本不等式有关的命题中正确的是
A. 若，则
B. 若，，则最小值为
C. 若，，，
D. 若实数，满足，，，则的最小值是
探究2：配凑法构造数列
对于形如的数列，可采用配凑法，配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求.
(2021陕西省西安市十模)已知数列,满足，，．
证明：是等比数列；求数列的前项和．
【审题视点】
如何通过递推关系式构造等比数列？通项公式出现时，如何求和？
【思维引导】
观察递推关系式可配凑为的形式，构造新的等比数列，即可求解，第二问需要讨论的奇偶性，分组求和。
【规范解析】
证明：由题意可知，
即，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由知，，
则，
，
当为奇数时，
，
当为偶数时，
，
．
【探究总结】
第一问根据题设条件直接构造等比数列，属于常规题型，要熟练掌握，第二问的求和，通项公式看似复杂，其实很简单，其形式特征明显，启发我们分n的的奇偶性来讨论，分组求和即可。
(2022湖北省“荆、荆、襄、宜”四地七校联盟)已知数列满足
证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式
已知正项等比数列的前项和为，且，，若，求数列的前项和
专题升华
“配凑”通过恰当的拼与凑，是问题简洁、明了，从而达到比较容易解决问题的目的，是一种启发思维的好方法，除了以上介绍的两种常见的配凑以外，在三角函数、解析几何、函数等方面有广泛的应用。
常用配凑法解题策略：
1. 把结论变形，凑出题设形式，以方便利用已知条件
2. 把题设变形，凑出结论形式，以从中推出结论
3. 把题设先变形，再把结论变形，凑出变形后的题设形式
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】若，，则，故错误
B.因为，，则，
当且仅当，即时，等号成立，故B错误
C.，
当且仅当，时取等号，C正确．
D.令，，则，，．
，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选．
变式训练2
【解析】证明：由，可得，
则，
所以数列是等比数列，首项为，公比为，
故，则；
解：设数列的公比为，令，则，所以，
又，解得或舍去，
所以，
，，
所以，
，
得
，
故．

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