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数学文化-解析几何
专题综述
数学文化不仅是数学知识，还包含数学理念、数学思想，以及数学史和所有解决数学问题的思路和方法，数学文化伴随着人类文明的发展，承载了数学发展漫长的积累过程。
新课标把"体现数学文化价值"作为高中数学课程的十项理念之一,强调数学文化是贯穿整个高中数学课程的重要内容。高考试题会通过创设新的情境、改变设问方式,选取适合的知识内容等多种方法渗透数学文化，一般以选填题的形式出现。解析几何中的数学文化试题,主要针对阿波罗尼斯圆、几何原本、圆锥曲线论、割圆术等著名数学文化为背景，考查圆锥曲线的性质及几何意义。
专题探究
探究1：以数学名著为背景
数学史和数学名著是数学文化的重要组成部分，以数学史和数学名著作为试题的情境材料，可以培养学生学习数学的兴趣，让学生感受书写家探究、解决数学问题的过程。
(2021江苏省高考全真模拟卷1.多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来,人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆．在平面直角坐标系中,,,点满足,设点的轨迹为,下列结论正确的是
A.的方程为
B.
C.当，，三点不共线时，射线是的平分线 D.在上存在点，使得
【阅读突破】
文字语言 符号语言
深刻理解阿波罗尼斯圆
会用余弦定理证明角平分线
熟练掌握常规轨迹问题的求法
以著名的阿波罗尼斯圆为背景，提供给学生提升数学逻辑思维、解题策略等数学核心素养的机会，在观察中提取信息，分析问题。
【解析呈现】
设点，则，
化简整理得，即，故A错误；
当时，，故B正确；
对于选项，,要证为角平分线，
只需证明，即证，
化简整理即证，设，则，
，
则证，故C正确；
对于选项，设，
由可得，
整理得，而点在圆上，
故满足，
联立解得，无实数解，于是D错误．
故答案为：．
(2022重庆市缙云教育联盟)瑞士著名数学家欧拉在年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆
相切，则下列结论正确的是
A. 圆上点到直线的最小距离为
B. 圆上点到直线的最大距离为
C. 若点在圆上，则的最小值是
D. 圆与圆有公共点，则的取值范围是
探究2：以现代科技或数学时事为背景
以现代科技或数学时事为背景的数学文化考题特别关注科普知识，注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观。
(2021海南省天一大联考三模.多选)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则
A. 椭圆轨道Ⅱ上任意两点距离最大为
B. 椭圆轨道Ⅱ的焦距为
C. 若不变，则越大，椭圆轨道Ⅱ的短轴越短
D. 若不变，则越小椭圆轨道Ⅱ的离心率越大
【阅读突破】
文字语言 符号语言
月球探测器在轨道Ⅱ和轨道Ⅲ上的运行轨迹 设Ⅱ为，则
分析题干关键信息，构建椭圆模型
本题以“探索卫星轨道”为载体，蕴文化与现代科学技术中，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，注意到题干涉及到长半轴长和半焦距，从焦距入手，是解题关键。全面考查了学生的阅读理解能力，数据分析能力.
【解析呈现】
解：由题可知椭圆轨道Ⅰ的半径为，Ⅱ为椭圆，设为，所以，
Ⅲ为圆形轨道，半径为，所以，
对于：由题可知椭圆Ⅱ上任意两点最大距离为，故A不正确；
对于：椭圆Ⅱ的焦距为，得，，故B正确；
对于：由得，，
所以，
若不变，越大，越大，故C不正确；
对于：，
不变，越小，越大，越小，则越大，故D正确．
故选：．
(2021江苏省徐州市模拟)第届冬季奥林匹克运动会，将在年月日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会国家．根据规划，国家体育场鸟巢成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，如图，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
专题升华
知识储备：超级名圆--阿波罗尼斯圆
已知平面上两定点A、B，则所有满足（）的点的轨迹是一个以定比内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
1.到两定点的距离之和为定值（大于两定点的距离）的点的轨迹是椭圆
2.到两定点的距离之差为定值（大于0且小于两定点的距离）的点的轨迹是双曲线
3.到两定点的距离之商为定值（不等于1）的点的轨迹是阿波罗尼斯圆
4.到两定点的距离之积为定值（大于0）的点的轨迹是卡西尼卵形线
【答案详解】
变式训练1【答案】ACD
【解析】由可得外心、重心、垂心均在线段的垂直平分线上，
即的“欧拉线”为线段的垂直平分线．
由点，点可得线段的中点为，
且直线的的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率，
因此线段的垂直平分线的方程为，
即的“欧拉线”方程为．
又圆：的圆心为，半径为，
而的“欧拉线”与圆相切，
所以点到直线的距离为，
因此圆的方程为：，
对于、，圆的圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的最小距离为，
最大距离为因此A正确，B错误；
对于，因为点在圆上，令，即，
所以直线与圆有交点，
因此圆心到直线的距离，
解得，因此的最小值是，所以C正确；
对于，因为圆圆心为，半径为，
而该圆与圆有公共点，所以，
即，解得，
因此的取值范围是，所以D正确．
故选ACD．
变式训练2【答案】B
【解析】 设内层椭圆方程为，，
因为内外椭圆离心率相同，所以外层椭圆可设成，
设切线方程为，与联立得，
，由，则，
设切线方程为，同理可求得，
所以，，
所以因此．
故选B．

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