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解题方法-中间值比较法
专题综述
比较几个数的大小是高考数学的热点问题,这类题目技巧性,综合性都比较强,且解法灵活,涉及的知识面较广.运用中间值法比较几个数的大小时,这个中间值该如何找,从哪里人手找,哪几个数是常用的中间值,学生往往感到困惑,甚至无所适从。中间量比较法在处理指数对数式的大小比较时很常用，最常用的就是“0”和“1”哦！
专题探究
探究1：指数、对数式比大小
指数、对数式混合比较大小的方法：
1. 若有同底的指数式或对数式，则先通过指数函数、对数函数 的单调性进行比较。
2. 对于不同底的指数式、对数式
①将指数式与“1”进行比较，，通过单调性比大小，同时指数式的值恒大于0；
②将对数式与“0”，“1”进行比较，，通过单调性比大小；
③若与“0”，“1”比较后还不能比大小的情况下，将中间量的值重新设定，如“”，再运用同样的方法进行比较。
(2020全国新课标Ⅲ卷)已知，设，，
，则( )
A. B. C. D.
【审题视点】
为底数不相等的对数，如何变形？
【思维引导】
通过换底公式，将变形，作差比较，取中间值，比较.
【规范解析】
解： ，， ，

；
；
综上所述， 即
故选A．
【探究总结】
本题目的技巧性比较强，需要变形，通过取中间值，用分别与作比较，从而得出结论。
(2021山西省阳泉市期末)设，，，则
A. B. C. D.
探究2：三角函数比大小
比较三角函数值的大小,既要用到三角函数的有关性质,又要用到不等式中比较大小的方法.
非特殊角的三角函数和指对幂函数混合的比大小题型中，往往需要借助中间值“0”或“1”进行比较。
(2021湖北省武汉市模拟)已知，，
，，则，，，的大小关系为
A. B. C. D.
【审题视点】
题设条件中的三角函数无法直接求出，也无法变形为同名三角函数，如何处理？
【思维引导】
用辅助角公式及正弦函数的单调性，化简，并比较与的大小；用二倍角正弦公式化简，用指数函数的单调性运用中间值比较法比较，的大小，再判断即可．
【规范解析】
．
，所以，
因为，
所以，，
因为，
所以，即
而，
所以有．
故选：
【探究总结】 解决函数、三角函数中的大小比较问题，解题关键是要找准中间值，然后通过指数的单调性和三角函数的有界性比大小。
(2021河南省平顶山市模拟)，，的大小关系是
A. B.
C. D.
专题升华
常用中间值：
“1”是底数的对数值,可以通过比较对数值与1的大小,来比较底数与真数的大小关系
“-1”是底数的倒数的对数值,可以通过比较对数值与-1的大小,来比较底数的倒数与真数的大小关系
“0”是真数为1时的对数值,可以通过比较对数值与0的大小,来比较真数与1的大小关系。
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】因为，，
又因为，，所以，
又因为，且，故，所以，即，
又，因为，故，所以，即，所以，
故，
故选．
变式训练2【答案】
【解析】因为；
；
；
；
即：；
故选：．

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