资源简介

数学文化-函数与导数
专题综述
数学文化不仅是数学知识，还包含数学理念、数学思想，以及数学史和所有解决数学问题的思路和方法，数学文化伴随着人类文明的发展，承载了数学发展漫长的积累过程。
新课标把"体现数学文化价值"作为高中数学课程的十项理念之一,强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容。高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化，一般以选填题的形式出现。函数与导数中的数学文化题一般以著名数学的数学思想、数学成就为背景，考查函数与导数的图像与性质。
专题探究
探究1：以中外数学名题为背景
数学历史名题或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或与深刻的数学内容相结合，或者深刻揭示了实质性的数学思想，或者与经典的解法相互关联，以中外数学名题为背景命题，也是以数学文化为背景的高考试题的一大特色。
(2021湖南省怀化市高三联考)中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数
在，，处的函数值分别为，
，，则在区间上可以用二次函数来近似代替：
，其中，，若令，，，请依据上述算法，估算的值是
A. B. C. D.
【阅读突破】
文字语言 符号语言
深刻理解二次不等距插值算法 ，，，
分析如何提炼题干的关键信息，构建函数模型
以古代名著《大衍历》为背景，“新算法”类问题的情境一般比较陌生，先准确理解“新运算”法则，再加以灵活运用即可解决问题。考查以数学知识和背景为基础和依托的文字语言、符号语言和图形语言的理解能力。
【解析呈现】
设，且，，，则有，，；
所以，，，
由，
可得，
．
故选：．
(2021江西省南昌市)丹麦数学家琴生是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 ．
探究2：以新定义函数为背景
此类型问题可能以文字的形式出现，也可能以数学符号或数学表达式的形式出现，要求先准确理解“新定义”函数的特点，再加以灵活运用，特别提醒：“给什么，用什么”是应用“新定义”解题的基本思路。
(2022江苏省无锡市高三调研.多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是
A. 是偶函数 B. 是奇函数
C. 在上是增函数 D. 的值域是
【阅读突破】
文字语言 符号语言
理解高斯函数 表示不超过的最大整数
分析如何对函数变形，研究的性质
本题以“高斯函数”为载体，给出一个未接触过的新规定、新概念，要求现学现用，其目的是考查阅读理解能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的品质。
【解析呈现】
因为,而,，
所以，即不是偶函数 ，因此不正确；
因为，定义域，
且，所以函数为奇函数，因此B正确；
因为，，所以函数在上是增函数，因此C正确；
因为，所以，所以，因此不正确．
故选BC．
(2021山东省青岛市.多选)德国著名数学家狄利克在数学领域成就显著.世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，其中真命题的是
A. 函数是偶函数
B. ，，恒成立
C. 任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立
D. 不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形
专题升华
在新模型类问题中，需要学生将所给的解题模型迁移至新情境中，对目标问题进行合理探究，此类问题有力培养学生养成善于思考、勤于钻研的好习惯，特别提醒：紧扣“新模型”的思维本质，是解题的基本原则，“新定义”函数是把数学知识与方法迁移到题设阅读材料中，学生需捕捉相关信息，通过归纳、探索，发现解题方法，然后解决问题，解决此类问题一般有以下四种方法：1.联想背景2. 紧扣定义3. 巧妙赋值4. 构造函数
【答案详解】
变式训练1【答案】
【解析】，
，
，
在上为“凸函数”，
在上恒成立，
，
易知在上为增函数，
，，
故答案为：．
变式训练2【答案】
【解析】 对于，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；
对于，取,，则，，，故选项B错误；
对于，若，则，满足；若，则，
满足；故选项C正确；
对于，要为等腰直角三角形，只可能是如下四种情况：
直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立；
直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立；
直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立；
直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．
故选：．

展开更多......

收起↑